化学反应对多孔介质中的磁流体Williamson流体湍流的影响

工程科学与技术，国际期刊19（2016）53全长文章化学反应对多孔介质M.R. Krishnamurthya，B.C. Prasannaeirarab，B.J. Gireeshaa，c，*，Rama Subba Reddy Gorlaca印度卡纳塔克邦希莫加Shankaraghatta Kuvempu大学数学研究系，邮编577 451bGovernment First Grade College，Koppa，Chikkamagagaru，Karnataka 577126，Indiac美国俄亥俄州克利夫兰市克利夫兰州立大学机械工程系A R T I C L E I N F OA B S不 R 一C T文章历史记录：2015年5月18日收到，2015年6月24日收到修订2015年6月29日接受2015年8月8日在线发布关键词：Williamson纳米流体拉伸表面熔融传热热辐射化学反应本文数值研究了辐射和化学反应对磁流体Williamson流体通过多孔介质向水平线性拉伸薄片流动的稳态边界层湍流的影响。适当的相似变换，推导出一组非线性常微分方程控制的湍流。用Runge-Kutta-Fehlberg四阶-五阶方法和Shooting技术对所得的无量纲边值问题进行速度、温度和浓度的分布图由许多热物理参数控制，并以图形方式显示。根据这些曲线给出了结论，并对所得结果进行了精度检验。© 2015 ， Karabuk University. Elsevier B. V. 制 作 和 托 管 这 是 CC BY-NC-ND 许 可 证 下 的 开 放 获 取 文 章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍由于纳米颗粒的小尺寸和非常大的比表面积，纳米流体具有优异的性质，如高导热性、流动通道中的最小堵塞、长期稳定性和均匀性。因此，纳米胶体在电子冷却、药物给药机制、用于糖尿病治疗的蠕动泵、太阳能收集器和核应用中具有广泛的最初，Choi和Eastman[1]提出了用于悬浮含有超细颗粒的液体的纳米胶体的概念。Khan和Pop[2]在他们关于纳米流体的第一项工作中考虑了拉伸片材上的湍流问题Gorla和Chamkha[3]分析了具有自然对流边界层的纳米流体在多孔介质水平平板上的Gireesha等人[4，5]已经研究了悬浮在纳米流体流中的灰尘颗粒经过拉伸表面的影响。在许多工程和工业过程中发现了非牛顿流体，例如食品混合和食糜在食品中的运动* 通讯作者。联系电话：+91 9741148002，传真：+91 08282256255。电子邮件地址：g. csuohio.edu（B. J. Gireesha）。由Karabuk大学负责进行同行审查。肠、血液流动、血浆流动、汞合金流动以及重油和油脂润滑。AlamKhan和Khan [6]用同伦分析方法（HAM）得到了Williamson流体的Blasius、Sakiadis、拉伸和驻点流四个问题的级数解. Nadeem等人[7，8]提出了线性和指数拉伸表面上Williamson流体的二维湍流分析建模Hayat等人文[9]对Williamson流体通过多孔板时的非时变MHD流进行了级数解。非牛顿流体按性质分为粘弹性流体、粘弹性流体、极性流体、各向异性流体和具有微结构的流体。其中Williamson流体是粘-非弹性流体之一。虽然纳米流体已经被大量地研究为牛顿流体，但是最近，它们的流变特性通过纳米流体传输现象的非牛顿模型建立。 许多研究都集中在非牛顿流体作为基础流体与悬浮纳米粒子在拉伸片。Rizwan等人[10]通过假设对流表面边界条件，提出了卡森流体模型的纳米颗粒Malik等人[11]获得了Casson纳米流体通过指数拉伸圆柱体的时间无关边界层流动和传热的相似解。Jeffrey胶体具有应力松弛延迟比的特性Jeffrey模型的定常流http://dx.doi.org/10.1016/j.jestch.2015.06.0102215-0986/© 2015，Karabuk University.由Elsevier B. V.制作和托管。