de-Sitter空间的类空子流形及指标形式q的全脐性的研究

ppppð Þð Þð Þ¼ð Þ ð þÞpJ 吉吉[001 pdf 1st-31files]Journal of the Egyptian Mathematical Society（2015）23，523埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章de-Sitter空间的类空子流形及指标形式qMohammed Jamalia，*，Mohammad Hasan ShahidbaAl-Falah大学数学系，Faridabad 121004，印度b印度新德里110025 Jamia Millia Islamia数学系接收日期：2013年9月2日;修订日期：2014年10月12日;接受日期：2014年2015年1月29日在线发布本文利用一些积分公式、非零测地线的指数形式和Jacobi方程，给出了de-Siter空间的类空子流形M的全脐性.2000 AMS分类：53C40; 53C42; 53C50？2015制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 介绍设Ln∈Pc是指数为p的np维连通常曲率半黎曼流形. 它被称为指数为p的无限空间形式，当p为0时，它只是一个空间形式。如果c>0，我们称它为一个指数为p的de-Sitter空间，记为Sn<$pc。设Mn是一个n维黎曼流形浸入Snpc。Sn∈Pc的半黎曼度量导出Mn的黎曼度量;Mn称为类空子流形。q本研究工作获教资会重大研究项目第103号资助33-112/2007（SR）。* 通讯作者。联系电话：+91 9654614345。电子邮件地址：jamali_dbd@yahoo.co.in（M. Jamali）。同行评审由埃及数学学会负责de-Sitter空间中类空子流形的研究，近年来在物理学和数学上都引起了极大的兴趣。在[1]中，Ximin在法丛是平行的和归一化平均曲率向量是平行的假设下，得到了具有一定曲率条件的类空子流形的全脐性。此外，在[2]中，我们看到指数形式和Jacobi方程提供了很好的关系，从而利用积分公式的技巧得到了关于类空子流形的有趣结果[3]。本文受这篇文献的启发，将指数形式和积分公式应用于第二基本形式的平方范数的Laplacian，得到了如下定理形式的主要结果定理设Mn是deSitter空间Sn的紧致类，其中n是平行平均曲率向量场，正常的bundle设x：a; bd;dM为固定端点测地线变差，使得V026RV;a0V;a0，其中V和a0为Jacobi向量场和切向量场对任意非零测地线a，则Mn是全脐的，Mn的第二基本形式是平行的.http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.12.0031110- 256 X？ 2015制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表制作和主办：Elsevier关键词类空子流形;德西特空间;指数形式;雅可比方程X轴X-gpKKKIJJ我Ji;jIJijkKKKM司法使团2IJIJMKfx1;x2;. ;xng，使得/¼i;j/ijxixj，/ij^kidij在p处。2我ii我JIJ2P/ikkj基季或然后将上述方程简化为2524米 Jamali，M.H. 沙希德2. 预赛让Mn被一个n维黎曼流形，e1;e2;. 设x1;x2;. n是它的对偶余标架场。然后给出Mn的结构方程：XJD/<$X/ijkk<$X/ijkk-/ikjkX/ikjk-/ikkjX /ikkj-/kkijX/kkijKK上面的等式产生D/¼X/mkRmijkX/imRmkjkX/ijkk-/ikjkdxi¼xijKxj;xijxji¼02：1m;kXKm;kK. X ！dx¼XxKx-1XRxKx12：20/ikkj-/kkij/kk基季2019 -02-29伊季伊克Kkj2k;l艾克尔KL由于张量/ij是Codazzi，因此我们有/ijk<$4/ikj，其中其中xij是我们的结论的曲率张量的分量。对于定义在Mn上的任何C2-函数f，我们定义它的梯度联系我们¼/ikjk2019 -02-10和Hessian，通过以下公式：XDF¼我我们还知道/ij是对称的，即/ij/ji，得到/ijk/jik。考虑到这一点，我们认为，/ikk ¼/千克Xfx¼dfXfxJJ或12：40进一步，设/1/4P ij/ijxixj是定义在上的对称张量，Mn. /ij的协变导数定义为：即X/ijkxk¼d/ijX/kjxki使用公式 （2.9）kkk。 ！我们称对称张量/¼Pi/ijxixj，一个科达齐十-D/ij¼X/kkX/如果/ijk/1/ikj，则排序。