埃及数学学会：导电微极流体在可渗透拉伸表面上的流动和传热影响的研究

埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society（2012）20，20原创文章具有生（吸）热和滑移速度穆斯塔法Mahmoud*，Shimaa E. Waheed埃及本哈大学理学院数学系（13518）2012年2月3日在线发布本文研究了在生热（吸收）和横向磁场存在下，滑移速度对导电微极流体在具有可变热通量的可渗透拉伸表面上的流动和传热的影响通过相似变换将描述问题的控制偏微分方程转化为非线性常微分方程组，并采用Chebyshev谱方法进行数值求解给出了滑移参数对流动、微旋转和温度分布以及局部表面摩擦系数、壁面偶应力和局部努塞尔数的影响给出了局部摩阻系数、壁面偶应力和局部努塞尔数的数值结果，2011年埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍由于其广泛的应用，对拉伸薄板问题的流动和传热的研究已经引起了相当大的兴趣。*通讯作者。电子邮件地址：mostafabdelhameed@yahoo.com（M.A.A. Mahmoud），shimaa_ezat@yahoo.com（S.E. Waheed）。1110- 256 X？ 2011埃及数学学会。制作和主办：ElsevierB.V. 在CC BY-NC-ND许可下开放访问。同行评审由埃及数学学会负责。doi：10.1016/j.joems.2011.12.009工程应用，如塑料片材挤出、造纸、晶体生长和玻璃吹制。Crane[1]给出了不可压缩定常粘性流体在拉伸表面上层流边界流动的封闭解析形式的精确相似解，其速度随距固定点的距离线性Gupta和Gupta[2]将Crane的问题扩展Vajravelu和Rollins[3]研究了在具有可变壁温和内部生热或吸热的拉伸片材上的导电流体磁流体在拉伸表面上的流动和传热问题由于其在工业上的应用而引起人们的极大兴趣。例如，在从模头挤出聚合物片材时，片材有时被拉伸。在这个过程中，最终产品的性质取决于制作和主办：Elsevier关键词磁流体动力学;微极流体;滑移速度;拉伸面;热产生（膨胀）;切比雪夫谱方法微极流体在拉伸表面上的MHD流动与传热21.¼对冷却速度的影响很大。通过在经受磁场的导电流体中拉伸这种片材，可以控制冷却速率，并且可以获得具有所需特性的最终产品。巴甫洛夫[4]研究了在均匀横向磁场存在下，由于平面弹性表面的拉伸而引起的导电介质的边界层湍流。查克拉巴蒂和古普塔[5]扩展了巴甫洛夫所有这些分析仅限于牛顿流体的流动然而，在评价微极和热微极微流体动力学理论中的一个新阶段，即微极和热微极微流体理论，首先由Eringen[6，7]引入，该理论的低剪切行为不能用牛顿关系式表征该理论可以用来描述在许多实际应用中的行为的双流体。这些应用包括聚合物胶体、胶体、悬浮液、液晶、动物血液和外来润滑剂的数学模型，作为例子，经典的Navier-Stokes理论是不够的Ariman等人[8]对微极胶体及其应用进行了出色的综述。Soundalgekar和Takhar[9]研究了抽吸和注射对静止微极流体中连续移动半无限多孔板的微流的影响Hady[10]提出了从非等温可渗透拉伸片向微极流体传热问题的解析解Ishak等人研究了微极流体中具有均匀或可变表面热流的拉伸表面上的传热[11]第10段。Hassanien和Gorla[12]数值研究了抽吸和吹送对非等温拉伸表面上微极流体的流动和传热的影响Hayat等人[13]利用HAM分析研究了微极流体在非线性拉伸表面上的稳态二维混合对流换热Hayat等人[14]研究了不可压缩微极流体在非线性拉伸表面上的二维Sajid等人[15]给出了微极流体薄膜流的精确解Sajid等人研究了微极流体通过多孔通道的边界层流动[16]第10段。在一些物理问题中，如流体发生放热或吸热化学反应，研究生热和吸热的影响是很重要的。热产生或吸收的存在可以改变在冷却液中的温度分布，这进而影响诸如核反应堆、电子芯片和半导体晶片的系统中的颗粒沉积速率。内部热量产生或吸收的精确建模是困难的，但一些简单的数学模型可以表达大多数物理情况下的平均行为。