这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http：creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。出版社：Karabuk University，PressUnit ISSN （印刷版）：1302-0056 ISSN（在线）：2215-0986 ISSN（电子邮件）：1308-2043主 办可 在 www.sciencedirect.com上 在 线ScienceDirect可在ScienceDirect上获得目录列表工程科学与技术国际期刊杂志主页：http://www.elsevier.com/locate/jestch54M.R. Krishnamurthy等人/工程科学与技术，国际期刊19（2016）53Nadeem等人[12]研究了纳米颗粒的存在。Shehzad等人[13]开发了一个太阳能模型，以探索磁流体动力学三维湍流中热泳和布朗运动的特性 纳米 杰夫瑞.在另一项研究中，Shehzad等人。[14]观察到Jeffrey流体在拉伸表面上的MHD流中的纳米颗粒的影响。他们考虑了热对流边界条件和纳米颗粒浓度对流边界条件。Hussain等人[15]进行了一项分析，以讨论不可压缩Jeffrey纳米流体在指数拉伸表面上的二维磁流体流动的传热和传质分析。Khan等人[16]分析了三维Oldrophil-B纳米流体在具有热生成/吸收的双向拉伸片材上的自由对流边界层湍流。他们采用Oldrophil-B流体模型来描述粘弹性纳米流体的流变行为。Hayat等人[17]使用众所周知的分析方法，即同伦分析方法（HAM），获得了粘弹性纳米流体在拉伸圆柱体上的流动的级数解，同时具有传热和传质的影响Nadeem和Hussain[18]考虑了Williamson流体在拉伸片上的最近，Ramesh和Gireesha[19]研究了热源/散热器对在具有对流边界条件的拉伸片材上悬浮有纳米颗粒的Maxwell流体的时间无关边界层湍流的影响。在过去的几年里，大量的实验-为了确定自然对流在伴有熔化或凝固效应的传热动力学中的作用，进行了大量的理论工作。涉及非牛顿流体中的熔化传热的过程在热工程中有很好的应用，例如石油开采，岩浆凝固，永久冻土的融化，地热能回收，硅晶片工艺，热绝缘等。Roberts[20]是第一个描述稳定状态下热空气流中冰的熔化现象的Epstein和Cho[21]研究了垂直熔融表面上的层流膜冷凝。Chamkha等人[22]分析了横向磁场对水磁强制对流流动的影响，在熔化和生热或吸收的影响下，纳米流体在水平拉伸板上进行传热和传质。Gorla等人[23]提出了一种边界层分析方法，用于分析纳米流体在熔融表面上平行于均匀自由流运动的温暖层流。Prasannaeiara等人[24]研究了存在热辐射和非均匀热源/热汇的情况下，伸展片上含尘流体的MHD驻点流动中的熔化现象。含化学反应介质的传热传质研究在冶金和化学工程工业中，如食品加工和聚合物生产中，对拉伸片材的影响具有重要作用。此外，在化学反应存在下的耦合传热和传质问题在许多过程中是重要的，因此近年来受到相当可能的应用可以在以下过程中找到，例如干燥、农田和果树林上的温度和水分分布、由于冻结导致的农作物损害、水体表面的蒸发和湿式冷却塔中的能量传递以及沙漠冷却器中的对流。Chamkha和Aly[25]在Soret和Dufour数以及一阶均相化学反应的影响下，获得了极性流体朝向嵌入多孔介质中的拉伸表面的稳定边界层驻点流动的数值解。Aurangzaib等人[26]研究了热分层和化学反应对自由对流边界层MHD流的影响，Fig. 1. 拉伸薄板上边界层流动示意图。一种随时间变化的导电性液体拉伸片。Abd El-Aziz[27]获得了数值结果，以研究随时间变化的化学反应对纳米流体在拉伸片材上的驻点流动和传热的影响。Einstein和Mandal[28，29]使用数值方法研究了在热辐射、热源/热汇、粘性耗散和化学反应的可渗透拉伸/收缩片材上方的滞流点处的尽管对拉伸薄板的湍流现象的研究已经取得了相当大的进展，但仍需要做更多的工作 了解不同的非牛顿模型对熔化的影响，以及对任何具有工程意义的物体形状的精确分析方法。然而，这一课题的理论研究却受到阻碍， 描述湍流的方程的复杂性。本研究的重点是讨论Williamson流体模型的纳米颗粒分析。