加权Bergman空间的O-插值：密度条件及其应用

！Rc对于所有的c2c来说。 令n为1/4。C\D。c;1-<$fz2ð Þ ¼Journalof the Egyptian Mathematical Society（2013）21，97埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章加权Bergman空间Alexander Schustera，*， Tim Wertzba旧金山州立大学，旧金山，CA 94132，美国b加州大学戴维斯分校，Davis，CA 95616，美国接收日期：2012年4月2日;修订日期：2013年1月4日;接受日期：2013年1月8日2013年3月27日在线提供我们考虑一种插值的定义，称为O-插值，它包括序列不是均匀分离的可能性。我们证明了用于描述经典插值序列的密度条件实际上足以给出O-插值。2010年数学学科分类：30 C、30 H20、46 E202013年埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍加权Bergman空间中的插值序列由Seip[5]、Berlessson和Ortega-Cerda`[2]以及Ortega-Cerda`和Seip[3]刻画。在所有这些文件中，def-证明了在Bargmann-Fock空间中，上述文献中给出的密度条件足以给出这种广义插值。本文的目的是说明如何在加权Bergman空间中实现这一点让u被C2和亚谐在D满意22@22插值序列的初始化是这样的，因此，序列必须均匀分离，即，0 < m6Deu6M其中De1/2-jzj@z@z。以Au表示在D中解析的函数集满足是一个正的下限之间的距离对1e-uplatz-2序列中的点。 奥斯特洛夫斯基[4]认为，不需要均匀分离的插值。他kfk ¼jfzjD1 - jz j2drz<1个;*通讯作者。电子邮件地址：schuster@sfsu.edu（A.Schuster），math.ucdavis.edu（T.Wertz）。同行评审由埃及数学学会负责其中dr = dA/p是归一化勒贝格测度。对于z;fD，让u，f，zf-z。 我们定义了伪双曲度量q（z，f） =uf（z）和伪双曲圆盘Dz; r f 2 D：qz; f 0，mωnRRjuz-uw2ffiHzwj6C对于所有的w2D（z，r）.证据 在D（z，r）中定义hz（w）为h z w uw-uz对于所有z2D，则C是A 2的O-插值序列。我是Zlog. z-n。 -日志。 w-n。ΣDeuðnÞdA时间：2. 插值uD-[ 2，3，4，5，6，7，8，9， 10，1. 1-zn。. 1-wn。1- jnjð4Þ注意h z（z）= 0。要看到hz是调和的，表明O-插值与经典的插值序列C被称为对A2如果无论何时De.ZD-[2，3，4，5，6，7，8，9，10，1w-n杜尚别. 1-wn。1-jnj2！最后一个问题：Xjacj2e-uc1-jcj21;现在我想，C2C有一个函数f A2使得f（c）=ac对所有c。 它跟随-从一个涉及闭图定理的论证中得出结论uZDz;rw-n. 1-wn。杜恩河dAn1- jnjA2的每个插值序列都是分开的，1/4Zlog. w-n。杜恩达评级。另一方面，根据前一节的评论关于，我们看到的当C是均匀分离，插值等价于O-插值。文[1]和[2]证明了一致分离的se-D-[2，3，4，5，6，7，8，9，10，11/4D/z;rlogjw-nj持续时间dA持续时间-Zlogj 1满足定理1条件的序列是对A2的插值序列。本文还证明了该条件是必要的，尽管在[3]中仅在Bargmann-Fock空间的背景下从技术上证明了这一点。作者指出，类似的论点应该适用于伯格曼空间。— wnjDundAn[2019- 04-25] 2019- 04- 0400：0 0 ：0 0— wnjDundAn;ZDz;rlogj 1请注意，我们没有要求O-插值的必要性方向，尽管我们不认为该条件是O-插值的必要条件。其中w是D（z，r）中的调和函数，G是该圆盘的格林函数。