根据Foraboschi 和 Federico[17] ， 我 们 将 假 设 体 积 产 热 率Q½W=m3]，如下：QQ0T-T1;TPT10;TT1;其中Q0是热生成或吸收常数。上述关系式对某些起始温度为T1的放许多作者研究了在拉伸表面上的流体流动的生热或吸热的Cortell[18]研究了多孔介质中拉伸时的流动和传热内部产生或吸收热量的表面Mahmoud[19]研究了嵌入非Darcian多孔介质中的移动可渗透表面上的微极流体的热生成/吸收和粘性耗散对MHD流的影响。Damseh等人[20]研究在存在一级化学反应的情况下，在连续移动的垂直可渗透无限长表面附近，微极、粘性和发热或吸热的流体流通过自然对流进行的综合传热和传质在上述研究中，没有考虑滑移条件的影响。Navier[21]提出了一种滑移边界条件，其中滑移速度线性地依赖从那时起，滑移速度对牛顿流体和非牛顿流体边界层流动的影响已经被一些作者研究过Ariel[22]研究了一种弹粘双流体通过部分滑移拉伸薄板的流动。Hayat等人[23]解析地研究了在具有滑移条件的拉伸薄板上发展的粘性流的二级粘性流体的运动和能量方程的解。Hayat等人[24]研究了滑移条件对Oldroyd 6常数流体的湍流的影响Roux[25]讨论了在有界单连通区域中，具有非线性部分滑移边界条件的二级不可压缩流体运动方程的可解性。 利亚科斯[26] 研究了服从具有滑移边界条件的Oldrock 型本构律Asghar等人[27]分析研究了三级流体通过具有部分滑移效应的多孔板的Khan[28]给出了当无滑移条件不再有效时多孔介质中三个基本的流体流动问题的精确解析解。Asghar等人[29]在部分滑移和多孔介质存在的情况下，获得了二阶流体一般周期性湍流的精确解析解。Mahmoud[30]研究了滑移速度对具有热辐射的拉伸表面上的非牛顿幂律流体的流动和传热的影响。 Hayat等人[31]研究了牛顿流体在具有滑移条件的不稳定可渗透拉伸片材上的流动和传热Mahmoud和Waheed[32]研究了在均匀磁场和热产生或吸收的存在下，滑移速度对加热拉伸表面上微极流体混合对流换热本工作的目的是研究在表面滑移速度、生热（吸收）和均匀横向磁场存在下，导电微极流体在具有可变热通量的可渗透拉伸表面上的流动和传热。2. 问题的提出控制矢量形式的不可压缩稳态微极流体行为的方程为[6，7]：质量守恒r·V¼0;100%动量守恒qV·rV¼-rpl kr2Vkr ×Xqf;2角动量守恒：qjV·rXa0b0c0rr·X-c0r×r×Xkr×V-2kX22M.A.A. Mahmoud，S.E.WaheedPR-MM阿qcpp@yXax2M1个= 2个uaxaωlkM100kN;v/vw;W0 @yy¼0XXWQ0¼pШ-我...Þ]fðgÞ¼fþ½；f0能源：2其中upgrade是以通常方式定义的流函数，u<$4@upgraph和v<$4-@ upgraph使得质量守恒方程（五）qcpV·rT¼jrTuQ;4@y@x其中f是每单位质量的体积力，l是每单位质量的体力偶。V是平移矢量，X是微旋转矢量，p是压力。a0、b0、c0和k是微极双流体的材料常数。q是流体密度，j是微惯性，l是动态粘度，j是热导率。T是流体温度，u是耗散函数，cp是恒定压力下的比热考虑不可压缩导电微极流体通过与平面y=0重合的多孔拉伸表面的二维湍流，湍流在y>0的区域中。X轴是沿着运动方向上的拉伸表面截取的。沿垂直于表面的y轴施加均匀磁场B0假设变表面热通量为M自动满足。将变量（10）代入等式（11），（6）-1Gh00-12h00-12h00;12 h 121小时00分f小时0-mf0小时0.01分3秒然后，变换后的边界条件由下式给出f<$fw;f0<$1a1Kf00;h<$0;h0<$-1 的t g¼0;F0！ 0;h！ 0;h！0 asg！1个;ð14ÞrB2其中素数表示对g的微分，M^a0qwxbx （其中b，m是常数，x测量dis-q从前缘沿板表面的距离如果是磁参数，fw11/4-1000 m²2vw是吸力（>0）速度和微旋转分量是（u，v，0），（0，0，N），忽略物体力偶、微惯性、粘性耗散，并使用通常的边界层近似，在能量方程中考虑热产生（吸收）的基本方程为[9]：质量守恒@ u@ v@x轴@y轴1/40;2/5轴动量守恒或注射参数（0），K=k/l是材料参数，a/4aω1a是滑移参数，G/4G1a是微旋转参数，Pr/41cp= j是普朗特数，并且c/41是热生成（>0）或吸收（<0）参数。