利用相似变换对控制方程进行了简化 的 的 问题转化为非线性常微分方程组 微分 方程 然后用Runge-Kutta-Fehlberg-45方法和Shooting技术对得到的相似方程进行数值求解。2. 数学公式考虑不可压缩Williamson纳米流体在嵌入多孔介质的拉伸表面上的二维定常流动。板沿x轴以速度轴拉伸，拉伸参数为α0假设近表面的流体速度、温度和纳米颗粒浓度分别为Uw、Tw和Cw，如图12所示。1.一、此外，设熔化表面的温度为Tm，自由流条件下的温度为T，其中TTm。粘性耗散和热产生或吸收被假定为可忽略不计的小。对于本问题，可以在直角坐标系下写出纳米流体稳态流动的质量、动量、能量和浓度守恒基本方程 x和 是的，uv0,(2.1)阿克斯埃什基M.R. Krishnamurthy等人/工程科学与技术，国际期刊19（2016）5355W11X1u2x2uB20u，2002年2月，（2.2）感兴趣的物理量，如表面摩擦系数（ Cf）、局部努塞尔数（Nux）和局部舍伍德数（Shx），定义为：TT2002TCTT21个月qxq xq乌布夫拉克莱姆 中国DB中国，（2.3）但是，Shm和cW，（2.14）阿斯特丽德第二次世界大战yy萨夫 埃什基kTmD Cw2012年2月uC v D 年12月22日 年，T.（2.4）其中，剪切应力（εw）、表面热流（qw）和表面质量x2002年2月λ ux（qm）由下式给出：相应的边界条件由下式给出联系我们拉吉乌u2你有一把斧头，你好，C Cwaty0，qwy，qmy，y2017年12月日y0。（2.15）u0T，作为 但是，和使用无量纲变量，我们得到kTyy=0你知道吗？（2.5）NuRe，1CRe22 2和（2.16）使用辐射的Rosseland近似，辐射热通量被简化为，4 *T4ShRe哪里 Re xUwqr3ky，（2.6）其中，k*是假设气流内的温差足够小，使得T4可以用关于自由流温度的截断泰勒级数表示为温度T的线性函数，并且忽略我们得到的高阶项，T4TT33T。（ 2.7）将（2.6）和（2.7）代入（2.3），我们有3. 数值方法用Runge-Kutta-Fehlberg四阶-五阶方法和Shooting技巧求解了带有边界条件（2.13）的非线性常微分方程（2.10）一组非线性常微分方程在f中是三阶的，在f和f中是二阶的，并且首先被简化为一个联立常方程组。为了使用TT2002TCTT216米*T32002T又有三个初始条件缺失然而，乌布夫拉克莱姆 中国DB别这样（2.8）f，，是 已知 当没关系 这些 结束条件阿斯特丽德第二次世界大战yy3k*f 第二次世界大战用于获得未知的初始条件，在2000年使用拍摄-控制方程可通过以下相似变换化为常微分方程ing技术。打靶法通过对初值的假设，将边值问题转化为初值问题。计算的边界值必须与实际边界相匹配你好，我不知道，Tm一个12 y，你好，我是C.CCw（2.9）ary值。使用试错或一些科学方法，人们试图尽可能接近边界值该方法的关键是选择合适的远场边界条件的有限我们在一个大的情况下，但速度变化不大的情况温度等等。我们运行批量计算，流函数定义为使得u为零且v为零。黑猩猩在上述变换的帮助下，等式（2.1）是一致满足的，并且等式（2.2）、（2.4）和（2.8）以及边界条件（2.5）采用以下形式：f ff2 Q kp0，（2.10）42最大值为λmaxλ5，对于所考虑的所有参数值，该值足以渐近地实现远场边界条件。为了检验所用数值计算方法的准确性，我们对下列情况进行了第一次试算：并 与 表 1 中 Khan 和 Pop[2] 、 Golra 和 Sidawi[30] 以 及 Nadeem 和Hussain[18]的可用结果进行了比较，发现它们非常一致。13RPr0，（2.11）56M.R. Krishnamurthy等人/工程科学与技术，国际期刊19（2016）53LefNt0，（ 2.12）NB其中，f、f和f是f的函数，素数表示关于的导数。相应的边界条件将采用以下形式：表1不同Pr值下粘性液体的粘度比较f0，Prf0，你好，你好，（2.13），你好，我很高兴见到你。