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气雾罐设计与工程学报
HOS T E D B Y可在www.sciencedirect.com网站上查阅计算设计与工程学报2(2015)165www.elsevier.com/locate/jcde气雾罐Benki Aalaea,n,Habbal Abderrahmaneb,Mathis Gaelc,BeigneuxOlivierdaINRIA Sophia Antipolis,OPALE项目组,2004 Route des Lucioles,06902 Sophia Antipolis,Franceb尼斯Sophia Antipolis大学数学系,28 Avenue de Valrose,06103 Nice Cedex 2,France cArcelorMittalGlobal R& D,route de St. Leu,60761 Montataire Cedex,FrancedArcelorMittal,Voie Romaine,BP 30320,F-57283 Maizires ls Metz Cedex,France接收日期:2015年1月22日;接收日期:2015年3月9日;接受日期:2015年3月14日2015年3月23日在线发布摘要在多目标形状优化领域的当前挑战之一是减少传统方法所需的计算时间。高计算成本是由于这些方法所需的大量模拟或函数调用。最近,一些研究已经导致克服这个问题,在整体优化循环中集成的元模型在本文中,我们执行正常边界相交- NBI -算法与径向基函数- RBF -元模型之间的耦合,以便有一个简单的首先,我们将我们的方法应用于学术测试案例。然后,我们验证了我们的方法对一个工业案例,即形状优化的底部的气雾剂可以经历非线性弹塑性变形。然后,为了在帕累托有效解中选择解,我们使用相同的代理方法来实现计算纳什均衡和Kalai-Smorodinsky均衡的方法。&2015 年 CAD/CAM 工 程 师 协 会 。 由 Elsevier 制 作 和 主 持 。 这 是 一 个 在 CC BY-NC-ND 许 可 证 下 的 开 放 获 取 文 章(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)。关键词:多目标优化问题;法向边界相交;径向基函数元模型;纳什均衡; Kalai-Smorodinsky均衡内容1.导言. 1662.方法学1662.1.多准则优化和帕累托最优1662.2.法线边界交点1662.3.径向基函数1673.NBI和RBF耦合方法1684.喷雾罐底部的形状优化1684.1.动机1684.2.罐底的形状和钢的特性1684.3.优化框架的介绍1694.3.1.设计变量1694.3.2.设计约束和元模型数据库1694.3.3.优化公式1694.3.4.优化结果1714.3.5.结果讨论1715.选择算法174n通讯作者。http://dx.doi.org/10.1016/j.jcde.2015.03.0032288-4300/2015 CAD/CAM工程师协会。&由Elsevier制作和主持。这是一个在CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)。166B. Aalae等人/计算设计与工程学报2(2015)165我我我不受以下条件限制 h x<$$>0;k< $1;8>· þ· ¼我...ð Þ ð Þ>:下上我我12Mi¼1F x:xAD用F表示 并且目标向量f我~你好-我¼ ½ ð Þ ð Þ ð ]- --ð Þ¼ ðÞ¼ð Þ¼5.1.纳什均衡和RBF耦合方法1745.2.Kalai–Smorodinsky equilibrium and RBF6.结论175致谢175参考文献1751. 介绍结构多学科形状优化为了克服这个障碍,经典的方法是将Pareto捕获方法与旨在廉价评估的元模型耦合[1识别帕累托最优解集的方法和Meta模型之间有两种可能的耦合:第一种想法是使用专用算法(NBI或其他算法)进行优化,并使用更新的元模型进行一定数量的评估,直到找到解决方案(强耦合)。