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工程科学与技术,国际期刊21(2018)753完整文章倒立摆的先进滑模控制技术:建模与仿真Saqib Irfana,Adeel Mehmooda,Muhammad Tayyab Razzaqb,Jamshed Iqbalc,d,a巴基斯坦伊斯兰堡COMSATS大学电气工程系b巴基斯坦伊斯兰堡,阿扎姆大学物理系c沙特阿拉伯吉达大学电子和计算机工程系d巴基斯坦伊斯兰堡FAST国立计算机和新兴科学大学电气工程系阿提奇莱因福奥文章历史记录:2017年12月20日收到2018年5月25日修订2018年6月12日接受2018年6月21日在线提供保留字:倒立摆滑模控制的李雅普诺夫稳定性A B S T R A C T许多实际应用,如机器人平衡,赛格威和悬停板骑和火箭推进器的操作本质上是基于倒立摆(IP)。IP的控制是一个复杂的问题,由于各种现实世界的现象,使其不稳定,非线性和欠驱动系统。本文提出了一种比较分析的线性和非线性反馈控制技术的基础上的时间,控制能量和跟踪误差的调查,以获得最佳的控制性能的IP系统。实现的控制技术是线性二次型控制器(LQR),滑模控制(SMC)通过反馈线性化,积分滑模控制(ISMC)和终端滑模控制(TSMC)。在考虑小车位置和摆角的情况下,对所设计的控制律进行了各种测试信号的测试,以表征其跟踪性能。比较结果表明,ISMC给出了一个上升时间为0.6秒,0%的超调和超越相比,其他控制技术在减少抖振,更少的建立时间和小的稳态误差。©2018 Karabuk University. Elsevier B.V.的出版服务。这是CCBY-NC-ND许可证(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)。1. 介绍控制系统领域的最新进展正在彻底重塑机电一体化[1]和机器人系统[2]。倒立摆(Inverted Pendulum,IP)是控制系统理论中一个具有挑战性的研究课题。它是一种高度非线性、不稳定和欠驱动的多输入多输出(MIMO)机械系统[3]。因此,这样一个系统,需要一个复杂的控制律[4],被认为是一个基准,以发展相关的思想,鲁棒系统的特点和比较性能的经典和现代控制策略的大规模。它具有广泛的工业应用,例如两轮自平衡车辆(seg-way),火箭,制导导弹,智能机器人和其他系统展示起重机模型。已经在IP上实施了各种控制策略。像比例积分微分(PID)[5]这样的普通控制算法不太适合并且不能处理这样复杂的非线性系统,因为它们不能处理*通讯作者:沙特阿拉伯吉达大学电气与计算机工程系。电子邮件地址:jmiqbal@uj.edu.sa(J. Iqbal)。由Karabuk大学负责进行同行审查固有的不确定性和干扰[6]。系统的鲁棒性随着参数和结构的不确定性而降低,从而使得PID控制律中的增益调整成为非常棘手的任务[7]。因此,需要鲁棒控制律[8]来实现高水平的精度和准确度,从而产生更可靠和灵活的系统,以在有限时间内将状态轨迹收敛到这些挑战突出 了更 先进和复杂的控制 策略的作用,如线性二次调节器(LQR)和滑模控制(SMC)或其变体,它们可以提供一种系统的方法来精确跟踪所需的轨迹[9]。LQR是一种用于线性系统的纯线性控制技术,而SMC是一种用于处理存在不确定性和干扰的复杂系统的鲁棒控制技术。SMC,积分SMC(ISMC)[10]和终端SMC(TSMC)是鲁棒控制技术,因此,设计控制器的数学模型和实际模型之间总是不一致[11]。未知的外部干扰,如匹配和不匹配的不确定性是系统的实际和数学模型之间的差异的来源[12,13]。当摆在直立位置运动时,稳定性要求需要使用鲁棒控制技术,该技术应该能够处理摆的快速动态特性。https://doi.org/10.1016/j.jestch.2018.06.0102215-0986/©2018 Karabuk University.出版社:Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)。可在ScienceDirect上获得目录列表工程科学与技术国际期刊杂志主页:www.elsevier.com/locate/jestchffi ffi ð Þ ¼6 7Σ2 32R2R2R_0 0 0 1小时04小时 5 4 54 545€h0-0:01286: 58480h_0:2552754S. Irfan等人/工程科学与技术,国际期刊21(2018)753系统一阶滑模控制律中存在的抖振现象可以通过高阶滑模控制技术来处理,这也提高了系统性能[14]。