自适应B样条体表示的BRDF数据用于真实感绘制

þþHOS T E D B Y可在www.sciencedirect.com网站上查阅计算设计与工程学报2（2015）1www.elsevier.com/locate/jcde用于真实感绘制Hyungjun Parka，n，Joo-Haeng Leeba韩国光州501-759朝鲜大学工业工程系b电子和电信研究所，大田305-350，韩国接收日期：2014年4月21日;接收日期：2014年7月20日;接受日期：2014年7月21日2014年12月6日在线发布摘要测量的双向反射分布函数（BRDF）数据已被用来表示复杂的光和表面材料之间的相互作用，用于真实感绘制。然而，它们庞大的尺寸使得它们很难在实际的渲染应用中采用在本文中，我们提出了一种自适应方法的B样条体表示的测量BRDF数据。它基本上执行近似B样条体积放样，将问题分解为沿u-，v-和w-参数方向拟合多个B样条曲线的三个子问题。特别是，它使得在多个B样条曲线拟合的节点的有效使用，从而实现自适应节点放置沿每个参数方向的产生的B样条体积。该方法在有效去除噪声的同时，较好地保持了BRDF数据的整体特征。通过对真实材料的B样条体模型进行绘制，证明了B样条体模型能够有效地保持材料的外观特征，适合于表示BRDF数据。&2015 年 CAD/CAM 工 程 师 协 会 。 由 Elsevier 制 作 和 主 持 。 这 是 一 个 在 CC BY-NC-ND 许 可 证 下 的 开 放 获 取 文 章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/）。关键词：B样条体;测量BRDF;近似体放样;自适应节点放置;数据简化1. 介绍双向反射分布函数（BRDF）是一个基本的辐射概念，它模拟了光与表面材料之间的反射方向特性[1，2]。在计算机图形学中，BRDF已被广泛用于真实感表示材料外观。虽然在建立表面反射率方面已经有了大量的工作，但是建立BRDF模型仍然是一个活跃的研究课题自从Phong模型[3]首次引入以来，已经提出了各种BRDF模型，以克服其他模型的缺点或实现不同的目标，如准确性，计算效率，可控性，通用性和数据大小的紧凑性。BRDF模型的良好描述可以在[1- 5]中找到n通讯作者。联系电话：传真：82 62 230 703982 62 230 7128。电子邮件地址：hzpark@chosun.ac.kr（H. Park）。同行评审由CAD/CAM工程师协会负责基于物理的渲染旨在通过更精确地考虑光学的各种物理特性来模拟光和材料的相互作用，以增强合成图像的真实感[1，2]。最近，有强烈的要求，以很高的精度，不能很容易地实现与现有的建模技术的材料外观模拟复杂的材料性能。测量技术的进步使得使用测角仪精确地获得真实材料的反射特性成为可能[6显然，使用测量的BRDF数据已经成为简单现象学模型的替代方案之一。例如，测量的BRDF数据被积极用于时尚，消费电子和汽车行业的虚拟原型设计，以可视化复杂的真实材料[9，10]，并用于电影行业的VFX，以表达数字双打的精致纺织材料[11]。为了应用于此类应用，测量的BRDF数据应存储为简单的表格形式或适合更复杂的表示。由于测量的BRDF数据是http://dx.doi.org/10.1016/j.jcde.2014.11.0012288-4300/2015 CAD/CAM工程师协会。&由Elsevier制作和主持。这是一个在CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/）。2H. 帕克，J. -H. Lee/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）1.Σωo<$θo;o。如果BRDF可以定义为fθo; θi;θd哪里1/4 j- j通常是巨大的，甚至是有噪声的，更优选的是计算适当的数学模型，其近似数据并平滑数据中的噪声。当BRDF数据以表格形式使用而不进行压缩时，其大小会在生产环境中引起严重问题。例如，在单一材料的完整BRDF数据集的情况下，其存储大小从33兆字节变化到750兆字节，这甚至对于不仅在存储器中而且在网络上因此，它是非常重要的，以开发一个紧凑的表示方案，忠实地保留数据的整体特征。一般的方法是通过一个具有一小组控制参数的分析模型来近似测量的BRDF数据[12]。