旋转多孔介质中铁磁对流稳定性的研究-数学学会

埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society（2014）22，286原创文章旋转多孔介质中粘性与磁场有关的铁磁对流非振荡运动的特征乔蒂·普拉卡什*数学与统计系，喜马偕尔邦大学，西姆拉171005，印度收稿日期：2012年12月11日;接受日期：2013年2013年9月14日在线提供本文导出了在均匀垂直磁场和绕垂直轴均匀旋转的多孔介质中，自由边界条件下，粘性与磁场有关的铁磁对流中“稳定性交换原理”成立的充分条件数学潜规则分类：76 E25; 76 W05; 76 E06？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍铁磁流体是在非导电液体如酯、烃和水中的有限磁性单畴纳米颗粒的胶体悬浮液铁磁流体在自然界中不存在，而是人工合成的。在上个世纪，由于铁磁流体在仪器仪表、润滑、真空技术、振动阻尼、金属回收和声学等领域的应用增加，铁磁流体的研究吸引了研究人员铁磁流体 的 一 些 应 用 是 磁 性 药 物 靶 向 热 疗 、 磁 共 振 成 像（MRI）的对比度增强、用于计算机磁盘驱动器的新型[1实验和理论物理学家和工程师对铁流体力学做出了重大贡献[3]。一个*电话：+91 9418458026。电子邮件地址：jpsmaths67@gmail.com。Rosenweig[1]对铁磁流体研究的权威介绍进行了详细讨论。这本书回顾了通过铁磁流体传热的几个应用。一种这样的现象是增强的对流冷却，其具有由于流体的磁化而引起的温度相关的磁矩。一般来说，这种磁化强度是磁场、温度和磁流体密度的函数。这些量的任何变化都能引起流体中体积力分布的变化。这在磁场梯度存在的情况下导致铁磁流体中的对流。这种机制被称为铁磁对流，它类似于Benard对流[4]。Finlayson[5]使用线性稳定性理论研究了在均匀垂直磁场存在下从下方加热的铁磁流体层的对流不稳定性，并在同时考虑浮力和磁力的情况下预测了发生对流的临界温度梯度。Lalas和Carmi[6]研究了不考虑浮力效应的铁磁流体的热对流稳定性，而Shliomis[7]研究了磁化的铁磁流体的热对流稳定性的线性关系。1110- 256 X？ 2013制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.07.012关键词铁对流;稳定交换原则;旋转;多孔介质;磁场相关粘度铁磁对流中非振荡运动的特征287.DT..二、保持梯度B1/4假设该GUID层2¼ðþ·Þð Þ23. -我知道！@MDHS2oH B-在不稳定极限的扰动量。Schwab等人[8]通过实验研究了强磁场情况下的Finlayson问题，并通过绘制努塞尔数与瑞利数的关系图来检测对流的开始。后来，这个问题被斯泰尔斯和卡根[9]考虑到有效剪切粘度对温度和胶体浓度的依赖性。铁磁流体中的Benard对流已被许多研究者考虑[10还进行了研究，以分析封闭空间中的铁磁对流[18，19]。近年来，许多研究人员[20-由于铁磁流体具有惊人的物理性质，其热对流现象越来越受到人们的重视。一种这样的性质是铁磁流体的粘度。Shliomis[24]研究了均匀磁场对具有内禀磁矩的固体颗粒的流体粘度的影响。磁场相关（MFD）粘度对旋转介质、多孔介质或旋转稀疏分布多孔介质中铁磁对流开始的影响已由各种研究人员进行了研究[25建立不发生任何可能是中性或不稳定的缓慢振荡运动意味着“稳定性交换原理”（PES）的有效性。这一原理在稳定性问题中的有效性消除了线性化扰动方程中的非定常项，这导致了显著的数学简单性，因为从稳定性到不稳定性的转变是通过一个边缘状态发生的，该边缘状态的特征是两者都消失复数时间本征值的实部和虚部由于存在大量的悬浮颗粒[27]。本文得到的结果是不波数依赖，并纳入磁参数，从而使结果更现实。2. 数学公式考虑一个水平方向无限延伸、垂直方向厚度为d的非导电铁磁多孔介质层，netic fieldH0.假设流体是不可压缩的，具有由g给出的可变粘度[26]G11~d！