基于图的平面B样条曲线拟合方法

HOS T E D B Y可在www.sciencedirect.com网站上查阅计算设计与工程学报3（2016）14www.elsevier.com/locate/jcde基于图的平面B样条曲线的交线拟合方法薄鹏波，罗功宁，王宽泉哈尔滨工业大学计算机科学与技术学院接收日期：2015年3月12日;接收日期：2015年5月8日;接受日期：2015年5月11日2015年6月10日在线发布摘要研究了B样条曲线与平面点云的拟合问题。提出了一种新的方法来处理最具挑战性的情况下，多个相交的曲线或曲线与自交的形状表示是必要的。提出了一种基于数据点Delauney三角剖分的连通域识别方法，该方法具有剔除离群点的能力。利用骨架表示表示拓扑结构，并利用骨架表示生成加权图，以决定曲线段的合并与现有的利用交点附近局部形状信息的方法不同，该方法在更大的范围内考虑了曲线段的形状特征，从而能够给出更满意的结果。通过对每组数据点进行B样条曲线拟合，解决了点云数据的曲线结构重构问题，以及简单线描图像的线描重构矢量化问题。&2015年CAD/CAM工程师协会。由Elsevier制作和主持。All rights reserved.这是一个在CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。关键词：曲线拟合;曲线重构; B样条;点云1. 介绍由无组织数据点表示的2D形状在许多应用中经常遇到，其中数据点使用扫描设备获得或从数字图像中提取。然而，无组织的数据点（点云）不是几何处理的合适表示因此，在许多应用中，将点云转换为参数表示，如折线或B样条曲线是非常必要的。本文研究了从点云计算一组可能相交的不相交参数曲线的问题。曲线提取问题在逆向工程中有着广泛的应用，其中需要B样条参数曲线/曲面。如果图像的内容是由曲线组成的2D形状，则从数据点提取形状作为样条曲线在数字图像处理中也具有重要的应用，例如线条画图像、蓝图和手写字符。转换数字n通讯作者。电子邮件地址：pengbo@hitwh.edu.cn（P. Bo）。将线条画图像矢量化为B样条曲线也是图像矢量化的一个特殊实例。一个合理的解决方案是计算有意义的数据点组和曲线。后者可以通过曲线拟合方法来细化。然而，关键点是识别在交点处连接的曲线段的组合，以形成彼此通过的连续曲线。其主要困难在于：（1）相交区域往往包含大量噪声，从而可能为相交曲线的恢复提供干扰信息;（2）相交区域附近的连接曲线的切线不足以确定曲线的连接。 参照图 1（a）对于噪声点云的相交部分;图。 1(b)显示了三个连接曲线段和估计切线。我们看到，仅使用切线很难给出正确的曲线合并。在本文中，我们提出了一个框架，用于拟合B样条曲线的点云，其中曲线可以彼此相交，也允许曲线与自相交。拟议的办法包括两个阶段。第一阶段将点云划分为一组数据点，每组数据点代表一个曲线形状。http://dx.doi.org/10.1016/j.jcde.2015.05.0012288-4300/2015 CAD/CAM工程师协会。&由Elsevier制作和主持。All rights reserved.这是一个在CC BY-NC- ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。P. Bo等人/计算设计与工程学报3（2016）1415ð Þ该步骤恢复数据点的拓扑信息第二步，重建一个B样条曲线拟合每组数据点。该步骤是几何形状恢复步骤。本文的主要贡献包括用于处理点云的噪声、离群值和曲线分量的统一框架。一种基于图形的方法，用于识别可以合并为单个曲线的曲线段对。2. 相关工作2.1. 曲线重建从点云数据中重构曲线是一个很好的研究课题。曲线重建的各个方面都得到了解决，包括对噪声的鲁棒性，异常值的处理和特征保留。