然而，由于大多数分析模型是由非线性函数定义的，因此需要采用非线性优化算法来估计基本参数。显然，这种非线性优化方法有几个缺点。根据Ngan等人的研究[12]，大多数通过非线性最小二乘拟合获得的分析模型无法表达所有的反射特征，如广义漫射、后向散射、非镜面反射和菲涅耳效应。为了获得更好的结果，需要增加波瓣的数量或参数复杂度，这通常不仅增加了解决非线性优化问题的难度，而且增加了从拟合模型中评估BRDF值为了减少测量的BRDF数据的大小，同时保持数据的准确表示，已经提出了许多替代方法。施勒德和斯韦尔登斯[13]使用球面小波来表示反射函数。一些研究小组使用基于多项式的分析模型。Koenderink等人[14]使用Zernike多项式表示BRDF数据，Ozturk等人[15]通过与主成分分析相结合的多项式函数表示漫射和光泽BRDF数据。在使用基于多项式的分析模型的大多数情况下，需要更高阶的多项式来精确拟合一些复杂的数据。包括Lawrence等人[16]在内的几个研究小组已经研究了将大型BRDF数据集分解为更紧凑，更易于管理的形式的技术。在所有情况下，四维（4D）各向异性BRDF被分解为可以表示为纹理图的二维（2D）函数的乘积。在大多数情况下，因子分解不像原始测量的BRDF数据那样准确。最近，Kurt和Cinsdikici[17]提出了一种新的BRDF模型，该模型使用神经网络SOM和MAN来表示测量的BRDF数据。十 多 年 来 ， B 样 条 一 直 是 计 算 机 辅 助 几 何 设 计（CAGD）领域中表示曲线和曲面的事实上的工业标准之一[18，19]。众所周知，高次多项式模型处理起来效率不高，而且拟合起来在数值上不稳定[18、19]。由于B样条由分段多项式定义对于B样条曲线或曲面的测量数据拟合，如何应用B样条体拟合进行绘制的研究相对较少。Lee和Park [20，21]提出了一种用于各向同性测量的BRDF数据的B样条体积表示的方法。当给定数据的值平滑变化时（即，对于漫射或中等光泽的材料的BRDF数据），但是当数据值快速变化或具有被认为不是异常值而是特征的尖峰时（即，对于光泽或镜面材质的BRDF数据）。在随后的工作中，以简短的说明[22]的形式，他们创造了自适应放置产生的B样条体的节点的想法，作为减轻缺点的一种方式。在本文中，我们巩固了[22]中提出的思想，并提出了一种自适应方法，用于测量BRDF数据的B样条体表示。该方法基本上执行近似B样条体积放样，它将问题分解为沿u-，v-和w-参数方向的多个B样条曲线拟合的三个子问题特别是，它有效地利用了多重B样条曲线拟合中的节点，并在B样条体的每个参数方向上利用主列实现了节点的自适应布置。得到的B样条体称为B样条体BRDF（以下简称BVB），成为测量的BRDF数据的紧凑但准确的表示。我们表明，该方法是非常有用的，实现有效的数据减少，同时平滑噪声和保持BRDF数据的整体特征。通过应用真实材料的BVB模型进行渲染，我们还表明BVB模型在保持材料外观特征方面是有效的，并且适合于表示来自广泛材料（即，不适用于漫反射和中等光泽的材料）。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们解释了一些与BRDF相关的术语。在第3节中，我们提出了BVB模型拟合的自适应方法。 在第四节中，我们描述了BVB模型在真实感绘制中的应用。在第5节中，我们解释了实验结果，表明BVB模型是适合BRDF表示，并有助于增强渲染过程。最后，我们在第6中对本文进行了总结。2. 与BRDF2.1. 测量的BRDF数据对于两个单位向量ωi和ωo，表示表面点p处光线的输入（或入射）和输出（或反射）方向，BRDF是沿ωo的反射辐射率与沿ωi入射到点p上的辐照度的微分比[1，2]。在球坐标系中的点p处，BRDF定义为ffθo;ωi;θi韦河eωi<$θi;i，它们可以克服基于多项式的模型虽然已经提出了许多有用的方法然而，这样的BRDF被称为各向同性.否则就是称为各向异性。如图1所示，各向同性H. 帕克，J. -H. Lee/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）13¼ ¼¼2¼¼¼i; j;kBRDF是3D而不是4D。各向异性材料的例子包括拉丝金属和天鹅绒。大多数普通材料都是各向同性的。在本文中，我们只处理各向同性BRDF。