埃及数学学会：Baskakov-Durrmeyer-Stancu算子的同时逼近建立和误差估计

n21XZnJournalof the Egyptian Mathematical Society（2012）20，183埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章一类Baskakov-Durrmeyer-Stancu算子的同时逼近Vijay Guptaa，*，D.K.Vermab，P.N.阿格拉瓦尔湾a印度新德里110 078 Dwarka Netaji Subhash技术学院应用科学学院b印度理工学院数学系Roorkee，Roorkee 247 667，印度接收日期：2012年3月6日;修订日期：2012年6月20日;接受日期：2012年2012年9月8日在线发布本文建立了Baskakov-Durrmeyer-Stancu（简称Baskakov-Durrmeyer-Stancu）方程同时逼近的一些直接结果。BDS）算子Da;bf;x。建立了点式收敛、Voronovskaja型渐近公式和一个关于函数二阶连续模的误差估计。2012年埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍对于f C[0，），Finta在[2]中研究的一类新的这些算子不同于文献[1]中研究的算子，[6]和[7]。我们观察到Dn（f，x）既可以是常数函数，也可以是线性函数.Gupta等人[8]估计的点式收敛性、渐近公式和同时Dn= f; x= ¼哪里1k¼1pn;kx1bn;ktftdtpn;0xf0;1：10近似运算符（1.1）。Govil和Gupta[4]使用这些算子的迭代组合来提高逼近阶。最近，Verma et al.[10]BDS）操作员作为. nk-1xk如下所示：pn;kxk1Da;bf;x¼X11pn;kxbn;kn . 新特瓦·阿卡德特K-10nb1吨千分之一¼Bðk;nþ1Þð1þtÞnþkþ1:ð1:2Þ.一个pn;0恩布; 2011年1月31日*通讯作者。电子邮件地址：vijaygupta2001@hotmail.com（V. Gupta），durvesh。关键词工商发展服务运营商;逐点收敛;Voronovskaja型渐近公式;误差估计;同时逼近ZD.K.gmail.comVerma），pna_iitr@yahoo.co.in（P.N. Agrawal）。同行评审由埃及数学学会负责其中Baskakov和Beta基函数在（1.2）中给出并且参数a、b满足条件06a6b。在[10] 作者研究了一些逼近性质，asymp，totional公式和更好的估计这些运营商。本文的目的是研究点态收敛，Voronovkaja型渐近公式及其误差估计在BDS算子的同时近似1110- 256 X？ 2012埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V. 在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2012.07.001184V. Gupta等人22ZZΣn2ð Þ ¼“的6¨¨我...Þ ð - Þ你好！你好！1-1Rpn;kxn-x;xmf;d;1/2a;b][xmf;d;1/2a ; b][x mf; d; 1/2a;b]n-溴-xn-溴-x其中h=（t1+t2）/2，Dh是二阶前向dif。Da;b tm; xP.我很抱歉。an-jnj Dtj;x，我们可以写为g;2k我g;2kC½a;b]g;2kC½a;b]nDnbn- r; k rfr一个一个三个！你好！我！ t-xm-2 2k¼0HnR2. 初步结果接下来，我们将需要以下结果：引理1.[5]设m 2 N [0. 如果m阶被定义为上述引理的证明很容易遵循（[7]，引理2.3）的证明路线。定义1. 的m阶模 连续性xm（f，d，[a，b]）对于在[a，b]上连续的函数，定义为：X1. 好 的。Σ则Tn，0（x）=1，Tn，1（x）=0，并且存在递归-当m=1时，xm（f，d）是通常的连续模.关联关系：Tn;m1x¼x1x½T0n;mxmTn;m-1x]：因此，我们有Tn，m（x）= O（n-[（m+1）/2]）。