本文对LQR、SMC、ISMC、TSMC等控制策略进行了比较分析。这些算法都已在IP上实现。比较进行了各种参数的基础上,如时间,控制能量和抖振现象。结果显示了ISMC优于LQR、SMC和TSMC的有效性。第二节推导了IP的线性和非线性模型。第3节详细介绍了研究中的控制技术,第4节介绍了结果为了在这组方程上实现LQR[17],我们需要线性化非线性项h_2。当摆在h0、h_20和cos 0 1处稳定时,数学模型简化为(3)和(4)。ðMþmÞ€x þBx_-ml€h¼Fð3Þ2019 -04 - 2500:00:00小车位置和摆角的传递函数为,并讨论了实施的控制策略。最后,Sec-X100ml2mg第五部分是本文的结论。联系我们ð5ÞU-1000 mg/ml4-溴-1000 mg/ml2-溴-1000 mg/ml3-溴-1000 mg/ml2. 方法学----数学建模q q qmlshsqð6Þ控制律的设计需要数学模型U-100- 200 - 2000- 20000-0000- 00IP由可移动的推车轨道系统和连接至推车的可摆动杆组成,如图1所示。推车位置由直流电机控制。采用牛顿法推导出了IP的非线性数学模型。垂直力不影响推车其中,q定义如下:q1/2μM·m-1将(5)和(6)转换为如下给出的等效状态空间形式位置和水平运动由力通过直流电机应用[15,16]。所得到的非线性数学-2x_320 1 0 032x3 203系统的数学模型由(1)和(2)给出。表1中解释了术语,表2.6€x7¼60-0:01940:2188076x_7月6日 0:38877u80.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000输出矩阵可以写为,ðIþml2Þ€hþmglsinh¼-ml€xcoshð2ÞXΣ10 0 0x_Σ0Σ你好, 001 06小时7分钟h_0u9该系统有四个极点,其中两个在右半平面上,这使得系统不稳定。因此,需要设计一个线性控制器来迫使极点在左半平面内。计算的表1Fig. 1. IP的物理模型3. 方法学-控制技术详细介绍了基于LQR的控制技术、基于SMC、ISMC和TSMC的反馈线性化方法。在系统性能的基础上,系统状态和参数。符号描述Bx_推车摩擦力时间、稳态误差和超调量。3.1. 线性二次型调节器(LQR)F水平移动x;x_;€x推车位置、速度、加速度M外极矩m极摩擦力矩h;€h角速度和角加速度l摆锤长度表2将价值观融入系统。符号数量/含义值单元M摆质量2.4kgM推车质量0.23kg我惯性0.38kg/m2G重力9.8m/s2Bx_推车摩擦力0.005NL摆长45cmL推车长度91cmLQR是一种线性化的最优控制技术,它为系统提供最优增益。它更适用于不含不确定性和干扰的线性系统.这种技术的主要好处是它使增益最小化,成本函数[18,19]由(10)表示。对于n阶系统,LQR的一般代价函数如下:J<$Z1½xTtQtxtUTtRtUt]dt100其中,Qn×n是正定或半正定Hermitian矩阵(或实对称矩阵),Rr×r是正定Hermitian矩阵(或实常数),Sn×n是正定Hermitian矩阵(或实对称矩阵).LQR增益计算为,K¼R-1BTP 11因此,牛顿定律为基础的模型的IP已被导出。QQQ.ΣþðÞ.ΣþðÞCosx34Þ ¼¼2¼4你好。-Σ4英里。Σ22¼S. Irfan et al./ Engineering Science and Technology,an International Journal21(2018)753-759755Riccati方程在(12)中给出,而一般表达式-r_4¼L4T-1 rLg L3hT-1ruf f在(13)中给出了线性系统的表示。ATPPBR-1BTR Q<$012L fh是h沿向量f的李导数。系统的输出定义为,x_13线性系统的控制律给出为,y<$hxx1lln1波斯尼亚x323Cosx3Ut-Kx t14为了计算增益,系统的开环响应可以通过反馈线性化获得的变换状态由以下方程写为,x_t轴t-BKx轴t15r1 1/4hx1/4x1lln1波斯尼亚x324Cosx3x_tA-BKxt163.2. 