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Journal of the Egyptian Mathematical Society 25(2017)252原创文章分数阶电路的Laplace变换和非标准差分解法W.K. Zahraa,b, M.M.塔希尔·希卡尔巴赫纳西河a埃及坦塔坦塔大学工程学院工程物理和数学系b埃及,亚历山大,新博格阿拉伯城,日本科学技术大学数学系,基础和应用科学学院,21934。Ar ticlei n f o ab st ract文章历史记录:2016年6月20日收到2016年12月23日修订2017年1月18日接受在线发布2017年MSC:94C0526A3344A10保留字:分数阶系统Caputo分数阶导数线性电路拉普拉斯变换Grünwald–Letnikov本文研究了分数阶线性电系统。 用拉普拉斯变换法导出了分数阶模型的解析解。此外,使用Grünwald- Letnikov定义的数值模拟。用Laplace变换和非标准有限差分法对分数阶电系统和经典电系统进行了比较© 2017埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章。(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)的网站上进行了介绍。1. 介绍近年来,分数阶微积分因其广泛的工程应用而引起数学家的兴趣[1它为描述各种材料和过程的记忆和性质提供了极好的工具。非整数导数在含有超级电容和超级电感的电路建模中起着重要的作用。 此外,在这样的电路中,奇异线性系统在许多论文和书籍中得到了解决[10在[14]中,从理论和实验上考虑了R-C电路中不同电容器的充电和放电过程。 作者还研究了这些非局部行为过程 通过分数微积分从时间分形中产生。讨论了RLC电路模型解的存在唯一性,并利用Adomian分解法和Laplace变换得到了*通讯作者。电子邮件地址:waheed_zahra@yahoo.com,waheed.ejust.edu.eg(W.K.Zahra),manalhikal@yahoo.com(M.M.Hikal),taher. gmail.com(T.A.Bah-nasy)。方法[15]。文[16]提出了用Weierstrass正则束分解和Laplace变换求解一类新的奇异分数阶电路。在这篇文章中,我们将使用拉普拉斯变换方法和非标准有限差分方法(NSFDM)来研究R-L和R-C电路模型的解析解和数值解。第二节给出了分数阶微积分的基本定义和一些性质。第三节给出了不同电路的分数阶导数的解析解和用NSFDMs的数值解,第四给出了一些说明性的例子和它们的解。最后,在第五中给出了一个简短的结论。2. 预赛在本节中,我们将介绍一些在分数微积分中具有重要规则的基本定义和函数,这些定义和函数将在本文中进一步使用[17定义2.1.Caputo分数阶导数非整数阶函数f(x)α被给出为,http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2017.01.0071110- 256 X/© 2017埃及数学学会。Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章。(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)的网站上进行了介绍。可在ScienceDirect上获得目录列表埃及数学学会期刊首页:www.elsevier.com/locate/joemsW.K. Zahra等人/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25(2017)252253.1n−11 2f(x)=<$(n−α)dxn不克文(α+k+1)函数St(α,a)或Ct(α+1,a)是下列常微分方程不3.1. 分数阶系统的解析解α1αxn−α−1dn−D f(x)=<$(n−α)(x 1)一dtn f(t)dt,n − 1 <α 0(2.10)N→∞hJj=0N(α)它的定义是:其中Cα=1,Cα=(1−1+α)Cα。0j j−1Caputo分数阶导数与Riemann-Liouville分数阶导数是不等价的Dαf(t)=RDα(f(t)−f(0)),0α 1。