Fuzzy映射不动点定理的注记及证明

ðÞFðÞ2y2C1/2层2层2层3层a2 Ab2BJournalof the Egyptian Mathematical Society（2016）24，73埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章关于Fuzzy映射不动点定理的一个注记R. 莫汉拉杰印度Tirunelveli地区Anna大学区域中心数学系，Tirunelveli 627 007接收日期：2014年5月26日;修订日期：2014年7月13日;接受日期：2014年2015年2月11日在线发布本文证明了完备度量空间中压缩型Fuzzy映射的一个公共不动点定理，这是Cho（2005）[1]的结果。进一步给出了Cho（2005）[1，Theorem 3.1]和Park and Jeong（1997）[2，Theorem3.2]的结果的一个例子，这些结果不满足条件AMS数学子分类：47时10分; 54时25分？2015制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 引言和附录设X是度量空间.多值映射T：X！2X被定义为x2Tx，对于某个x2X。设C_B_X_B表示X的所有非空闭有界子集的集合。多值映射T：X！ 称为压缩映射，如果存在q 2 <$0; 1 <$，使得HTx;Ty6qdx;yfor allx;y2X;其中，CB_x_x上的Hausdroff度量H_A;B_x由下式给出：HA;BA;BA;BA;BG;其中dx;Cinfdx;y对X的任意非空闭有界子集A，B，C对于任意点x2X.电子邮件地址：vrmraj@yahoo.com同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：ElsevierX中的模糊集是定义域为X且值在[0，1]中的函数如果A是一个模糊集，且xX，则函数值Ax称为x在A中的隶属度。设X是的收集的所有模糊集对X 和让aAxX：AxPa表示A X的a截，A的零截为已定义作为的闭合 的的 集合fx2X：A_（x）>0g.一个从X到F<$Y<$的映射F称为模糊映射，如果对于每个x 2 X; F是Y上的模糊集，Fy表示y在F中的隶属度。设X是度量线性空间，W_1 ~X_n表示X上所有模糊集的集合，使得它的每个a-割都是非空紧凸子集（近似量）X。一个从X到W_nX_n的模糊映射F称为模糊压缩映射，如果存在q2 <$0;1 <$，使得D<$F<$x<$;F<$y<$$>6qd<$x;y<$x;y2X;其中，D=A;B=A;A=B定义paA;Binfx2aA;y2aBdx;y和p<$A; B<$= sup ap <$A; B<$对于任意模糊集A; B 2W <$X<$. 已知p a是a的非减函数。Heilpern[3]首先引入了Fuzzy映射的概念，并证明了Fuzzy压缩映射http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.07.0041110- 256 X？ 2015制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表关键词不动点;模糊集;压缩模糊映射;公共不动点一22K¼22ð ÞF1[2]22174河莫汉拉杰不动点定理”[4]《明史》。 [15]吴宗宪和吴宗宪，曾先后在《明史》和《明史》中一对广义模糊压缩映射的一个8>a;06z6x=25a;x=25z6x= 10<8>>a;06z6x=20a;x=20z6x= 10：0;z>x=10>：0;z>x=10模糊压缩映象的Nadler不动点定理在较弱条件下的推广.进一步Vijayaraju和Marudai[7]推广了Bose和Mukerjee的结果[8]关于完备度量这里，1Fx1Gxf0g和aFx1 / 20;x=25]和aGx1 /2半0;x=20]DFx;Gy;supaHaFx;aG y; jx=20-y= 25j空间.