反馈线性化反馈线性化是控制非线性系统行为的常用方法。一个系统被称为反馈r2¼Lx h×100×100×2×100 ×4r3¼Lf2h,棕色x棕色x3。glx2cosx3ð25Þð26Þ如果系统的非线性动力学可以是可线性化的,r4¼L3h× 100ml。2—1盎司4盎司。 3 g— 2克重x4磅27磅形成为等效的完全或部分可控的线性系统,TEM动力学消除非线性[20]。在我们的系统中,相对度是2,系统的阶是4,F其中,cos2x3Cosx33cos2x3大于系统的相对度,所以我们使用输入输出,采用线性化控制技术,使系统的相对阶数等于系统的阶数变换(3)和(4)得到佳能-f x6sinx3sinx3l4xcos4x3cos2x36gsinx3x2cos3x34典型的形式如下,- 是的2 gsinx3-gsinx33x2。3 g-2 gBogsinx3ð28Þx_1¼x2cos3x3cos x34cos2x3l2x_2¼o1i1FgGC-X -6w4-3 gGCOSW3ð29Þcos2w3lcosw34lx_3¼x4x_4¼o2μl2F其中x是状态空间矢量,F是移动推车所需的力,o1,o2; i1和i2是标称非线性函数,定义如下:mlx2sinx3-mgsinx3-cosx3r_3¼r4“r”系统中的反馈可线性化非线性方程r_1¼r2r_2<$r3r_3<$r4o1¼4Mr.Mr.Mr.Mr.Mr.Mr.Mr.Mr.Mr.2ð17Þr_4 ¼fðrÞþgðrÞuoMr.Mr.Mr.Mr.Mr.Mr.Mr.Mr.Mr.Mr.Mr.Mr.Mr.Mr.Mr.Mr.Mr.Mr.Mr.Mr.Mr.Mr.Mr.Mr.Mr.Mr.Mr.Mr.Mr.Mr.Mr.Mr.Mr.Mr.Mr.Mr.lMmsin2x 3i11Mmsinx3I2-Cosx3lMmsinx3ð18Þð19Þð20Þ年13.3. 滑模控制滑模控制是一种用于具有不确定性和干扰的高阶非线性动态系统的鲁棒控制技术。它具有快速的动态响应,对各种外部干扰不敏感[21]。由于一个人与另一个人让,F/4M聚二甲基硅氧烷2x3u-聚二甲基硅氧烷2sinx3-mgsinx3cosx3聚二甲基硅氧烷21 μ m和X_¼fxgxu22在映射用于非线性系统的稳定的新坐标之后,如下给出,r_1<$r2r_2<$r3r_3<$r4!ð Þ ð Þ在设计控制律时,需要考虑实际对象及其数学模型、匹配和非匹配不确定性、参数不确定性和外部干扰[22]。SMC可以更好地处理这种差异,由于其强大的性质和能力,以处理快速的动态响应,同时确保全球稳定性。跟踪参考可以通过一阶SMC来实现,其抑制外部干扰并提高系统稳定性[23]。SMC有两个阶段:(i)到达阶段(ii)滑动阶段。在到达阶段,系统到达期望的滑动表面,定义为:x_¼fx g xux;t30f x和g x是表示匹配不确定性的向量场。滑动表面被选择为,¼¼-¼.21¼德鲁克2Σpp3dp1四维pp21756S. Irfan等人/工程科学与技术,国际期刊21(2018)753. d2003年其中,其中k是正常数,e是跟踪误差信号,并且是实际输出和期望输出之间的差,即,e1-edsevk3e3k2e_ 3k€e 32在(32)中定义的滑动表面基于跟踪函数,当滑动表面收敛到零时,跟踪误差自动收敛到零。基于滑模控制的控制律由两部分组成:等效控制(u eq)和不连续控制(u dis)。控制输入u eq通过将滑动面置于sevk3e3k2e_3kez41sevk3x1-xd3k2x2-x_d3kx3-xdz42滑动模态建立后,必须满足s0处的条件.滑模涉及n1个状态,从而减少系统的不确定性和实现鲁棒性。取滑动面的导数,并使滑动面在s_0处受力,则系统的等效控制部分为S_¼0。然后,滑动面的导数由put-v3 2v给定不同状态的值并强制时间导数为零,系统的等效控制器获得为,s_¼ekx2-x_d3 kx3-xd3kx4-ez_fxk3x2-x_d3k2x3-€xd3kx4-evdz_ð43Þueq¼fx3ke43k2e3k3e2gxueq¼gx44evd3k2€ed3kvedk3e_dgx控制器的第二部分udis确保系统udish-ksigns-fs45基于李雅普诺夫稳定性的分析保证了系统的稳定性。