PR可汗和波普[2][30]第三十话纳迪姆和侯赛因[18]本0.070.0660.0660.0660.066240.200.1690.1690.1690.169120.700.4540.4540.4540.454322.00.9110.9110.9110.91225M.R. Krishnamurthy等人/工程科学与技术，国际期刊19（2016）5357图二. （a）熔化参数（M）对速度分布的影响。(b)熔化参数（M）对温度分布的影响。4. 结果和讨论速度、温度和浓度分布通过求解方程（2.10）数值用图表表示，以研究各种流动控制参数如磁参数、普朗特数、辐射参数、渗透参数、化学反应参数、熔化参数等的影响。图3.第三章。 化学反应参数（化学反应参数）对浓度分布的影响。参数、Williamson参数、Lewis数、布朗运动和热泳参数。图2a和2b显示了不同熔化参数值下的速度和温度分布。据观察，随着M值的增加，速度和边界层厚度增加和减少的温度分布。这是因为M的增加将增加熔化的强度，熔化的强度在拉伸表面处充当吹送边界条件，因此倾向于使边界层变薄。浓度随化学反应参数的变化曲线如图3所示。结果表明，化学反应参数的增大使边界层中的组分浓度降低，而流体的速度和温度随化学反应参数的增大变化不大.这是由于该系统中的化学反应导致化学品的消耗，从而导致浓度分布的降低。最重要的影响是，一级化学反应有减少溶质边界层中溶质浓度分布的过冲的趋势。图 4a和4b解释了辐射参数对TEM的影响。温度和浓度曲线。观察到随着R值的增加，温度分布减小，浓度分布增加。这是因为在存在化学效应的情况下，辐射参数R的增大导致边界层厚度减小路易斯数（Le）对浓度和温度分布的影响如图所示。 5a图四、（a）辐射参数（R）对温度分布的影响。辐射参数（R）对浓度分布的影响58M.R. Krishnamurthy等人/工程科学与技术，国际期刊19（2016）53图五、（a）路易斯数（Le）对浓度分布的影响。（b）路易斯数（Le）对温度分布的影响和5b可以清楚地观察到，随着Le的增加，纳米颗粒的体积分数以及其边界层厚度显著增加。我们还可以观察到温度曲线下降。图6描述了Pr对温度分布的影响。在熔化参数存在的情况下，普朗特数的增加使温度分布增加。图图7a和图7b描绘了磁参数（Q）对无量纲速度和温度分布，分别。在导电的液体中存在磁场会产生一种称为洛伦兹力的力，这种力与电磁流相反。这见图6。普朗特数（Pr）对温度分布的影响。由于阻力的作用，使流动速度减慢，因此Q值增大的作用是使流动速度降低，同时也使流动温度升高。布朗运动（Nb）和热泳参数（Nt）对温度和浓度分布的影响见图1A和图1B。图8a和图8b以及图9a和图9b分别示出。从这些图中可以观察到，（Nb）值的增加会增加温度曲线并降低浓度曲线，而（Nt）值的增加会增加这两个曲线。图10a和10b显示了渗透率参数（kp）对速度分布的影响。很明显，多孔介质的存在因此，随着渗透率参数的增加，对流体运动的阻力增加，因此速度降低。图11a和图11b示出了纳米流体速度随着非牛顿Williamson参数（λ）的增加而减小。图12 a和12 b被绘制以解释Williamson和熔化参数对表面摩擦系数和局部努塞尔数的影响。在这里，我们研究了两种情况下，即在存在和不存在纳米粒子的Williamson胶体。可以看出当你滑雪时，你会感到很轻松，2随着温度的升高，局部努塞尔数减小，熔化参数，这是合理的，从物理的角度来看是预期的。有趣的是，对于这两个参数，在纳米颗粒存在下的Williamson流体的表面摩擦力以及局部Nusselt数大于在不存在下的表面摩擦力和局部Nusselt数。见图7。（a）磁参数（Q）对速度分布的影响。(b)磁参数（Q）对温度分布的影响。M.R. Krishnamurthy等人/工程科学与技术，国际期刊19（2016）5359图8.第八条。（a）布朗运动参数（Nb）对温度分布的影响。（b）布朗运动参数（Nb）对浓度分布的影响图图13 a和13 b示出了对于熔化表面和非熔化表面，Nb、Nt对局部Nusselt数和Sherwood数的影响。在熔化和非熔化表面上，局部Nusselt数和Sherwood数均随Nb和Nt的在熔化表面的情况下，传热显示出很小的变化与Nb和Nt图14揭示了表面处的热传递速率随着Pr而增加。这是由于较高的普朗特数减小了热结合层厚度并增加了表面传热速率。