<< 如果最初的骗局-Et(α,a)=tαeatγ<$(α,a t),(2.11)其中,γ(α,a t)是定义在下式中[19]作为版本 f(0)= 0,则有Dαf(t)=RDαf(t),格林瓦尔德-列特尼科夫 分数 衍生物 是 等效 到γ(α,z)=e-z。zK.(2.12)Caputo分数阶导数,参见[19,30]。定义2.4. 拉普拉斯变换如果一个函数f(t)是指数级α,并且是分段的k=0<$(α+k+1)如果我们在公式2.11中用ia代替a,那么Et(α,ia)=Ct(α,a)+iSt(α,a),(2.13)在实直线上连续,则f(t)的Laplace变换(s>α)其中reC(α,a)=t.∞不(−1)k/2(a t)k,以及定义如下:S(α,a)=tα.∞(−1)(k−1)/2 (a t)k.n∞k奇F(s)=L[f(t)]=e−stf(t)dt.(2.4)(α+k+1)Caputo导数的Laplace变换为:L[Dα f(t)]= sα F(s)−。sα−k−1 f(k)(0),n =α 。(二、五).D2+a2y=a tα−1(α),α> 0。k=0两个函数卷积的拉普拉斯变换:两个函数f(t)和g(t)的卷积定义为:阿勒特f(t)=03. 分数阶线性电系统在这一节中,我们将介绍一些分数阶数为α,0<α≤ 1的电路的应用。对于每种应用,都得到了简单的解析解。和两个函数f(t),g(t)定义为:L{f(t)g(t)}=L.f(t−τ)g(τ)dτ=F(s)G(s),(2.7)0其中F(s)和G(s)是 f(t)和g(t)分别首先,我们考虑以下应用:应用1. 考虑图1所示的电路,给定电阻R1、R2、R3,电感l1、l2、l3和电压源vi(t),i=1、 2。利用基尔霍夫在本文中,我们将概括一些电路模型,在Caputo意义下的α阶分数 阶系统∞D(x−t)f(t)dt,α> 0.(二、二)0f(t−τ)g(τ)dτ,(2.6)254W.K. Zahra等人/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25(2017)2521vlΣΣdtαdtα我们可以写Eqs。(3.1)和(3.2)的形式c,(2.9)dtα=v()dαi不 =i R+l+ldα(i( 一)+R(i(3.1)定义。我们假设电感器两端的电压vl1和1 1 1dtα3dtα312电容器电流Ic为:v()dα(i1−i2)dαi2dαi=1,(2.8)2t+R3(i1−i2)+l3dtα= i2R2+ l2dtα。(第3.2节)dαvCl1+l3−l3L+l3)3−(li1(t)i2(t)−Ri2(t)+R3)3(R)2其中dα=Dα是分数阶导数算子, Caputo的衍生品同样,l是电感c是电容v1(t)+−v2(t).(3.3)并且IL和VC是电感器电流和电容器电压Letq=[l1+l3−l3],I(t)=[i1(t)],R=[−(R1+R3)R3],V(t)=分别l3−(l2+l3)i2(t)−R3(R2+R3)定义2.5.函数E(α,a)[18,19][v1(t)],且q−1=−1[−(l2+l3) l3 ]是q的倒数。t−v2(t)l1l2+l1l3+l2l3−l3l1+l3L我=cdtαW.K. Zahra等人/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25(2017)252255中国==ααα3C1122C122|Q|(sα + ω)(sα + ω)21CΣΣ2 2 1 1 2 2让Aq−1RA11 A12,(3.4)一名21 一名22哪里一=−[l2R1+l2R3+l3R1],A=−13R2+12R3,11L1l2 +l1l3 +l2l312L1l2 +l1l3 +l2l3A=l1R3−l3R1、一=−[l1R2+l1R3+l3R2],(3.5)2221L1l2 +l1l3 +l2l3l1l2 +l1l3 +l2l3图二. 应用电路2.则系统(3.3)可以写成如下形式:dαdtαI(t)=A I(t)+qV(t)。(3.6)应用2. 考虑图2所示的电路,具有给定的电阻R、电容c、c、c和电压源从系统(3.6)中,在零初始值v i(t),i =1,2.123条件下,我们得到从等式(2.7)C3中的电流由下式给出:I(s)=一个12I(s)−112[V(s)(l)1+1)+V(s)1],dαu3dαu1dαu2Sα−A11(Sα−A11)|Q|2 3(第3.7节)ic3=c3dtα =i1+i2=c1dtα+c2dtα。