其中g1是当没有施加磁场时，流体的粘度。取粘度~d的变化系数为各向同性，即， d1= d2= d3. 因此，分量形式的g可以写为gx= g1（1 + dB1）; gy= g1（1 + dB2）; gZ=g1（1+dB3）。底部和顶部表面的温度z/41d分别为T0和T1，DZ通过各向同性和均匀的多孔孔隙介质中等渗透率K0。剪切对粘度的影响不被考虑，因为它对大旋转和高场的单分散系统的影响可以忽略不计。作为小场变化的第一近似，使用了磁致粘度的线性变化。上述模型的控制方程由[26，27]给出：连续性方程为+r·q¼0：100具有可变粘度的铁磁流体的动量方程为：与扰动有关Pellew和Southwell[28]证明了q0@~q1 ~q·r~q-rpq~g-g~qr ·！H！B组2PES对经典Rayleigh-Benard不稳定性问题的有效性。然而，对于经典的旋转或旋转磁流体动力学Benard不稳定性，2@t200k0×q0~q×！我的天啊！X×~rj2π2π问题. 在铁磁对流的情况下，普拉卡什[17]最近去，+得到了一个充分的条件，PES的有效性为一个hori-其中 q;p ¼p-qrj！X×~rj2;+;+;g;~g¼o;o-g;！X¼从下面加热的锌铁液体层。 提交人知识，没有这样的结果（关于PES的有效性）存在于旋转铁磁对流（多孔或非多孔介质）。在目前的通信中，一个足够的条件，o;o;X;和k0分别表示速度，压力，磁场，磁感应强度，变粘度，加速器，由于重力、角速度、孔隙度和多孔介质的渗透性。温度方程为在具有依赖于磁场的粘性的铁磁介质中发生定常对流，24qC-我！H·@M5dT/min 1- 2dT/minC@T自由边界，在多孔介质中，在一个统一的垂直磁场和均匀旋转的存在下，对于自由边界的情况，获得垂直轴而OV;H.O-我知道！@T dtV; H！2Ss@t这种情况没有什么物理意义，但在数学上很重要，因为它使我们能够找到解析解，联系我们V;H·dt¼K1rTU;103mm得出一些定性的结论。对于刚性边界的情况，这仍然是一个开放的问题。多孔介质中的湍流可用达西方程描述。渗透率非常低的多孔介质允许我们使用达西模型。这是因为对于一个非常大的稳定颗粒悬浮液的介质，渗透率往往很小，这是合理的。其中，CV，H是在恒定体积下的热容，磁场，lo是磁导率，T是温度，M！是 的 磁化，K1 是 的 热电导率，和U是粘性耗散包含二阶项的速度。密度状态方程为：使用Darcy模型。这也是合理的，因为与达西阻力相比，粘性阻力可以忽略不计。q¼qO½1aTO-T] 4288J. Prakash02O1个= 2个¼;M¼;3一-221名乌克兰人-kor1okOO1@x@y; H b¼我...k; Mb/ Mok、-1þr2/0-KOXyX<$Tb zh;H <$Hb zH;M <$Mb zM;7ylT K2bw¼- aR2½1MhþqCb-01/4T2Dw;122mmO2O一2！22o11O.阿吉尔O¼-2@zo1o2@z1¼-式中，a是体积膨胀系数，qo是在适当选择的平均温度T0下的密度。线性化的磁状态方程为：q0@g12w0@t ko2 202qoX@fqgar2h0-lKb@。r2/0K2br1hG12周0-1g1d，每日1次。r2w0;n15其中，Mo是磁场为Ho时的磁化强度，v为磁化率，K2为高温磁化系数，Ta为平均温度。其中f0是涡度的z分量，由f0@v0@u0给出。从方程中消去p0（9）和（10），我们得到垂直涡度方程的分量为假设基本状态为静态，并给出q@f02qX@w0g0：160-1：160@t@z ko++的q<$qb<$$>0;q<$qb<$z<$;p<$pb <$z<$;T<$Tb<$z<$$>-b z <$Ta;从等式（14）我们有T1-To+K2bz^+K2bz^@2/0 。Mh0@z2H1电话号码ð6ÞO现在，我们将扰动w0，h0，f0和/0分析为两个只有Ho和Mo的空间变化部分有助于分析，因此外部磁场的方向并不重要，无论外部磁场与引力平行还是反平行，对流都是相同的。