感兴趣的物理量是局部表面摩擦系数Cfx、无量纲壁力偶应力Mx和局部努塞尔数Nux，分别定义为：@u@uu v¼. lk@2uk@NrB2—0u;106u2swC¼;2@x@yq@y2q@yqfxqax角动量守恒：MWMx1/4qamx3;1015m@2N 。 @uXQG1@y2-2个月1/4;1/7Nux¼w;jTw-T1能源：@T@Tj@2T Q其中，局部壁面剪应力sw，壁面力偶应力mw和来自板的热传递qw定义为：0u@xv@y¼qc@y2qcT-T1;8联系我们受边界条件限制sw¼-lk@ykN;y¼0联系我们@ym²c@N;1600万N¼0;@T bxm@y<$4-j;在y<$40;19时q¼ -Δj@T：y¼0u！0的整数;N！N！0的整数;T！T1;如y！1个;其中u和v分别是x和y方向上的速度分量N是微旋转或角速度，r是电导率，B0是磁场使用相似性变量（10），我们得到1CfRe1=21/4-101Kf00 00K;MRe<$KGh00;17XxG1c是微转常数，aω是滑移1coefficient和m是热膨胀指数。这里要指出的是，均匀表面热的情况对应于m=0。NuxRe-1=2¼;h0我们引入以下无量纲变量：g½am]xfg;N¼axhai1=2hg;10T¼T qw式中，Rex1/4m/2是局部雷诺数。在牛顿流体（K=0）的情况下，a=0，动量方程。具有边界条件（14）的方程（11）具有以下形式的精确解：1次暴露bgwgexp-bg;181jabpK2þ微极流体在拉伸表面上的MHD流动与传热23XZ1¼þþ2 2Z. Σ-2..ΣΣðÞ —ðÞ þðÞ¼ðÞÞ2c1F1B22016年12月20日，第一届中国国际汽车工业展览会在北京举行。þhv-1 fv dvC1;30XX-ma0b0;1b;fv dvdvC1v1C2：312G22G1Ch¼-hðv Þþflf/df;f0v¼-1lf1/pbdf1;ZB1X12f2f2-1-1其中，b由f-1f;f0-1。g1. 2a1 Kf00 -1;f01¼0;Wfpf241M¼2g1bww：2由式（17）给出的局部表面摩擦系数现在变为：小时-1小时1小时1小时 0小时24小时h-100-g1;h-100-g0;12Cfx Re1= 2¼b：119Ω2在这里，微分方程（21）Eq的精确解（13）满足Eq.（14）根据Kummer新变量v。我们的技术是通过对最高阶导数f000，h00的切比雪夫近似来完成的-bga0-b0。-2m-e-bgPr和 h00和 生成 近似值 到 的 低阶导数f00、f0、f、h0、h、h0和h如下：a0b022-e-bgPrB2设置f000/m;h00w/m和h00f/m，我们得到的gration：哪里vFf00v/vdvC; 25q1bf2Pr2-4b2Prca;b¼0ZvZvf f2011年12月bfw0b20b2;c1¼0fv/vdvdvC1v1C2;26fvZv Zv Zv/v dvdvdvCfv和c1/4-1=.-1ba-bF-ma0级b0;1美元b;-Pr-1-1个-1个2个f f22001220b2CF2000年;2年b;-我是...我的天啊！2vh0v-13wv dvCh;2812 20分b0的0B2-Prb1b01Zv Zvh h-b0bF1 -m22; 1 b0; b2hvv0wvdvdvC1v1C2;29H1Nu Re-1=2¼hCFi：1000B2ZvZvh h-1-13. 求解方法从边界条件（24），我们得到：f1Z1 Zv控制边界层的域方程。（11）C1¼-22a1kg1-1-1个 /vdvdv无边界区域[0，1]。然而，对于所有的实际情况，儿子，这可以用区间06g6g1代替，其中g1是一个很大的数字，需要指定计算条件，1 .一、 -是的g1a2G12venience。使用代数映射：v≤2g~（-1）;Cf¼. g1a1K。2°Cf;Cf¼f;1无界区域[0，1）被映射到有限域3W1Z1 Zv[ 1，1]。