(3.(17)从中u=1Iα[c Dαu+c Dαu]=1[c u+c u],(3.18)sI2(s)= A21I1(s)+A22I2(s)− |Q|[13V1(s)+(11+ 13)V2(s)]。 (3.8)33将公式3.7代入公式3.8,我们得到:1I2(s)= |Q|(sα + ω)(sα + ω)[V1(s)[l3A11− A21(l2+ l3)]其中,Iα、Dα是Caputo分数阶积分和导数,的Eerator分别。利用图2所示电路的基尔霍夫dαu1(t)v1(t)(c1+c3)u1(t)c2u2(t)1 2α=−-,(3.19)+V2(s)[A11(l1+l3)−A21l3]dtRc1RC1C3RC1C3-l3s V1(s)−(l1+ l3)s V2(s)]。(3.9)我们观察到1 1 1=M−其中v(t)= u(t)+1 [c u(t)+c u(t)]。(3.20)3然后c3v2(t)−c 1u 1(t)|Q|(sα + ω1)(sα + ω2)1sα+ω2sα+ω1u2(t)=c2+c3.(3.21)M= |Q|(ω.(3.10)- ω)将公式3.21代入公式3.19,我们得到:α1 2应用拉普拉斯逆方程(3.10),则dtα=联合报告1+Bu1(t)−Rc(c,(3.22)+c3)L−1。1n=M{e(t,−ω)−e(t,−ω)},(3.11)哪里(+c+c)12c12B=−3 .第三章。(3.23)哪里ω1,2= −0。5[tr(A)±,(tr(A))2-四个|一|](3.12)Rc1(c2+c3)将Laplace变换应用于Eq.(3.22)在零初始条件下,得到:在[20],e(t,ωi)U(s)= 1.一 、V1(s)−c2V2(s)-是的(3. 24)ρ−1(sα−B)Rc1Rc1(c2+c3)e(t,ωi)=.(ωi)ρ−k−1E t(−kα,(ωi)ρ),i =1,2,(3.13)1112321−1256W.K. Zahra等人/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25(2017)252Dαv1(t)−i2(t)−1R c c3Cρ1ρm应用逆拉普拉斯变换的方程。(3.24)然后,k=0. v1(t)c2v2(t)其中,Et(α,a)在公式2.11中定义,ρ在[20]中定义为方程的乘子的最小公倍数u1(t)=e(t,B)Rc1−Rc1(c2+c3),(3.25)[Dn + b Dn−1+. . . + b] y = 0。因此,应用逆拉普拉斯变换的方程。(3.9) 给i2(t)=M{e(t,−ω2)−e(t,−ω1)}<${R<$v1(t)+Uv2(t)−l3Dαv1(t)−(l1+l3)Dαv2(t)},(3.(14)其中e(t,B)在式(3.13)中定义。将式(3.25)代入式(3.21),我们得到u2(t)的值.现在,下面的分析是找出电容器元件上的电流表达式。对图1所示电路中的回路1应用基尔霍夫电压定律。 2、然后v(t)= 1 Iα(i(t)+i(t))+i(t)R +1 Iα i(t)。(3.26)11 2 1 13 1其中,符号“X“是公式2.6中定义的卷积规则,操作Eq 的两侧。(3.26)由Dα,则R=13A11−A21(12+13),U=A11(11+13)−A2113。(3.(15)现在应用逆拉普拉斯变换方程。(3.7) 然后11. C+C语言RRc31 3i1(t)=A12i2(t)e(t,A11)类似地,将基尔霍夫1-e(t,A)n(l+l)v(t)+lv(t)(3.16)v(t)=1Iαi(t)+122Iα(i1(t)+i2(t)).(3.28)|q|11[23]132]。c2c3Dαi1(t)=i 1(t).(3.27)CW.K. Zahra等人/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25(2017)25225714|一|,105=、=−1211R12SRSV2(s).(3.31)1R125|一|6|一|23 1+124J13=c2R2(R2−R4+2R3),J21=−c1c2R2R4,J22=c1c2R4(R2+R1),J23=c2{(R2+R1)(R4−R3)−R2},1 2J31=c1c2R5R2,J32=−c1c2R5(R2+R1),J33=c2{(R2+R1)(R2+R3)−R2}。