李雅普诺夫能量函数定义为:tem停留在滑动表面上,并且通常由给定的Sign函数设计,udis¼-kSign s34最后,我们得到V1S22V_¼SS_ð46Þð47Þuuequdis一阶滑模存在抖振现象,抖振是一种围绕滑动流形的振荡运动。为了保证系统的稳定性,李雅普诺夫函数被定义为,V_¼Sfxg xuequdisk3x2-x_d3k2x3-€xd3kV_¼S-ksign s-fs49沪公网安备31010502000115号V_6-kjsj-fs2× 50 Ω其中k和f是正常数,它们的值大于而不是零。由于V是负定的,因此系统动力学V_¼SS_ð36Þ将在有限时间内收敛到滑动面取(32)的时间导数并将它们放入上述表达式中,得到(37V_¼S-ksigns 37V_6-kjsj383.4. 积分滑模控制SMC中的高频干扰破坏了系统,3.5. 终端滑模控制SMC中状态的收敛是无限时间的,而TSMC中状态的收敛是有限时间的。终端滑模控制设计了精确滑模面,控制律的目的是使系统保持在定义的滑模面上。当系统的例证点在滑动面上移动时,建立了TSMC,并保证了无穷收敛[25]。终端滑模控制的滑动面选择为减少执行器的寿命,同时建立时间也得到增强ISMC最小化成本函数和抖振,其中系统动态对不确定性较弱[24]。D¼dt3Q克ebepð51Þ系统轨迹从滑模面开始,积分型滑模控制消除了到达阶段的Sevk3x1-xd 3kx2-x_d3kx-€xbqeq-1eð52ÞISMC通过推广高阶系统导数和将系统轨迹引入滑模面在ISMC中,误差的性能也得到了改善滑动面的时间导数在(53)中给出。qqS_l ^evk3x-x_l3k2x-x_l3kx-evbe-1e_ð53Þ通过引入到达阶段,处理匹配不确定性,使系统渐近镇定。各国的目标是二维三维4dp1滑动流形和稳定化依赖于滑动约束。ISMC最适合于复杂系统和MIMO系统。在ISMC,将滑动面设为S0,等效控制部分对于TSMC,在(54)中给出。滑动表面被选择为(39). d2003年ueq¼fxk3x2-x_d3k2x3— €xd3kxgx— evbqeq-1eS¼德鲁克ez39ð54Þð33ÞS¼e31e¼e-edð40ÞþVS2S. Irfan et al./ Engineering Science and Technology,an International Journal21(2018)753-759757udish-ksigns-fs55其中,u<$uequdis。对于李雅普诺夫稳定性,使用能量函数(56)。V¼1S2356毫米V_¼SS_将(53)代入上式,得到(58)ð57ÞV_¼S-ksign s-fs58V_6-kjsj-fs2其中k和f是正常数且大于零。系统动力学在有限时间内收敛到原点。4. 结果和讨论在MATLAB/Simulink上进行了仿真,仿真时间为50 s。比较了LQ、SMC、ISMC和TSMC的性能,以稳定IP的推车位置以及直立位置的摆角。上述控制技术的参数在表3中给出。为了验证控制性能,即单位步进位置和正弦位置用于小车位置的信号以稳定摆锤。图图2和图3示出了针对阶跃输入的不同控制技术的比较。在2s之后实现推车在期望的参考位置处的稳定性和在其直立位置处的摆角。对于ISMC,这是远远优于线性技术LQR。SMC和TSMC的稳定时间为3s。2.5 s。表3控制策略的参数整定。参数LQRSMCISMCTSMCR1–––K-105,20-70,37,53–K–201–P–––10Q–––20一–––30B–––40图二、基于LQR、SMC、ISMC和TSMC定律的小车位置阶跃响应图三. 基于LQR、SMC、ISMC和TSMC的摆角阶跃响应。分别图3显示了对于所有应用的控制技术,IP在初始动力学图4示出了为实现期望的控制任务而施加到摆车的输入扭矩的模拟结果。从图中可以看出,SMC在控制输入中出现了不希望有的抖振现象,基于TSMC和ISMC的控制律有效地减小了抖振现象。图5给出了为SMC、ISMC和TSMC定义的滑动面的时间响应。这里s表示滑动表面。见图4。 控制输入采用LQR、SMC、ISMC和TSMC法则。图五. 基于SMC、ISMC和TSMC法则的滑动面。1758S. Irfan等人/工程科学与技术,国际期刊21(2018)753使用(60)中给出的正弦参考输入信号进行第二次验证测试。其中,a¼ 0,b¼ 1,f 1/4 0: 157和h 1/40。yd ¼aþbsin ðf ðt Þþh Þð60Þ图图6和图7分别示出了SMC、ISMC和TSMC针对推车位置和摆角的参考正弦信号的仿真结果。 