研究中采用了Voronoi图、光谱分析、图像处理和最优输运等技术。最优传输用于重建具有非线性结构的2D形状，其对于具有形状特征和大噪声的数据点表现良好[1]。利用Voronoi图处理由一组采样数据点进行曲线拟合的方法很多。这类方法的优点是，如果满足适当的采样密度，则可以证明其准确性[2]。Amenta等人提出了利用β骨架和Voronoi图的地壳方法[3，4]。Wang等人提出了一种基于圆邻域投影的曲线重构方法，基于法线的平滑[5]。然而，这些方法不给出数据点的分割。重建结果是曲线结构而不是独立的曲线。最近的一些工作讨论了从点云恢复多条曲线或具有自相交的曲线[6Ardeshir提出了一种方法，用于将多条曲线分组并拟合为具有相对简单形状的点云[9]。Furferi等人提出了一种使用PCA分析拟合加权B样条曲线的方法[10]。Yan等人提出了一种基于模糊C均值聚类方法的曲线拟合方法[11]。Zhao等人提出了一种使用骨架提取和细化来拟合非简单曲线的方法[12]。我们提出的方法是不同的，这些方法中，我们利用骨架表示的点云，提供更多的信息，曲线的形状和拓扑关系的曲线。2.2. 曲线拟合曲线拟合主要是指对噪声数据点的参数曲线逼近问题。大多数现有的工作假设数据点来自一个单一的曲线没有自相交。拟合过程从初始曲线开始，通过最小化一些测量拟合质量和曲线公平性的目标函数来更新初始曲线。已有的研究从不同的角度对这一问题进行了探讨。参数曲线常用于点云的形状重建。Levin提出了用于曲线拟合的移动最小二乘法（LMS）[13]。Lee讨论了在曲线拟合中直接应用MLS的不足，并通过在预处理阶段引入最小生成树（MST）提出了一些改进[14]。曲线拟合的一些工作集中在极小化平方的拟合速度图1.一、（a）在交叉曲线的交叉区域处存在大的噪声（b）相交曲线的切线向量不足以决定它们作为大曲线的曲线部分的作用图二.一种基于Delauney三角剖分的方法，用于查找曲线分量并去除离群值。数据点位于大小为650 × 450的边界框中。(a)数据点。(b)数据点的Delauney三角剖分。(c)网格删除后的长边e，其中长度e423。(d)数据点的α形状。(e)删除离群值后填充剩余三角形生成的图像。还示出了通过应用图像细化算法并去除伪尾而获得的骨架。注意骨架中两个非常接近的顶点将合并为一个顶点。●●16P. Bo等人/计算设计与工程学报3（2016）14FG1/4fg●-FG正交距离这类方法包括PDM（点距离最小化）方法、TDM（切线距离最小化）方法和SDM（平方距离最小化）方法[15，16]。这些方法本质上是传统的优化方法，需要一个良好的初始化。这些方法不能直接应用于将多条曲线拟合到复杂形状的点云2.3. 二维离散化骨架提取与曲线重建密切相关，曲线重建是许多应用中的重要过程，例如手写字符识别和数字地图识别[17，18]。图像细化算法广泛用于2D形状的骨架提取，其递归地去除边界像素以给出具有一个像素宽度的图像[19]。其余的像素可以通过连接入射像素容易地转换成多边形曲线。中轴是形状最主要的骨架表示之一，由到2D形状上多个点的距离相等的点集定义[20由于中轴线对噪声的敏感性，很多工作都在研究如何鲁棒地生成干净的中轴线。还有一些骨架提取方法利用形状的一些采样点的Delaunay三角剖分[23]。提出了一种拓扑驱动的方法，用于在用于图像矢量化的干净线图像中恢复线，该方法处理在交叉区域处相遇的曲线段的可能组合[24]。在手写轨迹跟踪中，关键问题是如何处理与轨迹交点有关的分割在[25]中提出了一种基于选择性搜索技术的笔划提取方法，其中使用了交叉区域周围的角度信息，忽略了交叉点附近的失真与现有的骨架分割方法不同，本文的方法考虑了整体曲线的形状优度，从而能够给出更令人满意的结果。3. 