引理2. [10]如果我们把中心时刻定义为定义2.让我们假设00，对应于f C c [a，b]和t I1的二阶斯捷克洛夫均值fg，2定义如下：g=2g= 2fg;2tg-2ft-D2ftdt1dt2ln;mx-g=2H-g=2X1Z1¼pn;kx. 新南丁格尔.a200万美元k¼1那么，我n;001;ln;1 xa-bx，对于n>m，我们有以下公式：恩布步长为h的参考算子。对于f C[a，b]，f以下属性（[9]）：g，2满足下递归关系：n-mn; m≥11000万美元ðxÞþml n; m-1黄鳍(1) fg，2在[a1，b1]上具有直到2阶的连续导数;(2) kfg;2kCab6Cxrf;g;½a;b] n;r1; 2;1/2]11n-1-n-x;(3) kf-fg;2kC½a;b]6Cx2f;g;½a;b];.a102.一个(4) kfk1 1 g-2kfk;þðn þbÞmnþb-x-mnnb-xln;m-1x：2：1分g;2C½a1;b1]CC½a;b]根据递归关系，可以很容易地证明，对于所有x2 [0，1），我们有ln;mxOn-1/2m1=2]：备注1.从引理2，我们得到Da;btm;x是一个多-(5) kfg;2kC½a1;b1]6C kfkc;其中C引理5.[3]设f 2 C[a，b]. 然后，对于所有的m2N0，在x中的次数正好是m的范数。进一步MM佛里6CnkfkC½a;b]kfo;in j<$0jðnþbÞn1/4; 2;. 2k-1;a;bMn mnm-1！嗯-嗯！MM其中C0s是与f无关的常数。Dnðt;xÞ ¼Xi你好！你好！m m-1nm2！ nm！你好！一个！1/2m-1ma米-2Ma3. 直接结果这一节讨论直接结果，建立了点态逼近、渐近公式和同时逼近的误差估计。记Cc[0，1）={f2C[0，1）：f（t）=O（tc），c>0}.它×n m-22xOn：引理3. [5]存在与n和k无关的多项式qi，j，r（x），使得可以很容易地证明，算子Da;bf;x是很好定义的。对于f2Cc[0，1），定理1.设a，b是满足条件的两个参数，研发中心Xij06a6b。对于某些c>0且f（r）存在，½x1x]dxr½pn;kx]¼nk-nxqi;j;rxpn;kx：2ij6ri;jP0在点x2（0，1），则limDa;brf;xfrx：3：1引理4. 设f在[0，）上是r次可微的，使得f（r-1）（t）=O（tc），c>0 as tfi.则对于r=1，2，. . ，我们有进一步，若f（r）存在且在（a-g，b+g）c（0，1），g> 0，则（3.1）在[a，b]中一致成立。Σða;bÞΣðrÞnrnr-1！你-你！X1你好！你好！k¼0证据 通过泰勒Z1。nta#nTn;mm x± 1：bn;kndt pn;0x;m2N你好！1100%;100%pnr;kx×恩布fdt：M-1一类Baskakov-Durrmeyer-Stancu算子的同时逼近1851/40Xfixir186V. Gupta等人nXXΣXN Px1x.你好！n;kRC恩布恩布XX1XRfixXi我我的朋友。nrnr-1！你-你！bn;knn-溴-xk¼1kpn;k<$ x<$n- xjet;xj.新几内亚-x.6公里。新几内亚-x. . 因此XþX1.2c1其中e（t，x）f0为tfix。我I56eC1XniX1pn;kx.Z112bn;k t dtDR100%;100%fixa;brððt-xÞ;xÞ2ij6rk10ni！n1/4i;jP0好吧Z.快 ！1Da;bret; x t- xr; x1/4：I11/2：1bn;knNTa2r2n-x dt.！11.！2 i j 6 r第一1¼页-xk¼1我！1/4j<$0jRr！.X1×Z1。新特瓦02002年r ！2DT;r！你好！你好！作为R1b1.利用引理2，我们得到布雷尔河. nrnr-1！你-你！Σ布雷尔河0n;kX1“X1.2 j#接下来，我们通过使用引理3来估计I2，我们有对于任何s>0的情况，<$n2j ½On-j On-s]：此外，通过使用引理2和如上所述的论证，我们有I2¼ni2ij6rqi;j;rxxr1 xr1k¼1pn;kðx Þðk-nxÞ1k¼1pn;kx1bn;kn0新特瓦恩布2R— x dt¼On-r：3：3i;jP0Z1。