Rn中Dirichlet Laplacian的最小谱分割：埃及数学学会2011年原创文章

⊂02ð ÞJournalof the Egyptian Mathematical Society（2011）19，45埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章谱最小分拆q的若干定理B. 海尔格数学和数学的部分巴特。425，Universite'Paris-Sud，91405OrsayCedex，France2011年11月18日在线提供摘要给定Rn（或黎曼流形）中的有界开集X和X被k个开集Dj划分，我们考虑量maxjk（Dj），其中k（Dj）是Dj中拉普拉斯算子的Dirichlet实现的基态能量.如果我们用LkX表示maxjk（Dj）的所有k-分划上的下确界，则最小k-分划是实现下确界的分划。当k= 2时，我们找到了第二特征函数的两个节点域，但对更高k的分析是不平凡的，非常有趣的。本文是对文献[20]的补充，考虑二维情形，给出了极小谱划分的性质，并通过考虑圆盘、矩形或球面（k=3）等简单情形说明了困难。我们还将介绍这个相当新的课题的主要内容2011年埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍我们主要考虑Dirichlet Laplacian在一个有界区域X R2。我们想分析这个拉普拉斯本征函数的节点域之间的关系，q这项工作是与T. Hoffmann-Ostenhof和已继续与共同作者V。你好，我撒谎了。Hoffmann-Ostenhof，S. Terracini和G. 小瓶电子邮件地址：Bernard. math.u-psud.fr1110- 256 X？ 2011埃及数学学会。制作和托管由Elsevier B. V.CC BY-NC-ND许可下开放访问。同行评审由埃及数学学会负责。doi：10.1016/j.joems.2011.09.003cian和分区的X由k开集Di，这是最小的意义上，最大的在Di的基态能量1的Dirichlet实现的拉普拉斯H（Di）在Di是最小的在黎曼的情况在紧致流形上，自然的延伸是考虑Laplace Beltrami算子。我们用kj（X）表示其特征值的递增序列，用uj表示特征函数的某些相关标准正交基。 基态u1可以选择在X中严格为正，但其他本征函数uk必须有零集。 对于任何u C0X，我们将零集定义为Nufx2Xux 0g; 1并称XnN（u）的分量为u的节点域。节点的数量由u来决定。Theel（u）点头多马因斯定义e一k-parttition外来资产 X，withk=l（u）.1基态能量是最小的本征值。制作和主办：Elsevier关键词极小分拆;节点集;柯朗定理46B. 黑尔费尔D¼D2Ok1/1ðDÞ鲁塞2~~1/1n ~我爱你K让我们从回顾谱理论中两个非常经典的定理开始。第一个是柯朗节点定理。定理1.1（Courant）. 设kP1，kk是H（X）的第k个特征值，E（ kk ）是与kk相关联的特征空间.那么，6u2E（kk）n{0}，l（u）6k。如果在1维的斯特姆-刘维理论说，我们总是平等的前一个定理（这是我们将所谓的后来一个柯朗夏普的情况），第二theo-雷姆由于普莱杰尔在1956年说，这不可能是真的，当维度（在这里我们考虑的二维情况）是大于一。定义2.1.对于任意整数kP1，并且对于在OkX中，我们引入最大K值D大K值D最大值：100然后我们定义Lk;7如果Lk<$K≠ Dk，则称D2Ok为最小k-划分。当k=2时，众所周知（见[22]或[17]），L2k2和相关的极小2-划分是结点划分，即其元素是结点区域的划分对应于k2的本征函数。定理1.2（Pleijel）.存在k0使得如果kPk0，一个分区D¼ fD igk在Ok中的X称为强，如果然后luk;8u2Eknf0g：证明涉及的概念，将发挥重要作用的分区。