基于图像的测量设备由于其相对简单的配置而被积极使用[6当特殊光源沿着目标材料的球形样品旋转时，数码相机在每个光位置处捕获样品的图像经过后处理，我们可以得到一个各向同性的BRDF数据集，它以简单的表格形式存储（以下简称TBF）fi;j;k<$fθi<$ai; θo<$bj;d<$ck1测量的BRDF数据如下：F <$ffi;j;kjiA ½0;：：;imax];jA ½ 0;：：;jmax];kA ½ 0;：：;kmax] g 2图2示出了从各种材料获得的测量的BRDF数据集的等值网格。在图中，等网格以球坐标系中的特定入射角显示。当每个颜色坐标被编码为四个字节并且测量步长对于每个维度是1度时（即， Imaxj max90，k max360），测量的BRDF数据每种材料的大小达到70兆字节。这是一个非常大大小为离线和实时渲染器。因此，我们其中，i;j;k≤A ½0;：：;iMax] ~½0;：：;jMax] ~½0;：：;kMax.的角度有兴趣开发一种新的表示方案，需要小的存储，同时保留反射功能值ai，bj，ck定义如下：ai2i=imax，bjπj=jmax，ck2πk=kmax.当使用RGB三元组时，每个BRDF数据元素应该是三种颜色的矢量原始材料。坐标 作为 如下所示： fi;j;k½frgi;j;kbi;j;k- 是的 因此2.2. 将分析模型拟合到测量的BRDF数据Ngan等人[12]根据其近似测量BRDF数据的能力评估了几种分析模型。由于非线性拟合的实际问题（例如依赖于初始猜测和收敛到局部最优值）和有限的表达能力，很难找到每个分析模型的适当参数值，以保留BRDF数据的所有整体特征。因此，拟合的模型往往不能令人满意地拟合数据。由于Lafortune模型（以下简称LFT）[4]和Cook评估BVB模型用于数据拟合Fig. 1. 各向同性BRDF的插图。和渲染。根据Ngan et al.[12]，CKT模型图二、从各种材料中获得的BRDF测量数据的等值网格];f;f4H. 帕克，J. -H. Lee/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）1¼ ¼¼ðþÞ~ðþÞ我的天我01/2]-N，N-二甲基甲酰胺-g的值ð Þ ¼ð Þ ð Þ ð Þ¼cðþ Þ ðþ Þð Þ 半]~半]~半]ðÞ1/4bðÞð ; ; Þ¼i∑j∑k∑0i;pÞj; qk;rÞNc;rnwkn c∑Na; p<$u i<$N b; q<$v j<$ba; b; c我 JK我 JKi;b;c，我们可以简化等式。（8）如下：i; j;k¼¼优于其他分析模型，LFT模型遵循最小二乘误差显示了拟合和渲染的平均性能。 CKT模型起源于物理学领域，ImaxEb0; 0;0 ;：;bn;n;njmax∑kmax∑ B已被用于计算机图形，特别是支持更多基于物理的光反射特性，uvWi<$0j< $0k< $0ð5Þ曲面几何[5]。LFT模型是Phong模型的推广，其被表示为多个镜面波瓣之和[4]。它在表示具有控制灵活性的相对简单的反射特征时是有用的然而，它不适合表示具有复杂反射特征的材料。此外，它在掠射角区域中拟合数据很差，在掠射角区域中，光矢量几乎平行于每个表面点处的切平面3. BVB模型拟合3.1. B样条体p阶参数B样条曲线定义如下：根据等式中的均匀角度步长，（1）、参数值u i、v j和wk是等间隔作为分别为ui i=imax、vj j=jmax和wkk=kmax。 使参数值与角度值线性相关是很自然的。节点向量U、V、W的节点可以是使用参数值放置[18，19]。由于Eq中的目标泛函（5）是二次的，这个最小化问题导致求解线性方程组的问题。不失一般性，i max4n u，j max4n v，k max4 n w，因此最小二乘最小化提供了相当好的解决方案，选项。然而，随着系统矩阵的大小变得非常大（即，MM，其中M nu1n v1nw1）、直接解决的方法由于在计算时间和存储器使用方面的低效，应当避免这样大的线性系统。提出了一种B样条体表示方法，CnBRDF数据基本上采用近似B样条方案t¼其中，bi是控制点，N i;pt是在节点向量T<$ft0;t1;：;t np上定义的归一化B样条函数1;t np，和的参数域是给定作为tAtp1;tn1。通过直接将B样条曲线扩展到三变量情况，我们定义了一个参数张量积B样条体积B样条u; v; w，阶为（度为1）p，q，r，如下所示：体积放样，它是基于B样条的张量积的性质从近似表面放样扩展而来[23，24]。