Musielak函数定义的p-度量空间上的φ2（F）序列空间及其拓扑性质

、∈Journalof the Egyptian Mathematical Society（2016）24，233埃及数学学会埃及数学学会会刊www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate原创文章Musielakp-度量空间上的整序列C. Murugesana，N. 萨勃拉曼尼亚湾a数学系，SATHYABAMA大学，Chennai 600 119，印度b印度Thanjavur 613 401，SASTRA大学数学系接收日期：2014年12月13日;接受日期：2015年2月11日2015年4月11日在线发布1. 介绍本文在由Musielak函数定义的p -度量空间上引入了φ2（F）序列空间的Fibonacci数，并研究了所得空间的一些拓扑性质。2010年数学学科分类： 40A05; 40C05; 40D05版权所有2015，埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。Mu（t）：=. （xmn）∈w2：s upmn∈N|xmn|tmn<∞n，Cp（t）：=. （xmn）∈w2：p−limm，n→ ∞|xmn−|tmn=1对于任何∈C，在整个w中，和Λ表示所有，整个和一个的类解析纯量值单序列。C0p（t）：=. （xmn）∈w2：p−limm，n→ ∞|xmn|tmn=1Ω，∞ ∞对于所有复序列的集合（xmn），我们写w2，其中m， n N，正整数的集合。那么，w2是线性空间在坐标加法和标量乘法下。Lu（t）：=.（xmn）∈w2：.m=1。n=1|t mn ∞ n，|tmn <∞Σ,一些关于双序列空间的初步工作在布罗姆维奇[1]。后来，Hardy[2]，Moricz[3]，Moricz和Rhoades[4]，Basarir和Solankan[5]，Tripathy等人进行了研究[6我们获得以下双序列集∗通讯作者。电邮地址：prof. gmail.com（C.Murugesan），nsmaths@yahoo.com（N. Subramanian）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier关键词解析序列;二重序列;整序列空间;Fibonacci数;Musielakp-度量空间MCMCC¨MC CL CCMC CL CCCbp（t）：=Cp（t）Mu（t）和C0 bp（t）=C0 p（t）Mu（t）;其中t=（tmn）是严格正实序列tmn，对所有m， n∈N和p−limm， n→∞表示普林斯海姆意义下的极限当tmn=1时，n∈N;u（t），p（t），0 p（t），u（t），bp（t）和0bp（t）减少到分别设置u、p、0p、u、bp和0bp现在，我们可以总结一些文献中给出的关于双序列空间的知识。Go Khan等人[27，28]已经证明，u（t）和p（t），bp（t）是二重序列的完备赋范空间，并得到了空间u（t）和bp（t）的α -，β -，γ-范数.最近，在她的博士论文中，Zeltser [29]基本上研究了拓扑双序列空间的理论和双序列的可和性理论。Mursaleen等人[30- 3 5 ] 独 立 地 介 绍 了 统 计 收 敛 和 柯西S1110-256X（15）00021-8 Copyright 2015，Egyptian Mathematical Society.制作和主办：Elsevier B.V. 这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2015.02.002234C. Murugesan，BS BS CS CS CSBVMM C C CL∞ρL∞ρ===..... .（，），∈N∈→∞≤≤∞byRobison和Hamilto=n..=K4∞∞i，j=0= ≤∞并建立了统计收敛与强Cesàro可和二重序列之间的关系。[36]阿尔泰和巴斯·巴扎[36]已经定义了空间、（t），p，bp，r和的二重序列，它由部分和序列为（iii）对于所有u≥0，且0<λ 1，M（λ u）≤λM（u）。（1.4）Lindenstrauss和Tzafriri[43]利用Orlicz函数的思想构造了Orlicz序列空间在空间u中，u（t），p，bp，r和u，分别，和研究了这些序列空间的一些性质，并确定了BS，BV，CSbp空间的α-ε和CSbp，CSr空间的β（ε）-ε。下伊萨尔4M=.x∈w：.k=1M.|XK|Σ< ∞，f或某些ρ> 0∞.和Sever[37]引入了双线性Banach空间Lq，空间4M与范数序列对应于著名的空间4q的单序列，并检查了空间q的一些性质。