1.3号提案对于H（X）的任何特征值k，对应于具有k个节点域的特征函数u，我们有pj2kPkjXj：120其中，表示X的面积，j是贝塞尔函数J0的最小正零点。该证明实际上是Pleijel证明他的定理[33]的一个副结果。这就是Faber-Krahn不等式：pj2kxPjxj：3如果u是H的一个本征函数，它附着在具有k个节点集的本征值k上，那么对于这些节点域中的任何一个，我们有：jDijkPpj：140对i求和，我们得到（2）。现在让我们回忆一下如何证明Pleijel定理。外尔理论认为，4pnk;5jX jInt[iDi n@X¼X：8附加到强划分，我们在X中关联一个闭集，称为划分的边界集ND[i@Di\X：9N扮演节点集的角色（在节点划分的情况下）。这导致我们通过其相关联的有界集N的性质来引入规则划分（或节点状）的集X，其应满足：定义2.2.(i) 除了有有限个不同的 xi2X\N在其邻域中，N是mi=m（xi）个光滑曲线（miP3）的并，其一端在xi处，N局部同构于正则曲线。(ii) oX\N由一个（可能是空的）有限点集zi组成。此外，N在zi附近，是到达zi的qi个不同光滑半曲线的并集。(iii) N具有等角交会性质。xi被称为临界点，并定义了集合X（N）。类似地，我们用Y（N）表示边界点zi的集合。等角相交性质是指半曲线在N的每个临界点处以及在边界处与边界的切线相交的角度相等。我们说的D i，D j是邻居或Di~Dj，如果n+1。如果n是大的，使用（5）和（2），并在D i j：1/4整数D i[D jn@X是连通的。我们与每一个注意j2.404的值，我们可以看到，域.2. 最小划分不能有n个节点通过将每个Di关联到一个顶点，每对D iD j一个边缘。 我们可以说，二分的，如果它可以被两种颜色着色（两个邻居有两种不同的颜色）。我们记得，与一个本征函数的节点域的集合相关联的图总是二部的。本文首先引入了k -划分的概念，即对k ~2N（kP ~ 1）.我们称X的k-划分为X中互不相交的集合的族D ^fDig。我们称之为开的，如果Di是X的开集，连通的，如果Di是连通的。我们用Ok（X）表示X的开连通划分集。我们现在引入谱最小分拆序列的概念。下面是两个分区的例子。左图对应于具有关联图的正则强二部划分，右图对应于具有关联图的正则强二部划分，右图对应于具有关联图的正则强非二部划分。谱最小分拆的几种算法简介4717D2OkðDÞð Þ¼ ð Þ1KK12345610789123765456 25343. 极小分拆It has been proved by Conti–Terracini–Verzini Hoffmann-Ostenhof这回答了[13]（第7节）中的一个问题。请注意，最近这个结果已在[27]中扩展到3D情况。推广：p-极小k-划分更一般地，我们可以考虑（见[25]）p2[1，+1]定理3.1. 对任意k，存在极小正则k-分拆.此外，任何极小k-划分都有一个正则表示。2另一个证明这种状态的弱版本1Kp和Xkomodikomp我1p;11[12][14][15][16][17][18]一个自然的问题是X的最小划分是否是节点划分，即H（X）的本征函数的节点域族。我们首先有以下逆定理-rem[22，25]：定理3.2. 如果最小划分的图是二部的，这是一个节点划分。一个自然的问题是，现在要确定以前的情况有多普遍。令人惊讶的是，这只发生在所谓的Courant-sharp情况下。我们说u是Courant-sharp，如果u2Ekk nf0g， 我的朋友：对于任意整数kP1，我们用Lk（X）表示H（X）的最小特征值，其特征空间包含一个特征函数Lk;pXinfKpD：12p = 1的情况出现在概率[13]和调和分析[5]中。我们写Lk;1XLkX和回忆单调性性质Lk;p<$X <$6Lk;q<$X <$ifp6q：<$13 <$p-最小k-划分的概念可以相应地推广到极小化Kp.请注意，不等式可以是严格的：可以采用两个磁盘的不相交并集（可能与细通道相关）。一个自然的问题是确定是否L2;1× 10-4L 2;1×1 0 -4这是一个很好的例子[5] 。