点云给定一个点云S si，我们对其进行处理以提取一组多边形曲线Li。所提出的算法包括以下步骤：(1) 将S分解为不相交的群Si。同时删除异常值每一组都由一个三角形T表示（3.1节），(2) 计算T的骨架表示K（3.2节），(3) 提取一组不包括相交区域的曲线段Zi（第3.2），(4) 将相交的曲线段配对，得到一组折线fLig（第3.3）。3.1. 元件识别第一步将点云S分解为数据点的单独子组Si我们提出了一种方法，基于数据点的Delauney三角剖分，处理噪声、离群值和不相交曲线首先使用Delauney三角测量将数据点集S转换为三角测量τ我们的方法受到α形概念的启发α形作为S的Delauney三角剖分的子集，是表示S的形状的一种合理方法。S的α-形状的边界是连接数据点的线段Γ边pi pjAΓ，如果存在一个半径为α的圆盘，和pj，它不包含S中的任何其他数据点。这样的相邻的一对数据点pi，pj称为α-排斥。很容易观察到α形的以下事实。点p i，p j是不α排斥如果阿尔普岛pj<$42α（性质1）。因此，τ中长度大于2α的边对S的α形边界没有贡献。此外，Delauney三角剖分的以下性质是众所周知的。在平面点集的Delauney三角剖分中，如果pj是离pi最近的数据点，则pi和pj之间存在连接边（性质2）。由性质1和性质2可知，τ中的边长提供了数据点间关系的重要信息。去除τ中的长边对于滤除噪声点云中的离群值以及将数据点分离成不相交的曲线分量是有效的，其中每个分量包含单个曲线或一组相交曲线。在删除τ中长度大于点云采样密度ρ的边后，得到一个可能包含多个不连通分量的三角剖分表示。小的孤立片段被视为离群值并被删除。每个剩余的组件将由一条曲线或一组相交曲线表示。 在下面的讨论中，我们用T表示每个分量图三.去除相交区域将数据点分解为分段组;每组数据点用B样条曲线拟合●P. Bo等人/计算设计与工程学报3（2016）1417及其关联数据点S。为了进一步处理，我们通过用黑色填充T中的每个三角形来生成S的背景白色图像I曲线分量识别流程见图2阈值ρ对于数据点的精确分离是重要的。如果ρ太大，则可能发生过度分割;如果ρ太小，则最初不相交的曲线可能被识别为单个曲线。曲线这两种情况都应该小心避免。显然，ρ的选择应取决于数据点的采样密度3.2. 曲线段重构下一步处理每个分量T以获得不相交的曲线。这个任务是不平凡的，由于噪音附近见图4。定义图边的成本值。(a)两条边依次转角。(b)为每个相交顶点添加一个完整的图。连接边的成本值由转角和曲线能量的加权组合定义图五、一些绘制线与曲率直方图一起显示图六、曲线提取算法（a）是对应于交叉区域的子图在（b）中，找到一条具有最小能量的路径，该路径由虚线表示在删除提取路径中的节点和悬挂边之后，我们得到（c）中的剩余图见图7。数据点分割和曲线提取的流水线。(a)点云。使用骨架的交叉顶点来识别交叉区域。(b)用完全图Kn代替价数n的交点，从骨架中生成一个图。(c)我们的曲线提取算法给出了骨架的分割（d）使用骨架分割结果对数据点进行分组（e）拟合B样条曲线。18P. Bo等人/计算设计与工程学报3（2016）14ðÞ联系我们þÞC¼ðÞ相交区域以及点云的形状模糊性。为了实现相交曲线的重建，计算T的骨架表示K这是通过将图像细化算法应用于I[19]来实现的。由于点云中的噪声，所获得的骨架可能包含假尾和交叉颈。应用骨架清理步骤来去除伪尾并合并交叉颈以获得干净且准确的骨架表示。这个骨架清理问题已经得到了很好的研究。更多详情请参见[17]关于通过图像细化操作获得的骨架，参考图2由数据点表示的曲线段很容易检测，除了相交区域附近的数据点。因此，我们暂时移除局部相交区域中的那些数据点，并返回一组单独的数据点Di。相交区域的大小由圆X c;r定义，其中c表示圆心，r是圆半径。K中的每个顶点v，其化合价大于2，被识别为中心c。