现在，我们通过引入以下扰动来分析基态的稳定性：三维周期波，考虑由特定波数k′表征的扰动。因此，我们假设描述扰动的所有量依赖于x，y和t的形式w0;h0;f0;/0kyy+ ¼~q~q0;q<$$>q <$z< $ $>q0;p<$p<$z < $p0; TBB其中k和k是沿x和y方向的波数关于我们000方向，kqk2k2是合成波其中~q0<$u0;v0;w0<$;q0;p0;h0+;H0+M0，是一个很小的单位，number.在等式（18）中使用（15）、（12）、（16）及（17）;及速度、密度、压力、温度、磁场通过设置磁场强度和磁化强度。 替换Eq。（7）进入Z DD2d等式（1）-zω<$d;wω<$mw00;a<$k<$d; fω<$mf00;D<$ ddz;K aR1= 20 0 0h¼1小时00分;2@u@v@wþ þ ¼0ð8ÞωqC2bmd@x@yq@u00@z@p0@H012q X gO/1/2/00Kkog1¼;m¼;P ¼m2qC1;¼-þlðMoþHoÞ0-1u0;29ωKqCbmd2oωd2qRK2@t@xo@z2ko4q0@v0@p0@H022qoX0G10均p0 ¼m2qC2;dgab dq C2I'm notgoingtotellyou.2@t¼-@yloMoHo@z-2u-kv;10rK1ωooK1mq@w00@p0@H0lK2bO2lT K21 Mo公司简介HM¼;MOO2Ho2@t@zloK2bh02oo0g1o@zG1O232001年1月1日4X2d42第二次C1-C21þð1þvÞ啊-kw0-lokdMoHow011Ta¼m222 ;x¼ m2; 1019μ mqC@h0-lT K2@。@/0℃/小时我们得到（为了方便起见，去掉了括号）1@t.OO22O@t@z1. 1ΣK 阿克斯a2dM11其中f0是扰动磁势，-M1D/]-T2Df;20 μ lD2-a2-PxH-P0Mx D/1/4-N1-MNaR1= 2w; N21 NRqC11 1 2q0CV;H21-2qsCs21oK2Ho;QC K.H.;V;H ¼qC2ð13Þ.1Kor2 2xxf1和H03-K2h0;H0i-M0i.ΣOD-a M3mm/1/4Dh;23mm哪里 z 是 的 房 独立 变量使得1/26z6 1/2，D是对z的微分，a2是平方Mo¼1小时H0ii¼1;2;14Pr>0是普朗特数，x是复增长率，R>0为瑞利数，Ta> 0其中我们假设K2bd（1+ v）H0。O22M1/4M2/4 M3/4Ob¼D1名妇女v1名妇女v12@z 20：170QB-O2w0;120K1O1名妇女vOþ23铁磁对流中非振荡运动的特征289消除方程之间的u0，v0，p0（9）（8）我们得到是泰勒数，M1>0是磁数，M3>0是磁化强度非线性的度量， M2>0是无量纲参数;x=xr+ixi一般是复常数，使得xr和xi是实数290J. Prakash2 21= 2.n2联系我们2222R12222Z2222-1=2/D2-a2M3/ωdz- aR 100万美元DwjajwjjhjdzZ-1=2-1=2常数 和 作为 一 后果 的 因变量w（z）=w r（z）+iw i（z），h（z）=hr（z）+ihi（z），/（z）=/（z）+i/（z）和f（z）=f（z）+if（z）是复值和1-TZ1= 2 wω Df dz¼TZ1= 2 fDwω dz¼ Z1= 2 F.1xωfωdz：里里里2一 -1=22一 -1=2-1=2ko实变量z的函数，使得wr（z），wr（z），hr（z），hi（z），fr（z），fi（z），fr（z）和fi（z）是实变量z的实值函数。合并等式（27）自从，M2[5]这是一个非常小的命令，它被忽视在Z1= 2 wω。1P100-2-a2-wdz-a2dM3Z1= 2wωwdz随后的分析，因此方程。（21）形式D-a-Px-1=2koZ1ko-1=2R恒温铁磁边界被认为是自由或刚性。因此，边界控制-2019年12月14日Z1= 2-1=2h∈D2-a2-Prxω∈hωdz条件是：w<$0<$h<$D2w<$Df <$D/在z11和zM1-1=2D2/ωdz D2-a2M3/ωdzZ1= 2两个边界都是免费的。