我们最近证明了[24] （与T.Hoffmann-Ostenhof）不等式有k个节点域。 我们设Lk（X）=，如果没有具有k个节点域的本征函数。总的来说，人们可以看到，L2;1X14-羟基-1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1的kkX6 LkX6Lk X：10最后一个结果给出了等式情况的全貌定理3.3. 假设X<$R2是正则的。如果LkXLkX或是“一般性的”满足。此外，本文还给出了（14）成立的凸域的几个例子（等边三角形）.这回答了[12]中的一些问题。Pleijel不等式（2）给出了L<$xpppkpj2：我们实际上可以得到KK那么，k XL XL X L：pj2k k kk）Courant-sharp本征函数。Lk;1XPkk：15此外，可以在E（k）中找到我们确实有LXiuXiuP1infK1723468109！更好的不平等：.K48B. 黑尔费尔k;1B2BkP. pj2=jDj，对于任何部分i-我我X的D。 但观察到P jD ij 6 jXj;之前的低点-2模集的容量为0。er bound意味着：谱最小分拆的几种算法简介49k61i我K联系我们ðDÞ\ðDÞ ¼ ðDÞ\DðDÞ2 -1þ222pj2Lk;1XPkjXjPinf1pj2k<$kjXj证明主要依赖于欧拉公式（下面重新调用）以及相关图应该是三角形的属性。对于ki1，对于所有i，确确实实得到了下确界。4. 特殊整环的k-极小分拆的例子利用定理3.3，现在可以更容易地分析圆盘或矩形的情形（至少在无理数情况下），因为我们只需检查哪些本征值可以找到相关的Courant-sharp本征函数。k=3的情况在正方形的情况下，不难看出L34.1号提案 设U是R2中具有分段C1+边界的开集，设N是闭集，使得UnN有k个分支，并且使得N满足定义2.2的性质。设b为o U 的分 量数和 b1 是N[oU] 的分量数。 用 m（ xi） 和q（zi）分别表示与x i X（N），z iY（N）相关联的弧的数目。 然后X.mxi1Xxi2XNzi2YN严格小于k3。我们确实观察到，没有对应于k2=k3与三个节点域和k4>k3的本征函数。仅限于半矩形，并假设存在一个最小剖分，它与正方形的对称轴之一垂直于两个相 对 边 对 称 ， 将 其 归 结 为 分 析 一 族 数 值 计 算 由 V.Bonnaillie-Noeül和G. Vial[9]导致对称最小划分的自然候选者。见图1。本文给出了3-分拆的可能拓扑类型的一些结果[23]设X是单连通的，考虑一个最小值，分区D1;D2;D3与L3和Sup.3相关，假设它不是双向的。设XDXN D是NX，令YN@X。 那就有三个这取决于临界集的不同配置。● 内部一个奇点和边界上三个点● 内部有两个奇点，边界上没有点，● 两个奇点和两个边界点。图1在正方形的3-分割的候选者的半正方形上的迹线。通过相对于水平轴对称，从半正方形这导致（取得了一些成功）分析具有某种拓扑类型的最小partition。如果另外，我们引入一些对称性，这有助于猜测最小可分划的一些候选者。在磁盘的情况下，我们没有证据证明最小的3分区是“梅赛德斯星”或Y分区见（图。 2）的情况。但是如果我们假设最小3-划分是第一种类型，那么通过对穿孔圆盘进行双重覆盖，可以证明它确实是Y-划分。我们强调，我们没有证据表明，候选人描述的磁盘或广场是最小的3-分区。但如果我们假设最小分拆只有一个奇点，最大的点，并具有对称性，然后数值计算导致图1。数字暗示更多：正方形的中心是分割的临界点。一旦这个性质被接受，一个双重覆盖论证表明，这是一个节点划分在覆盖上的投影。Bonnaillie-Helffer [6]在数值上探讨了这一观点，并在理论上证明了这一点cally by Noris–Terracini请注意，有一个有趣的替代算法方法[9]和[10]。我们也可以尝试寻找一个最小的分区具有对称的对角线。这导致K的相同值。因此，这强烈地（图3）表明，有一个连续族的最小3-分拆的平方。