一致凸可分Banach空间中有限族渐近非扩张随机映象的隐式随机迭代过程研究

2 ¼\磅nnn-1n伊仁河n0埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society（2014）22，182原创文章两个渐近非扩张随机映象有限R.A. Rashwan*，D.M. 阿尔巴凯里澳大利亚艾斯尤特大学数学系Box 71516，Assiut，埃及接收日期：2013年3月25日;修订日期：2013年5月23日;接受日期：2013年2013年9月12日在线发布本文研究了一致凸可分Banach空间中两个有限族渐近非扩张随机映象的带误差的隐式随机迭代过程到公共随机不动点的弱收敛和强收敛性。2010年数学学科分类： 65F05; 46L05; 11Y50？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍随机逼近和随机不动点定理是经典逼近和不动点定理的随机推广。随机不动点定理的研究由布拉格概率学派在20世纪 50 年 代 由 Spacek[1] 和 Hans[2 ， 3] 发 起 。 在 1976 年Bharucha-Reid[4]的调查文章发表后，对这些问题的兴趣随机不动点理论及其应用近年来得到了进一步的迅速发展（例如见[5*通讯作者。联系电话：+20 1094352604。Goebel和Kirk[13]在1972年引入的一类渐近非扩张自映射。在2001年，Xu和Ori[14]引入了以下隐式迭代过程{xn}定义为x n¼anx n-1 1-anT nmodNx n;nP 1;x02K;101 ：100对于有限个非扩张映射族{T1，T2，. . ，TN}：KfK，其中K是Hilbert空间E的非空闭凸子集，{an}nP1是（0，1）中的实序列。他们证明了序列{xn}的弱收敛，（1）一个公共的固定点pFN F T.1/1在2003年，Sun[15]引入了以下隐式迭代进程{xn}定义为电子邮件地址：rr_rashwan54@yahoo.com（R.A.Rashwan），Baqeri_27@yahoo.com（D.M.Albaqeri）。金河X1/4ax1/1- a1/2Tx;nP1;x2K;n 1：2K同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier对于Hilbert空间的有界闭凸子集K上的有限族渐近拟非扩张自映射， E与{an}nP1 一 序列 在（0，1），其中n =（k（n）-l）N + i（n），i（n）2 {1，2，.. . ，N}，并证明了1110- 256 X<$2013 Elsevier B. V.代表埃及数学学会制作和主办。在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.07.010关键词渐近非扩张随机映象;隐迭代过程;弱收敛和强收敛;公共随机固定点;条件（B）;Opial两个渐近有限族公共随机不动点的逼近1832 ¼\12fgf g！21/1fginfginn伊仁河n n1/1我nnn-1n伊仁河nnnn伊仁河n由（1.2）定义的序列{xn}强收敛于a其中n =（k（n）-l）N + i（n），i（n）2 {1，2，.. . ，N}，{an}，{bn}，公共不动点p FN1/1我去。{cn}，{dn}是[0，1]中的实数序列，其中n+2010年，Filomena Cianciaruso等人[16]考虑了有限族非对称非扩张映射的隐迭代过程cn61和bn+dn61，对所有w2X和所有nP1，{fn（w）}，{fn（w）}是可测函数的有界序列从X到C。x1-a— cx阿查·特克恩·吉cu;我们将随机迭代过程（1.5）扩展到以下情况：n nnn-1niðnÞ nn n1：30y1-b— dxbTknP1;两个渐近非扩张随机变量映射{Ti，Si：i= 1，2，.. . ，N}，并研究随机其中n =（k（n）-l）N + i（n），i（n）2 {1，2，.. . ，N}，{an}，{bn}，{cn}，{dn}是（0，1）中的实数序列，cn61和bn+dn61对所有nP1和{un}，{vn}是两个有界序列，x0是一个给定点.他们证明了在一致凸Banach空间中由（1.3）定义的隐迭代过程收敛到渐近非扩张映象的公共不动点最近，Hao等人[17]研究了两个有限族的隐式迭代过程（1.4）的版本。