或1个= 2个-1=2f1Koxωfωdz：wDw/在z11/4 -2和z积分方程的各项。（31）按适当次数分段，并利用边界，11/2：2两个边界都是刚性的（25）平等可以进一步注意到，Eqs. （20）和（22）-1个= 2个-1=21个= 2个wωD2nwdz1-1=2jDwjdz;在旋转的多孔介质中，从下面加热，用MFD粘度进行矢量。其中w=w，h，f（n=1），我们可以写Eq。（31）形式3. 数学分析.11个= 2个阿克斯 Dwjajwja2dM3Z1= 2jwjdzko-1=2ko-1=2首先，本文论证了“前因原则”的有效性2019年12月14日不能像Pellew和Southwell [28]对经典Rayleigh-Benard不稳定性问题所做的那样直接证明本问题的稳定性变化如下图所示：1个= 2个-1=2DhjJ.H.J.Pxωjhj21个= 2个-1=2D/j乘以等式（20）W*（上标此后为de-M3jD/jdz-注意复共轭），并在z的垂直范围内积分所得方程，我们得到M1a2Prxω1个= 2个-1=2D/jM3j/jZurdzZ1= 2 wω。1P100-2-a2-wdz-a2dM3Z1= 2-公司简介- 我是说...1xωZ1= 2jfjdz：2019年12月-1=2ko1个= 2个Z1= 2ko1=2Z1= 2ko-1=2现在相等等式两边的虚部。（33）我们得到Z1= 2-T-1=21个= 2个一-1=2-1=2“Z1= 22 2-1=2Z1= 22使用公式（24）、（22）和（23）以及边界条件Z1= 222Z 1 = 22数量（25）我们可以写Z1= 21个= 2个Z1= 2— M1Pr-1=2 D/jM3j/jM3--1=2 JFJDZ20;3400-aR1M1-1=2 wωhdz¼1M1-1=2 hD2-a2-Prxωhωdz;28从等式（1）可以清楚（34）我们不能从中得出结论，如Pellew和Southwell[28]案例（无磁场时aR1= 2M11/4-M1Z1= 2Z1= 2-1=2wωD/ dz¼-M11个= 2个-1=2D/ωD2-a2-PrxωhωdzZ1= 2-1=2和旋转），pr= 0意味着pi= 0，对于所有的a2，这是因为包含磁场和旋转的项在这个方程中的符号方面表现不佳。然而，我们可以推导出有效性的充分条件。在这种情况下，对于自由边界的情况，1/4M1/4M1个= 2个-1=21个= 2个-1=2D2/Dhωdz-M1a2PrxωD2/ω dz D2- a2 M3/ω dzZ1= 21ZZZnZZZZZ公司简介Z-M1a2Prx ωwωhdzaR1= 2M1wωD/dzwω Df dz27XiD/ D2hω dz M1 a2 PrxωD/Hωdz-M1a2Prx ω/D2-a2M3/ωdz;29þ22222铁磁对流中非振荡运动的特征291R我Rp4p2-1=2 1个= 2个-1=2/Dhωdz系统的参数。对于刚性边界的情况，这仍然是一个开放的问题。现在我们导出了PES在自由边界情况下有效的充分条件。定理1.如果（w，h，f，x），x=x+ix，xP0，是方程的解.（20）和（22）-（25）和RM1PrrrrTa61，则292J. Prakash22222222. Z6！21 = 22222R6R6R6222p4p21个= 2个M3j/jM3公司简介D/jM3j/jM3-哥打p2-1=2jhjdz-1=2jwjdz2222xi= 0。 特别地，xr= 0 意味 着xi= 0，如果RM1PrTa6 1.这意味着Z.Z21个= 2个！1=2。Z2！1个=2个2证据使（33）的两侧的虚部相等，并从所得方程中自始至终对xi（n0）进行插值，我们得到-1=2因此jDfjdz6Ta-1=2 jDfjdz-1=2 jwjdz：1个= 2个-1=2Dwjajwj1个= 2个P.P.1个= 2个-1=2D/jjhjdz1个= 2个-1=21个= 2个jDfjdz1个= 2个6T1= 2-1=21个= 2个jwjdz1R-1=22Z1= 22-1=2在不等式（39）中使用这个不等式，我们有Z1= 2现在乘以Eq. 