这可以用一个双重覆盖的论点来解释[7]，这是类似的对Jakobson-Levitin-Nadi- rashvili-Polterovich [29]和Levitin-Parnovski-Polterovich [30 ]的等谱性论证进行了改进。另见Be'rard[2，3]，Sunada[35]的旧论文和O.Parzanchevski和R.乐队[34]。最小5-分割使用覆盖方法，我们能够（用V。Bonnaillie）在[6]中产生了以下特定拓扑类型的最小5-划分的候选1（图1）。 4）.123图2磁盘的Y分区和相应的图形.图3具有不同对称性的正方形的两个候选者。132k¼ b1- b0qiuzi1：1616我X50B. 黑尔费尔DDK2¼ð Þ2-333第1页K¼-PjXjlim六角晶系：1717K图4正方形的5-分割的候选D1与其它可能的极小5-分拆拓扑类型进行比较是有趣的。它们可以用欧拉公式（见（16））分类。受[18]中数值计算的启发，人们寻找一种具有正方形对称性和四个临界点的构型。我们得到两种类型的模型，我们可以减少到一个像[8]中那样将Neumann边界移动到一侧会导致两个候选人2和3。一个具有较低的能量K，另一个恢复[18]中的图片（图1）。 5）。请注意，在磁盘的情况下，类似的分析会导致不同的答案。由五个等角度的半部分划分的磁盘具有比具有四个奇点的最小5划分更低的能量（图10）。 6）。5. k大问题：六角猜想我们从M.范登伯格。他们也提到在第一个是证明极限的存在。猜想5.1. 存在Lk<$X<$=kaskfi+1的极限。图6磁盘5分区的两个候选分区但我们目前还不知道在我们的背景下证明这一点的任何方法。我们在[8]中通过控制这个猜想的许多结果在数值上是正确的，在数值上探索了为什么这个猜想看起来是合理的。其他最近的数值计算致力于lim k！1Lk;1X和最小划分的渐近结构，Bourdin–Bucur–Oudet6. 球面上的问题与Bishop猜想让我们提及关于S2的一个有趣的猜想和一个很新的定理.我们用球坐标（h，f）来参数化S2[0，p]·[p，p]，其中h=0对应于北极，hp对应于赤道，h=p对应于南极。S2有一个特殊的划分对应于半超平面对S2的/0;2 p; 2 p.我 们 称 这 种 划 分 为 Y划 分 . Bishop-Friedland-Hayman [19，5]的猜想猜想6.1.Y-划分给出了一个极小的3-划分，当最小化1时，在所有的3-分区上的3kDj实际上，对于maxk（D）也可以有同样的猜想J J第二个特别指出，极限是独立的-dent ofX，如果X是正则域。猜想5.2这个版本的猜想实际上是第一个猜想的结果（因为所有的基态能量对于Y分区都是相等的），但可能更容易证明。事实的确如此，Helffer-T 也证明了这一点。Hoffmann-OstenhofLkjXjlim¼k六方晶系：1 1国王！þ1当然，正六边形镶嵌的最优性在物理学的各种背景下都出现了。在第二个猜想中很容易给出上界，而Faber-Krahn给出了一个涉及圆盘上第一个本征值的较弱的下界。注意，猜想5.2的一个更强的版本是，Lk;1X1 1国王！þ1定理6.2. Y-划分给出了S2当在S2的所有3-分区上最小化maxjk（Dj）时。在前几部分中所发展的技术对第二个猜想给出了一些启示，该猜想与Mercedes星猜想有一些相似之处一个特殊的作用是证明在3-划分的边界上我们有两个对跖点。这涉及我们已经看到，对于圆盘，maxjk（Dj）的最小4-划分仅仅包含在圆盘中的补中，图5正方形的5-分割的三个候选者S2.谱最小分拆的几种算法简介512KX442K12个pðÞX2X2联系我们0联系我们0K'2 N X 1 ;. ;XKX122019 -02- 22R2R2KKXX_q4444第1页两个垂直的轴。 可以认为S2的最小4-划分可以是通过切割S2获得的，或者通过两个平面f = 0和h/lp，或者通过两个平面f =0//p。