每个顶点pi，κpipi1-pi;pi -pi-1=pi1-pi-1：1定义了曲线的曲率直方图，利用曲线上某些采样点的曲率值来度量曲线的形状特征。 假设曲率值1/2κmin;κma x]被均匀地分成n个部分。曲线直方图是向量Hkh0;h1;其中，N i是关联曲率槽中的采样点的数量（图 5）。表1我们算法的计算性能。时间数字以秒为单位。从c到T的最近边界顶点。每个数据点集Di都被分配有一个这很容易通过在交点处断开K来获得15（c）11,8271.90.50.52.9顶点。不幸的是，Zi的形状是锯齿形的，16（a）10,6371.50.60.52.6很好地表达了曲线形状。我们定义一条B样条曲线Ci，16（b）94361.30.50.42.2控制点是Zi的顺序顶点的位置。以C_i为初始曲线，采用曲线拟合的方法，提高了C_i的逼近质量和形状光顺性。很容易找到关联目标数据点Di，它们是T的顶点。Z i则通过将其顶点投影到C i来细化。见图 3为例。3.3. 配对曲线段现在，我们需要决定在实际上来自同一条曲线的相交区域处相遇的曲线对。我们提出了一种基于图的方法，以促进连接决策的会议曲线。3.3.1. 连接图构造一个图G是以下面的方式建立的每个多边形曲线段Zi在G中有一个相关的边hi，称为正则边。进一步，为了对相交区域上所有曲线段组合的情况进行编码，对K中的一个n价相交顶点，在G中加入一个完全图Kn.以这种方式，对于在相同顶点处连接的每对曲线段存在连接边（参见图1A和1B）。4（b）和7（b））。然后，我们为G中的每条边分配一个权重，以生成一个加权图。每条连接边的权值衡量了两条曲线段Zk和Zj合并的质量。研究中应考虑两个问题：（1）Zk和Zj的形状相似性;(2) Zk和Zj之间的转角。设p，i，i0;曲线Zk上的一些采样点，采用曲率自适应采样方法[26]。设A;B表示两个向量A和B之间的夹角。形状特征最好通过曲率来评估。离散曲率值定义为：16（c）5066见图8。一个包含大量噪音的例子。(a)是数据点。(b)是使用适当的尺寸来确定相交区域的正确结果见图9。 这个例子说明了λ1和λ2在方程中的影响。（二）、(a) 使用λ1 1/410，λ2/41： 0的结果（b）使用λ1 1/40： 1，λ2/41： 0的结果v的位置大致是几条曲线相交的地方，或者数据Num. 的谢了分段点分组曲线拟合总自相交发生。r被设置为1： 2r，其中r是距离设置点时间时间时间时间15（a）24,3461.50.70.72.915（b）19,4471.70.60.73.0P. Bo等人/计算设计与工程学报3（2016）1419C1/4fgRþþM-1然后，为曲线段Zk和Zj的连接边分配成本值ωhkjλ1αkjλ2Hk;Hj;2其中αkj是曲线段Zk和Zj的转弯角（图4（b））;λ1和λ2是平衡曲线段的局部转弯和形状相似性的系数。规则边的权重由其平均曲率定义ωfhg <$Pκpi：3.3.2. 骨架分割算法然后，我们提取G中的路径进行曲线重建。这可以通过在G中的每个子图gk中找到与相交区域相关的路径来完成。通过从连接子图延伸到所有关联边直到延伸距离足够大或满足其他连接边来获得gk。图7中的示例的子图参见图6（a）。算法（算法1）应用于gk，以利用Dijkstra算法找到序列中的算法1. 折线提取。数据：a graphgk结果：不相交的多段线使用Dijkstra最短路径算法找到gk中每对端节点之间的所有路径xlk当gk不为空时，如果在gk中有多于2个端点，则j找出在χ中具有最小能量的路径lk;结束elsej返回最终路径：端存储该路径并从gk中移除lk的边和节点;从gk中移除悬挂边，并将剩余的图重命名为gk;端该过程在图6中示出。在第二步中，我们从gk中删除提取路径的所有边，剩余的子图仍然是连通图，除非提取的路径是最终路径。