在近似体积放样中，我们通过沿每个参数（w-，v-，u-）方向连续应用多个B样条曲线拟合到一组折线来构造B样条体积。考虑等式Bui;vj;wkfi;j;k写为如下：F简体中文Bu v wnn nv nwN u N v N wbi;j;k4我JKnw.nunv¼0¼0¼c¼0a¼0b¼0通过替换∑nu ∑nvNa;puiNb;qvjba;b;c通过中间体-其中bi;j;k是控制点，给出参数域asuA ½up-1;unup1]，vA ½vq-1;vnv1]，andndwA ½wr-1;wnw1].控制点一 0b0的gi;j;c，我们可以简化等式。（6）如下：N i;pu、N j;qv和N k;rw分别是定义在u、v、w方向上的节点向量U、V、W上的p、q、r阶归一化B样条函数。节点向量U、V和W如下所示：nwfi;j;k∑¼0Nc;r wk gi;j;c¼ Ci;j wk为 i;j0;：：;imax]U¼。0;u1;：：;G温努普拉瓦河1/4。v0;v1;：：;vnvq ，W0;~½0;：：;jmax]：100当量（7）表示拟合到最大值为1的多重B样条曲线。w1;：：;wnwr.在这项工作中，我们追求一种适当的方式来适应一个B-样条体积到在方程中给出的真实材料的测量的BRDF数据F（二）、生成的B样条体积成为BVB模型。3.2. 近似B样条体放样jmax1 多段线，每条多段线由 kmax1分沿着W方向传递。我们可以得到控制点gi;j;c，i;j;cA0;：：;i max0;：：;j max0;：：;n w通过求解多重B样条曲线拟合，其中n w，r，w k和W已知。现在中间控制点gi;j;c表示如下：n.;努努¼ð Þ我们希望BRDF数据F的每个元素fi;j;k都是一个B-gi;j;c∑b¼0Nb;qvj∑一个半 Na;puiba;b;cð8Þ特定参数值的样条曲线体积元素通过替换∑nuNa;puiba;b;c通过中间控制u;v;w 所以点h一个半问题的构造B样条体积Bu;v;w从数据F可以通过最小二乘B样条体来拟合。当体积测量的参数值ui、vj、wknvgi;j;c∑¼0Nb;qvjhi;b;cfori;cA ½0;：：; imaxx]给定数据fi;j;k，B样条函数的阶数p，q，r，以及B样条体Bu;v;w的节点向量U，V，W，~½0;：：;nw]：19当量（9）是指拟合到n（imax）n（1）~n（n）的多条B样条曲线，每条曲线由j（max）n（1）个点组成i; j; kÞð6ÞH. 帕克，J. -H. Lee/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）15半]ð Þ 半]~半]~þð Þ 半]~半]~半]¼ð Þ 半 ]~半]~半]ðÞþþðþÞ~ðþ Þþð Þ 半 ]~半]~半]ðÞ沿着V方向传递。同样，我们可以得到控制点hi;b;cfori;b;cA 0;：：;imax0;：：;nv 0;：：;nw通过应用多个B样条曲线拟合，其中nv，q，vj和V是给定的。中间控制点hi;b;c表示如下：nu其将点gi;j;c转换为中间控制点hi;b;c， i;b;cA0;：：;imax0;：：;nv0;：：;nw.(3) 从中间点hi;b;c，构造u向多段线，每条多段线具有相同的点数。imax1.沿u方向确定ui和U。 那么，用方程（1）拟合双向多重B样条曲线（10），hi;b;c∑一个半为Na;puiba;b;c其将点hi;b;c转换为最终控制点ba;b;c对于a;b;cA0;：：;nu0;：：;nv 0;：：;nw。(4) 用控制点ba;b;c构造B样条体Bu;v;w。b;c当量（10）表示多重B样条曲线拟合， nv1n个w1多段线，每个多段线由沿u方向通过的i个max 1点组成。我们最终可以得到控制点ba;b;c，对于a;b;cA 0;：：;nu0;：：;n v0;：：;n w 通过求解多重B样条曲线拟合，其中nu，p，ui和U是给定的。近似B样条体放样的整个过程如图3所示，其主要步骤总结如下：(1) 从输入点fi;j;k，构造w-方向的折线，每条折线具有相同的点数kmax1。确定沿w方向的wk和W。然后，用方程（1）进行w-方向多重B样条曲线拟合。公式（7），其 将 输 入 点 fi;j;k 转 换 为 中 间 控 制 点 gi;j;c ， 其 中ii;j;c=1/ 20;：：;imax x] ~1/20;：：;jmax x] ~1/20;：：;nw]。(2) 从中间点gi;j;c，构造v方向的折线，每条折线具有相同的点数。