(3.39)图三. 应用电路3.操作Eq的两侧。(3.28)由Dα,则由方程(3.36)我们可以得到:Dαi1(t)=φ 1i1(t)+φ 1i2(t)+φ 2i3(t)+q1Dαv1(t)+q2Dαv2(t),(3.40)Dαi2(t)=φ 3i1(t)+φ 3i2(t)+φ 4i3(t)+q3Dαv1(t)+q4Dαv2(t),c2c3αC2(3.41)i2(t)=c+c3 Dv2(t)−c +c3 i1(t).(3.29)ing替换为Eq。(3.29)在Eq. (3.27),我们得到以下结果-Dαi3(t)=φ5i1(t)+φ5i2(t)+φ6i3(t)+q5Dαv1(t)+q6Dαv2(t),(3.42)Dαi(t)=Bi(t)+1Dαv(t)+Q<$Dαv(t),(3.30)其中,Q=−c2,B的定义见式(3.23)。J +JJ −J2— λJJ+J3R(c2+c 3)将Laplace变换应用于Eq. (3.30)在零初始条件下,1=11|A|十二岁,=1311|一|十二岁,=21|一|二十二岁,以获得:1.一、1α∗αΣλ=J23−J21−λ<$J22J31+J32|6|63−J31−λ<$J32+J33,|A|应用逆拉普拉斯变换的方程。(3.31)然后,q−c1J11,q|A|−c2J13,q|A|−c1J21,q|A|−c2J23,|A|i(t)= e(t,B)1Dαv(t)+Q。(3.32)q=−c1J31,q=−c2J33。(3.43)将式(3.32)代入式(3.29),得到i2(t)的值。应用3. 考虑图3所示的电路,给定电阻R1,R2,R3,R4,R5,电容c1,c2和电压将拉普拉斯变换应用于等式(3.40)和(3.41)在零初始条件下,我们得到:1源vi(t),i=1, 2应用基尔霍夫I1(s)=sα−φ1 {φ1I2(s)+φ2I3(s)+q1sαV1(s)+q2sαV2(s)},(3.44)v(t)=i(R+R)+1Iα(i+i-i)+(i)-i)R,(3.33)11 112c1 23232I(s)={φI(s)+φI(s)+qsαV(s)+qsαV(s)}。(i+i — i)R11α+I(i+iC-i)+(i)— i)Rsα−φ34 3 3 14 2(3.45)123211 232331IαiC2-i3R4 =0,(3.34)将公式3.45代入公式3.44,我们得到:11I(s)=1{[]+(sα−)]I(s)233i3R 4+Iαi3C2+i2R5 =v2(t).(3.35)sα(sα (α1α(见附件3))α我们可以写Eqs。(3.33)-(3.35 )在以下系统形式中:+1(q3sαV1(s)+q4sαV2(s))αDαI(t)=A−1{I(t)−DαV(t)},(3.36)+(s − 13)(q1s V1(s)+q2s V2(s))}。(3.46)====−哪里I1(s)=Sα−BV1(s)+Q2231 4258W.K. Zahra等人/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25(2017)252φ1,V(t)=Oc2v2(t)、λ=1+cI3(s)=φS I1(s)−(q 1sV1(s)+q 2s当reA−1=|1J11J12J13J21J22J23J31J32J33+哪里Σ1 −1 −1Σ=−由方程式(3.40)我们注意到:i(t)+i(t)=1{Dαi(t)−φiφ- (q Dαv(t)+q Dαv(t))}。2011年1月,0 0 11 2 112 3 1 12 2(3.47)−c1(R1+R2)−c1R2c1R2A=−c1R2−c1(R2+R3)c1(R2+R4+R3)0 −c2R5 −c2R4,(3.37)将式(3.47)代入式(3.42)并应用拉普拉斯转换为结果形式,我们得到:Σi1ΣI(t)=I2I1999年1月1日(t)2φ5。ααα1 (sα+P)φ1(q5sαV1(s)+q6sαV2(s))一|φ2φ 5J11=c1c2{R4(R2+R3)+R5(R4−R3)},J12=−c1c2R2(R4+R5),其中p=−φ6。 从(3. 48)在to(3.46)中,.