这些结果的意义在于假定6个p211/2jx-x=25j：jy-y= 20j jy-y= 20jjx-yj]2而 不 是 X 的 Akbar Azam 和 Muhammad Arshad[9] 证 明 了Vijayaraju和Marudai[7，定理3.1]的结果是不完全的，并在正 确 的 方 向 上 修 正 了 证 明 。 本 文 利 用 Vijayaraju 和Marudai[7]的概念证明了Cho[1]关于完备度量空间中压缩型 Fuzzy 映 射 的 一 个 公 共 不 动 点 定 理 。 进 一 步 给 出 了Cho[1，定理3.1]和Park和Jeong[2，定理3.2]中不满足条件x;y2X2. 主要结果Nadler[4]的引理是我们结果的关键。引理2.1[4]. 设A;B2CB是度量空间，则对每个a2A;k>0，存在一个元素b2B，对于x，y，F和G满足定理2.2的所有条件，并且0是F和G的公共不动点。对于xx1;y0。同样，定理2.3的条件<$ωω <$也不成立从上面的例子中，我们观察到定理2.2对于假设所有x X和X中所有非零值y的条件成立，定理2.3对于假设所有非零值x;y X的条件成立。其次，由于Cho[1]的结果，证明了Fuzzy映射的一个公共不动点定理。定理2.5[1]. 让F;G：X！W∈X∈ X是满足下列条件的模糊映射：存在a;b>0使得a∈b 1，<1apy;Gy½ 1px;Fxpx;Fx]2that d a; b6 H A; Bk.D/F x;Gy/612dx;ybdx;y;Cho[1]，Park和Jeong[2]在完备度量空间中证明了在压缩型条件下从X到W X的以下是─ing示例显示条件对于所有的x; y 2 X. 则F和G有一个公共的固定点。定理2.6. 设X是完备度量空间，对于结果[1，定理3.1]和[2，定理3.2]。定理2.2[1]. 让F;G：X！W∈X∈ B是满足下列条件的模糊映射：存在k2∈ 0;1 ∈C，和F2是从X到X的模糊映射，满足下列条件：测试条件：(i) 对于每个x;y2X，存在一个[x<$;a<$y <$2<$0;1]，使得axFx和ayFy是非空的闭有界子空间，的K(ii)11 2X的集合D-1000;Gy-1000p2fpx;Fxpy;Gypy;Gydx;yg2ωHðaðxÞ F1-10x-100;一个令人愉快的人F2双排轮1对于所有的x; y2 X.则F和G有一个公共的固定点。定理2.3[2]. 让F;G：X！ W∈X∈是满足以下条件的模糊映射：存在k 2 ∈ 0; 1 ∈，使得D<$Fx;Gy<$6kfp<$x;Fx<$p<$y;Gy<$g2<$ω <$对于所有的x; y2 X.则F和G有一个公共的固定点。例如 2.4. 对于x;y2X;dx;yjx-yj;a20;1]。定义F;G：X！WX by6a1dy;ayF2y½f1dx;axF1xgdx;axF1x]21天 2天x;y其中a1;a2> 0且a1≤a2<1。则存在z2 X使得z2a<$z<$ F1 <$z<$\a<$z<$F2<$ z<$。证据 让x0的X.然后通过条件(i)、那里存在10;1使得1F1x0是X的非空闭有界子集。选择x12 a1F1x0。8>1;z¼08>1;z¼0G0 z对于这个x1，存在一个2 2<$0;1]使得一个2F2<$x1<$是X的一个非空闭有界子集。由于1F1x0和a2Fx是X的非空闭有界子集，>：0;z>1=50>：0;z>1=100引理2.1，存在x22a2F2<$x1<$，使得2002年2月20日，FxzGxzF1;0z6 1= 50<1= 4; 0z6 1= 100<261ð12个半小时[1千克/升]61ð12个半小时1千克[1]¼[2]Hxy121Fx;Fy6FG8><8><2N24012n12n212N22n112142F1xza;x=156z6x= 2F2xz;x=86z6x= 201关于Fuzzy映射不动点定理的注记75d x1; x26 Ha1 F1 x0;a2 F2 x1 a2adx;aFx½f1dx;aFxgdx;aFx2611210110011[0张图片]212dx;xa2dx0;x1a2011adx;x1dx;x dx;x212dx;xa2dx0;x1a2011adx;x21dx;x dx;x212dx;xa2dx0;x1a26a1dx1;x2½12dx0;x1]adx;xa1天 2天2 01 2¼a1dx1;x2a2dx0;x1a2：因此d<$x1;x2<$6a2 dx0;x1a2¼kdx0;x1k，推论2.7。