这实际上是排除在外的：其中，x=x0，y=0， 我们说一个函数u是KX-real，如果它满足KXu=u。然后运算符-DAX 是保持KX-实函数，2S2不能是节点分区.这在[26]中通过观察第二特征值的重数是3来证明，我们可以考虑一个基K×-实本征函数。因此，我们只分析ABX-哈密顿量对因此，在谱空间中的任何本征函数，KX-实空间L2哪里k2= k3= k4只有两个节点域（因此不能是柯朗夏普）。2KXXÞ ¼fu2L2ðX_X;KXug：正如在[19]中已经提到的，至少有一种天然的立方体是球形正四面体。数值计算，3给出，相应的4-分区D四KDTetra~5：13：118因此，我们得到，15LS26KDTetra6¼LS2：19关于大k行为，很自然地推测了结果表明，这样一个K-X实本征函数的节点集具有相同的结构作为一个拉普拉斯算子的本征函数的节点集，除了一个奇数的半线应满足在X。首先，我们可以将我们的Aharonov-Bohm哈密顿量的构造推广到具有不同点X1，…. ，X我们可以把磁势X猜想6.3. ‘‘Hexagonal’’ conjecture on其中X =（X1，. . ，X我们也可以建立（见[21]）反线性算子KX，其中hX被多值函数/X代替，使得d/X=2AX且ei/X是单值的LimLkS21/4limLk;1S21kuhexa1：20C1。然后我们可以考虑KX的实子空间国王！100万美元国王！100万美元面积200平方米第二语言功能XX_X它已在[21]中显示（另猜想中的第一个等式对应于Bourdin-Bu-cur-Oudet[11]最近的论文中很好地说明的想法，即渐近地作为kfi+，最小值Kp的k-分区将对应于D[1]）K-X-实本征函数具有正则节点集(likeDirichletLaplacian的本征函数），除了在每个奇点Xj（j = 1，.. . ，在一个单一的情况下，是平等的。jj点，Berger-Rubinstein [4]对第一个本征函数观察到了这一事实。我们用Lk<$X_X<$表示最低本征值，这个六角猜想对任何紧致曲面M都可能成立（将（20）中的S2替换为M）。猜测是，这个六角猜想是一个7. Aharonov-Bohm方法(i)Aharonov-Bohm算子值（如果有的话），使得存在一个KX-实特征函数[2019 - 02 - 18][2019 - 02 - 18][2019 - 02- 18](ii) 关于最小划分的磁性特征我们现在讨论[6]中提出的下列猜想（简短版）。猜想7.1. 设X是单连通的。然后让我们回顾一下关于阿哈罗诺夫的一些定义和结果玻姆哈密顿（简称ABX-哈密顿），下载中心INFLX_：‘在[7，21]中引入了X的gularity，并受到工作的激励of 我们用X =（x0，y0）表示磁极的坐标，并考虑在X U1 = 2处具有重正化磁重的磁势：让我们举几个例子来说明这个猜想。 当k=2时，不需要考虑穿孔的X。对于“= 0”，得到了下确界。 当k = 3时，可以表示(see下面第二个注释），这是足够的，以尽量减少AXx;yAXx;y;AXx;y1 .一、y-y0;x-x0：21在“= 0”、“= 1”和“= 2”上。在磁盘和正方形，它被证明是最低限度不能为我们知道磁场在X_X中相等地消失。ABX-哈密顿量是通过考虑从C10开始的Friedrichs扩张而 X_X相关的微分算子为并且我们猜想对于' = 1，下确界是在中心处的穿孔域上达到的。对于k=5，似乎在 正方 形的 情况 下 ' = 4 的 下 确 界 和 在 圆 盘 的 情 况 下 ' = 1 的 下 确界。-DAX：¼英寸Dx-A1英寸Dy-A2英寸Dx让我们非常简单地解释一下为什么这个猜想是自然的。¼ -i@x和Dy¼-i@y：220设KX是反线性算子KX¼ eihXC;考虑最小k-划分D1;. ;Dk，我们知道的 它 具有 一 定期 代表 和 我们 表示为X奇数： X1;.. . ;X'对应于奇数条相交半线的划分的临界点。 然后我们怀疑LXkX_（柯朗夏普情况）。一3由M发送给我们。