等式将公式（11）000万美元，1000万美元。g1个。fvf00v-f02v12-1-1个Ch¼0;CH3-。g1g;Z1 Zv2 ¼-ðÞ2- 是的g12Kh0v-Mf0v¼0;21Chg1-1f vdv dv：-12Gh00v2g12hvf00v0;222因此，我们可以近似方程。（25）如下所示：100. g1个0个XNXNfiv公关2. g102IJji ij¼0我是j¼02019年12月22日星期三变换后的边界条件由下式给出：Nfi00vlij /jdi;2003年2月20hge;1-b0;2;1b0;;由（17）给出的局部Nusselt数现在变为：hv122-两个;wv d vdv;1-1-1124M.A.A. Mahmoud，S.E.Waheedj¼0微极流体在拉伸表面上的MHD流动与传热25W2我G1G1.Σ214hv.Xlhfdh;h0vlh1f dh1;34国际新闻报我我j¼0j¼0IJIJNJ我22IJIJ我GNJ我j¼0IJJj¼0IJJ我IJJX我X！j0X！IJ！我我2.Σf12英尺。ΣΣ2国际新闻报NhvNlhwwdh;h0vlh1w dh1;1 fi .G1“嗯”。XN¼lf/ dfJ！.XN¼Nlh1fjdh1-mlf1/puddf1！]J伊季报 ji ij¼0我IJJIj¼0JPr2ij .IJ伊伊j0！#.伊日j¼0XNXNN半升hfjdh- 是的g1-2cNlhfjdh2019-04- 27对于所有i=0（1）N，其中4. 结果和讨论l h<$b2-b2;dh¼g.1-bisvibisv1;lh1¼b;dh1g1;od，我们比较了a=0时的数值结果，伊季我 公司简介m=2，fw1/40： 2和K=0（对于牛顿流体的情况），l h1b2-lvi1b2;dh¼0;分析得到的那些（Eqs.（19）和（20））。可以看出伊季lh1½bij2纽i12小时 1分— 2bNj;Di 1/4;数值结果与实验结果吻合较好。分析得到，如表1所示。表2说明了我们的数值结果之间的比较牛顿流体，1“v12我IJIJ.2000年我G1NJ[34]《易经》：“君子之道，焉可诬也？”l f½ b3-.Σþ að1þ KÞðv þ1Þb2;ids情况（在等式中，K = 0，M = 0和fw 1/4 0）（14）与那些df<$fv1。g1“2001年1月2日G12000年1月1日，2Σ. 2000年G的用途;结果显示出良好的一致性。研究了滑移参数α对速度、微尺度和微尺度的影响旋转和温度分布示于图1和图2中。1比3。图 1描述了滑移参数a对尺寸的影响。×2a1Kvi1;11 2L 1/4 b-. Σv2a1k21无摩擦速度值得注意的是，对于吸入和喷射，随着a的增加而减小还有，从图中可以看出， 2.微旋转随f1。g1. g1双金属2.2ΣΣ如图所示，温度分布随a的增加而增加。 3di¼2-vi 1a1 K g;2a1 kg11图图4- 6 显示局部表面摩擦系数 ，各种值的偶应力和局部努塞尔数f212 f2. g12a和fw分别，保持所有其他参数固定，勒伊杰1/4bij-. 200bNj;di¼-.2分;分别注意到局部表面摩擦系数哪里2a1kg12a1kg1由于吸入而增加，在喷射的情况下减少对于a的固定值，此外，还观察到，对于固定的fw值，局部表面摩擦系数b2¼v-vbij;和bij是矩阵B的元素，如参考文献[33]中所给出的。然后使用牛顿迭代法求解该系统通过使用Eqs. （32）（21）如图4所示，折痕随着a的增加而增加。 从图5中可以看出，对于固定的a值，吸力的作用是使无量纲力偶应力增大，而注入的作用是使无量纲力偶应力减小。对于固定的fw，无量纲力偶应力随a的增加而减小。从图6可以看出，吸力的增加导致 局部Nusselt数的增加;而增加1. g2.2.XN2lf/ df！.XNlf2/pbdf2！--一种.XNlf1/df1！23在注入的绝对值导致局部Nusselt数显着减少为一个固定的值a。主义理论体系是发现对于固定的fw，局部努塞尔数减少为- 是的G1102“K.XNNlh1wdh1-Mlf1/puddf1！#20;3500a增加。这种行为表明了吸力的重要性，2ijJIj¼0IJJIj¼0注射在控制速度，微旋转和你...