图15a和15b显示了路易斯数（Le）和化学反应参数（ε）对努塞尔数的影响，舍伍德数， Pr和 R. Both0 and0 increase与（乐），并减少与（）。此外，我们可以观察到，随着辐射参数R的增大，变化 温度梯度 纳米粒子和纳米颗粒给出了体积分数梯度ε（）ε（）ε（）ε（）与渗透率参数（kp）、熔化参数（M）、化学反应参数（K_（））和非牛顿Williamson参数（K（））的关系表2中 从这张表中，我们可以看到， 0and随着kp、M、ε和ε的增大，ε_（max）、ε_（max）、ε_（max）和ε_（max）减小。表3中给出了表面摩擦系数相对于非牛顿Williamson参数（λ）和熔化参数（M）的变化。从该表中，可以观察到表面摩擦系数随（λ）和（M）两者而减小。图9.第九条。（a）热泳参数（Nt）对温度分布的影响。（b）热泳参数（Nt）对浓度分布的影响图10个。（a）渗透率参数（k p）对速度分布的影响。（b）渗透率参数（k p）对温度分布的影响。60M.R. Krishnamurthy等人/工程科学与技术，国际期刊19（2016）53见图11。（a）威廉森参数（Williamson parameter）对速度分布的影响。（b）威廉森参数（Williamson parameter）对温度分布的影响5. 结论数值研究了熔化、辐射和化学反应对Williamson流体在纳米粒子存在下朝向水平线性拉伸薄板的定常边界层流动的影响。用Runge-Kutta-Fehlberg-45方法和Shooting技术对变换后的非线性常微分方程组进行数值求解对于不同的有关参数值，给出了速度、温度和浓度分布的结果如果反应速率与浓度本身成正比，由于与周围介质发生不同类型的化学反应，可以产生或吸收扩散物质，这可以极大地影响性能和成品质量。还考察了各种参数对努塞尔数和表面摩擦系数的影响。最重要的结果总结如下：• 随着熔化参数的增大，速度和边界层厚度增大，温度分布减小.• 化学反应参数使浓度分布变小• 随着辐射参数值的增加，温度曲线减小，浓度曲线增大。• 磁参数的作用使其速度降低，温度升高。图12. （a）摩擦系数和摩阻系数对表面摩擦系数的影响。(b)温度梯度的影响图13岁（ a）Nt和Nb对温度梯度的影响。（ b）Nt和Nb对浓度梯度的影响。M.R. Krishnamurthy等人/工程科学与技术，国际期刊19（2016）5361表2计算了不同参数值下的壁温梯度（ε_n0）和壁纳米粒子体积分数梯度（ε_n0）。KPM 0 000.50.20.010.33452.165610.29751.957820.26981.79140.50.26981.791410.09201.197020.01390.73920.010.27801.85110.10.27441.82560.20.26981.79140.050.27251.76610.10.27611.73640.20.28411.6832图14.的影响 Pr和 温度梯度上的R（温度梯度）。• 随着渗透率参数值的增大，速度剖面减小，温度剖面增大。• 随着Williamson参数值的增大，速度分布减小，温度分布增大。• 温度曲线随着Nt值的增加而增加，NB.• 温度分布随普朗特数的增大而增大。• 纳米粒子存在时，Wil-Besson流体的表面摩擦系数和局部努塞尔数均大于无纳米粒子存在时。• 在熔化和非熔化表面上，局部努塞尔数随着Nb和Nt的增加而增加表3价值观ReC f 的不同值 和M.0.30.6M11.5M20.01.709781.665711.633081.608701.592620.051.682701.639551.607631.583791.568080.11.653841.611731.58061.557371.542060.151.622771.581851.551631.529101.514250.21.588841.549361.520221.498481.48416命名法（u，v）沿 x和y轴纳米粒子的密度• 在熔化表面的情况下，传热显示出很小的变化与Nb和Nt• 两 0and 随着Lewis数的增加，布勒姆 K萨夫纳米流体热扩散系数运动粘度预期的最大值为0， Pr和均下降。致谢布朗扩散系数DT热泳扩散系数T纳米流体温度我们要表达我们最诚挚的感谢，感激-萨夫拉克什普流体热容纳米颗粒的有效热容感谢匿名裁判的专业知识B_0感应磁场并提出了一些改进手册质量的意见和建议。