最近Subramanian和Misra[38]研究了二重序列空间χ2（p， q， u），并证明了一些包含x.ρ>0：.k=1M.|XK|Σ≤1μ g，M关系关于模的强Cesàro可和序列类由Maddox[39]引入，作为强Cesàro可和序列定义的扩展。Cannor [40]进一步将这一定义推广到关于模的强A-可和性的定义，其中A（an，k）是非负正则矩阵，并建立了强A-可和性、关于模的强A-可和性和A-统计收敛性之间的联系。在Pringsheim[41]中，四维矩阵trans-to-trans-to对于（Ax）k，4=.∞m1。对∞n1amnxmn w进行了详细的研究成为一个Banach空间，被称为Orlicz se-序列空间对于M（t）t p（1）p<），空间4M与经典的序列空间4p相一致。模函数序列f （ fmn ）称为Musielak 模函数。 序列g（ gmn）定义为：g mn（v）= sup{|v|u − f mn（u）：u ≥ 0}，m，n = 1，2，. . .称为Musielak模函数f的补函数。对于给定的Musielak模函数f，定义Musielak模序列空间tf，通过在本文的续篇中，我们需要下面的不等式。对于a， b，≥0和0p<1，我们有<（a+b）p≤ap+bp。（一、一）dou ble系列∞m，n=1xmn被称为convergent，如果且tf=. 2）x=0（|xmn|1/m+n→0，当m，n→∞时，其中If是凸模，定义为（1）x=0，y =0，|xmn|）1/m+n，x=（xmn）∈tf.m=1n= 1仅当双序列（smn）收敛时，其中smn=m，ni，j=1x ij（m，n∈N）.我们认为tf具有一 个 序 列 x= （ xmn ） 称 为 重 解 析 的 ， 如 果 supmn|xmn|1/m+n<∞。所有双分析序列的向量空间将由Λ2表 示。序列x=（x mn）是d（ x， y）=supmn.我在f∞ ∞m=1n= 1fmn.|xmn|1/m+nMN≤1μ m。称ddou blegai序列，如果|xmn|1/m+n→0asm，n→∞. 双gai序列将由n2表示。令φ=奇兹马兹（Kizmaz）[44]引入了差序列空间（用于单个序列）的概念，如下所示：{all l finite sequences}.thZ（n）= {x=（x）∈w：（nx）∈Z}，考虑一个双重序列x=（xij）。（m， n）截面k kx[m，n]的s序列定义为dyx[m，n]=。m，n xi jIi jforallM∈其中，Iij表示仅非零项为1 在第i j位，对于每个i j。（i+j）！kN。这里是c，c4∞表示收敛类，null称FK-空间（或度量空间）X具有AK性质，如果（Imn）是X的Schauder基。或等效地x[m，n]x.FDK空间是一个双序列空间，一个完全可度量化的局部凸拓扑，坐标映射x=（xk）→（xmn）（ m， n∈N）也是和有界标量值单序列。在情形1中引入并研究了经典空间4p的差序列空间bvp<<空间c（n）， c0 （n），4（n）和bv p是赋范Banach空间，连续的设M和M是互余模函数.然后，我们有x|X1| +supk≥1|阿克斯克|和xbvp=.∞k=1|p |p1/p，（1 ≤p<∞）.(i) 对于所有u， y≥0，uy≤M（ u）+n（ y），（ Youngr不等式）对于Z=c， c0和4∞，其中对于所有Musielakp-度量空间上的整序列235[参见Kampthan et al. ，[42]。(ii) 对于所有u≥0，（1.2）后来，许多人进一步研究了这个概念我们现在引入以下差分二重序列空间，定义如下：Z（λ）=. x=（xmn）∈w2：（xmn） ∈Z<$，哪里Z=Λ2，χ2且xmn=（xmn−xmn+1）−uη（ u）=M（ u）+n（η（u））。（一、三）（xm+1 n−xm+1 n+1）=xmn−xmn+1−xm+1 n+xm+1 n+1对所有m，n∈N。广义差双非-236C. Murugesan，- −+=={}ǁǁǁǁ.∞∈∈..K4..-是的.⎟K4=+≥..Fk，4j=0i=0时我k，4mn），其中p1n11nnp11k，4以下三个条件成立：（1）A（一、），。. .、（ n，））pα（1）一、），。. .、对于每个k，mn=0=1，=2K4n=1a mn=1。K4K4m，n=1.∞Σ=->，4=，，. . .∞ ∞Mntion具有的以下代表性：mxmn=m−1xmn和也这广义差异双重不-tion 具有 的 以下 二项式 代表性：下面的双序列的规则性的四维模拟，其中两者都添加了有界性的附加假设。这一假设是因为P-收敛的二重序列不一定是有界的.mx=.M .M（−1）i+j。M- 是的 我的天。设λ和μ是两个序列空间，A=（amn）是ak，42. 定义和分类设n∈N，X是维数为的实向量空间w，其中n≤w。 