从图中可以看出。图6示出了对于所有控制技术,推车到达期望的正弦轨迹,保持倒立摆稳定到其直立位置。ISMC的跟踪性能优于其他技术。所有的控制器表现出良好的稳态性能与ISMC具有相对最小的建立时间,上升时间和稳态误差。图图8和图9分别示出了用于正弦参考轨迹的相应控制输入和滑动表面。使用LQR技术获得的结果不包括在内,因为线性化对于时变输入信号不再有效表4总结了线性控制技术(LQR)和非线性控制技术(SMC、ISMC和TSMC)在保持摆锤稳定至其直立位置时推车位置的基于性能的比较分析。性能参数表明,ISMC提供了最好的稳态和瞬态行为,而LQR技术,作为线性技术,未能提供令人满意的结果,特别是在正弦参考输入信号的情况下。图六、基于SMC、ISMC和TSMC定律的小车位置正弦响应见图8。 采用SMC、ISMC和TSMC控制律对输入进行控制。见图9。 基于SMC、ISMC和TSMC法则的滑动面。表4控制策略的性能分析。响应质量标准LQRSMCISMCTSMC稳定时间(秒)6.2322.5上升时间(秒)3.20.90.60.65稳态误差(ess)0.020.00120.00010.0010.010.00100见图7。 基于SMC、ISMC和TSMC定律的摆角正弦响应。所实施的控制技术,即LQR,SMC,TSMC和ISMC的性能也进行了测试,在存在扰动的情况下,扰动的幅度被设置为0.1弧度/秒2,然后,在工厂引入不平衡的垂直位置的钟摆。图图10和图11示出了推车位置和摆角的模拟结果。在25 s后引入幅度为0.1 rad/sec2的阶跃信号。仿真结果表明,基于滑模控制的三种控制方法均具有较强的鲁棒性,但LQR控制方法在1 m处不能稳定小车。本文提出的所有控制技术都是基于模型的,假设所有的状态都是可观测的。未来可能的发展方向包括观测器设计、传感器/执行器故障的考虑、基于滑模控制律的自适应以及滑模控制与其他鲁棒技术如H .观测器设计在许多实际应用中具有潜力,因为由于成本和可行性问题,实际上可能无法始终测量系统的所有状态[26]。另一个相关问题是,111S. Irfan et al./ Engineering Science and Technology,an International Journal21(2018)753-759759图10个。基于SMC、ISMC和TSMC定律的小车位置扰动图十一岁基于SMC、ISMC和TSMC三种控制律的有扰动摆角控制最重要的是处理组件故障后果的机制。可靠的控制确保即使在系统故障的情况下也能满足系统的期望规格。一个或多个组件[27]。可靠性函数可以基于Riccati方程、线性矩阵恒等式、互质分解和李雅普诺夫函数。基于自适应SMC的法律发现其潜力的情况下,外部干扰的完整信息,限制执行器故障和非线性边界是不可用的[28]。为了同时处理上述几个问题,[29-31]中的研究工作突出了鲁棒H1 SMC的好处.5. 结论在本研究论文中,线性和非线性控制策略已成功地设计和仿真。讨论了IP的鲁棒控制技术,以保证系统的稳定性,获得更好的响应本研究的鲁棒控制技术包括SMC,ISMC和TSMC。根据分析和设计结构,所有规律都能控制IP。绘制了各控制器的控制结果整体性能比较的结论是,ISMC提供了最好的性能超过其他控制技术。引用[1] J. Iqbal,R.U.伊斯兰教,Z.A. Syed,A.K. Abdul,S.A. Ajwad,通过机电一体化系统自动化工业任务-从工业角度回顾机器人技术,技术公报23(2016)917-924。[2] S.A. Ajwad,N.阿西姆,R.U. Islam,J. Iqbal,教育机器人平台在为工业培养工程师方面的作用和审查,Maejo Int. J. Sci。Technol.11(2017)17-34.[3] M.贝塔耶布角布萨伦河曼尼托,U。Al-Saggaf,通过分数PI状态反馈稳定倒置的推车系统,ISA Trans.53(2014)508-516。[4] J. Iqbal,M. Ullah,S.G. 汗湾哈利法角C'ukovic',非线性控制系统-A历史和最新进展的简要概述,非线性工程。 6(2017)301- 312。[5] O. 汗,M。Pervaiz,E. Ahmad,J. 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