软件X 14（2021）100673原始软件出版物模拟和缓解COVID-19传播的方法Zahrate El Oula Frihia，Julian Barreiro-Gomezc，b，Salah Eddine Choutric，b，Hamidou Tembinec，ba实验室。阿尔及利亚，安纳巴，B.P.12，23000，Badji-Mokhtar大学，数学系，概率和统计学b纽约大学阿布扎比研究所，邮政信箱129188，阿布扎比，阿联酋c学习博弈论实验室（LG-Lab），纽约大学阿布扎比，邮政信箱129188，阿布扎比，阿联酋ar t i cl e i nf o文章历史记录：收到2020年收到修订版，2020年10月18日接受，2021年MSC：60J2760-04保留字：COVID-19马尔可夫链仿真a b st ra ct在本文中，我们提出了一个基于年龄和迁移的马尔可夫链的COVID-19传播模型，以及一个用户友好的基于MatLab的工具箱。此外，我们提出的例子来模拟病毒的传播国际和本地（在一个特定的国家）。版权所有©2021作者。由爱思唯尔公司出版这是CC BY许可下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）中找到。代码元数据当前代码版本v1用于此代码版本的代码/存储库的永久链接https://github.com/ElsevierSoftwareX/SOFTX_2020_259Code Ocean compute capsule法律代码许可证MIT许可证使用的代码版本控制系统无使用MatLab的软件代码语言、工具和服务编译要求、操作环境依赖性如果可用，链接到开发人员文档/手册问题支持电子邮件zahrate. univ-annaba.org1. 动机和意义COVID-19是2019年12月在人类中发现的一种新疾病。据信，导致这种疾病的病毒是在中国武汉当地的野生动物肉类市场从野生动物身上跳到人体上的。从那时起，这种疾病开始在中国和韩国等邻国迅速传播，在人与人之间传播。世界卫生组织（世卫组织）于二零二零年三月十一日宣布疫情为大流行通讯作者：Learning& Game Theory Laboratory（L& G-Lab），New YorkUniversity Abu Dhabi，PO Box 129188，Abu Dhabi，UAE。电子邮件地址：zahrate. univ-annaba.org（Zahrate El Oula Frihi），jbarreiro@nyu.edu（Julian Barreiro-Gomez），sc8101@nyu.edu（Salah Eddine Choutri），tembine@nyu.edu（Hamidou Tembine）.https://doi.org/10.1016/j.softx.2021.100673在传播到几十个国家并造成数百人死亡之后。截至撰写本报告时，全世界180个国家和地区有数千人死亡，感染人数最多的大陆是亚洲（主要是中国，伊朗和韩国），欧洲（主要是西欧）和美洲大陆（主要是美国和巴西）。在没有完全接种疫苗的人群的情况下，各国试图通过减少国际流动性和对感染者或新抵达者实施隔离来控制和减缓大流行病的传播。一些国家实施了全面封锁，如意大利和西班牙。这一流行病在国际上的迅速蔓延以及各国为防治这一流行病而采取的政策促使我们建议，2352-7110/©2021作者。 由Elsevier B.V.出版。这是一篇开放获取的文章，使用CC BY许可证（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。可在ScienceDirect上获得目录列表SoftwareX期刊主页：www.elsevier.com/locate/softxZahrate El Oula Frihi，Julian Barreiro-Gomez，Salah Eddine Choutri etal.软件X 14（2021）1006732N={个×∈ []=∈C研发SI本文通过马尔可夫链在代表世界地图的图（网络）上传播COVID-19的模型传染病的数学建模是研究多种疾病传播的重要工具流行病模型的目的是回答这样的问题：是否有可能有一个大爆发的某种传染病？会有多少人感染有多少人应该接种疫苗来预防疾病爆发确定性SIR模型是最简单的流行病模型之一，其中疾病的传播动力学可以由2个微分方程定义（参见例如[1]），一个是易感人群的数量，另一个是感染人群。人群分为三类：易感人群、感染人群和移除人群（已康复或死亡）。在这种模式下，个人可以获得永久免疫力。SIR模型还存在其他变体，如SIS（所有前面提到的模型都假设人们均匀混合，社区是封闭的（没有出生，移民，移民和死亡）。封闭假设意味着人口的总规模是恒定的，它等于易感者、感染者和被移除者的数量之和，这使得推导被移除者数量的方程变得微不足道，因为易感者和感染者的方程已经给出了。模型的输出依赖于这样一个假设，彼此混合均匀。然而，这可能不足以取得良好的结果。例如，如果我们考虑如果在一所学校（小社区）爆发流行病，似乎可以合理地假设最终感染人数存在一定的不确定性。