二、G12002年。XN我爱你！þ .XNlf2/droppedf2！！2019-04-26边界层的温度00i2ijjij¼0IJJIj¼0局部表面摩擦系数，以-f0表示，壁面偶应力h00，局部努塞尔.XG1-5我2IJ我j¼0j¼0IJ我1为了评估本数值方法的精度2a1k2在抽吸和注入的两种情况下都增加了α脾气-我j¼0X26M.A.A. Mahmoud，S.E.Waheed表1 在K=0的情况下，对于不同的M和c值，1 C f Re 1 = 2和Nux = Re 1 = 2的解析值和数值之间的比较，2xx xm = 2，a = 0，Pr = 0.72和fw= 0：2。Mc1Cf Re1= 2Nux=Re1= 22xxx分析数值分析数值0.50.11.328821.328811.029381.0295810.11.517741.517730.969660.9697761.50.11.684301.684260.917300.917500.50.11.328821.328811.029381.029580.50.01.328821.328811.089321.089520.5-0.11.328821.138811.139911.13991微极流体在拉伸表面上的MHD流动与传热27ð Þh0表2在K=0、M=0和fw<$$>0的情况下，不同a值的f 0 <$0 <$和- f 0 0 <$0 <$0的比较。af00-f000[34]第35话：我的世界，我的世界[35]1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.01.0 0.9128 0.91279 0.91279 0.8721 0.87208 0.872090.77637 0.77639 0.84473 0.844722019年12月31日星期四上午10时30分1.0 0.5698 0.56984 0.56982 0.4302 0.43016 0.430182.0 0.4320 0.43204 0.43199 0.2840 0.283982019 - 05 - 25 00：00：0010.0 0.1876 0.18758 0.18759 0.081220.0 1242 0.12423 0.12420 0.0438 0.04378 0.043810.0702 0.07019 0.07019 0.0186 0.01859 0.01860100.0 0.0450 0.04501 0.04500 0.0095 0.00955 0.00951图1G= 2时不同aK= 1.2，M = 0.5，Pr = 0.72，m = 2和r = 0.1。图4当G=2，K=1.2，M=0.5，Pr=0.72时，局部表面摩擦系数作为不同fw值的函数m= 2，r = 0.1。图2不同a值的微旋转曲线，G= 2，K = 1.2，M = 0.5，Pr = 0.72，m = 2和r = 0.1。图5当G = 2、K = 1.2、M = 0.5、Pr = 0.72、m=2和r=0.1时，对于不同的f w值，壁力偶应力系数作为a的函数。图3不同a值的温度分布，G= 2，K = 1.2，M = 0.5，Pr = 0.72，m = 2和r = 0.1。对于M、m和c的各种值，以1表示的数字在表3中示出。从该表中可以看出，无论是吸入还是喷射，局部表面摩擦系数和壁面力偶应力都随着M的增加而增加局部Nusselt数随M和生热参数的增大而减小，而局部Nusselt数随m和吸热参数绝对值的增大而增大。26个硕士学位 Mahmoud，S.E.Waheed表面摩擦系数、壁面偶应力和局部努塞尔数的影响，而吸力的影响则相反。此外，局部努塞尔数随着生热参数的增加而减小。此外，还发现在吸入和喷射两种情况下，局部Nusselt数都随着吸热参数和热膨胀指数的绝对值的增大而增大引用图6 当G=2 、K=1.2 、M=0.5 、Pr=0.72 、m=2 和r=0.1时，局部努塞尔数系数随fw的变化[1] L.起重机，流经拉伸板，Z。Angew.数学物理21（1970）645[2] P.S. 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