在一致凸Banach空间中，我们得到了隐式随机迭代过程（1.6）2. 预赛设（X，R）是可测空间，C是E的非空子集，若对Banach空间E的每个Borel子集B，n-1（B C）R，则称映射n：XfIC是可测的.映射T：N N渐近非扩张映射的Tii1;Si 1：K Kping定义如下：X·Cfic称为随机映射，如果对于每个固定的x2C，映射T（.，x）：Xfic是可测量的。可测量的x1-a— cx阿查·特克恩·吉cu;映射n：Xfic称为随机不动点，n nnn-1niðnÞ nn n1：40映射T：X·C fic如果T（w，n（w））= n（w）对于每个w 2 X.y1-b— dx斯堪的纳维亚nP1;我们表示随机不动点的集合，nnnnnn其中n =（k（n）-l）N + i（n），i（n）2 {1，2，.. . ，N}，{an}，{bn}，{cn}，{dn}，是[0，1]中的实数序列，其中n+cn61和bn+dn61对所有nP1和{un}，{vn}是两个有界序列.Choudhury在[18]中首次提出了随机不动点迭代，其中随机Ishikawa迭代通过RF（T）映射T定义2.1[26]。一个Banach空间E被称为满足Opiallim supkxn-xk lim supkxn-yk;方案的定义及其强收敛到随机固定讨论了Hilbert空间中的一个点在那之后，几位作者研究了随机固定点迭代，其中一些是你好！1对于所有的y2e。你好！1[19][24][25][26][27][29][2Banerjee等人[25]构造了复合隐随机迭代过程，定义2.2.一个映射T：C ∈ E称为在y 2 E处半闭的，如果对于C中的每个序列{x}和每个x2E，xNx弱，对于有限族{Ti：i 2 I ={1，2，. . ，N}}的N连续渐近非扩张随机算子从X·C到C，其中C是可分Banach空间E的非空闭凸子集。讨论了复合隐式随机迭代逼近收敛的充要条件cess以紧凑形式定义如下：Tx nfiy强烈暗示x 2 C和Tx = y。定义2.3[25]。有限族{Ti：iI ={1，2，3，.. . ，N}}的连续随机算子的随机性F¼TN 如果存在，则称RF_T_T_金河不应被视为不应被视为不应被视为不应;存在一个非减函数f：[0，1）fi[0，1），其中f（0）=0，f（r）P0对所有r2（0，1）使得对所有w2X，g=1;g =2; g =1; g=2;g =1;g=fdnw;F6maxx16i6Nfknw-Tiw;nwkg对于所有n（w），nn nniðnÞnn n1：50其中n：Xfic 是一个可测量函数，dnw; Finf fknw-qwk：qw2 F TN RFT ig.其中{an}，{bn}，{cn}，{an}，{bn}，{cn}是[0，1]中的实数序列，其中a n+bn+cn=an+bn+cn=1，{fn（t）}，{fn（t）}是从X到C的可测函数的有界序列.受这些事实的启发和激励，我们研究了以下隐式随机迭代过程的定义2.4[19]。 设C是可分Banach空间E的非空闭凸子集，T：X·C ∈ E是随机映射.然后，T被称为(1) 非扩张随机算子如果对任意x，y2C，kTw;x-Tw;yk6kx-yk; 8w2X：定义1.1. 让TN1/1 和SN1/1 是两个有限的家庭，(2) 渐近非扩张随机映射，如果存在2N 渐近 非扩张 随机 映射形式X·C到C。其中C是可分Banach空间E的非空闭凸集。设n0：Xfic是一个可测函数。然后，将序列{nn（w）}定义为knnw1-a-cnwaTw;gwcfw;nnnnn184R.A. Rashwan，D.M. 阿尔巴凯里nnnnn存在一个可测映射序列rn（w）：Xfi[1，1) 其中对于每个w2X，limnf 1rn（w）=1，使得对于任意x，y2C，对于每个w2X，kT nw; x-T nw; yk 6 r nwkx-yk;n 1; 2;.nnnn-1尼日恩nn1：60(3) 一致L-Lipschitz随机映射，如果存在gw1-b— dnwbSk nw;n wd g w;常数L>0，使得对于任意x，y2C和w2Xn两个渐近有限族公共随机不动点的逼近18522nn nnnn-两个nFI1我2nn伊仁河伊仁河nn伊仁河nn伊仁河nn伊仁河nnnn伊仁河¼I={1，2，.. . ，N}。 设FnN1/1PPP金河金河引理2.7[28].设E是一致凸Banach空间，kT nw; x-T nw; yk 6 Lkx-yk;n1; 2;.