(3.38)V2(s))是A的逆,φ5,(3.48)W.K. Zahra等人/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25(2017)252259LtNSFD1-V(s),o(s)=q V(s)+q1V(s),i=1,3, 5,10105500-5-5-10-10-150 5 10 15 20 25 30 3540时间(一)-150 5 10 15 20 25 30 3540时间(b)第(1)款10105500-5-5-10-15LT(α =1)NSFD(α =1)NSFD(α=0.9)NSFD(α =0.8)0 5 10 15 20 25 30 3540时间(c)第(1)款-10-15LT(α =1)NSFD(α =1)NSFD(α =0.9)NSFD(α =0.8)0 5 10 15 20 25 30 3540时间(d)其他事项10105500五点五分-10-150 5 10 1520时间LT(α =1)NSFD(α =1)NSFD(α =0.7)NSFD(α-0.5)25 30 3540-10-15LT(α =1)NSFD(α =1)NSFD(α =0.7)NSFD(α =0.5)0 5 10 15 20 25 30 3540时间(e)(f)图四、示例4.1中电流i1(t)、i2(t)的时间响应。12ασ=25−ϕ— p,=— 但是,I1(s)=(S2α)α-β1SαS+100%(2)o1(s)3142 31ϕ ϕ ϕ+S[1o3(s)+σo1(s)+2o5(s)]+[δo5(s)+δo1(s)]−δ1po3(s)},(3.(49)δ=0.3p+45−23五、ϕ1哪里1=45我ϕ2ϕ5ϕ我LtNSFDi 1(ti 1(ti 1(ti 2(ti 2(ti 2(t{260W.K. Zahra等人/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25(2017)25212,2=p( 1+ 3)+i+12ϕ2ϕ3ϕ5ϕ将逆拉普拉斯变换应用于Eq.(3.49)得到:.1Σ(S2α−<$Sα+<$)i1(t)=L−1L−1{S2αo1(s)W.K. Zahra等人/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25(2017)252261RKMNSFDMα =1alpha= 0.75alpha= 0.5i 2(ti 2(t.Σ2802560201540102050020- 5-40-60-800 2 4 6 8 10 12 14 16 1820时间(一)-10-15-20-250 2 4 6 8 10 12 14 16 1820时间(b)第(1)款8025602015401020500-20-40-60-8005101520时间(c)第(1)款25 30 3540-5-10-15-20-2505 101520时间(d)其他事项25 30 35 40图五. 示例4.2中电流i1(t)、i2(t)的时间响应。哪里+Sα[δ1o3(s)+σ o1(s)+δ2o5(s)]+[δo5(s)+δo1(s)]−δ1po3(s)},(3.50)其中e(t,−p)由式(3.13)定义。因此,将式3.55和式3.50代入式3.47,我们得到i2(t)的关系式:i(t)=1{Dαi(t)−Dα(qv(t)+qv(t))} −i(t)。(3.56)L−11(S2α−<$1Sα+<$2)1 1 1 2 2 11=L−1。 1Σ1−1ΣΣ3.2. 分数阶系统的数值模拟(τ1−τ2)1(Sα+τ2)(Sα+τ1)Mick提出的非标准有限差分法ens[26]用于求解以下微分系统=(τ1-τ)[e(t,−τ2)−e(t,−τ1)],(3.51)方程式:和τ1,2=−0。5{<$1±,<$12−4<$2},(3.52)e(t,τ),i=1,2由式3.13定义,我们还得到:irr = fr(t,i1,i2,. . . ,i m),r = 1,2,.., M.(3.57)采用有限差分法,离散导数为i r =i1,k+1−i1,k,i r =i2,k+1−i2,k,Ir =im,k+1−im,k ,(3.58)RKMNSFDMα =1alpha= 0.75alpha= 0.5i 1(ti 1(t2φ262W.K. Zahra等人/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25(2017)2523Kϕ111 12 2Jϕ5 16 2K0ϕ1αi i1(h)22002(h)mm(h)L−1{S2αo1(s)+Sα[<$1o3(s)+σo1(s)+<$2o5(s)]+δo5(s)+δo1(s)−δ1po3(s)}=D2αo1(t)+Dα[σ1o3(t)+σo1(t)+σ2o5(t)]+δ o5(t)+δo1(t)−δ1<$6o3(t)},(3.53)其中,〇i(t)=qiv1(t)+qi+1v2(t),i=1,3,5。