然后，由于w和log1wn在w中是调和的，通过格林函数的再生性质QD-[ 2，3，4，5，6，7，8，9，10，1D-[ 2，3，4，5，6，7，8，9，10，1n加权Bergman空间中非一致分离序列的插值99..电子测井¼e..电子测井2 2e2 2ð Þ.. 日志e¼ 2分球¼..ZJJRz2 2ðð ÞÞ ð Þ¼rz2 2ð Þ ðð ÞÞ..电子测井2 22 2..¼De最后一个问题：日志DeuðnÞr2log2r21年 ：Qlog. 1-zn。1-jnj2（我们 也 有dAn1-jzj21-jwj2DelωEl：105公司简介log. w-n。DeuðnÞdA质子-Z这是由调和函数2ZZ-Z2 2ðÞDe.ZD-[2，3，4，5，6，7，8，9，10，1半ww;n-Gw;n]DundAn-Z-Gw;nDundAnD-[ 2，3，4，5，6，7，8，9，10，1logj1-wnjDundAn！—ZDw-n杜尚别. 1-wn。1-jnj22RdA.Z！2因此，hz是调和的，所以存在一个全纯函数，D1r21- jnj221 -r2使得hz2ffiHz。我们现在试图建立（4）中积分的界。为了做到这一点，我们将单独考虑这个积分中的各项以来回想一下，不变拉普拉斯算子D定义为函数f2C2Du是次谐波，log。z-n。对于n2D（z，r），我们有e2 212 2Z. z-n。DeuðnÞD-[ 2，3，4，5，6，7，8，9，10，11-znDfz1- jzjfzz41- jzjDfz;其中D是标准拉普拉斯算子。的定义。可以使用分布理论来扩展蚁拉普拉斯算子特别地，如果h是次调和的，则存在正的此外，委员会认为，测量l，使得ZDz;rz-nDuodenburg. 1-zn。1-jnj2dADwzhzdrzD1- jzj2 ð Þ公司简介wzdlz公司简介PMD-[ 2，3，4，5，6，7，8，9， 10，1z-ndA：. 1-zn。1-jnj2对于所有WC10D。表达这种关系是习惯由方程Dhl. 当hC2D时，这个符号意味着-用不变量Lapla的普通解释来证明-通过应用变量的变化来变换最后一个积分.Σ 2表格nz-w1-z¯wð Þ ¼dAw），以及cian作为f/Deh的函数。冲突通过以下方式解决：用绝对连续测度l来确定f，其中dl=fdr。然后我们会滥用符号来写Z..Deh¼fdr.log. z-n。DeuðnÞdA设E（z）=2log你好这是从复制D-[ 2，3，4，5，6，7，8，9，10，11-z<$n1-jnj22Z.一个！4D= 0;r= 0格林函数的性质如果l是一个l *E 定义良好的度量，则rlogq1/4M 1-q24qdq 1/4-CrM：还要注意如果h是圆盘上的调和函数dzz;r，然后0现在我们考虑积分（4）中的第二项。让D1= D（z，r）\D（w，r）和D2= D（z，r）-D（w，r）。然后nufhfdrfD1-jfjnfhufdrfD1-jfjdrfw-n杜尚别. 1-wn。1-jnjdADnrfhuzf1- jfj22D-[2，3，4，5，6，7，8，9，10，1..1/4小时的时间：D1. 1-wn。1-jnj功能和事实，nrfdrf是一个径向单位。. w-n。DeuðnÞ1-jfj×log1-wn1-jnj22dAn：注意，前面的计算也给出了回想一下ur（z）=u*nr（z）。引理3.2. 有一个常数C，06-6-ZD1ZZZD-[ 2，3，4，5，6，7，8，9，10，1P-dAP- m·我们的积分变成了PM日志jwj1- jwj2dAwZZ100A. Schuster，T.Wertz..elogdAn..elogdAn6CM：..2 22 22 22 21-wn1月2日你好，n uw2D（z，r）.所以DRzD21-jfj. 1-wn。1-jnj2DRz1-jfjw-n杜尚别1-w<$n1-jnj22w-n杜尚别. 1-wn。1-jnj2对于所有z 2 D，都有nu（z）-ur（z）n6C.证据RD w;r..uz-uzuz-udrωnrz此外，对于n 2 D2; r 6。 w-n。 6 2 r由于nRD（z，r）和Zdrf—Z日志。 w-n。