ntar×0因此I56e C1Xni· O nj=2· O n-r=2e O1：bn;ktet;x你好！Rn-x dt. 阿 布尔2ij6ri;jP0联系我们你好！1n-溴-x其次，利用Schwarz不等式进行积分和求和，根据（3.2）和（3.3），我们有Xijqi;j;rxI66C2XI1n;kxjI2j6nrr2ij6ri;jP0k¼1pn;k<$x <$jk-nxj2ij6ri;jP0k¼1Z.. RZ. 新南威尔士州×b t je t; x j. 新几内亚-x. 你好！ð1×b n;kt。n = b-x。 DTn;k0恩布. a.你好！jt-xjPdXX1.Z1x-n-re0;x恩布¼：I3I4：— X.6C2ni2ij6ri;jP0k¼1pxjt-xjPd bn;ktdt.Z.快 ！1由于e（t，x）fi0为tfix，对于给定的e>0，存在d>0使得当k是任意整数时，gerPmax{c，r}，则我们找到一个常数K>0，使得ΣJDn2JRn;kJZ.JCR！R根据备注1，我们有6eCnipn;kðx Þðk-nxÞ2i;jP0¼Σk¼1pn;kx¼fx你好！你好！！F你好！一曰：k¼1px-1x-n -x 2j×022一类Baskakov-Durrmeyer-Stancu算子的同时逼近187Ck¼1×jt-xjPdXbn;kn.X1NTax DT恩布12....6C2nipðxÞðk-nxÞXX1j（Z. 新南威尔士州.！1-2J2ij6ri;jP0n;k188V. Gupta等人I3¼ C1ni2ij6ri;jP0k¼1pn;k<$x <$jk-nxjjt-xjdeb n.恩布— X. DT1×k¼1一类Baskakov-Durrmeyer-Stancu算子的同时逼近189XZ.Σþpn;kx1bn; k0nta2c2ðtÞn-xdtZ. 新南威尔士州 ） 的方式<$Xni·Onj=2·On-m=2<$Onr-m=2<$O1;jt-xjPdKb n;ktn. n = b-x。DT190V. Gupta等人1/4：I5/I6：2ij6ri;jP0一类Baskakov-Durrmeyer-Stancu算子的同时逼近191应用Schwarz不等式求积分和求和我们有其中m是整数Pc。由于e的任意性，因此，I3=O（1）。此外，I4fi0为nfi1，因此192V. Gupta等人1-CnðÞ -¨¨n胡鲁吉ÞþnDðeðt；xÞðt—xÞ；xÞng;2RnRFþ ð - -nR-r2xn布拉夫þ ð - -g;2½Da;b]t-x;x-frxþ¨fðrÞ-f-½a1;b1]-x- Da;b312r！n Dn不！不！ÞX2¨¨¨你好！nr1- x DnD，阿勒特;x2x½Dn]的一种你好！ nt;xF卢恩x你好！你-你！r！区间[a*，b*]上的特征函数，则n r1nr！快-快-快！r1你好！XS16-Da;brvtft-f请选择语言： C½a1;b1]你好！你-你-你！nranrr！不！不！一个！Da;br1-vtft-fR不！不！一个！！Da;bvnð Þ1¨¨nC½a1;b1]1211证据 我们可以写I2= o（1）. 结合估计值 I1和I2 ，我们得到所需的结果（3.1）。这就完成了定理的证明。 H定理2. 设f2Cc [0，1）有界于[0，1）的每个允许（r +2）阶导数在固定x2（0，1）处的有限子区间上. 设f（t）=O（tc）为tfi1，其中c>0，则我们有林; D现在上面表达式中f（r）（x），f（r +1）（x）和f（r +2 ）（x）的系数分别是r（r-1-b），r（1+2 x）+abx和x（1 +x），这是通过对r使用归纳假设并取极限为nf而得出的。因此，为了证明（3.4）式，只需证明[x（1+x）]rI2f0为n f 1，这是沿着定理1中估计I2的 路 线 进 行 的。H定理3. 让f2C c [0，1）为一些c>0和00，Df;：frC½a1;b1]6毫米直径a;bnf-fg;2g;2C½a1;b1]使用引理4，我们可以写nDa;bnþ¨ΣDða;bÞΣðrÞðfg;2;：-f rC½a;b]“#11hhiriXr2fixrira;b; b; b; c; b; c; b;c; c; d; c; d;d;d; en1/4：I11/2：因为我是一个...g;21/4秒1秒2秒3：因此，根据Steklov平均值的性质（3），通过引理2和注1，我们得到：Xr2fixXi . 