(3.54)类似地,将逆拉普拉斯变换应用于等式(3.48)i(t)=5e(t,−p)。Dαi(t)−Dα(qv(t)+qv(t))+D(qv(t)+qv(t)),(3.55)5其中,r(h)=h+O(h2),h是步长,详见[26,28,29]。现在我们考虑我们的分数系统如下:dαdtα i r(t)= fr(t,i1,i2,. . . ,i m),r = 1,2,.., M.(3.59)我们将上述技巧与Grünwald-Letnikov定义一起应用.Cα i r(tk− j)= fr(tk,i1,k,i2,k,. . . ,im,k),(3.60)j=0其中t = kh,k = 0,1,2.... ,Cα=(k(h))α。W.K. Zahra等人/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25(2017)252263LtRKNSFDRK误差NSFD误差i 2(t| |1++1(一)||)11+ω21+ω221+ω21+ω2φ(h)= 1 − e−h,而图 5(c和d)给出了时间响应211+ω21+ω221+ω21+ω21+ω24阶数α = 1,0. 75,0。5. 振荡的振幅1+ω21A21121|Q|A11+ω2|Q|考虑v1(t)= Vm1sint,v2(t)= Vm2sint,代入方程:2050154030102051000五点到十点-10-20-15-200 246 8 10时间(一)1214161820-30-40-500 2 4 6 8 10 12 14 16 1820时间(b)第(1)款0.20.200-0.2-0.2-0.4-0.4-0.6-0.6-0.8-1-1.202 4 6 8 10 12 14 16 1820时间(c)第(1)款-0.8-1-1.20 2 4 6 8 10 12 14 16 1820时间(d)其他事项见图6。示例4.3中电流i1(t)、i2(t)的时间响应。4. 说明性实例在这一节中,我们将给出一些注释和说明性的例子,为以前的应用与一些数值例子。实施例4.1. 对应于应用1的电路,如果α= 1且vi(t)= Vmi sin(t),i = 1,2,则Dvi(t)= Vmi cos(t),然后代入等式2。(3.14)和(3.16),我们得到i2(t)=p1si n(t)+p2co s(t)+p3e−ω1t+p4e−ω2t,( 4.第一章R1=10▲,R2=1▲,R3=5▲,l1=0. 2 H,l2=10 H,l3=5H,Vm1= 100 V,Vm2= 100 V,α= 1。 因此tr(A)=-3。8906,A=1. 2264,则ω1=0。3460,ω2=3。5446.第5446章系统应用程序1稳定。图4(a和b)表示h= 0.05和φ(h)=h时电流i1(t)、i2(t)的时间响应,使用拉普拉斯变换(LT)和NSFD方法(α=1)的精确解,这表明NSFD方法与精确解,而图4(c-f)则致力于显示分数阶数α的不同值对h = 0时电流时间响应的影响。1.电流的时间响应的幅度也随着分数阶数α的减小而衰减i1(t)=p5sin(t)+p6cos(t)+p7e−ω1t+p8e−ω2t+p9eA11t,(4.2)实施例4.2. 对于应用1,使用NSFD方法[27,28,29]并假设以下参数:R1=1。4▲,R2=0. 2▲,R3=1▲,l1 = 0。8H,12 = 1 H,13 = 0。1H,Vm1 = 200 V,Vm2 = 100 V。的图5(a和b)中示出了该示例的数值结果,其表示电流i1(t)、i2(t)在ω2ω1∗其中p=M{a(−)+a(1−1)},2121α=1,使用Runge-Kutta(RK)和NSFDM方法,h = 0.05p=M{a≠(1−1 )+a<$(ω1−ω2 )}p1212=M(a2−a1),1的电流使用NSFD方法的不同值的压裂,p=M(a<$1+ω2a<$2),p2={A(p−Ap)+A11[(12+13)Vm1+13Vm2]},减弱p6 =1 {(l2+l3)Vm1+l3Vm2−A12(p1+A11p2)},p7=−A12p3,1+A2|q|A11+ω111−(l+l)V+1 V实施例4.3. 