此外，即使基本繁殖数大于1，社区很大，但爆发是由少数感染者发起的，也有可能偶然地，流行病永远不会爆发[2]。对于扩展到更现实的随机模型，见例如。[3]的文件。许多传染病的随机模型是基于连续或离散时间马尔可夫链。 在这些模型中，马尔可夫链的状态是可能被感染的人数。. . 等这些方法的主要问题是大尺寸的状态空间和大量的相关的Kolmogorov对于连续时间马尔可夫链模型，参见例如。[4对于离散时间模型，参见例如：[8另一种流行病模型是网络流行病模型[11]。该模型是基于一个无向图，描述了在社区的流行病传播的社会结构。节点代表个体，边代表个体之间的联系。大多数基于网络的模型将传播视为随机过程或其平均场近似。网络流行病模型具有其他应用，例如计算机网络上的恶意软件传播，参见例如。[12、13]。1.1. 一种网络马尔可夫链模型我们通过无向图G =（N，E）上的马尔可夫链对COVID-19在整个世界的传播进行建模，其中N= {1，2，. . .，n}是连接到每个图1.一、 图表示马尔可夫链的状态。被感染的个体（或节点）可以以概率γ恢复。康复者不会获得永久免疫力，因为他们可能会以概率β再次感染（见图2）。①的人。我们的马尔可夫链模型考虑了各大洲的年龄差异。从状态I到状态D的转移概率（概率δ）受年龄的影响。老年感染者死亡概率较高。因此，我们分别为不同的年龄类别（0，40），[40，70]和70+设置3个不同的转移概率δ1，δ2和δ3前三个转移概率之和等于δ。每个大陆的年龄分布是通过具有适当参数的正态分布生成的（默认情况下）。根据大陆的不同，可以更改为其他发行版。此外，我们的模型还包含了在同一个国家/大陆或不同国家/大陆旅行时可能发生的长距离交互。 我们通过考虑更宽的邻居N′的集合。 每个人i∈N有自己的局部邻域集Ni和全局邻域集i′，为了简单起见，我们去掉了下标。接下来，我们介绍了建议的工具箱，以模拟病毒的传播取决于年龄和地区之间的迁移限制2. 产品描述我们提出的工具箱是基于MatLab的。它主要由六个功能组成，下面简要说明有关详细信息，请参阅相关的工具箱文档。2.1. 大陆数据的构建函 数 construct_continents （ I ， resolution_grid）负责为世界地图上的每个（populated）大陆/地区生成所需的数据。该函数将世界（或国家）I的图像及其离散化的选定分辨率resolution_grid（相关节点的数量）作为输入。作为输出，该函数返回由三个元素组成的六个聚类（对应于每个大陆）：对应于特定大陆的节点的数量、特定于该大陆的每个节点的x-y坐标的矩阵2.2. 大陆S、I、R和D集的初始可视化另一个由一组边E表示。 的邻接矩阵给出了一个图，对任意i，jN，由：Aij1，如果i，jE，0否则，请执行以下操作。图表示世界地图，每个节点表示一个个体，每个个体的状态由马尔可夫链描述。每个马尔可夫链都有一个离散的状态空间ES， I， R， D其中S是易感的，I是感染的，R是康复的，D是死亡的。链从一个状态跳到另一个状态，遵循一定的转移概率。感染[001 pdf 1st-31files]当一个敏感的指标，vidual与邻居N的感染者相互作用。任何函数show_map（S，I，R，D，C，color）通过使用函数construct_continents构造的节点绘制离散化的地图。该函数接受以下输入：易感人群集、感染人群集、康复者的集合、死亡者的集合、对应于世界地图的节点的坐标的集合以及对应于易感者的节点的颜色作为输出，该函数生成具有输入中选择的特性的映射图Zahrate El Oula Frihi，Julian Barreiro-Gomez，Salah Eddine Choutri etal.软件X 14（2021）1006733图二. 通过洲际连接模拟病毒的传播。图三. 模拟没有洲际连接的病毒传播。2.3. 节点周围邻域集的计算函数neighbor（agent，radius，xpos，ypos）允许计算某个节点周围的集合。该函数是计算病节点周围的易感节点集以传播病毒的基础。 它接受以下输入：一个给定的节点/案例（称为agent），一个标量值（称为radius），它决定了节点邻域的大小（国际旅行的高值），xpos对应于世界地图上所有节点的所有x坐标，ypos对应于世界地图上所有节点的所有y坐标。该函数返回一个唯一的输出，该输出是与代理的邻域集对应的一组节点。2.4. 年龄分布函数show_age（C，age1，age2，age3）绘制世界地图，并显示由age1，age2和age3定义的三个年龄范围的分布。在插入每个大陆的年龄分布（有三个年龄范围）之后，该函数绘制世界地图，并相应地为每个节点分配年龄。Zahrate El Oula Frihi，Julian Barreiro-Gomez，Salah Eddine Choutri etal.软件X 14（2021）1006734联系我们见图4。 病毒在哥伦比亚传 播 ，32个省之间存在迁移限制（无检疫）。图五. 病毒在哥伦比亚的 传 播 ，在32个省之间有迁移限制（有隔离）。2.5. 