DeuðnÞdA6uzCZnufdrf—乌兹河6-Z加权Bergman空间中非一致分离序列的插值101卷筒rDeuðnÞdAn6-M·logrZdA×Znufdrf2D2r2logr102A. Schuster，T.Wertz1- jnjDz;r1- jnj加权Bergman空间中非一致分离序列的插值1032 2RzD1-jfjdrf1/4-M1-r2;和ZD104A. Schuster，T.Wertz×1/4摄氏度：加权Bergman空间中非一致分离序列的插值105nruzfffiHzf1-jfj22106A. Schuster，T.Wertz4uee eee对所有z2D。由于DudrωnzDudrωnzDuz，r reuuu2对于所有的z2D。eeωÞ ¼ ωCð Þ ¼eX¼fj吉-吉-格C1CCC2....~z-c测井21- jwjIc; r; z. Σnrucflogjuzfj 1- jfj22：DC41-zc4CCCCCC.c44.q21- j cj22这个不等式由引理3.1和最后一行得出，其中C是一个正常数。请注意，第一部分由（2）得出。不等式的另一个方向也得到了类似的证明。H从引理3.2可以直接得出，序列C是A2的O-插值序列当且仅当它是O-插值序列。inequityholdsinceqz;c63qcanddqc;~cPqz;~cPq-3qcqc：暗示u插值序列为A2r.这里我们使用了q<$c;~c<$Pqc的事实。第二部分第一个不等式成立，因为q<$c;~c<$P1和q<$z;c<$63qc，我们将首先证明：定理2. 设C是D中的点列。假设杜在D中一致有界。 如果存在r <1且d> 0，这意味1q<$z;~c<$P2-2 43qc14名P8：的mωnr<对于所有z2D，则C是A 2的O-插值序列。现在假设我们已经证明了定理2并且定理1的假设成立，即存在r1和d>0，0，使得 0，存在常数C和C，使得log ¼日志1 2~c2C\Dz;r1-z<$c~c2C\Dz;rC\Dc;1~c21-z<$c2. 1-z′~c。2C162 6C21 -jfj对于所有的w，f2D（z，r），其中z2D是任意的.第四行PNC测井.qc2埃洛格1我QZ24CC加权Bergman空间中非一致分离序列的插值107264nCz;r-nc由伪双曲型例如，在[9]第五条线是一个结果Pnlogq2-Cnz;r;不等式QC61108A. Schuster，T.WertzCZj JbjjCΣ Σ ΣΣ2 22X2b、2CBBC1 -q2jcj2j@gzj2¼. @gCC.CCCJ ACJEqc1- j cjCJ ACJE1- jcjF1-jfj则gc（z）=0对于所有c。 因此Fb在[c2CD（c，qc）上支集.C2qz;cPqc;c- qc;zP qc;c-qcP qc;c- qc;cFbzFczncz，特别是，jFc f jeR2 3244B22-w无菌过滤器同样地，ZjFcf j2e-uf1-jfj2drfe-wrz 6Cq-2nce-uz 12对于所有的z2Tc.¯Dc;qc请注意，@Fb在-TC上受支持，由此我们有ZDjacj2e2ffiHcf-uf1-jfj2drf2@<$Ff2e-wrfdrfD1- jfj2¼XcZTcj@gcfjjFbfje6C ac2e-尿嘧啶Dc;qc1-jfjdrf：1 -jfj26Cjacj2e-uc1-jcj2jDc;qj22 2对于z2D（c，qc），我们有^Cjaj2e-uc1-jcj2qc1-jcjC. . . 你是我的朋友！两个人在一起。2Cju0zj2262-uC22 362-异炔诺酮232.QC11qc.QC设g：[0，1）fi [0，1]是一个光滑函数，它在0 ; 1上同为1，在3 ; 1上同为0。定义F：D！CbyFbzXFczgcz;C6Cq21-jcj22：13第一行来自链式法则，第三行来自恒等式2 2. .Σ2Σ1-ju此外，如果c0nc和z2D（c，qc），那么，由于qcq06q<$c;c0<$，我们有6qc;c0和因此，我们认为，ZXZ¯2-wrabbits2¯22-wrabbitsDCTc0 00 0 0j@Fbfje1-jfjj@gcfjjFbfje12qc0qc00qc0qc0qc0qc02qc-jfjdrfqv-grafikpos=“1”/2qc6C1q21-j cj22这意味着，特别是，gc0z1/20ifz2D（c，qc）。