对应于应用2的电路,以及p8=A12p4,p9=1{A12(p1+A11p2)−23M13m 2}−(p7+p8),a_1=R_nV_m1+U_nV_m2,a_2=13V_m1+(11+13)V_m2,ω1,2和Rω,Uω定义于(3.12),(3.15)尊重。(3.32)和(3.29),α=1,则我们观察到对于所有的li,ri,∈R+,i=1,2,3. 所以ω1, 2>0,则电路1的系统是渐近稳定的。.Vm1+RVm2好吧。LT RKNSFDRK误差NSFD误差i1(t)i 1(ti2(t)3512111A211264W.K. Zahra等人/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25(2017)252Bt基因假设应用程序1的参数取值为:i1(t)=R.1+B2sin(t)−Bcos(t)+B e(4.3)W.K. Zahra等人/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25(2017)252265p(h)=hp(h)=sin hp(h)=1-exp(-h)p(h)=sin hα =1α =0.9α =0.8α =1α =0.9α =0.8.212322.50.40.320.21.50.110-0.10.5-0.200 5 10 15 20 2530时间(一)-0.30 5 10 15 20 2530时间(b)第(1)款3个1.5英寸2.5120.51.5010.5-0.500 2 4 6 8 10 12 14 16 1820时间-10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20时间(c)(d)3.510.830.62.50.40.2201.5- 0.210.5-0.4-0.6-0.800 10 20 30 40 50 60 7080时间(五)-10 10 20 30 40 50 60 70 80时间(f)第(1)款见图7。 例4.4中电压vi和电流i1(t)、i2(t)的时间响应。和i(t)=hsin(t)+hcos(t)+heBt,(4.4)或简单i(t)=c2c3d(Vsint)(t))、(4.5)1 (i)c2c 3−i2(t),其中φ(h)=h,h= 0. 025,这表明NSFD方法比RK方法 这在 图 中 可以清楚地 看到。 6(c和d),其中用RK法和NSFD法计算了海流数值解的误差。c2+c3DTc2+c3例如 4.4. 为 应用 2, 假设 的 R=15 ▲,c1=0的情况。3f,c2 = 0. 1f,c3 = 0. 3f,v1= 10t,v2= 5t。 图 7(a,b)显示了p(h)=hp(h)=sin hp(h)=1-exp(-h)p(h)=sinh hα =1α =0.9α =0.8α =1α-0.9α =0.8i 1(ti 1(ti 1(ti 2(t)i 2(ti 2(t)ΣM2266W.K. Zahra等人/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25(2017)252其中h=−c2(Vm1+R Vm2Q),h=1{c2c3Vm2+使用NSFD在α=1时电流i1(t)和i2(t)1R(c2+c3)(1+B2)2(c2+c3)当h = 0时,不同φ(h)值的方法。05. 在Fig. 7(c)bc2 (Vm1+R Vm 2Q)},h=B hB在(3.23)中定义然后以及d)NSFD方法用于不同分数值R(1+B2)3 1考虑应用2的以下参数R= 5 ▲,c1= 0。2 f,c2= 1 f,c3= 0。9f,Vm1= 200V,Vm2=100V,α= 1。我们发现B=-2。第1333章系统稳定了图图6(a和b)描绘了电流i1(t)的时间响应,阶α,h = 0。φ(h)= sinh. 返回到图 7(e和f)我们使用不同分数阶数α,h= 0的NSFD方法。φ(h)=sinh很明显,随着时间的增加,电流趋于恒定值,因为它们具有负指数关系。