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Journalof the Egyptian Mathematical Society(2016)24,193埃及数学学会埃及数学学会会刊www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate原创文章一类具有抗病性的流感病毒模型的稳定性分析阮友庆CanTho大学自然科学学院,越南接收日期:2015年1月8日;修订日期:2015年2月13日;接受日期:2015年2月17日2015年5月8日在线发布摘要研究了一个描述具有抗病性的流感病毒在人体内传播的新模型。数学分析表明,传播的动态是由基本再生数R0。当R0≤1时,无病平衡点是全局渐近稳定的;当R0>1时,地方病平衡点在一定条件下是全局渐近稳定的.平衡点稳定性的变化可以用跨临界分岔来解释。利用李雅普诺夫泛函方法和几何方法证明了平衡点的全局稳定性。进行了数值研究,以确认分析结果。提出了一些有效的除毒策略2010年数学学科分类: 34 D23; 37 B25; 92 D30版权所有2015,埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)。1. 介绍流感,也被称为呼吸道疾病,是一种由病毒引起的疾病,主要影响鼻子,喉咙,支气管,偶尔也会影响肺部。该病毒可通过咳嗽、打喷嚏或从受感染的表面通过空气在人与人之间传播,并通过直接接触受感染者传播。流感病毒有三种类型,即A、B和C。其中,在甲型流感病毒中,∗ 联系电话:+84 908791280。电子邮件地址:nhkhanh@ctu.edu.vn同行评审由埃及数学学会负责对人类来说比其他人更严重。数学模型为理解疾病动态和提出预防策略提供了有用的工具[1,2]。2003年,Neil及其同事[3]构建了一个流感传播的数学模型,模拟了神经氨酸酶抑制剂治疗对耐药病毒株感染率和传播的影响。他们只注重数值研究而不考虑模型的稳定性。Fraser等人[4]研究了甲型H1N1流感病毒在人群中的传播模式,但未包括跨物种传播。Coburn[5]提出了一个复杂的三物种(鸟、猪和人)传播模型在[1]中,Pongsumpun考虑了猪流感病毒(一种新的A型猪流感病毒株)的传播模型,其中有症状和无症状感染的患者的概率不同最近,周和郭[2]ana-S1110-256X(15)00024-3 Copyright 2015,Egyptian Mathematical Society.制作和主办:Elsevier B.V. 这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2015.02.003制作和主办:Elsevier关键词基本繁殖数;李雅普诺夫函数;无病平衡点;地方病平衡点;全局稳定性194新罕布什≤=μμ{≥ ≥ ++ ≤}== − ++=无无无无无无无--用疫苗接种裂解流感病毒模型。然而,许多研究并没有涉及人类的抗病性。流行病模型的稳定性已有许多文献研究[6局部稳定性是许多学者关注的问题平衡的。近年来,流行病模型的研究主要关注全局渐近稳定性。最成功的方法是直接李雅普诺夫方法[9- 13]和几何方法[14,15]。本文考虑了一个新的描述流感病毒在人中传播的具有抗病性的SEIR模型,在该模型中,暴露组或感染组的人可以在不治疗的情况下恢复为易感组。这描述了治疗的现实建模该模型由四个依赖于参数的微分方程组给出利用下一代矩阵的方法[16],我们找到了一个阈值R0 ,称为基本再生数。一般来说,当R0>1时,疾病消失,当R0>1时,疾病在群体中持续存在。如果我们假设对于R01也存在地方病方程,尽管它不是真的,那么模型中发生的分支可以解释为跨临界分支。<几种不同的方法被用来确定平衡点的稳定性我们集中研究平衡点的全局稳定性。利用Lya- punov泛函方法和几何方法得到了这一结果.用Mathematica软件和ANSYS软件包进行了数值计算,验证了理论结果。本文的结构如下。在下一节中,我们介绍了传递模型的结构、均衡和基本再生产数。第三节讨论平衡点的局部稳定性。在第四节中,我们用李雅普诺夫泛函方法和几何方法证明了平衡点的全局稳定性。第5节给出了一些数值模拟。最后,第6节总结了这项工作。2. 模型及其基本性质2.1. 