科斯塔贝尔我们在[25]中已经证明了其中ui是H（Di）的基态且ui-ujLAX¼AXj;¼50B. 黑尔费尔P在D中e 的适当平方根，使得s<$x<$u<$x<$isiii~D是H（D ij）的第二特征函数，当D iD j时。希望找到一个序列ei（x）的S1值函数，其中ei是一个4i/X我ABX-哈密顿量的本征函数，特征值Lk。反之，X _ X上Aharonov-Bohm算子对应于Lk的结点域的任何族都给出k-划分.备注7.21. 在X不是单连通的情况下，我们还应该增加在某些情况下创建重正化的x1的可能性[13] K.布尔济河Holyst，D.张文辉，等[14] 洛杉矶Caffarelli，F.H.林，特征值的最优划分问题，J. Sci.Comput. 31 （ 1/2 ） （ 2007 ） ， doi ： 10.1007/s10915-006-9114.8。[15] M.孔蒂河，西-地泰拉奇尼湾Verzini，与非线性特征值相关的最优划分问题，J. Func. Anal. 198（2003）160[16] M. 孔蒂河，西-地泰拉奇尼湾陈晓，张文，张文，等.反应扩 散方 程 组的 空 间分 离 问 题[J]. 数 学学 报 ， 2005 ， 24（1）：洞。2[17] M. 孔蒂河，西-地 泰拉奇尼湾 Verzini，关于一类最优2. 欧拉奇怪与傅里叶变换谱和单调性公式，计算变种22（2005）45单连通域X的基数满意ðDÞ[18] O. Cybulski，V. Babin，R. Holyst，空间分割过程中Renyi熵产生的最小化，Phys.Rev.#X奇数位数62k- 3：1230确认我 们 感 谢 所 有 的 合 作 伙 伴 V 。 Bonnaillie-Noeül， T.Hoffmann-Ostenhof，S. Terracini和G.小瓶我们也非常感谢在开罗举行的这次埃及-法国会议的组织者。引用[1] B. Alziary，J. Fleckinge r-Pelle'，P. R2中磁薛定谔算子的特征函数和Hardy不等式，数学。方法应用Sci. 26（13）（2003）1093[2] P. Be'rard，Transplantatio netisospectralite'.我 数学 Ann.292（3）（1992）547-559。[3] P. Be'rard，Transplantationetisospectralite'.II ，J. Lond. 数学（2）48（3）（1993）565-576。[4] J. Berger ， J. Rubinstein ， 关于超 导波函数 的零点 集，Comm.数学Phys. 202（3）（1999）621[5] C.J.毕晓普，一些问题有关调和措施，在：B. Dahlberg（编辑）例如，偏微分方程的最小光滑性及其应用，IMA，数学应用，第42卷，1992年，页。八九比九十七[6] 诉Bonnaillie-Noeül，B.Helffer，NumericalanalysisofnodalsetsforeigenvaluesofAharonov-Bohm Hamiltonians on the square and application to minimalpartitions，Preprint ESI 2193（2009）and shorter submittedversion.[7] 诉 Bonnailli e-Noeül，B. Helffer，T. 张文，等，谱最小划分，Hamilton方法及其应用，物理学报，2001，（1）：100 - 101。42（18）（2009）185203.[8] 诉Bonnaillie-Noeül，B. Helffer，G. Vial，节点域和谱最小划分的数值模拟，ESAIM控制优化。计算值变量，2008年doi：10.1051/cocv：2008074。[9] 诉 Bonnaillie-Noeül，G. Vial，节点域和谱最小划分的计算，2007 年。网址：.