jmax1. 确定沿v方向的vj和V。 那么，v-方向多重B样条曲线拟合方程。（9）、B样条体Bu;v; w的控制点ba;b;c是通过应用三次多重B样条曲线拟合来获得的，其将点fi;j;k转换为中间点gi;j;cb;c;b;c;b;c。3.3. 节点位置自适应的多重B样条曲线拟合多重B样条曲线拟合是近似B样条体放样的关键。给定一组折线，它构造一组兼容的B样条曲线，每个曲线拟合其对应的点[23，24]。当B样条曲线具有相同的B样条阶数、相同的控制点数和相同的节点向量时，它们被称为兼容的在由方程导出的多重B样条曲线拟合中，（7）、（9）或（10），则多段线具有相同的点数。给定m mm m n1条折线Pi <$fpi;jj< $0;：;mcg，iA ½0;：：;mr]，考虑如何构造图三. 近似B样条体放样的全过程。6H. 帕克，J. -H. Lee/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）1k¼0∑.Σ[2019 - 04-21]ð Þj0ð Þ半]J-J¼T<$t0;t1;：：;tnnp;;阶p，定义为Cit∑nNk;ptbi;k. Asthe从（mc1）列Qj，确定公共多段线具有相同数量的点，使每列Qj <$fpi;jji<$0;：：;mrg具有相同的节点向量T，通过对关联的参数值tj求平均其中主导列Dk如下：参数值tj，即，对于iA ½0;：：;mr]，C i t j p i ; j。的我p2值t j是等间隔的 （即， t j^j=m c），如tp i1-1¼tf k对于i¼1;：：;n-p112第3.2节。 的结一个公共节点向量P-1k¼ið Þ参数值的作用[18，19，23第i条B样条曲线Cit的控制点bi;k（kA0;：：;n）可以通过最小化以下最小二乘误差来确定：其中f k是返回对应于第k个主导列的列的索引的单调递增函数（即， QffkDk）。然后，通过这些结，我们得到McEbi;0;：; bi;n∑Citj-pi;j2¼ð11Þ相容的B样条曲线Cit，通过最小化等式（1）中的最小二乘误差，（十一）、图4示出了具有和不具有自适应节点放置的多个B样条曲线拟合。其中iA0;：：;mr每个最小化问题都等价于求解一个线性系统。每一条曲线C_i_t_n都是一条内部C_p-2连续的p阶（n~ 1）分段B样条曲线为了确定主导列，我们采用自适应细化方法，将新的主导列放置在当前迭代中具有最大偏差的子集中。请注意，点pi j<$xi;j;yi j;zi;j<$x不具有结[18，19]。很容易发现，连续应用多重B样条曲线拟合使用Eq.在计算时间和内存使用方面，公式（11）比使用公式（11）的直接方法（五）、回想一下，mc表示每个控制点的点数，n表示控制点的数目。多重曲线拟合的结果受如何在方程中放置节点的影响。（十一）、已经提出了几种放置节点向量T的内部节点的方法，包括mc n的平均技术和mc4n的节点放置技术（以下称为KTP）[18，19]。当mc几乎大于n（mc n很小）时，它通常会产生不希望的结果[23]。为了避免这种情况，Piegl和Tiller [25]建议使用另一种线结放置技术（以下简称NKTP）。请注意，在Lee和Park关于BRDF数据的B样条体表示的工作[20，21]然而，这些节点放置技术以简单和琐碎的方式选择节点，每个节点跨度包含几乎相同数量的参数值，并且即使数量n增加1，所有内部节点也会改变，这使得难以实现自适应曲线拟合，并且当数据值快速变化或具有被认为不是异常值而是特征（即，，用于光泽或镜面反射材质的最近，Park和Lee[26]提出了一种用于B样条曲线拟合的节点放置的新方法（以下简称DOM）。在从给定的点中选择优势点之后，我们可以通过平均主导点的参数值来确定内部节点。这种节点放置导致稳定的系统矩阵，该矩阵不是奇异的，并且支持局部修改，实现自适应曲线拟合，即较少的节点被放置在可伸缩区域，但更多的节点被放置在复杂区域。本文将DOM方法推广到多重B样条曲线在考虑一组折线而不是单个折线的情况下进行拟合。 请注意，每列的点任何几何意义，因为它们来自根据公式中的BRDF数据，（二）、因此，在确定期间，在主列中，我们将点pi;j变换为p^i;j^i; j^i ;j;y^i;j;z^i;j^，其坐标给出为x^i;j^i=mr;y^i;j^tj;见图4。