模型的结构我们认为流感病毒在人群中传播总人口规模N( t)可分为易感、暴露、传染和恢复4个不同的流行病学亚类,其规模分别用S( t)、E( t)、I( t)、R( t)表示。在暴露组中,有些人曾与感染者接触,但未感染。此外,传染性人群中也有一些人感染了病毒,但未经治疗就暴露在病毒中.我们假设环境是齐次的,自然死亡率有共同率μ。该模型由普通微分方程组给出D SΛγ S(t)E(t)+I(t)cE( t) bI( t)dt N( t)+αR(t)−μS(t)图1模型传递图(1)。其中Λ是易感人群的恒定补充,γ是病毒传播的接触率,c是暴露人群在未经治疗的情况下成为易感人群的比率,b是感染人群在未经治疗的情况下成为易感人群的比率,ε1/ IIP,其中IIP是病毒的固有潜伏期,α是恢复人群再次成为易感人群的比率,β是感染人群成为重新覆盖人群的比率,μ是人群的自然死亡率。图1示出了模型(1)的传递图。我们假设种群的总规模N( t)是常数,即N( t)=N。则S( t)+E( t)+I( t)+R( t)=N。设S( t)S( t),E( t)E(t),I( t)I( t),R( t)R( t).我们发现-保留约化系统DSdt=μ−γS( t)( E( t)+I( t))+cE( t)+bI( t)+ αR(t)−μS(t)dEDT=γS( t)( E( t)+I( t)) −(c +ε+μ)E( t)dIDT =εE(t) −(β +b+μ)I( t)博士DT =βI(t)−(α+μ)R( t),(2)其中条件S( t)+E( t)+I( t)+R( t)=1。从 系 统 ( 2 ) 可 以 得 出 ( S+E+I+R ) r=Λ−μ(S+E+I+R)=Λ−μ。 则limsupt→∞(S+E+I + R)≤Λ. 因此,系统(2)的可行域为▲=(S,E,I,R):S> 0,E 0,I0,R 0,SEI RA。很容易证明区域▲对于系统(2)是正不变的。2.2. 平衡为了找到平衡,我们将系统的右侧(2)等于零。然后我们在坐标系(S,E,I,R)中得到两个均衡:(i) 无病平衡P0(1,0,0,0)。可以看出,等熵P0总是存在的.(ii) 具有正分量的疾病流行平衡P1(S,E,I,R)S101,r10的d E=γS( t)E( t)+I( t)−(c+ε+μ)E( t)dt N( t)D IE(α+μ)(β+b+μ)G1,G2dt=εE(t)−(β+b+μ)I( t)D R=Iε=ε(α+μ)G1,dtβI(t)−(α+μ)R( t),(1)G2一类具有抗病性的流感病毒模型的稳定性分析195==− +bc.⎝Σ==零ε+μ)γ−(β012=++=+ +的223其中R0=(β+b+μ)(c+ε+μ),21421⎜2上述矩阵的特征值为R<$βεG1,G2λ1= −μ,λ2=−(α+μ),γ(β+b+μ+ε)λ=−1。L+,L2+4G+,G1=(β+b+ε+μ)γ−(β+b+μ)(c+ε+μ),(3)G2=γ(β+b+ε+μ)[βε+(α+μ)(β+b+ε+μ)].(4)当R0>1时,G1>0。这意味着均衡当R0>1时,P1存在2.3. 基本再生数本节介绍了基本再生数,用R0表示,即一个病例在完全易感人群中产生利用下一代生成矩阵的方法,确定了该算法的表达式,[16]第16话模型(2)总是有一个无病平衡点P0(1,0,0,0). 设x( E, I, S, R)T. 那么模型(2)可以写成DXDT =F(x)−V(x),哪里λ=−1。L−,L2+4 G。其中L=β+b+c+ε+2μ−γ> 0,G1=(β+b+ε+μ)γ(β μ)(ε μ)特征值λ1、λ2和λ3总是负的。如果R01,那么G10.<<这意味着λ40。<因此,P0是局部渐近稳定的.当R0>1时,λ4>0,P0不稳定.Q3.2. 地方病平衡点的局部稳定性利用Routh-Hurwitz准则证明了地方病平衡点P1定理2. 当R0> 1时,系统(2)的地方病平衡点P1在▲中局部渐近稳定.证据P1处的雅可比矩阵由下式给出:γS( E+ I)<$−γ(E<$+I<$)−μ−γS<$+c−γS<$+b α<$0F(x)=0但是,JP1 =γ(E<$+I<$)γS<$−(c+ε+μ)γS<$00ε−(β+b+μ)0好吧0(c+ε+μ)E0 0β−(α+μ)特征方程为:V(x)=0−εE+(β + b + μ)I<$。