(4) 半紧随机映射如果对从X到C的可测映射序列{nn}，满足limnfi1inn（w）-T（w，nn（w））i=0，对所有w2X，有(2)lim d（n（w），F）存在其中d（n（w），F）= inf n（w）2Finn（w）-n（w）i.证据 让 n（w）2F. 以来 {f} 和 {g} 是有界存在{nn（w）}的子序列fnnkwg使得nnfnnkwg！fnwgaskfi1foreachw2X，其中{n（w）}是从X到C的可测映射。从X到C的可测函数序列，我们可以把对于每个w2XMwsupkfnw-nwk_ supkgnw-nw k： 3：1备注2.5. 每个渐近非扩张随机映射-nP1nP1ping是一致L-Lipschitz算子，其中L=supw2X，nP1rn（w）.下面的引理对于证明我们的主要结果是有用的那么，<对于每个w2X和nP1，M（w）1。对于nP1，令r n ;Ngg，然后我们可以写kTk nw;x-Tknw;y k6rw kx-yk引理2.6[27]. 设{a}，{b}，{m}为非负实数伊仁河仁仁n n n序列满足kSknw;x-Sknw;yk6rwkx-yk;w2X：2013年12月3日an 161mnanbn; 8nP1如果1n<$1mn1和1n<$1bn1，则(1) 存在lim a利用式（1.6）、式（3.1）和式（3.2），我们有n（w）F和wX的knnw-nw k1-an-cnnn-1wnfi1 n(2) limnfi 1 an = 0，当liminfnfi 1 an = 0时。06 p 6 t n6 q <1对所有正整数n P 1。还假设aTk1-an-cnnn-1w-nwa{xn}和{yn}是E的两个序列，使得limsupnfi 1ixni6r，61-a-cknw-nwklimsupnfi 1i yni6 r和limnfi 1i tn xn+（1- tn）yni= r对于nnn-1有r P 0，则lim nfi 1ix n-y ni = 0。kTk引理2.8（半闭性原理，[29]）。设E是一致凸Banach空间，C是E的非空闭凸子集，T：C ∈ E是渐近非扩张映射.然后，I-T在零处被解除封闭也就是说，如果xn fix弱且cnkfn61-an-cnknn-1w-nwkanrnwkgnw-nwkcnMwix nTx nif0强，则xF（T），其中F（T）是T的不动点集。引理2.9[30].设E是一个满足Opi的Banach空间61-anknn-1w-nwkanrn另一方面，在一项研究中，al的条件，设{xn}为E. 设u，v 2 E为kgw-nwk1-b— dÞn ðw Þ存在limnfi 1i xn- ui和limnfi 1i xn- vi。 如果fxnkg和nnnnfxmkg是{xn}的弱收敛于u的子序列，bSkv，则u= v。3. 主要结果在证明我们的主要结果之前，我们将证明以下关键引理：引理3.1. 设E是可分Banach空间，C是E的非空闭凸子集。令{Ti，Si：i 2，I ={1，2，.. . ，N}}是2N个渐近非扩张随机映象具有可测映射序列的环：X！1/21;1/2使得n1N，n=（n-N）（mod N），并且n=（K（n）-1）N+1（n）， 我们 有 k（n-N）=k（n）-1，无无无无无无无n尼日恩i（n-N）= i（n）.nn金庸-1金庸-16bkSknw;nw-nwkdkgwkTiðnÞw;nnni nn nnnn6-n n w k;2019-03-26 00：00：00伊仁河n- N188R.A. Rashwan，D.M. 阿尔巴凯里公司简介你好！12XX6Rwknw-nwkRw2k-knið n- NÞið n- NÞn- N中国-北京-1nFI1nnnn[1]Anovember<1.因此，对于任何n（w）2F，（3.35）nLnnFI1nn1ne> 0，那里存在一自然numbern0的使得LnLn2Rw 1¼2Rw你好！1K和kTkn-1w;nw克鲁夫斯克则{nn（w）}收敛于{Ti，Si：i=1，2，... . ，N}当且仅当Tkn-Nn;nið n- NÞn- Nw时间：2019年3月27日lim infdnn nw;F0;w2X： 3：34将（3.27）和（3.26）代入（3.25），我们得到证据（3.34）的必要性是显而易见的。为证明其充分性，knw-Tw;nw在（3.34）的情况下，我们通过引理3.1得到，n-1仁仁n-1inLknn克鲁夫斯克F）对于w2X存在，我们从假设n n- N证明了liminfnf1d（nn（w），F）=0，w2X，则LkTklimd（n（w），F）=0. 