多重B样条曲线拟合：（a）11条折线，每条折线由151个点组成;（b）17个主列用蓝色绘制;Qj<$fpi;jm rg具有相同的参数值t j。在（c）使用主导柱获得的相容B样条曲线;（d）控制多边形，每个多边形由17个控制点组成;（e）兼容的B-多重B样条曲线拟合到一组（mr=1）折线Pi <$fpi;jj<$0;：;mcg，我们选择（n<$1）个优势列由NKTP获得的样条曲线;以及（f）由NKTP获得的控制多边形（每个多边形17个控制点）。通常选择反映分布-H. 帕克，J. -H. Lee/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）17^^^公司简介1/4J -J¼∑ðÞðÞþþþþ;;i;j;I¼js;;¼-z^ij<$q.ffi ffiλffi ffi1ffi ffixffi ffiiffi ffijffiΣffiffi2ffi ffiþffiffiffiffi ffi.你知道吗？ffiffiλffiffi3ffiffizffiffiiffijffiΣffiffiffi2ffið13Þ控制点），同时保持所需的精度。随着问题BVB模型拟合的子问题被分解为在这项工作中，对每个坐标设置了相同的权重（即，λ1λ2λ3 ①的人。现在考虑列的子集S;Qjj s;：：;e 在其中只有两个主要列Qs和Qe。从初始子集S0;mc开始，我们可以通过重复以下操作来获得所需的任意多的主导列多重B样条曲线拟合，它可以通过沿每个参数方向依次应用误差有界的多重B样条曲线拟合来完成。因此，给定公差被等分为三个，每个公差用于沿其相应（u-、v-或w-）参数方向拟合的误差有界多B样条曲线，其中误差为步骤：在列的子集中，找到子集Ss;e定义为E¼maxmrmaxmcj¼0 pi;j-Ci（e s41），并选择新的主导列Qw（sow oe），其最小化Ss;w和Sw;e的总弧长之间的差异。然后，将子集Ss;e分成两个子集Ss;w和Sw;e。一个子集Ss;e的偏差D s;e可以定义为：的方式在这项工作中，我们将其定义为最大弦高由于事先不知道误差有界的多重B样条曲线拟合需要多少控制点，因此通常采用迭代（基于增量或二分搜索）过程，该过程重复拟合、检查偏差和调整节点的数量（即，控制点的数量）。在这项工作中，我们采取二分查找算法，Ds; e¼max最大值mrp^ij-p~ij[23，24]完成这一过程，因为它是更好的，chd_maxSjsi<$0;;高度D;e1e∑mr p^ij-p~ij计算chd_avg数据包r=1000-s=1000jsi<$0;;p~i;j是p^i;j到线段上的正交投影p^i;sp^i;e （即相对于该线段的p（i;j）的弦高）。子集S s ; e的总弧长L s;e定义为Ls;e∑mr0∑e-1p^ij1pj.的 最大 和弦 高度 倾向 到 使占优势柱在尖锐区域比平均弦高更接近。对于漫反射或中等光泽材质的BRDF数据，由于其多段线通常具有平滑的形状而没有尖锐的峰，因此最大弦高度可能有助于定位主要柱。对于光泽或镜面材质的BRDF数据，由于其多段线通常在小区域处具有尖峰，因此平均弦高度足以定位主要列。我们已经体验到，最大弦高度通常适用于漫反射或中等光泽材质的BRDF数据集，而平均弦高度适用于光泽或镜面反射材质的BRDF数据集。如图4所示，使用主导列的多B样条曲线拟合具有在复杂区域生成较少控制点（相应地，曲线段）而在复杂区域生成较多控制点的显著趋势，这非常有助于通过由较少控制点组成的紧凑且准确的B样条体来请注意，图4中的点是从BRDF数据的等值网格转换而来的点。3.4. 误差有界BVB模型拟合当给定B样条阶数p;q;r，控制点数nu;nv;nw，以及任意实际材料的BRDF实测数据时，应用BVB模型拟合的自适应方法，可以生成一个BVB模型来表示BRDF数据。对于实际应用，更有用的是指定容差以获得满足以下条件的BVB模型：BVB模型与给定的BRDF数据之间的拟合误差小于容差。由此产生的BVB模型被称为误差有界的。为了利用误差有界的BVB模型拟合得到紧凑但精确的BVB模型，重要的是减少节点的数量（相应地4. BVB模型在绘制中的应用给定任何材料的BRDF数据，我们现在可以生成一个B样条体来表示BRDF数据的BVB模型拟合的方法。然后，我们可以使用B样条体（即BVB模型）作为替代BRDF模型进行真实感绘制。图5示出了在这项工作中采用的真实感渲染的概念框架。它有三个着色器，分别用于测量的BRDF数据、分析BRDF模型和BVB模型。