第二个想法是使用元模型进行优化,并且只对元模型获得的解进行精确计算(弱耦合)。在我们的工作中,法向边界相交(NBI)方法[6实现的算法进行了数学2.2. 法向边界相交法向边界相交法NBI是由Das和Dennis(1996)开发的用于Pareto曲面近似的求解方法[9]。该方法是基于所谓的CHIM(凸壳的个人最小值)正常和目标空间边界的交集。我们总结如下:设xn是f i x,i的各自的全局极小元 1、......、m除以xAD。设FnF xn,i1,设Fnf1xn;f2xn;.; f m xn T.设βAR为权向量。设m是mm矩阵,其第i列为F xnFn称为支付矩阵。则Rm中的凸组合的点集F xnFn的值称为CHIM,即, CHIMββARmw i thPmβi1;βiZ0g.的 设置 的 可达到的ð Þð布吕格测试用例,然后用于执行多标准形状优化承受高度非线性变形的结构。我们比较不同的先验离散化的帕累托前沿所获得的结果。我们还使用纳什博弈方法[22- 26]和Kalai-Smorodinsky方法[19 - 21]解决了在帕累托最优解中选择解2. 方法在本节中,我们介绍了整个文件中使用的方法和背景。2.1. 多目标优化与Pareto最优多准则优化问题如下:通常被称为客观空间。让我们把F的边界为F。设n表示CHIM单形的法线单位,指向原点,定义为n<$f-n;eARm,其中e<$f1; 1; 1;NBI方法确定了包含Pareto最优点的那一部分BNF。这种方法背后的主要思想是,边界线nF和从CHIM中任何一点发出的指向原点的法线n之间的交点是包含有效点的n F部分上的一个点。如果目标空间中的折衷曲面是凸的,则该点保证是Pareto这是NBI方法背后的代数思想,Das和Dennis已经证明,这种方法可以用数学方法来表示,并且法线的交点minXFxf1人x10人;f2x10;mxmZ2最接近原点的F的边界是以下单个问题的8>gjxZ0;j¼1;>:x下rxrx上ð1Þ最大tx; tϕF xFn.>0;k< $1;ð2Þ如果没有其他点,则为劣势,xnAD,使得fxofxn;i<$1;其中tAR是虚拟参数,子问题(等式2)(二)对于不同的β权重的数量(N)重复,并且仅对于每个权重,得到一个解决方案,最后,NBI至少有一个指数严格不等方法给出了初始问题的N个解决方案(等式2)。① ①)。B. Aalae等人/计算设计与工程学报2(2015)165167ð ÞX图1.一、NBI RBF方法(红色)和NBI精确解(蓝色)所得结果的比较NBI方法的优点是它给出了一组分布均匀的Pareto前沿解。然而,可能需要用滤波器对结果进行后处理,以消除非帕累托或局部帕累托点(如果目标空间中的权衡曲面不是凸的)。2.3. 径向基函数RBF元建模的基本思想是使用某些采样点处的函数值来构造函数近似,这些采样点通常使用实验设计方法如拉丁超立方体、均匀分布的搜索空间[15]。设f(x)为真目标函数或响应函数,f~x它的近似从一个经典的RBF得到的一般形式nf~xπ ωiππJx-xiJπ3π1/4其中n是采样点的数量,x是设计变量的向量,xi是第i个采样点的向量,Jx-xiJ是欧几里得距离,λ是基函数(对于168B. Aalae等人/计算设计与工程学报2(2015)1652ð Þ¼ðÞð Þ ð Þ例如,Gaussian 1 =e-a r,其中a是衰减系数0!ar1),ωi是未知加权系数,通过求解线性系统获得f¼ A·ω4其中,f/2fx1;n;j1;3. NBI和RBF耦合方法我们的目标是执行NBI算法和RBF元模型之间的弱耦合,以便有一个简单的工具,合理的计算时间来解决多目标优化问题,并测试其有效性的学术案例,也为工业案例。在我们的工作中,我们解决了多标准优化问题的特殊情况(两个目标函数):在通过学术测试用例验证算法后,我们将进入我们工作的实质,即测试代码的工业测试用例,即喷雾罐底部的形状优化和汽车扭转梁的形状优化。4. 气雾罐4.1. 动机气雾罐通常由薄的高性能钢制成,并在高压下填充有气雾剂。由于这两个原因,并考虑到使用和包装要求,它们的端部、顶部和底部的结构稳定性因此很难保持。