航班衔接的函数flight_connections（A，S_NorthAmerica，...，S_Oceania）计算属于节点可以行进到的区域的节点的集合。该函数将对应于每个大陆的节点（易感人群）集合和描述可能的洲际旅行的邻接矩阵A0， 16×6作为输出，该函数返回一组节点，属于某个大陆的代理可以移动到另一个大陆。每个输出集对应一个大陆。2.6. 病毒传播函 数 update （ S ， I ， R ， D ， xpos ， ypos ，flight_connections，p，Age）在每次迭代后更新病毒传播的情况。 这是通过更新每个大洲的所有输入集来完成的。 输入flight_connections是由于航班和大陆的连通性而可能从其他大陆感染的代理的集合，而p是一组转移概率p = [p1，p2，p31，p32，p33，p4，p5]的基本马尔可夫链。作为输出，更新易感、感染、恢复和死亡的集合。3. 说明性实例我们提出了两个说明性的例子，第一个是在世界地图上模拟病毒的传播，世界地图被分为六个不同的大陆，模拟是在有和没有洲际连接的情况下完成的，见2和3。第二个例子考虑了一个划分为几个地区的独特国家。假设这个国家是哥伦比亚，它分为32个省。因此，我们不仅要考虑部门之间的不同图图4显示了在没有检疫的一年中病毒的繁殖情况，而图5显示了在没有检疫的一年中病毒的繁殖情况。图5显示了在隔离和禁止国内航班的一年中病毒的传播。4. 影响MatLab工具箱可以帮助提出有关封锁和关闭天线的效率的Zahrate El Oula Frihi，Julian Barreiro-Gomez，Salah Eddine Choutri etal.软件X 14（2021）1006735空间.使用工具箱，可以模拟疾病的空间传播并比较不同的锁定策略。此外，我们的算法可以很容易地扩展到考虑到更精细的划分的世界地图。人们可以将每个大陆划分为国家，每个国家划分为区域，每个区域划分为区域，然后通过管理所有这些区域之间的相互联系来找出最佳锁定政策。此工具箱简化了COVID-19（或任何其他病毒）传播的模拟过程，并通过考虑各大洲的年龄分布以及长途旅行使模拟我们在学习博弈论实验室的研究小组使用工具箱生成模拟并研究COVID-19的传播。此外，该实验室正在努力将其扩展到包括不同的部门，并增加更多的功能，如每个地区的医院容量. 等5. 结论我们提出了一个基于马尔可夫链的COVID-19传播模型，此外，该模型还考虑到了与年龄相关的死亡率，因为已经观察到老年人比年轻人更容易死于病毒。该模型是简单的，可以很容易地调整通过马尔可夫链的转移概率。此外，我们还提出了一个用户友好的工具箱，用于模拟在多个区域的传播。区域可以是不同的大陆、国家和/或国家中的州。我们已经提出了几个例子来解释工具箱的使用，并提供了开放源代码，这是任何研究人员都可以访问。我们的目标是，本文中提出的贡献不仅可以用于激励对COVID-19传播的研究，而且还可以作为一个模型，可以用作最优控制器设计的参考。竞合利益作者声明，他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系，可能会影响本文报告的工作确认本材料基于Tamkeen在纽约大学阿布扎比研究所CG002资助下支持的工作，美国空军科学研究办公室，授权号FA 9550 -17-1-0259。附录A. 补充数据与本文相关的补充材料可以在https://doi.org/10.1016/j.softx.2021.100673上找到。引用[1]Kermack WO，McKendrick AG.对流行病数学理论的贡献。Proc R Soc A，Containingpapersofamathematicalandphysicalcharacter1927;115（772）：700-21.[2]布里顿·汤姆。随机流行病模型综述。Math Biosci2010;225（1）：24-35.[3]艾伦LJS。随机流行病模型导论。数学流行病学。Springer; 2008，p. 81比130[4]Jacquez JA，O'Neill P.随机流行病模型中的繁殖数和阈值。同质种群MathBiosci1991;107（2）：161-86.[5]JacquezJA，Simon CP.具有补充和死亡的随机SI模型I. 与封闭SIS模型的比较Elsevier; 1993年。[6]诺塞尔岛某些地方性传染病的随机模型。数学生物科学2002;179（1）：1-19.[7]Keeling MJ，Ross JV.研究随机疾病动力学的方法。J R Soc Interface2008;5（19）：171[8]阿比·H流行病的芦苇霜理论的检验。人类生物学1952;24（3）：201.[9]Castillo-Chavez C，Yakubu 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IEEE计算机和通信学会第二十二届年会（IEEE目录号03CH37428）。 3，IEEE; 2003，p. 1869-79年。
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