我的我！Jijn第6条Cx[g;½a;b]项：1/4我的朋友j/ra;b;a;bRit;x接下来，利用定理2和引理5，我们得到.ΣS-1F阿吉什-12012年12月1991年，Σða；bÞΣðrÞR26C2n2磅6C4nkfg;2kC½a;b]fg;2 --Σða;bÞΣðrÞr1O2012年12月22日.ra;bRþðrþ2Þð-xÞΣDða;bÞΣðrÞðtrþ1;xÞ þΣDða;bÞΣðrÞðtrþ2;xÞoS26C4n-1fkfk（g）-2x2（f）（g;½a;b）（g）：nΣ n rðn þ r—1Þ！你-你！nΣðrÞC最后，我们估计S选择满足条件的a*，b*n不，不，不！你好！ -1名妇女**好的。R0aaa1b1b<<<<< b<1. 也令v（t）表示你好！你好！你好！没关系。Σ¨乌布你好！你好！¨Σ Σ¨2002年，不！不！r2n rn r-1！你-你！你好！你好！1/4秒4秒5：根据引理4，我们有.n r1nr！快-快-快！1 1R0ft-xf;xn1/4我！I1¼ ntj; x¼C½a;b]i/ rC½a;b]通过应用Steklov平均的性质（2）和（4），我们得到þg;2þg;2（b）（a）（b）你好！你好！k¼0pn r; k x）r！.一类Baskakov-Durrmeyer-Stancu算子的同时逼近193R你看！你-你-你！ nr不，不，不，不！一个！X2你好！XΣΣðrÞnrnr-1！你-你！X1你好！你-你-你！nranrr！不！不！一个！Zbn-r;krtvtfr. ntanr2nr1！快-r-2！你好！你好。新特拉吉亚恩布不，不，不，不！一个！2不，不！快-r-2！-fg;2þ194V. Gupta等人n5g;2恩布dt：你知道吗？一个！fnr1一个-r r！2g;2C½aω;bω]一类Baskakov-Durrmeyer-Stancu算子的同时逼近195因此，我们认为，196V. Gupta等人fþC½a1;b1]你好，我是说，你好，我是说，你好！XDG一类Baskakov-Durrmeyer-Stancu算子的同时逼近197你好！6C？fr-fr？：198V. Gupta等人.- 我是说...18J公司简介你好！.Σþþð þÞC7CcCn你好！1F. a-f.a.6n;kXX>XΣX你好，jZg;2[1]P.N. Agrawal，K.J. Thamer，无限近似现在对于x2[a1，b1]和t2[0，1）n[a*，b*]，我们选择ad> 0满足nt<$axP d。根据引理3和Schwarz不等式，恩布我们有其中，最后一项为nfi。现在选择m>0满足qPk，我们有I6C n-1kfk：IjDa;br1-vtft-fðtÞÞ;xÞjJ因此，通过Steklov平均的性质（3），我们得到S 6Cxfr;g;½a;b]Cn-1kfk：6Xni jqi;j;rxjX1px1 927c2ij6ri;jP0xr1xrk¼1n;k选择g = n-1/2，定理如下。H×Z1bn;k 不，不。F. nta-fg;2. 我不知道。DT引用0的情况。b.b..你好！6Ckfk2我j6r：i;jP0ni1pk¼1.恩布X KNXjt-xjdb.巴特·伯恩特函数的一个新的序列的线性正算子，J。225（1998）660[2] Z. Finta，关于逆逼近定理，J. Math. Anal. 312（1）（2005）159[3] S. Goldberg，V. Meir，常微分运算符，Proc. London Math.Soc.23（3）（1971）1你好！1 8>J[4] N.K. Govil，V. Gupta，Durrmeyer型算子同时逼近的直接估计，数学。不平等。6C6kfkc >d-2s>：ni2ij6ri;jP 01k¼1pn;kx.Z10bn;ktdt 1=210（2）（2007）371[5] V. 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