在目前的工作中,我们解决了罐底形状优化的问题,以便在给定的填充压力下控制圆顶生长DG,minXFxf1x;f2xT8>gjxZ0;j¼ 1;ð Þ¼ ¼以及圆顶反向压力DRP,一个临界压力,罐底失去其稳定性(例如,开始屈曲)(图 2)的情况。受美国国防部hk x0;k1;...;K>:x下rxrx上ð5Þ4.2. 罐底的类型、形状及钢材特性NBI算法表明,在每种情况在NBI方法需要优化每个目标函数以及目标函数NBI的意义上,这是一个阶段,因此有必要对优化的函数进行大量的评估,这在计算时间方面可能非常昂贵在这些条件下,我们用RBF元模型构建的函数替换了所有近似的目标函数。让f~1x和f~2x是由经典径向基函数得到的近似分别为f1和f2对于使用的RBF元模型,有两个参数确定:衰减因子将使用Rippa[16]的技术确定,我们选择均匀分布的搜索空间来选择采样点。耦合方法首先针对几个称为测试问题的优化问题进行测试,这些问题是数学显式函数(Schaffer1,Hanna非凸,Fonseca和Tanaka问题)[17]。图1和表1的结果表明,耦合NBI RBF收敛到Pareto前沿,与Schaffer1,Hanna非凸,Fonseca和Tanaka问题的传统NBI相比,目标函数调用的数量分别减少了约80%,95%,99%和97%。对于我们的工作,我们使用两种类型的底部的罐,图。三、喷雾罐由薄的高性能钢制成,具有以下特点:n厚钢:e<$0.46mmn应变硬化指数:n<$0.2n屈服强度:Re <$270 MPan极限强度:Rm<$380MPa图二. DRP与DG的两个优化标准。DRP是罐底失去稳定性的临界压力,DG是检测到DRP压力时A点表1NBI和NBI RBF方法所需的函数调用号问题用方法规定的Pareto点(N)函数调用Schaffer 1NBI25314NBI RBF2540Hanna非凸NBI257997NBI RBF2550丰塞卡NBI25305NBI RBF25128田中NBI25942NBI RBF2550B. Aalae等人/计算设计与工程学报2(2015)165169n强度系数:K½eΩRm:λn:λ1-lnλn强度系数n霍洛蒙定律:σ<$Kn4.3. 介绍优化框架我们的目标是设计出一种气雾罐底部的设计,它满足的DRP值大于初始形状的DRP,DG值小于1 mm。我们的初始罐N1气溶胶底部N1气溶胶底部N2图3.第三章。喷雾罐底部有两种不同用途的形状气溶胶罐N1气溶胶罐N2见图4。 设计变量。设计的DRP和DG值分别为19.1092 bar和0.8975 mm,初始罐N2设计的DRP和DG值分别为19.1092 bar和0.8975 mm,DRP和DG值分别为15.2巴和0.4749 mm在进行优化部分之前,应该注意的是,使用的力学模型是使用LS-DYNA软件建模的,该软件还执行变形弹塑性计算,以确定要优化的目标标准(DRP和DG)。然后,我们应用我们开发的耦合方法来解决这个多准则的行业问题。作为第一步,我们提出了与形状优化相关的特征(设计变量,约束,元模型数据库和多准则优化公式)。4.3.1. 设计变量对于我们的案例研究,罐的底部被分成两部分,一个是固定的不可修改的部分,另一个是可变的部分,以进行最佳设计(图1)。 4).4.3.2. 设计约束和元模型数据库我们选择了一组81个点(34),每个点代表一个给定的形状的底部可以。让我们提到,在我们的例子中,上面的均匀采样比拉丁超立方体采样更有效。这些点将被视为RBF元模型的采样点也就是说,对于每个点,我们计算两个标准DRP和DG的精确值。我们收集这些值来设置一个数据库,使我们能够为每个标准构建RBF元模型,并使用这些元模型研究优化问题(图1)。 5)。4.3.3. 优化公式我们的目标是用我们开发的方法(NBI RBP耦合)解决这个问题,并对最终的帕累托最优设计进行精确的成本评估,以评估我们的方法解决这个工业优化问题的效率。令φ表示罐底的三次样条形状,或者等价地表示该三次样条的纵坐标(横坐标是固定的)。然后,我们的原始问题陈述如下:气溶胶罐N1气溶胶罐N2图五. 四个设计变量,每个点有三个不同的位置Maxφ1;φ2;φ3;φ4DRP系统,minφ1;φ2;φ3;φ4公司简介允许具有81个元件的组合,并且每个元件表示罐的底部的给定形状。