作者之一（B.J.）Gireesha ）感谢印度大学补助金委员会的财政支持（第2013号）。F 5-110/cp萨夫多孔介质纳米颗粒材料和纳米流体2014 年（ IC ） ） 根据 美国印 度学 者拉 曼奖 学金计 划此 外，BCPrasanna Kumara和M.R.Krishnamurthy先生感谢印度大学资助委员会在重大研究项目计划下给予的财政支持k0化学反应系数C体积膨胀系数近壁纳米流体的Tw纳米流体的T自由流温度图15. （一）影响力 和 温度和浓度梯度的压力。(b)的影响 和 温度和浓度的R62M.R. Krishnamurthy等人/工程科学与技术，国际期刊19（2016）53k热导率是液体的潜热cs是固体表面的热容[9] T.哈亚特大学哈立德，M。卡西姆，一个威廉姆森流体经过多孔板的稳定流，亚洲太平洋。J. Chem.Eng.7（2012）302[10] U.H. Rizwan，S.Nadeem，Z.H.Khan，T.G.Okedayo，对流传热和磁流体动力学效应对Casson纳米流体流动的影响。EUR. J. Phys.U ax拉伸面速度12（12）（2014）862-871。拉伸率为正常数年3月12日[11] M.Y. Malik，M.Naseer，S.Nadeem，A.张文，等离子体中纳米粒子在垂直圆柱表面的流动，应用物理学报，2001。纳诺斯基 4 xB2非牛顿威廉森参数[12] S. 纳迪姆，R.U.Haq，Z.H.张文龙，非牛顿流体在拉伸薄板上流动的数值解，应用纳米科学。4（2014）625-631。Qa0磁性参数叫哈特曼number[13] S.A. Shehzad，T.Hayat，A.Alsaedi，文学硕士Obid，非线性热辐射，杰弗里纳米流体的三维湍流：太阳能模型，应用。kp渗透率参数格扎数学Comput. 248（2014）273[14] S.A. Shehzad，T.Hayat，A.Alsaedi，Jeffrey纳米流体对流边界条件下的MHD流，J。布拉兹Soc. 机甲Sci. Eng. 37（2015）873简体中文MR4*T3kk*NbDBCw普朗特数布朗运动参数doi：10.1007/s40430-014-0222-3。[15] T. Hussain，S.A. Shehzad，T. Hayat，A. Alsaedi，F. Al-Solamy，Jeffrey纳米流体通过指数拉伸片的辐射磁流体流动，PLoSONE 9（8）（2014 ）e103719，doi：10.1371/journal.pone.0103719。[16] W.A. 汗，M。汗河，巴西-地Malik，Three-dimensional optimization of anOldrophilic-Bnano-soluidtowardsstretchingsurfacewithheatgeneration/absorption ， PLoS ONE 9 （ 8 ） （ 2014 ） e105107 ， doi ：10.1371/journal. pone. 0105107.[17] T. Hayat，M.Bilal Ashraf，S.A.Shehzad，N.N.Bayomi，混合对流气流，DTTTm联系我们热泳参数粘弹性纳米流体在拉伸圆柱体上，J. Braz.机械科学学会Eng. 3 7 （2015）849 -859，doi：10.1007/s40430-014-0219-y。[18] S. Nadeem，S.T.Hussain，Williamson纳米流体的流动和传热分析勒庞路易斯数DBAppl. 纳诺斯基4（2014）1005-[19] G.K. Ramesh，B. J. Gireesha，在存在对流边界条件的拉伸表面上Maxwell流体上的热源/热汇k0UCCwMcfTcsTmT0c TcTT 引用化学反应参数无因次熔化参数分别用于液相和固相的Stefan数纳米粒子，Ain Shams Eng. J. 5（2014）991[20] L. Roberts， On the melting of a semi-infinite body of ice placed in a hotstreamof air，J. Fluid Mech. 4（1958）505-528.