/的二阶协变导数定义为：基季m;km;kIJX x XL/ijklxl¼d/ ijk/μ mxmj2个P2个 P设k/k¼/;kr/k¼然后从上面我们推导出/2个和tr/¼P/。X/x12：601Dk/k2¼kr/k2X/tr/X/ /R通过Eq.（2.5）我们得出Xfd/ijkKxkg¼d/Xfd/KxkigXfd/Kxkjgkj ikKKK/ij/imRmkjki; j; m; k在给定点p2Mn附近，我们选择一个局部标准正交标架 菲尔德fe1;e2;. . . ;engaPND 其 双 帧 菲尔德Xf/ijklxlKxkg¼Xfd/kjKxkg1Dk/k2¼kr/k2Xktr/XkkRK2R2k; l k k或Xf/ijklxlKxkg ¼X/mjXmiX/imXmj2：7k;lMM通过标准计算，使用方程。（2.2）和（2.7），我们有Xf/ijkl-/ijlkgxlKx k1/2X/mjXmi2X/imXmjIII我或1Dk/k2¼kr/k2Xktr/我2kikjRijiji; j我们最终得到我J吉吉i; j1 Xk2Ri;j我伊吉吉i; jK2Ri;jk; lm m1Dk/k2¼kr/k2Xktr/1RKJV-KJV2：12由此可知，2/ijkl-/ijlk¼X/mjRmiklX/imRmjkl2：8MMIII我2伊吉吉I j高于方程式（2.8）称为Ricci恒等式。现在，我们推导出的拉普拉斯算子D/的表达式，设Mn是Sn_p_c_n中的n维类空子流形.张量/ij，定义为k/我们写伊杰克.从这个定义p我们选择一个局部域的半黎曼正交框架e1;e2;. . ;enpinSnpc，使得在fixi2：30纪/ikk¼/ kki联系我们2012年2月11日i; j;k中文（简体）MMMKi;jIJi; j; m;k米克伊吉吉吉吉3. de Sitter空间中的类空子流形与指标形式þP PPH¼þ½]！p公司简介ð Þ ¼ ðÞ联系我们¼ ð Þ2IJIJ一B22p我 我一 一一一ABCAC2Cijn× nn我 II的1Pde-Sitter空间的类空子流形525M n;e1;e2;.. . ;en在Mn的切空间上形成一个正交标架。我们对指数的范围使用以下约定：16A;B;C;. 6np;16i;j;k;... 6例;n<16a; b; c;. 6 n p在对偶标架场的意义下，给出了Snpc D的2分x2-x2¼eAx2，其中然后选择en1n。 则Hn≠ 1/4H，且Ha0，其中a>n1。下面的定义对于证明本文的主要结果定义[2]。 曲线段a：a;b的变化M是一个两参数映射x：½a;b] ×-d;d！ Mei1和e a1。 然后，构造了Sn∈pc的结构方程，由[1]给出XdxA¼ eBxABKxB;xABxBA¼03：1B使得对于所有的a6u6b，上的向量场Va由Vuxvu给出;0称为变差向量场，X.类似地，向量场A u xvv u;0给出加速度。我们称之为x的横向加速度矢量场。dx¼XexKxC-1XKC;DxKx2013年12月3日作为变分向量场的一个特殊情况，我们有Jacobi向量场定义如下：其中KABCDC EAEB DACDBDDADDBC。现在将这些形式限制在Mn上，我们有xa¼0;n= 16a6n=3：30从嘉当引理定义[2]。如果c是测地线，则c上的向量场Y满足Jacobi微分方程Y00RYc0 c0称为Jacobi向量场。我们还知道，如果L是x的弧长函数，则xai<$Xhaxj;ha<$ha2013年3月4日第一个变量的弧长函数由[2]给出。伊吉伊吉JZb.0分一由这些公式，我们得到了Mn如下所示L0x100g;V0duja0 jdxi¼XxijKxj;xijxji¼03：5其中e是a的符号。在a是测地线的情况下，Lxv的弧长的第二种变化是可能的，并由[2]给出dxij ¼Xxik Kxkj -1XR艾克尔xkKxl3：60L000¼XeZb fhV0;V0i-hRV;a0V;aigdu½ha0;Ai]bk k;lcacaRijklcdikdji-dildjk-Xhaha-haha3：7其中，ka0k <$c>0，A是横向加速度矢量这里我们有伊克河一伊尔杰克变量x的值。我们记得黎曼曲率张量定义为：如：h<$Xhaea <$Xhaxixjeaai; j;a平均曲率向量场n、平均曲率H和第二基本形式S的长度的平方表示为：n<$XHaea;H<$knk;S¼Xha 23：8定义[2]。设M是具有Levi-Civita的半黎曼流形 连接 R.的 功能 R：TMTMTM！