[10] F.李文，竞争系统空间分离的数值算法，北京大学学报，2001。Sci. Comput. 31（5）（2009）3946[11] B. Bourdin，D. Bucur，E.吴文，特征值的最优划分，吴文，李文。Sci. Comput. 31（6）（2009/10）4100[12] D.布库尔湾Buttazzo，A. Henrot，一些最优划分问题的存在性结果，Adv.数学Sci. Appl. 8（1998）571[4]注意，通过构造，DiE71（046130）（2005）。[19] S. Friedland，W.K.海曼，球上狄利克雷问题的特征值不等式 和 次调 和 函 数的 增 长 ， 评 论。 Math. Helveillance 51（1976）133[20] B. Helffer ， On nodal domains and spectral minimumpartitions：a survey，Milan J. Math.78（2）（2010）575[21] B. Helffer，M. Hoffmann-Ostenhof，T. 霍夫曼-奥斯滕霍夫M.P. 张文，非单连通域中零磁场薛定谔算符基态的节点集，《物理与数学通讯》，202（3）（1999）629-649。[22] B. Helffer，T. Hoffmann-Ostenhof，节点域的逆谱问题，Mosc。J. 7（1）（2007）67[23] B.Helffer ， T.Hoffmann-Ostenhof ， Spectrumanddynamics ，CRM Proc. Lecture Notes ，vol. 52 ，AmericanMathematical Society，Providence，RI，2010，119-135.[24] B. Helffer，T. Hoffmann-Ostenhof，关于最小谱划分的两个概念，Adv.数学Sci. Appl. 20（1）（2010）249[25] B. Helffer ， T.Hoffmann-Ostenhof ， S.Terracini ， Nodaldomainsandspectralminimalpartitions，Ann. Inst. H. 庞加莱和肛门。 NonLine'aire26（2009）101-138.[26] B. Helffer，T. Hoffmann-Ostenhof，S. Terracini，关于谱最小分割：球面的情况。围绕Vladimir Maz'ya III的研究[27] B. Helffer，T. Hoffmann-Ostenhof，S. Terracini，3D中的最小谱划分，为纪念L。尼伦伯格，出现。[28] L.希莱雷角Judge，The eigenvalues of the Laplacian on domainswith small slips，arXiv：0802.2597，Trans. Amer. Math. Soc362（12）（2010）6231[29] D. Jakobson，M.Levitin，N.纳迪拉什维利岛Polterovic，混合Dirichlet-Neumann边界条件的谱问题194（2006）141-155。[30] M.列维京湖帕尔诺夫斯基岛林明，等谱域的混合边界条件，2006年3月15日，arXiv.math.SP/0510505 b2.[31] B. Noris，S. Terracini，Aharonov-Bohm 型磁薛定谔算子的节点集和能量最小化分区，预印本2009。[32] B. Noris，S.泰拉奇尼，私人通讯。[33] A. Pleijel，关于柯朗节点定理的评论，Comm. Pure。应用数学9（1956）543[34] O.帕尔赞切夫斯基河带，线性表示和边界条件的等谱，arXiv：0806.1042v2 [math.SP]，2008年6月7日。[35] T.孙田，黎曼覆盖与等谱流形，Ann. Math.（2）121（1）（1985）169