λ3+a λ2+aλ+a=0,−μ +γS( E+I) −cE −bI −αR+μS−βI +(α+μ)R3与2 1 0我们可以得到. γ γΣ. c+ε+μ0.a3=(α+β+b+c+ε+2μ−γ)+ 2μF=0 0, V=−ε β+b+μG1+γ[G2+(α+μ)(L1+ε)]G,模型(2)的下一代矩阵为FV−1=γ(β+b+μ+ε)(β+b+μ)(c+ε+μ)γ(β+b+μ).a2=μ(L1+L2)+(α+μ+L1)[μ+L2+γ(E+I−S)],0 0的 光谱 半径 的 矩阵 FV−1是 ρ(FV−1)γ(β+b+μ+ε)。 根据[16]中的定理2,(β+b+μ)(c+ε+μ)a1=(α+μ)γ(L1+ε)2[(β+μ)ε+(α+2μ)L1系统(2)的再生数为Rγ(β+b+μ+ε)。注意,当R>1时,则G=(β+b+(β+b+μ)(c+ε+μ)+b+μ)(c+ε+μ)>0,地方病平衡点P1存在。G1+(α+μ)(ε+μ)]G+(α+μ)μ(μL1+εL2),3. 平衡点的局部稳定性与分支3.1. 无病平衡点的局部稳定性定理1.若R0 1,则P0是局部渐近稳定<的.a0=γ(E+I)[εμ(α+b+μ)+α(α+μ)L1],其中L1β b μ、L2c ε μ和G1、G2由方程给出。(3)和(4)。根据Routh-Hurwitz准则,地方病平衡P1是局部稳定的,当R0> 1时,P0不稳定.证据P0处的雅可比矩阵由下式给出:a0>0,a1> 0,a3>0个a1a2a3-a1−a0a3> 0。<$−μ−γ +c−γ +b α<$.⎠196新罕布什=-是的0 0β−(α+μ)JP0(+ ε+μ)γ很容易看出,0>0,1> 0,3> 0。通过使用数学-对于R1. Q130>个100c0pumerematica 软件,条件a1a2a3−a2−a0a2>0是满足的.<$0ε−(β+b+μ)0<$一类具有抗病性的流感病毒模型的稳定性分析197εE我是=≤,σ联系我们++SSSγ=0L1+ε+γS E+γS IL1+ε+[c(E-E)+b(I-I)+α(R-R)]R−β)S]。1−1Σ+a=μ- S−SE我我14. 平衡点的全局稳定性4.1. 无病平衡点利用李雅普诺夫函数证明了无病平衡点的全局稳定性。定理3. 若R0≤1,则无病平衡点P04.2.1. 李雅普诺夫泛函方法定理4. 若R0>1,则唯一地方病平衡点P1是全局渐近稳定的,条件是max{b, c,α} ≤cE+ bI+αR。证据我们定义一个李雅普诺夫函数V如下:V(S,E,I,R)=.S−S−SlnS+。E−E−ElnE系统(2)在▲中是全局渐近稳定的。证据我们构造如下的李雅普诺夫函数:W(t)=(S− 1 − ln S)+E+a1I+ a2R。其中k = γ S<$I<$。SE+k。I-I-I其中a1L2 ,0a2 1时,系统(7)存在唯一的en-应用算术与几何的比较 意味着, 我们 可以 得出如下结论:Vr(t)0对所有(S, E, I)成立,严格等式Vr(t)0仅对SS,EE,II成立。 因此,我们认为, 的 不变 set(S, E, I)▲:Vr(t)0是单点集P1,其中P1是地方病均衡点.根据拉萨尔[17],当R0>1时,P1在集合▲这就完成了证明。Q定理5. 若R0> 1且αbc ,则地方病平衡点P1是全局渐近稳定的.证据定 理 5 的证明与定理4相同。对于α=b=c,我们有S[c(E-E)+b(I-I)+α(R-R)]( 1-S)=证明了在max {α,b} ≤ c,2 α 1时,用几何方法求出了流行平衡点P1首先,我们提出了一些关于全球动力学的几何方法的概述[14]。考虑自治动力系统:相关的第二复合矩阵由下式给出:⎛⎜−γ (E+I)+γS−(α+c+ε+2μ)γSγS+α−c⎞⎟f(x),(6)其中f:DRn n我们通过Q=diag{ 1,E,E}设置矩阵函数Q。然后Q Q−1=diag{ 0,Er−I,EI.我们得到f∈C1(D).→,D.开集和单连通集,E IE I<$−γ(E+I)+γS−(a+c+ε+2μ)γSI(γS+α−c)I<$−1[二−1εEIrB=QfQ公司简介=1E−I −γ(E+I)−(α+β+b+2 μ)−γ S −α + b<$。设Q( x)是一个(n)×(n)的矩阵值函数,矩阵B可以写成块形式2 2D、考虑B=Qf Q−1+QJ[2]Q−1,哪里 的 矩阵 QF是 (q ij(x))f =(qij(x)/ x)T·f( x)=q ij·f(x),和J是第二添加剂化合物基质,.+[c(E-E)+b(I-I)+α(R-R)].