一个实值函数d（x，. . .，x）=m，n，k，4∈N.然后，我们说A定义一个矩阵映射，λ变成μ，我们记为A：λ→μ，如果对于ev-y序列x（xmn）λ的A-变换序列Ax（ Ax）k4在μ中.用（λ：μ）表示所有矩阵A使得A：λ→μ的类。因此A∈（λ：μ）当且仅当级数对每个k，4∈N收敛。序列x被称为（d1（x1，0），. . . ，dn（xn，0））p满足以下四个条件：A-x的极限。（i）n（d（x，0），. . .，d（x，0））= 0当且仅当d（x，0），引理2.2. 矩阵A=（mn）是正则的，当且仅当. . . ，dn（xn，0）线性相关，(ii)（d1（x1，0），. . . ，dn（xn，0））p在置换下不变，(iii)ǁdx 0d X 0 =||10d x 0d（1）存在M0，使得对每个k1 2，下面的不等式y成立：∞m1。∞n1|一个mn|≤M;（xn，0））np，α∈R1），（=（n））2）、. .. ，（二、k，4→∞k4Xpm=1n）的X2，. .. 、X一、，4=K4，。. .+dY（y1，y2，. . . ，y n））f或1≤p<∞;（或）设（q_mn）是一个正数序列，(v) d（（x1，y1），（x2，y2），. . 、.、 （xn，yn））：= sup {d X（x1，x2，. . 、.、xn），dY（y1，y2，. . . ，y n）}，k4对于x1，x2，. . . ，xnX，y1，y2，. . . ，ynY称为n -度量空间的笛卡尔积的p-积度量是n-子空间的范数的n -向量的p -范数。度量空间的p-乘积度量的一个平凡例子是Qk4 =qmn（k，4 ∈ N）.（2.1）m=0n= 0然后，Riesz平均的矩阵Rq=（rmn）q由下式给出：p-范空间是X=R，具有以下欧几里得乘积空间中的度量是p-范数：锰qk4qmnQk4如果0≤m，n≤k，4，（二、二）n（d1（x1，0），. . . n（x，n，0）=0（|d et（d mn（x mn，0））|）=的0如果（m， n）> k4，⎛超级大-是的d11（x11，0）d12（x12，0）. . .d1 n（x1 n，0）d21（x21，0）d22（x22，0）. . .d2 n（x1 n，0）.··⎞.，. ⎠的斐波那契数字是的序列的由线性递归方程定义的数fmn（k，4， m， n∈N） f00 1和 F11 1，f mn fm−1，n−1fm−2， n−2; m， n二、Fibonacci数有许多有趣的性质和应用。艺术、科学和建筑方面的成就此外，Fibonacci数的一些基本性质如下。. d n1（x n1，0）d n2（x n2，0）. . .d nn（x nn，0）.. .其中xi=（x ）∈ Rn，其中i= 1，2，. . . ，n.k=14= 1 在，。.. 得双曲余切值.I1若X中的每个柯西序列都收敛于某个L∈X，m n则称X关于p-度量是完备的。任何完备p-度量空间都称为p-Banach度量空间.2m，nk=14= 1=fm， nfm+1，n+ 1;m， n≥ 1，定义 2.1. 让 A=（amn）表示 一 四维.∞k1.∞11 F收敛。映射复二重序列的可和性方法x转换为二重序列Ax，其中Ax的第k，4项为4分钟K4本文定义了Fibonacci矩阵F=（fmn）∞，k4m， n=1如下所示（Ax）k 4 =. .Mn × Mn，..R⎜MNJm+ i，n+j四维无限实数矩阵（a是A-可和到α，如果Ax收敛到α，称为n(2)Lim(iv)D p（（x1，yX yX y（d）X（(3)limk，4→∞fm， n=fm+2，n+ 2−1;m， n≥1，=Musielakp-度量空间上的整序列237FK4锰钾m=1n= 1利用Fibonacci数fk4对已有的Fibonacci矩阵进行了证明，并引入了一些新的序列空间χ2 和Λ2。 现在，我们定义斐波那契矩阵F=（f mn）∞，由如果MN是非负的，阴性.Σ⎧⎨fk4f（k+2）（4+ 2）−1如果0≤k≤m;0≤4≤n给出了二维矩阵变换的正则性概念由Silverman和Toeplitz提出。继西尔弗曼和托普利茨之后，罗宾逊和汉密尔顿提出了也就是说，如果（m， n）> k4，则为0=238C. Murugesan，⎜M⎜⎟⎜⎝ǁMMM ǁǁM12n−1保持。MMM一千万。. .⎞22F（x）对于所有x∈[x ~2F，x ~ 2（d（x~ 1，0），d（x~2，0），. . . ，d（xn−1，0））p]=M ǁǁ11000。. .⎜ ⎟40的情况。..[1，2， 3，4，5，6，7，8]，（d（x1，0），d（x2，0）. . . ，d（x n−1，0））p]，是双阶的。并且通过定理3.1中的（2.5）保持度量。