对所有交点执行该算法，我们得到从整个数据点集提取的一组路径利用预先存储的K中的多边形曲线与G中的路径的对应关系，我们得到一组多边形曲线Li，其中每条多边形曲线对应于一条待恢复的参数曲线。4. 点编组与曲线拟合对于曲线拟合，我们还需要分割数据点集，与骨架分割结果保持一致。这是通过将每个数据点与最近的骨架曲线相关联来实现的。理想情况下，该距离应沿骨架曲线的正交方向测量。在实践中，我们同时对所有骨架曲线执行膨胀操作。对于每个骨架Xi，我们应用膨胀算法来给出扩展的骨架图像。由骨架i访问的像素qi用idi标记，并且到Xi的距离测量di（膨胀的步骤）也存储在qi中。当扩展步长足够大以覆盖点云的宽度时，膨胀过程停止。如果一个数据点被多个骨架访问，它将被分配给具有最小距离的骨架。一旦每个像素被正确地分配给其最近的骨架曲线，通过检查关联的覆盖像素来对数据点进行分组就很简单了。骨架的分割结果参见图7（c），数据点的分割结果参见图7（d）。注意，可以将相交区域附近的数据点分配给多个骨架曲线。一旦云点被分成多个组，我们使用平方距离最小化（SDM）方法用B样条曲线拟合每组数据点。基于曲率的节点位置是B样条曲线初始控制点的良好候选。参考图7（e），以拟合使用SDM获得的B样条曲线5. 实验与讨论5.1. 计算时间我们的方法是使用Visual Studio 2012平台用C实现的。我们的程序在桌面图10个。来自[9]的具有交叉区域的数据集。（a）数据点。（b）结果来自[9]。（c）我们方法的结果.20P. Bo等人/计算设计与工程学报3（2016）143.0 GHz CPU和2 GB内存的计算机。每个示例的总计算时间约为1-2 s，其中包括三角剖分、骨架提取、分割和曲线拟合的计算时间。数据点的数量从5000到25000不等。关于本文中一些示例的计算时间的更多详细信息，请参见表1。5.2. 示例和比较曲线提取问题在逆向工程、图像处理和模式识别等应用中普遍存在，处理以获得多个B样条曲线来表示给定的点云。为了证明我们的方法的有效性，我们将其与现有的三种方法进行比较。图1中的示例10和11是取自[9]的两个数据集。图10说明了[9]中的方法给出了不正确的点云分组。图11显示了[9]中方法的一个缺陷，即重建的曲线丢失了一些末端几何形状（红色圆圈区域）。图12（a）示出了[8]中的方法未能恢复相交区域。 图 12（c）和（d）的结果表明，我们的方法比[8]的结果更光滑、更令人满意。 图13给出了我们的方法与[5]中的方法的比较。注意到见图11。[9]的例子。(a)数据点。(b)结果来自[9]。红色圆圈表示重建曲线未能覆盖的区域。(c)是我们方法的结果（有关本图说明中对颜色的引用的解释，请读者参阅本文的网络版本图12个。实验结果表明，该方法与文献[8]中的方法是一致的。（a）和（c）是[8]的结果。（b）和（d）是我们方法的结果图13岁一个来自[5]的卡通形象的例子。（a）原始卡通形象。（b）从[5]得出的结果。（c）对用本文方法得到的B样条曲线进行P. Bo等人/计算设计与工程学报3（2016）1421¼¼图中的形状。 13（b）基本上是正确的，但许多细节丢失了。图13（c）中通过我们的方法获得的结果成功地保留了更多的细节，例如耳朵。图图14- 16显示了我们方法的更多结果。图14中的数据点是通过将3D模型与平行平面相交而获得的。显示了拟合曲线和重建曲面。图15给出了从具有复杂形状的噪声点云中提取B样条曲线的一些结果。我们的算法正确地恢复点云的拓扑结构与B样条曲线。其结果是对数据点进行了合理的分割，并对B样条曲线进行了关联拟合.重建过程是全自动的。一幅由简单的线条画组成的图画对儿童的想象力教育很有用。我们的方法可以应用于从这样的图像中提取有意义的曲线笔画。