现在，由于1+x6ex对于x> 0Lkn由式（3.22）和式（3.23）可知，limknn-1w-Tinw;nnw k 0：23：28根据公式3.6，我们得到knnmw-nw k61Anmwknnm-1w-nwkBnmw6eAnmwknnm-1w-nwkBnmwAnm w Anm-1w你好！16eknnm-2w-nwk和knw-Tw;n克鲁夫斯克eAnXnmAiwknn-16ein1knnw-nwk-Tinw;nnnm-1XnmAiw！ 0为！1日：13：29分现在对于每个l= 1，2，.. . ，N，我们有Bkk1Bnknnw-Tnlw;nnwk6knnw-nnlw kknnlw k-Tnlw;nnlw kkTnlw;nnl w1nk1Bkw;2013年3月35日-Tnlw;nnwk6knnw对于每个Pw2X和所有自然数m，n，其中Rw en1knn0意味着作为 你好！每个w1 2X：knw-nwk6knw因此，我们13：30分nm nnm n— 北威州kn wc-T w; n wk！0;2013年3月31日对于每个w 2 X和对于每个l = 1，2，.. . ，N.同样我们可以6Rwknnw-nwkR证明limknnw-Slw;nnw k< $0;3：32对于每个w 2 X和对于每个l = 1，2，.. . ，N.最后，自kT lw;n nw-Slw;n n w k6 kT lw;n nw-nn w kKnk1-- -¼ ðRðwÞþ1ÞknnðwÞ-nðwÞkRk nn由式（3.31）和式（3.32），我们得到：自从利姆k1d（n（w），F）=0，P1Bw1，鉴于limkTw;nw-Sw;nwk 0;3：33dnnw;F 0或对于所有r（0， ），我们可以在有界整数d2N渐近非扩张随机映象设{nn（w）}是在（1.6）中定义的序列，两个渐近有限族公共随机不动点的逼近191不1/1我我（nn（w），F）=0，因此结果由定理3.3得出nn（w）的序列nnkw和nmkw分别弱收敛于u（w）和v（w）。根据引理2.8，我们有uw;vw 2F¼N 根据引理3.1，192R.A. Rashwan，D.M. 阿尔巴凯里存在limnfi1inn（w）-u（w）i和limnfi1inn（w）-v（w）i。从引理2.9可以得出u（w）=v（w）。因此，{nn（w）}弱收敛到{Ti，Si：i=1，2，. . ，N}。H备注3.7(1) 我们的结果改进并推广了[25]中的相应结果到两个有限族的非对称非扩张随机映象的情形(2) 我们的结果改进并推广了文[17]中的结果到两个有限族隐随机迭代过程的情形。引用[1] A. Spacek ， Zufallige gleichungen ， Czechoslovak Math.J.5（1955）462-466.[2] O.Hans， Reduzierendezullialligetransformaten，CzechoslovakMath. J. 7（1957）154-158.[3] O. 汉斯，随机算子方程，第四届伯克利数学研讨会论文集。统计与概率II（1961）185-202。[4] A.T.李文，概率分析中的不动点定理，清华大学出版社，2000。Math.Soc.82（1976）641-657.[5] I.张文，满足非连续性条件的随机算子的随机不动点，数学，Jpn. 46（1997）151-155。[6] I. Beg ， Approximaton of random fixed points in normedspaces，Nonlinear Anal. 51（2002）1363-1372。[7] I. Beg ， Lipschitz 随 机 映 射 下 随 机 变 量 的 最 小 位 移 ，Topol。方法非线性分析。19（2002）391-397。[8] I.乞求，M。Abbas，Banach空间无界子集上的随机算子的随机不动点定理，Appl. 数学快报21（10）（2008）1001-1004。[9] I. Beg，N.李明，李明辉，等.随机不动点定理.应用数学与随机分析. 7（1994）569-580。[10] S. Itoh，随机不动点定理及其在Banach空间随机微分方程中的应用，J. Math. Anal. 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