设X是完备度量空间，其中k为2。1-a11-a11-a1和f2是从X到F <$X<$满足条件的模糊对于这个x2，存在一个30; 1使得3F1x2是X的一个非空闭有界子集。因为a3F1<$x2<$和a2F2<$x1<$是X的非空闭有界子集，所以存在x32a3F1<$x2<$，使得d x2; x36 Ha3 F1 x2;a2 F2 x1 a2我们将获得d x2; x36kd x1; x2 k26k2dx0;x12k2：继续这个过程，Xn的X使得定理2.6的条件（i）和3aady;ayFydx;axFx]41天 2天x;y2002年2月20日，其中a1;a2> 0且a1≤a2<1。则存在z2X使得z2a <$z<$F1 <$z<$\a<$z<$F2<$z<$。示例2.8. 令X1/20;1]。对于x;y2X;dx;yjx-yj，a;b2=0;1]。 定义F1;F2：X！FXby对于x1/40，x2n12a2n<$1F1<$x2n<$andx2n<$22a2n<$2F2<$x2n<$1<$和F10z1;z¼ 01;0z6 1= 50<2F20 z1;z¼ 01= 4; 0z6 1= 100：0;z>1=50>：0;z>1=1006kdx2 n;x2 n1k2 n16.6k2n1dx0;x12n1k2n1：因此，对于每个n 1; 2; 3...d xn; xn16 kn d x0; x1 nkn：对于x8>a;06zx=15>：0;z>x=28>b;06zx=8B>：0;z>x=2由于k1，从柯西<收敛，因此fxng是X中的柯西序列，则在这里，如果一个1，存在z2 X使得xn！ Z是N！1.一、aBFxFx½0;x=2]d z;az F2z6d z; x2n1 d x2n1;az F2z6dz;x2n1Ha2n1F1x2n;azF2zadz;azFz½f1dx;aF xdF x1ÞÞ]6122 N2 n112N2 N2 n112 N2d z; x 2 n 1a2d！ 0 asn！一曰：因此z2azF2z。类似地，z2a<$z<$F1<$z<$。因此z2a<$z<$F1<$z<$\a<$z<$F2<$z<$。H12dx2n;z对于x¼y;HaxF1x;ayF2y¼0。对于x-y22112¼¼76河莫汉拉杰HðaðxÞF1-10x-100;一个令人愉快的人F2双排轮<11=5jy-y=2j½1jx-x=2jjx-x=2j]212jx-yj3= 4jx-yj[2] J.Y.帕克，J.U.郑明，模糊映射的不动点定理，模糊集系统，87（1997）111-116。[3] S. Heilpern，Fuzzy映射与不动点定理，J. Math. Anal. 83（1981）566-569。[4] S.B. Nadler，多值压缩映射，Paci fic J. 数学因此，F和G满足定理2.6的所有条件，取值a11= 5和a23=4，0是F和G的公共不动点。确认作者感谢裁判员的宝贵意见和建议。引用[1]赵成勋，模糊映射的不动点定理，J。应用数学计算19（2005）485-492。30（1969）475-488。[5] R.K. Bose，D.李文辉，模糊映射与不动点定理，《模糊集系统》，21（1987），53-58。[6] M. 丸 大 ， P.S. Srinivasan ， Some remarks on Heilpern'sgeneralization of Nadler's fixed point theorem，J. Fuzzy.数学12（1）（2004）137-145。[7] P. Vijayaraju，M.李明，模糊映射的不动点定理，模糊集系统，135（2003）401-408。[8] R.K. Bose，R.M.李明，多值映射的公共不动点，国立台湾大学数学研究所硕士论文，1997。[9] Akbar Azam，Muhammad Arshad，关于模糊映射不动点定理的注记，P.Vijayaraju和M。Marudai，Fuzzy Sets Syst.161（2010）1145-1149.