图16示出了简单线条画图片的一些分割结果。每个字符被分割成一组绘制线，用不同的颜色呈现的矢量化还示出了通过拟合B样条曲线的图像5.3. 讨论和局限性在我们的算法中，相交区域附近的数据点需要被删除。确定合适的相交区域大小是非常重要的。在大多数情况下，点云的大小见图14。点云是通过用平面切片切割3D模型生成的。所示的3D曲面是使用分割结果和拟合B样条曲线的方法构建的。宽度给出了令人满意的结果，正如我们已经展示的例子所证明的那样。我们的方法来确定相交区域工程以及大噪声的点云。 图 八是做实验。当量（2）是确定曲线段组合的重要依据。对于图中的所有示例，在10- 12和14 - 16中，我们设置λ 2 1和λ 1 10，得到了令人满意的结果。然而，在某些情况下，存在形状的模糊性，合理的解决方案不是唯一的。参考图9的示例。在这种情况下，我们可以调整λ1和λ2的值以给出不同的结果。我们的方法依赖于数据点的骨架。如果使用图像细化算法获得的骨架结果不能正确表达数据点的拓扑结构，则我们的曲线提取算法将因此给出错误的分割结果和拟合曲线。如图所示，当某些曲线彼此非常接近时，就会发生这种情况。 十七岁6. 结论我们已经描述了一种新的方法来重建曲线从平面点云。我们引入了一个加权图表示的点云，这是能够评估所有的分割结果的数据点的形状评价功能。曲率直方图被提出来定义曲线段的形状特征。在这个加权图和相关能量泛函的指导下，我们能够将给定的数据点划分为有意义的子组进行曲线拟合。我们的算法的优点是它考虑了所有可能的分组结果的形状良好，并能够找到具有良好形状的曲线，如果对拟合曲线作出一些假设。我们证明了我们所提出的方法的性能，将其应用到简单的线条画中的笔划识别和复杂形状的平面点云为了进一步的工作，我们将尝试将我们的算法应用于图像处理中的一些实际问题，如图像分割和图像矢量化。我们也有兴趣提取手写字符中的笔画，并研究数字地图的语义信息。图15.从平面点云重建曲线结构的实例。数据点由黄色点呈现。拟合B样条曲线与其控制多边形一起渲染。（a）中的示例包含24，346个数据点。（b）中的示例包含19，447个数据点。（c）中的示例包含11，827个数据点。（有关本图说明中对颜色的引用的解释，请读者参阅本文的网络版本22P. Bo等人/计算设计与工程学报3（2016）14图16.几种简单线描图像的分割与矢量化。我们使用不同的颜色来渲染提取的线条笔划。(a)分割结果(b) 拟合B样条曲线作为图像的矢量化。数据点（像素）的数量从左到右分别为10、637、9436和5066。(For有关本图说明中颜色的解释，请参阅本文的网络版图十七岁三个交叉圆的例子（a）数据点。骨架结果在（b）中示出，其不表示三个交叉圆。结果，获得错误的分割结果（c）。利益冲突作者没有任何利益冲突致谢本研究得到了国家自然科学基金项目（Grantnos.61202275、61173086）。引用[1] 放大图片作者：John W，John W，John W.一种用于2d形状的鲁棒重建和简化的最佳传输方法。计算机图形论坛2011; 30（5）1593-602。[2] DeyTK，Wenger R. 重构具有尖角的曲线 计算几何2001; 19（2-3）89-99.[3] 放大图片作者：J.地壳和β-骨架：组合曲线重建。图形模型和图像处理1998; 60（2）125-35.P. Bo等人/计算设计与工程学报3（2016）1423[4] Dey TK，Kumar P.一个简单的可证明的曲线重建算法In：SODA;1999; p. 893-4[5] 王军，于忠，张伟，魏明，谭春，戴宁，等.基于离散噪声点数据的二维曲线鲁棒重构.北京：机械工程出版社，2001. 计算机辅助设计2014; 50：27-40.[6] Ruiz O，Vanegas C，Cadavid C.