它们被集成到PBRT渲染器[2]中，该渲染器提供C API来扩展其基本功能。每个着色器都是在运行时调用其PBRT渲染器支持基于经典BRDF模型的多种材质，例如完美漫反射、Lafortune（LFT）、Cook在我们的例子中，我们添加了新的继承抽象BRDF类的C类。对于BVB模型，我们将所提出的方法应用于Matusik等人[7，8]获得的100种材料的BRDF测量数据的B样条体积表示。对于分析BRDF模型，我们使用Ngan等人的结果。[12]他们进行了分析BRDF模型拟合100种材料的测量BRDF数据。对于真实感渲染，我们在PBRT[2]中采用了分布光线跟踪;我们使用具有64个像素样本和64个光样本的直接照明，同时应用具有高动态范围图像的单个环境照明，并将最大跟踪深度设置为4。为了解耦重要性采样[16]对渲染质量的影响，我们应用了余弦加权均匀半球采样[2]。图五、使用三种BRDF模型的渲染框架e8H. 帕克，J. -H. Lee/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）1~~þþðÞ ¼ ðÞðÞðÞ¼ð Þ所有渲染图像都是基于单线程处理生成的。图图6至图8示出了针对三种材料（铝青铜、绿色金属漆和红色塑料）使用四种BRDF模型（TBF、BVB、LFT和CKT）通过照片级真实感渲染生成的快乐佛像和球体图像。回想一下，TBF表示测量的BRDF数据的表格形式。在这项工作中，渲染图像的大小被设置为256 512和512512像素的快乐佛和球体场景，分别。对于BVB模型的渲染，我们通过误差受限的BVB模型生成BVB模型，该模型与B样条阶数及其相关BRDF数据的特定容差率拟合。请注意，使用BVB模型渲染的图像非常忠实于使用TBF模型渲染的图像5. 实验结果我们实现了第3节中提出的自适应BVB模型拟合和见图6。使用明矾青铜的BRDF模型（从左到右为TBF、BVB、LFT和CKT）渲染的图像。见图8。使用红色塑料的BRDF模型（从左到右为TBF、BVB、LFT和CKT）渲染的图像。第4款.在IBM兼容的个人计算机上用C和C语言完成了该系统的实现。 计算机运行微软Windows Vista与英特尔至强处理器X5365。在本节中，我们展示了生成BVB模型并将其应用于渲染的实验结果，以证明BVB模型是紧凑的，并且忠实地表示用于渲染应用的BRDF数据。我们还比较了BVB模型与两种类型的分析BRDF模型（CKT和LFT）的数据拟合精度和渲染质量对于测试数据集，我们使用Matusik等人测量的100种真实材料的各向同性BRDF数据。[7，8]。每个BRDF数据的大小被给定为imax;jmax;kmax90; 90; 360。 我们发现，所有的BRDF数据集或多或少是污染的-具有噪声的数据集，特别是来自镜面材料的数据集包含被认为是特征的尖峰。5.1. BVB模型的生成及其在绘制中的应用对于给定的B样条命令p;q;r，我们应用所提出的方法，通过指定控制点的数量nu;nv;nw或通过指定公差来获得每种材料的BVB模型。然后，我们应用真实感绘制使用BVB模型。为了评估BVB模型的质量，我们计算了BVB模型与其对应的BRDF数据之间的误差。在这项工作中，我们使用平均拟合误差AE，其定义如下：AE<$1∑Bui;vj;wk-fi;j;k14imax作为BRDF数据的简单统计值，我们使用BRDF数据的平均值和最大值（AR，MR），其定义如下：AR¼1∑i;j;k;见图7。使用绿色金属漆的BRDF模型（从左到右为TBF、BVB、LFT和CKT）渲染的图像。imaxMR最大值fi;j;k≤ 158i;j;kH. 帕克，J. -H. Lee/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）19ðþÞ~ðþ Þ¼-：i;ji; jþÞ¼ ðÞ¼¼¼¼¼ðÞð þþþ Þ¼ ðÞ¼¼ ¼33对于本工作中使用的100种材料，它们的MR值（0.4我们使用MR值将材质大致分为三种：漫反射材质、高光材质和高高光材质。扩散材料大多具有小的MR值（即， 蓝色织物为0.76，聚乙烯为3.49），但高镜面材料具有大的MR值（即铝为4533.6，铬为8907.5）。光泽镜面材质具有介于两者之间的MR值（即，金色漆为31.4，紫色漆为196.8为了从渲染的角度评估BRDF模型的质量，我们估计了使用TBF渲染的图像（即目标图像）和使用其拟合模型渲染的图像（即测试图像）之间的差异误差。