1144⎜11200 . ..2 3⎟因此[102F，103（d（x1，0），d（x2，0），. . . ，d（xn−1，0））p]=[2，（d（x1，7 7 7 7...... . .⎟⎠0），d（x2，0），. . .，d（xn−1，0））p]。 同样，可以建立其他空间。Q从引理2.2可以得出方法F是正则的。设M是Musielak模函数。介绍了基于四维无穷大的序列空间矩阵F：F，n（d（x1，0），d（x2，0），. . . ，d（x n−1，0））p= F η（x）定理3.2. 列入[1，2，3，4，5，6，7，8]. . . ，d（x，0））n]n [n2 F，n（d（x，0），d（x2，0），. . . ，d（xn−1，0））np]和[Λ2，n（d（x1，0），d（x2，0）]. .∞.∞Σ ..ΣΣΣΣ，。. . ，d（x n−1，0））<$p]<$[Λ2 F，<$（d（x1，0），d（x2，0），. . . ，d（x n−1，0））=sup. 1.一、∞.∞M.fmn|X|1/m+n,- 是的d（x 1，0），d（x 2，0），. . . ，d（xn−1，0）<$p<$$><$<∞<$，（k，4 ∈ N）.考虑度量空间[~2F，（d（x1，0），d（x2，0），. . . ，d（x n-1，0））p]，K4pM=supk41MFMN|xmn|1/m+n，n=d（x 1，0），d（x 2，0），. . . ，d（xn− 1，0）pm=1n= 1<∞K4f（k+2）（4+ 2）−1m=1n= 1K4MNMusielakp-度量空间上的整序列239MK4M⎜⎟ ⎜⎟证据由于F是一个规则的四维无限矩阵，所以ΣΣ. Fη（x）。≤f（k+2）（4+ 2）−1Mfmn|xmn|1/m+n，n=d（x 1，0），d（x 2，0），. . . ，d（xn−1，0）p≤fk22 −1M F K4| xmn|，d（x 1，0），d（x 2，0），. . . ，d（xn−1，0）p（0））p]。 因此，我们得出结论：[M，M（d（x1，0），d（x2，0），. . . 、d（x n−1，0））p][2 F，（d（x1，0），d（x2，0），. . . ，d（x n−1，0））MM包容[n =2，n（d（x1，0），d（x2，0），. . . ，d（xn−1，0））<$p]<$[<$2 F，<$（d（x1，0），d（x2，0），. . . ，d（xn−1，0））<$p]是显而易见的。2F−10000的情况。..00000的情况。..10000的情况。. .00000的情240C. Murugesan，现在，设x =（x mn）∈ [Λ2 F，n（d（x1，0），d（x2，0），. . . 、d（ xn−1，0））p]。 然后有一个常数M>0，使得d（x，y）=s upk4. M.Fη（x）−Fη（y）n=m，n=1，2，3，... . . -是的（二、三）|1/ m+n|1/m+nMusielakp-度量空间上的整序列241对于所有的m，n ∈ N ≤ M。因此，对于每个k，4∈N。242C. Murugesan，M ǁǁM ǁǁMMMFMN|xmn|1/m+n，n=d（x1，0），d（x2，0），. . . ，d（xn1，0）npd（x1，0），d（x2，0），. . . ，d（x n−1，0）p=0，（k，4∈N）.MMMMMM... 1.一、K .4Σ ..ΣΣΣΣM，n（d（x1，0），d（x2，0），. . . ，d（x n−1，0））p=零Musielakp-度量空间上的整序列243=Fμ（ x）=limk，4→∞m=1n= 1. .∞.∞Σ ..ΣΣΣΣ.M.K .4Σ.MN1/m+n.ΣΣΣΣ244C. Murugesan，m=1n= 1=limK4.1.一、∞.∞M. fmn|X−Musielakp-度量空间上的整序列245|1/m+n,<∞，（+）（4+）m=1n= 1246C. Murugesan，m，n→∞f（k+2）（4+ 2）−1Musielakp-度量空间上的整序列247m=1n= 1K4MN证明了F X∈ [f（x，0），d（x，0），. . .，d（x，248C. Murugesan，.ΣΣΣΣM122n−1Musielakp-度量空间上的整序列249⎜⎟ ⎜......f（k+2）（4+2）−1m=1n=1K4M⎜⎜⎜⎟ ⎜Fx1。K.4[Mfmnx1/m+n考虑度量空间[1]2F，（d（x 1，0），d（x 2，0），. . .，d（x n −1，0））p]，则Ricd（x，y）=s upk4. M.Fμ（x）−Fμ（y）=m，n=1，2，3，. . . -是的（2.4）3. 主要结果[2008年12月]。 QExample. 考虑序列⎛x=（xmn）=0⎜250C. Murugesan，⎟....⎟⎞ ⎛ ⎞你，你，⎟ ⎜ ⎟