W.K. Zahra等人/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25(2017)252267RKMNSFDMRKMNSFDMα =1α =0.8α =0.5α =1α =0.8α =0.5i 2(t)i 2(t)i3(t)i3(t)1x5=1+p2f3−,x6=1+p2+p f3i3(t)=xsin(t)+xcos(t)+xe−pt+xe−τ1t+xe−τ2t,(4.7)7φ1p−τ168φ1(τ1−p)11φ271M12121012−.- 是的Σ=+ −,1515 151010 1055 5000-5- 5- 5-10-10-10-1502468101214161820时间(一)-1502468101214161820时间(b)第(1)款-1502468101214161820时间(c)第(1)款-3X 103210-1-2-302468101214161820时间0.040.030.020.010-0.01-0.02-0.03-0.0402468101214161820时间2.521.510.50-0.5-1-1.5-2-2.5-3X 1002468101214161820时间(d)(e)(f)图8.第八条。示例4.5中电流i1(t)、i2(t)、i3(t)的时间响应。1.511.5 6140.50.5 200 0-0.5-0.5-2-1-1-1.5-4-1.502468101214161820时间-202468101214161820时间-602468101214161820时间(a)(b)(c)第(1)款图9.第九条。示例4.6中电流i1(t)、i2(t)、i3(t)的时间响应。当α=1时形成,而通过减小分数的值,-φ(q5Vm1+q6Vm2)+φ1φ6(q3Vm1+q4Vm2)+τ1k1},命令α电流随着施加电压的增加而增加x=1{(δ−1)(qV+qV)的方式12到电路。4(τ-τ)(1+τ2)1M12M2示例4.5. 对于应用3的电路,将等式2中的公式3.50、(3.55)和(3.56)通过α=1简化得到:()下一页∗()下一页∗()下一页∗−τt+(q5Vm1+q6Vm2)−φ1φ6(q3Vm1+q4Vm2)+τ2k1},∗11000x1000φ1000x2φ5φφi1t=x1sint+x2cost+x3e1 +x4e第2条,(4.6)xθ=φ5τ1。x101x104+1−xφ5τ1xτ3、5 6 7 8 9x=φ5τ1x4,x =−1(x+φx)−x,2∗ ∗∗−τt−τt−p t9φ(τ-p)φ2 61i2(t)=x10sin(t)+x11cos(t)+x12e1 +x13e2 +x14e,1 2 1(4.8) x=−1{φx+q V+q V1-x}-x,哪里x=f11{(δ−1)(qV+ QV)+(qV+ qV)x<$−1(τx<$φx<$) x<$12φ13 9 3τ1−τ21M12M25M16M2xx=1(τ2x<$+φ2x<$)−x<$,x<$=−φ2xφ8,f2赛车113φ1410 4 14 φ1-φ1φ6(q3Vm1+q4Vm2)}+τf、— τ2f1=τ21+τ22τ1-1+τ21,f2=RKNSFDMα =1α =0.8α =0.5i1(t)i 1(t)i 1(t)i2(t)i3(t)、p−τ1M21268W.K. Zahra等人/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25(2017)252=111+τ21-1+τ2x=2{(δ−1)(q1Vm1+q2Vm2)+(q5Vm1+q6Vm2)2τ2−τ1f1火箭1fφ53φ1{x1−(q1Vm1+q2Vm2)}+q5Vm1+q6Vm2-φ1φ6(q3Vm1+q4Vm2)}+τ、— τ2k1=φ1(q3Vm1+q4Vm2)+σ(q1Vm1+q2Vm2)+φ2(q5Vm1+x=112{(1−δ)(q V+qV)q6Vm2),τi,qi,i=1:6在式3.43中定义,τ1, 2被定义为3(τ−τ)(1+τ2)1M12M2在(3.52)中。我们考虑了以下应用参数211W.K. Zahra等人/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25(2017)2522691231233:R1=10▲,R2= 3▲,R3= 10▲,R4= 7▲,R5= 2▲,c1=10 f,c2=1 f,Vm1=200
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