为了更一致的估计，我们使这两个图像具有相同的背景图像在TIFF格式。设ai;j表示目标图像A和Bi;j是测试图像B像素。每个图像大小为x最大值1y最大值 1，并且每个图像像素的RGB值在0到255之间变化。为了相对于目标图像a评估测试图像b，我们使用如下定义的平均绝对误差（MAE）：可以平滑噪声，保持数据的整体特征。而BRDF数据的存储大小达到TBF中的70兆字节（在中途方向表示中为35兆字节[7]），BVB模型的大小约为320兆字节（输入数据的图10显示了使用四种BRDF模型为金色金属漆渲染的快乐佛像。图10（a）是使用TBF模型获得的目标图像。图10（b）BVB模型与图9中使用的模型相同。图10（e）在图10（e）中的BVB模型的差异图像的情况下，差值被放大20倍以便于识别。对于BVB、LFT和CKT，差异图像误差（MAE）分别为0.12、7.55和11.82。请注意，BVB模型是非常忠实的，是一个很好的替代测量的BRDF数据进行渲染。图11示出了测量的金色金属漆的BRDF数据的B样条体积表示的结果，其中B样条阶数指定为p<$q <$r< $2; 3;4，并且控制点的数量以nu1;nv 1的形式给出;Mae1∑ab 16xmaxn w1n;n; 4 n. 图11（a）显示了平均拟合误差AE. 图11（b）示出了通过使用所得到的BVB渲染的快乐佛陀图像的图像差异误差（MAE通过指定控制点的数量进行BVB模型拟合是生成每种材料的BVB模型的基本工具。作为这种BVB模型生成的一个例子，我们从黄金金属漆的BRDF数据（AR0： 092，MR4： 074）构建了一组B样条体。图9示出了BVB模型的一些图形结果，其中nu 1;n v 1;n w 115; 15; 60和pQR4. 发现AE 0：003和ME0： 343为BVB模型。第一排的的图形示出三等网格（θi303; 603;903）在θo; θd球坐标系中的TBF模型。图中的第二行显示了在一个双球面中的三个相应的等值面（u1;2;1模型注意，在图11中，误差AE和MAE通常随着控制点数量的增加而减小。这种趋势在其他材料的基于BVB模型的拟合和渲染中也同样被注意到。显然，拟合BVB模型的质量与使用BVB模型渲染的图像质量呈正相关。这意味着为了使BVB模型适合更好的渲染质量，BVB模型的坐标系。注意BVB模型见图9。TBF模型和BVB模型在三个入射角下的等值网格。(From从左到右，θ1/4 301、60 1和90 1）。图10个。使用BRDF模型为金色金属漆渲染的快乐佛陀图像及其差异图像。10H. 帕克，J. -H. Lee/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）1ð Þ ð Þ ðÞðÞ¼¼1/4~¼10¼ ¼ ¼20200图12示出了镜面橙色酚醛树脂的测量的BRDF数据的误差界B样条体积表示的结果。图12（a）显示了BVB模型所需的控制点数量。图12（b）示出了在使用BVB模型渲染的球体图像中发生的图像差异误差（MAE）。在容差和控制点的数量（相应地，渲染质量）之间存在折衷。随着公差的减小，拟合的BVB模型需要更多的控制点，而渲染质量通常会提高。这种权衡在其他材质的基于BVB模型的拟合和渲染中也同样值得注意。图13更清楚地显示了这种权衡。图13（a）示出了 使用TBF模型渲染目标图像。图图13（b）-（d）示出了使用BVB模型渲染的三个测试图像，其是以p1/4 q 1/4 r 1/4 2和速率1/4 1 ; 1 ; 1获得的。的图十一岁用B样条体表示法对金漆的BRDF测量数据进行了处理，结果：（a）平均拟合误差（AE）图和（b）图像差异误差（MAE）图。我们要尽可能减少他们的拟合误差。然而，BVB模型的拟合误差与控制点数之间存在着一个折衷关系，因此需要在BVB模型的拟合精度与紧致性之间找到一个适当的折衷。此外，通过大量实验发现，对于相同数量的控制点和相同的B样条阶数，高镜面材料的拟合BVB模型可能比其他材料具有更大的拟合和渲染误差。这意味着高镜面材质的BRDF数据需要更多的BVB模型控制点来保持相同的拟合或渲染质量。确定公差比指定控制点的数量nu;nv;nw更容易控制BVB模型的质量，因为事先不知道需要多少控制点。作为通过指定容差（即误差有界的BVB模型拟合）生成BVB模型的示例，我们从镜面橙色酚醛（AR0.133，MR2357.369）的BRDF数据构造了一组具有不同B