[21] M. Epstein，D. H.赵文，稳态层流加热下平板上的熔化传热，传热学杂志，98（3）（1976）531-533。[22] A.J. Chamkha，A.M. Rashad，E. Al-Meshaei，熔融效应对纳米流体通过拉伸片的非稳态磁流体流动的影响，Int. J. Chem. React. Eng.9（2011）1-13。[23] R.S.R. Gorla，A.Chamkha，A.Aloraier，通过可渗透连续移动表面的纳米流体流动中的熔化热传递，J. Nav. Arch.Mar.Eng.2（2011）83-92.[24] B.C. Prasannaeiara，B.J. Gireesha，P.T. Manjunatha，在存在拉伸薄片的情况下，含尘流体的MHD驻点流动中的熔化现象[1] S. U. S. Choi，J.A. Eastman，用纳米颗粒增强胶体的导热性。美国机械工程师协会国际机械工程会议及展览会论文集。ASME，美国旧金山，FED231/MD66，99-105，1995。[2] W.A. 汗 岛 Pop ， Boundary-layer Promotion of a nanoparticulid past astretching sheet，Int. J. Heat Mass Transf.53（2010）2477-2483。[3] R.S.R. Gorla，A. Chamkha，自然对流边界层湍流在嵌入多孔介质中的水平板上的纳米流体饱和，J。Mod.Phys.2（2011）62-71。[4] B.J. 吉雷沙湾Mahanthesh，R.S.R.李文，等，悬浮颗粒对纳米颗粒边界层的影响，北京大学学报，2001。纳米流体3（2014）1[5] M.R. 克里希纳穆尔蒂，不列颠哥伦比亚省Prasannaeiara，B.J.Gireesha，R.S.R.Gorla，粘性耗散对磁流体流动和纳米流体在具有流体颗粒悬浮液的指数拉伸片材上的热传递的影响，CogentMath.2（2015）1050973。[6] N. Alam Khan，H.Khan，非牛顿Williamson流体的边界层湍流，非线性工程3（2）（2014）107-115。[7] S. Nadeem，S.T.侯赛因角李，威廉姆森流体在拉伸板上的流动，布拉兹。J.Chem.Eng.30（3）（2013）619-625。[8] S. Nadeem，S.T.陈文，等离子体表面传热分析，应用数学与工程学报。35（4）（2014）489-502。热辐射和非均匀热源/散热器，Int. J. Comput. 方法工程Sci. 机甲（2015）doi：10.1080/15502287.2015.1047056.在出版社。[25] A.J. Chamkha，A.M. Aly，在Soret，Dufour和化学反应效应存在下，多孔介质中极性液体向拉伸表面的驻点流动中的热质传递，Chem. Eng. Commun.198（2）（2010）214-234。[26] Aurangzaib，A.R.M. Kasim，N.F. Mohammad，S. Shafie，热分层对具有热源、霍尔电流和化学反应的非定常拉伸表面上的具有热和质量传递的MHD自由对流的影响，Int. J. Adv. Eng. Sci. 4（3）（2012）217[27] M. Abd El-Aziz，时间依赖性化学反应对纳米流体中的驻点流动和拉伸片材上的热传递的影响，Phys.2004，第13页。Sci. 89（2014）085205。[28] D. P.，G.Mandal，在具有化学反应的多孔介质中的拉伸/收缩片上的纳米流体中的热辐射对混合对流传热和传质停滞点湍流的影响，核工程设计273（2014）644-652。[29] D. H.H.，H.孟文，非达西混合对流传热与传质在非线性拉伸薄板上的S o r e t - D u f o u r 效 应 和 化 学 反 应 ， 国 际 通 讯 。 热 质 量 传 递 38（2011）463-467。[30] R.S.R.戈尔拉岛张文龙，等离子体表面的自由对流换热，应用科学，2000。第52（1994）号决议第247-257段。