基于椭圆主成分分析的噪声点集自相交曲线重构。视觉计算机2011; 27（3）211-26.[7] 朱东，博平，周勇，张春，王凯。复杂拓扑结构点云的多曲线In：The 13th International Conference on Computer Aided Design andComputer Graphics; 2013; p.60-7.[8] 作者：J，J，J.局部主曲线。统计和计算2005; 15（4）301-13。[9] Goshtasby AA.对不规则间隔的点进行建模和参数化，以进行曲线拟合。ACM Transactions on Graphics（TOG）2000; 19（3）185-203.[10] Furferi R，Governi L，Palai M，Volpe Y.从无序点云到加权b样条一种基于主元分析的新方法。在：2011年美国应用数学会议和第五届WSEAS国际会议计算机工程和应用，世界科学与工程学院和社会（WSEAS），史蒂文斯点，威斯康星州，美国; 2011; p。146比51[11] 严 H. 模 糊 曲 线 跟 踪 算 法 IEEE Transactions on Cyber-netics ，Systems，Man，and Cybernetics，Part B：Cybernetics 2001（5）：768-80.[12] 赵毅德，曹建杰，苏志祥，李志毅.非简单曲线的有效重建浙江大学学报-科学版C2011;12（7）523http://dx.doi.org/10.1631/jzus.C1000308[13] 莱文·D 移动最小二乘法的逼近能力美国数学学会计算数学1998; 67（224）1517-31。[14] 李一光散乱点的曲线重构。计算机辅助几何设计2000; 17（2）161-77.[15] Pottmann H，Leopoldseder S，Havenam M.活动B样条曲线曲面的逼近。第十届太平洋计算机图形与应用会议论文集Washington，DC，USA; IEEE Computer Society; 2002; p. 8-18。[16] 王伟，刘勇.基于曲率平方距离最小化的点云b样条曲线拟合。ACMTransactions onGraphics（TOG）2006; 25（2）214-38.[17] Melhi M，Ipson SS，Booth W.一种新的细化手写文本的三角剖分方法。Pattern Recognition Letters 2001; 22（10）1059-71.[18] 宋Y。二维曲线重建的边界拟合。视觉计算机2010; 26（3）187-204。[19] 张涛，孙春英。数字图形细化的快速并行算法。ACM通信1984;27（3）236[20] DeyTK，Zhao W.近似中轴为voronoi子复合体。计算机辅助设计2004;36（2）195[21] Zhu Y，Sun F，Choi Y-K，Jüttler B，Wang W.样条逼近中轴。CoRR abs/1307.0118。[22] [10]杨文辉，杨文辉. 平面自由形状的中轴计算。计算机辅助设计2009; 41（5）339-49。[23] 放大图片作者：J-Y，J-Y.一种用于理解线条画图像的结构表示。国际文献分析与识别杂 志 2000; 3（2）58-66。[24] [10]张文辉，张文辉，张文辉.拓扑驱动的简洁线条图矢量化。ACMTransactions onGraphics（TOG）2013; 32（1）4.[25] 邹JJ，严海.基于选择性搜索的静态线条图像笔划提取。模式识别1999; 32（6）935-46.[26] 齐特尼克县使用令牌手段进行手写美化。ACMTransactions onGraphics 2013; 32（4）53：1-8.