通过f*并在z的垂直范围内积分，我们得到6TaZ1= 2公司简介1个= 2个-1=2/ωD2-a2M3/dz¼1个= 2个-1=2/ωDh dz;-1=2我们注意到，由于w和h满足w（-1/2）=0=w（1/2），h（-1/2）=0=h（1/2），我们有”[29]Z1= 22-1=22Z1= 22-1=2Z1= 2-1=2Z1= 2-1=2Z1= 2-1=22019年12月24日1个= 2个.-1= 2 hD/ωdz.621个= 2个-1=2jhjjD/ωjdz61个= 2个-1=2jhjjD/jdz和六、Z1个= 2个jhjdz ！1=2。Z1个= 2个1个= 2个jD/ jdz;1个= 2个-1=2jDhjdzPp1个= 2个-1=2jhjdz42-1=2-1=2现在，在（40）中使用（41）并注意到xrP0时，我们得到Schwartz不等式的推广这意味着Z1= 2Z1= 2Z1= 2jDw jdzZ1= 2. Z1=22！1=2。Z21个= 2个！1个=2个2-1=2-1=2-1=2-1=2 jD/jdz6-1=2 jhjdz-1=2 jD/jdz;现在乘以Eq. （24）通过h*（h的复共轭）在左边的第一项中，并且因此一旦利用h上的边界条件，我们就可以从最终方程的实部得到：. Z1=21个= 2个2.Z1=21个= 2个2RjD hj ajhjR1= 2 hωwdz-1=2jD/jdz6-1=2jhjdz;2370-1=2六、R1 = 2RRhω wdz。-1=2结合不等式（36）和（37），我们得到.-1=2。Z1= 2222Z1= 221个= 2个-1=2jhωwjdz-1=2D/jDZ6-1=22019年12月28日1个= 2个-1=2jhωjjwjdz现在乘以Eq.（22）通过f*和整合各种1个= 2个-1=2jjjjjjdz所得到的方程的项，对于适当的利用f上的边界条件的次数w，我们有六、R1=221=2。R1=221= 21个= 2个-1=2jDfj1个= 2个1个= 2个1奥杰山ωfj2xjfj2dz¼T1= 2ZZ！一！22O2ZZ22ZZZZ22ZZ1个= 2个1个= 2个-1=2 Df j2 J.F.J.21伊萨克·j·f2 j.f.j./ωDh dz¼hD/ωdzjDw jdzPpjf jdz6ko Ta公司简介2！！Z.Z.Z铁磁对流中非振荡运动的特征293一22！. Z26. . 不2！. Z21个= 2个-1=2fωDwdzSchwartz不等式将该不等式与不等式（42）和xrP0的事实结合，我们得到¼-Ta-1=2df1个= 2个p2公司简介.Z1=21= 21=2jhjdzjwjdz1个= 2个;使两边的实数部分相等，我们得到-1=2-1=2-1=2Z 1 =2。222122ΣO这意味着-1=2jDfjajfjkjfjxrjfjZ-1=21个= 2个公司简介.Z1 = 2。. Z1=2！1个=2个 .Z1=226！1个=2个2-TaZ1= 2一-1=21个= 2个一Z1= 2-1=2 D fω-1=2 jhjdz1p2- 1=2jwjdz6T1= 2-1=2 jD fωwjdz6T1= 2-1=2 jDfωjjwjdz并且因此6T1= 2一 Z1= 2 jD fjjwjdz6T1=2一 . Z1=21= 21=2jDfjdzjwjdz ！1个= 2个Z1= 222221Z1个= 2个2-1=2-1=2-1=2DhjJ.H.J.2016年12月26日星期二jwjdz使用Schwartz不等式-1=2-1=2Z一Z！294J. Prakash2222Z222Z22222ðÞp4p2我Z1961年1根据不等式（41），[9] P.J. Stiles，M. Kagan，在强垂直磁场中铁磁流体水平层的热对流不稳定性，1个= 2个一个2-1=2公司简介11=2p4-1=2jDwjdz44菲尔德，J. 胶体界面Sc. 