TM由RX;YZ<$r½X;Y]Z-½rX;rY]Z是M上的一个称为黎曼曲率其中，Ha的矩阵由下式给出：L a<$h和H a <$h a代表<$n 1; n 2;. ; n.FG张量显然，对于固定的终点变化，上面表达式为零，因此我们有此外，法曲率张量Rabkl和法-化标量曲率R表示为R¼Xhahb-hhÞeZb一阿布·KL和km mlMlmL0x00CfhV0;V0i-hRV;a0V;aigdu1Rcnn-1中文（简体）定义[2]。非零测地线的指数形式a2Xp;qp，是唯一的对称双线性型如果Rabkl<$0在Mn的任意点x处，我们说正规连接在x处是零。众所周知，Rabkl0在x当且仅当h0as在x同时可对角化[4]。喂-假设平均曲率向量n平行于法线JCBABCDDeai;j;a¼一XIa：TaX×TaX！ R使得如果V2T a，则IV;VL000束，即n的长度是常数，这使得H是常数。进一步假设H是Mn其中，Xcpp; q是所有分段平滑曲线段a：½a;b]的集合！从p到q。p2¼ð Þ ¼ð Þ ¼jjn¼¼222我II2伊吉吉我J-h=a0;a0=2¼0。这些方程表明，M22222M2 M526米 Jamali，M.H. 沙希德此外，在我们的主要结果的证明中，我们利用格林定理[4]. 对于可定向闭黎曼流形M上的任何函数f，我们有ZDfdV0进一步ja0j<$c>0，意味着fhV0;V0i-hR<$V;a0<$V ;a0igP0，这给出jV0j2PhRV;a0V;a0ig4：3上述不等式与Eq. （4.2）表明，M¼Z我们现在能够证明本文的主要结果krhk21ZfjV0j2hV;V-ha0;a02gP04：4如下所示通过假设，我们有jV0j26hRV;a0V;a0i，Zkrhk21ZfjV0j2hV;V-ha0;a02g604：5MM定理1. 设Mn是deSitter空间Sn的紧致类空子流形，其平行平均曲率向量场n在M的法丛中. 设x：1/2a;b] ×n-d;d= n！Mbe固定端点测地变差使得jV0j 6hRV;a0V;a0i，合并等式（4.4）和（4.5），我们得出结论，Zfkrhk21jV0j2hV;V-ha0;a02g<$0或其中V和a0是变分向量场，向量场分别映射到任意非零测地线a，则Mn是全脐的，Mn的第二基本形式是平行的。证据 取/h，其中h是前面定义的第二基本形式，我们从方程得到（2.12）krhk<$0和fjV0j2hV;V-ha0;a02g<$0这表明，rh<$0和V0<$0或rh现在我们讨论两种可能性(i) 如果rh<$0和V0<$0(ii) 如果rh01Dkhk2¼krhk2Xktrh1Rk-k我第一种可能性意味着变分向量场是连续的，从起点到固定终点的终点由于h是同时可对角化的，我们有h1/4千美元测地线变化，但这是不可能的固定端点从上面的等式得出Dkhk <$krhkXhnH1Rh-h12 22IIII伊季伊季测地变差为V a V b0对于这种运动 而变分向量场必须在端点。 因此 我们 有 rh¼0 和h但从假设n在法丛中是平行的，即nH常数利用这个结果，我们得到nH ii 0.把这个值放在上面的等式中，我们发现rh¼0 和hV;Vha0;a04：6我们知道存在通过光滑流形的每个点p并沿着p处的所有方向的测地线a1Dkhk2¼krhk21hRX;YX;YihX;X-hY;Y22 2通过我们的选择，我们可以选择a0作为基的某个ei，fe i：i¼1; 2;.. . ;ng of M V是雅可比向量场对于Mn的任意切向量场X和Y。以 特别是X V和Ya0，在上述等式中，V和a0作为假设，我们得到1Dkhk2¼krhk21hRV;a0V;a0ihV;V-ha0;a022014 -04- 19现在，由于Mn是紧的，积分上述方程并使用格林因此，hV;a0i1/40，即V可以作为基础向量之一托尔斯河从EQ。（4.6）我们发现，he i; e ih e j; e j对于所有i; j ^l; 2;. ; n因此，Mn是完全脐的。这就完成了定理的证明。H确认作者非常感谢裁判员的Zkrhk21ZfhRV;a0V;a0ihV;V-ha0;a02g 02014- 04-24有价值和善意的建议。引用由于Mn是一个类空子流形，它的指数为0;因此，从[lemma-13，page-273，2]，它遵循索引形式Ia不平等的我是P0或1ZbC一坐-[1] L.徐锡民，de-Sitter空间中的类空子流形，J. Phys. 答：Math.Gen.34（2001）5463[2] B. O'Neill，Semi-Riemannian Geometry with Applications toRelativity，Academic Press，1983。[3] K. Yano，黎曼几何中的积分公式，MarcelDeccer，Inc.，1970年，纽约。[4] 年陈 ，子流形的几何，Marcel Dekker，Inc.，纽约，1973年。22MM4.主要定理我2伊吉吉IIJJfhV0;V0i- hRV;a0V;a0igduP0