因此，如果z2 D（c，qc），CcZ2 -WTcFCAC我们有-jfjdrfZ2drfZX226CX1jFbfje-ufjFc0fgc0fje-ufr2012nc2 2D1-jfj[c2CDc;qcc02Cdrfcqc 1-jcj×ZjFcfj2e-uf1-jfj2drf×1- jfj2Tc¼XZjFfnfj2e-uf6CrX1q22nc1-jcj22C ccDc;qcdrf2Cc×ZjFcfj2e-uf1×1-jfjDc;qc-jfjdrf6CXjacj2e-ucq21-jcj2CCX12-尿嘧啶c6C2012年2月2日2 2jacje6CXjaj2e-ucq-2nc1-jcj21：cqc 1-jcjC第一个不等式由（10）得出。因此，F是这个问题的光滑解。我们最后第一步是对F进行修正以产生一个全纯解。让我们的目标是：根据引理3.3，我们有1×C¼gF¼6个其中gcuczQC. 注意，如果q（z，c）Pqc对于所有C2C，ju0ðzÞj2¼：×ð1Z加权Bergman空间中非一致分离序列的插值109X-e e ee2-jcjqc2u c22 ncCC第一个不等式由式（13）得出，第二个不等式由式（12）得出，第四个不等式由式（11）得出。（9）和（8）我们有e-wrz62NCC eCrnCz;re-uzDwr<$DvrDu <$mC-mCωnrzDu>mC-mCωnrzmCωnrzdPd：对于所有z Tc。它来自[9]第6章的论证。如果（9）成立，则存在常数C，使得nC（z，r）6C（1-r）-1对于所有的z2D和r1。<因此，这使得我们可以应用以下的Hormand变体erQ110A. Schuster，T.Wertze262BZ2D定理3. 设w是圆盘中的任意次调和函数，使得Dw>d>0。那么方程@ g有一个解U，使得引用[1] K. Seip，单位圆盘中的Beurling型密度定理，发明。113（1）（1993）21电子商务jUfj1-jfj2drfCjgj2e-wangfeng1-jfj[2] B. Berglesson，J.Ortega Cerda`，解析函数的Hilbert空间中的插值和464（1995）109[3] J. Ortega-Cerda`，K. Seip，Beurling型密度定理所以有一个函数U使得@U^/4@Fb，整函数的加权Lp空间，J.Anal. 数学第七十五届会议（1998年）Z2-w-氟代-氟代DZb2-w-芴醇2247-266.jUf jer1 -jfj26个CD<一曰：j@<$Ff jeR1-jfj[4] S. Ostrovsky，非一致空间上的加权L2插值Separated sequences，Proc. Am.数学会，出版中。[5] K. Seip，Bargmann-Fock空间中采样和插值的密度定理。I，J.雷纳·安吉数学429（1992）91由于e-wrf在任何c2C上都不是局部可积的，我们必须有U（c）= 0。此外，委员会认为，106.[6] K.Seip; R.Wallste'n， 密度 定理 为 采样 和ZjUfj2e-ufDdrf1 -jfj26个CDjUfj2e-wrfdrf 1-jfj<一曰：Bargmann-Fock空间中的插值。II，J. Reine Angew. 429（1992）107[7] K. 解析空间中的Seip、插值与采样功能， 大学 讲座 系列， 卷 33，天蝎座，USA现在，定义函数F/Fb-U。则F（c） =ac且F为u数学学会，普罗维登斯，RI，2004年。全纯的因为F和U都有有限个L2F.确认规范，所以[8] D. Luecking，Bergman空格，预印。[9] P. Duren ， A. Schuster ， Bergman Spaces ， AmericanMathematical Society，Providence，RI，2004.[10] T. Ohsawa，关于L2全纯函数的扩展四.一个新的密度概念，复流形的几何与分析，世界科学。出版物：1994年，页。157比170作者要感谢裁判仔细阅读-他审阅了手稿，并提出了一些有价值的建议。ZDZ