134（1990）435-448。[10] M.D. Gupta，A.S. Gupta，绕垂直轴旋转的铁磁流体层的对流不稳定性，Int. J. Eng.使用等式（38）、（43）和（44）中的不等式，（35）我们得到Sci. 17（1979）271-277。1个= 2个-1=2Dwjj.w.j.j.dz.6RM1Pr1=2p4- 1=2jDwjdz[11] G.K. Auernhammer，H.R. Brand，磁流体旋转层中的热对流，Eur。Phys. J B 16（2000）157-168。[12] P.G.Siddheshwar，— R1M1aPr这给1个= 2个-1=2jhjdzkoTa1=2p2- 1=2jDwjdz;具有第二声音的铁磁胶体，日本Soc. Mag. Fluids25（1993）32-36.[13] Y. Qin，P.N.Kaloni，铁磁流体的非线性稳定性具有表面张力效应，Eur.J. 机甲B.Fluids 13（1994）第1- .RM1PkoTaZ1= 2jDwjdzaZ1= 2jwjdz305-321[14] M.苏哈S.阿尼斯，J.P.布兰彻p4Rp21个= 2个-1=2-1=22002年10月26日-1=2在环形Hele-Shaw单元中的磁流体中的对流，Int. J. HeatMass Trans.42（1）（1999）61-72.[15] S. Aniss，M.贝哈克湾Souhar，磁调制对从下面加热的磁性液体层的稳定性的影响，因此我们必须ASMEJ.Heat Trans. 123（2001）428-433。RM1Pp4βkoTa>1 45p2[16] A.马哈扬，从下方加热的磁化铁磁流体的非线性稳定性分析，Proc. Roy。伦敦大学A：数学。物理工程科学464（2008）83-98。因此，如果RM1 Pr ko Ta6 1，我们必须有x = 0。这就建立了定理。H从线性稳定性理论的观点来看，定理1的内容是，对于旋转多孔介质中具有磁场相关粘性的铁磁对流问题，对于自由边界的情况，系统的任意中性或不稳定模式在性质上是明确非振荡的，特别是PES是有效的，如果RM1PrkoTap4 p24. 结论导出了“稳定性交换原理”有效性的一个充分条件。本文所得到的充分条件与波数无关，并加入了磁参数，因而具有一致的有效性和适用性。引用[1] R.E.李文，铁磁流体力学，北京：中国科学院出版社，1998。[2] G.瓦伊迪亚纳坦河塞卡尔河李文，水平热梯度对铁磁对流的影响，北京：科学出版社，2000。46（2008）477-483。[3] S.李文生，磁流体力学，北京，2002。[4] S.张文龙，流体力学与磁流体稳定性，北京，1998。[5] B.A. 张 文 ， 铁 磁 流 体 的 对 流 不 稳 定 性 。 流 体 机 械 40（1970）753-767。[6] D.P. Lala，S. Carmi，铁磁流体的热对流稳定性，Phy.流体14（2）（1971）436-437.[7] M.I. Shliomis ，磁性液体， Sov.物理用途 (Eng. Trans.） 17（2）（1974）153-169。[8] L. Schwab ， U. Hilderbrandt ， K. Stierstadt ， Magneticbenardconvection，J. Magn. Magn. Mater. 39（1983）113-114。铁 磁流 体层 中的 铁磁 对 流， J. Magn. Magn. Mater. 324（2012）1523-1527。[18] S.M. Snyder，T.卡德文学士李文，磁流体磁对流的有限元模型，北京大学学报，2001。262（2）（2003）269-279。[19] T.C.王伟，张文，等.铁磁流体热-磁复合对流换热特性的研究.北京：机械工业出版社，2006（4）：125 - 127.[20] S.E. Borglin，J. Mordis，C.M. 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