受 D可以表2不同功能调用所需的时间N总时间nnn目标函数近似函数呼叫号码所需时间nn呼叫号码所需时间n63小时46分10秒873小时21分24秒8683524分46秒124小时07分28秒933小时37分06秒8744430分22秒244小时27分39秒1054小时00分13秒8519327分26秒505小时43分23秒1315小时06分55秒9088336分28秒170B. Aalae等人/计算设计与工程学报2(2015)165表3不同功能调用所需的时间N总时间nnn目标函数近似函数呼叫号码所需时间nn呼叫号码所需时间n64小时21分07秒873小时57分34秒7652423分33秒124小时38分53秒934小时11分00秒7824627分53秒245小时11分31秒1054小时38分45秒8078432分46秒506小时19分40秒1315小时47分20秒8040532分20秒见图6。通过NBI RBF方法获得的结果(蓝色)与几种情况下这些结果(红色)的精确成本评估之间的比较B. Aalae等人/计算设计与工程学报2(2015)165171φ1;φ2;φ3;φ4¼ðÞð Þφ1;φ2;φ3;φ4ð图7.第一次会议。通过NBI RBF方法获得的结果(蓝色)与几种情况下这些结果(红色)的精确成本评估之间的比较通过我们的方法,我们将解决与原始问题等价的问题,用它们的元模型替换标准最大DR~Pφ,最小D~Gφ4.3.4. 优化结果对于α1/40.5 mm,我们使用NBIR-RBF耦合计算了DG/DRP成本的近似帕累托前沿。为不同的规定数量的帕累托点N,我们表明,受CJD影响,可使rφ降低rφrφ升高设φ0φ01;φ02;φ03;φ04为罐底的初始形状,α为正偏移量。然后,我们选择约束条件如下:nφ下半部分φ01-α;φ02-α;φ03-α;φ04-αnφ上半部分φ01α;φ02α;φ03α;φ04α用于表2中的气溶胶底部N1情况和表3中的气溶胶底部N2情况的精确或替代评估的总时间和总数。4.3.5. 结果讨论通过我们的方法获得的结果和这些解决方案的准确评估之间的简单比较,图。 6和7,使我们能够评估,我们的结果仍然是好的,尽管我们的案例研究的复杂性。Þ172B. Aalae等人/计算设计与工程学报2(2015)165同样,从表2和表3中可以清楚地看出,我们的方法使我们能够节省大量的计算时间。例如,如果我们从表2中选取情况(N=50),则存在131次调用精确函数求值和80,405次调用近似函数,分别占我们方法中使用的总函数调用的0.16%和98.24%但与此同时,我们注意到,只有这0.16%的总调用占用了99.85%的总计算时间。这最后一句话解释了为什么我们选择不粗略地应用NBI方法来解决工业案例。我们使用了一个过滤器图8.第八条。NBI RBF方法过滤后获得的结果(红色),RBF数据库(黑色)和初始解(蓝色)的叠加气溶胶底部N1-N= 24-和气溶胶底部N2-N= 50-。图9.第九条。气溶胶底部N1的一些新的轮廓满足操作工业要求。DRP= 19.4712,DG= 0.9312和DRP= 19.2514,DG= 0.8787。B. Aalae等人/计算设计与工程学报2(2015)165173解几乎位于由RBF数据库的元素形成的空间的边界处(图8)。然后,我们可以得出结论,所获得的解决方案是可能的NBI解决方案,我们的方法是能够解决工业问题与合理的计算时间。当我们开始我们的工业测试案例时,我们声称我们的主要目标是获得满足某些要求的气雾罐底部的新轮廓(DRP高于初始形状的DRP值,DG低于1 mm),我们成功地实现了这一目标(图1和2)。(第9和10段)。图10个。气溶胶底N2的一些新的轮廓,满足操作工业要求。DRP= 16.1001,DG= 0.4646和DRP= 17.2212,DG= 0.6754。见图11。通过我们的Nash RBF耦合或形状参数的不同任意分裂(红色)、RBF数据库(黑色)和初始解(蓝色)获得的结果的叠加。气溶胶底部N1和气溶胶底部N2。174B. Aalae等人/计算设计与工程学报2(2015)165从本节得到的所有结果中,有趣的是注意到帕累托的捕获产生了一组非支配解。为了知道在适当的情况下选择哪一 个 , 有 必 要 使 用 选 择 算 法 , 如 Nash 和 Kalai-Smorodinsky。这两种来自博弈论的方法将在下一节中进行研究。5. 选择算法在本节中,我们将讨论在帕累托前沿中选择解的问题。事实上,经常需要见图12。Fonseca问题KS解(蓝点)的确定图解,它是目标空间边界(红点)与连接最低点和乌托邦点(分别为绿色和黑色)的线段的交点。只提供一个有效的解决方案(特别是对于工业问题)。为此,开发了几种方法。在这些方法中,有那些来自博弈论的纳什均衡和Kalai-Smorodinsky之一。为了应用这两种选择算法,我们将只使用工业测试案例,所有这些都是气雾罐底部的形状优化。同样,应该注意的是,所有的算法都将与RBF元模型相耦合5.1. Nash均衡与RBF耦合方法我们考虑气溶胶底部的问题。然后,我们将选择问题建模为由两个成本DG和DRP近似的RBF元模型所扮演的纳什博弈图11所示的结果表明,两个参与者DG和DRP之间的形状坐标的不同分裂所获得的纳什均衡。有一些显著的纳什解位于或接近帕累托前沿。但是,不幸的是,在可操作的工业应用的兴趣区域(帕累托前沿的左上区域),几乎所有的纳什解都是无效的(严格地被帕累托最优解所因此,不建议任意拆分。5.2. Kalai-SmorodinskyKalai-Smorodinsky均衡是Kalai和Smorodinsky(1975)提出的一种求解方法,用于计算多目标优化问题的特定解。这个解决方案的概念可以用图形描述为目标空间边界与 连 接最 低 点 和 乌托 邦 点 的 线段 的 交 点( 图 10 ) 。12)。从图13的结果中,我们清楚地看到,所得到的Kalai-Smorodinsky图十三.通过Kalai-Smorodinsky RBF耦合获得的结果(红色),RBF数据库(黑色)和初始解(蓝色)的叠加。气溶胶底部N1和气溶胶底部N2B. Aalae等人/计算设计与工程学报2(2015)165175(ef 1)。类似地,KS是一个不需要在两个参与者之间使用变量分裂的解决方案,其中KS均衡是可取的。通过比较Nash算法和KS算法的结果,我们可以推断出,在任意分裂的情况下,KS算法仍然优于Nash算法6. 结论NBI RBF耦合结果表明,该方法能够有效地解决具有非线性(弹塑性)行为的结构的多目标形状优化问题,即识别Pareto前沿的感兴趣区域。这是实现不仅与一个合理的计算时间,但也通过产生帕累托阵线是一致的,相对于前面的规定点的总数。Nash RBF耦合的结果表明,任意分裂的形状参数之间的两个球员可能会导致无效的解决方案(严格控制的帕累托最优的)。Kalai-SmorodinskyRBF耦合结果表明,该算法 使我们 得到一 个有效的 解决方 案(严 格非支 配的帕累托最优的)。我们未来的研究方向是研究和开发新的技术来分裂变量优化计算纳什均衡。致谢目前的工作是在研究中心INRIA索菲亚反波利斯和钢铁制造商阿塞洛-米塔尔法国,资助这项工作的领导者公司之间的伙伴关系框架内实现的。引用[1] 张文辉,李文辉.用多层神经网络加速进化算法的收敛速度。工程优化2003; 35:91-102.[2] [10] FangH,Rais-Rohani M,Liu Z,Horstemeyer MF. 多目标耐撞性优化的元建模方法比较研究。计算机与结构2005; 83:2121-36。[3] 琼斯河基于响应面的全局优化方法分类。全球最佳化期刊2001;21:345-83.[4] 张文辉,李文辉.用多层神经网络加速进化算法的收敛速度。工程优化2003; 35:91-102.[5] 作者声明:A.基于全局响应面近似模型的优化策略设计。全局优化学报2005; 33:31-59.[6] Das I,Dennis J.法线边界相交:多目标优化问题中生成Pareto最优点的新方法。SIAM Journal on Optimization 1996; 8:631-57.[7] Ganesana T,Vasantb P,Elamvazuthic I.基于法向边界求交的湿型砂系统参数化多目标优化。制造系统杂志2013; 32:197-205。[8] Siddiqui S,Azarm S,Gabriel SA. 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