(.⎠200新罕布什.(个| ·|E=BB11B12B21B22哪里B11= −γS( E+I)+γS−(α+c+ε+2μ),雅可比矩阵J,即J( x)=Df( x)。考虑B的Lozin-ski测度μ关于R2中的向量范数(see[18]这是B12=.γSIγS+α−c,你好,一类具有抗病性的流感病毒模型的稳定性分析199| ·|||={1}||||+的||个文件夹|=+∞2γ= −−122E21=E我、22=E我μ(B) ds≤tlogE( t)+tt,B. εEεB.E r −I r − γ(E + I)−(a + β + b +2 μ)−γ S − α + b<$Er0γ(E+I)E−I+γS−(β+b+c+2μ)R3中的向量范数可以被选择为 (u, v, w)Maxu, v w.设μ表示关于这个范数的Lozinski测度。那么我们就可以得到μ(B)≤sup{g1,g2},与g 1= μ1(B 11)+|B 12|,g 2= μ1(B 22)+|B 21|、5. 数值模拟在本节中,我们对系统(2)进行数值研究,以说明上面得到的解析结果。数值结果见下图(见图2和图3)。3)。图 2表示当R0≤ 1时模型解的时间序列。哪里|B12 |B21|B21是关于L1向量的矩阵范数˜对于α= 0。35,β= 0。5,b= 0。025,c= 0。35,ε= 0。15,γ= 0。1,且μ = 0。015,我们有R0= 0。248112 1.<在这种情况下,范数,μ1表示关于L1范数。具体来说,μ1(B11)= −γ(E+I)+γS−(α+c+ε+2μ),|=ma x.|=ma x. .γSⅠ。,的。(γS+α−c)I. 你好,|B21|=εE,无病平衡点P0是全局渐近稳定的。在初始条件(S(0),E(0),I(0),R(0))(0. 002,0。006,0。003,0。001),当t接近时,暴露组分E( t)和感染组分I( t)趋于0。这意味着这种疾病会消失。图3显示了模型当R0>1时。 对于α = 0。35,β = 0。33,b = 0。025,c =0。35,ε===-.E. .我的爱E.我0的情况。1,γ0. 5,μ0。075,我们有R01。17386> 1. 在在这种情况下,地方病平衡点是全局渐近的稳定 在初始条件下 (S(0),E( 0),I( 0),R( 0))=μ1(B22)=E−I−(β+b+2μ)+ max{−α,γS−c+|− γ S − α + b|}。(0. 01,0。01,0。01,0。01)暴露的分量E( t)去到正值为0.1124,当t趋于+∞时,传染性分量I( t)趋于正值0.02849。这由于条件α≤c,因此|B12| =γSI。这意味着疾病仍然存在于人群中由于(7)是一致持久的,存在TE>0这样平衡点P0和p1可以对于t > T,S(t)≤b+c−2α。此外,从条件max {α,b} ≤c,2 α T,我们有1吨不01Er(t)1吨0t−T这意味着q20.<这就完成了证明。QIr.μ(B) ds−(α+μ)198新罕布什图3当R0>1时,模型(2)的一类具有抗病性的流感病毒模型的稳定性分析199===≤=--图4模型(2)在平面(γ,E)上的分叉图。中。 对于α0。35,β0。5,b0。025,c0. 35,ε 0。15,μ 0。005,则在γ 0处出现跨临界分岔 。351872.分叉图见图4。图中,通过解1、2和3的直线是无病平衡曲线,包含解4、2和5的直线是地方病平衡曲线。实线表示稳定平衡,虚线表示不稳定平衡。跨临界分岔发生在解决方案2,对应于R01。当其他参数变化时,我们也6. 结论本文提出并研究了一个具有抗药性的传染病模型。基本再生数R0是确定传播动力学的阈值条件。当R01时,系统只有一个全局稳定的无病平衡点P0这意味着疾病最终会消失当R0>1时,系统存在唯一的地方病平衡点P1,在一定条件下,该平衡点是全局稳定的。这表明疾病在人群中持续存在,并趋于正稳态。局部分岔,发生在R01,解释了跨临界分岔。利用李雅普诺夫函数法和几何方法证明了系统的全局稳定性。结果表明,疾病传播对接触参数γ和转换参数β、b、c十分敏感。如果γ值减小,而β、b和c值增大,则透射将减慢(见图4)。这显示了减少流感病毒传播的方法。致谢作者谨对编辑和匿名推荐人的宝贵意见这导致了本文的改进。引用[1] P. Pongsumpun,I.M.唐,猪传染病症状和症状感染的数学模型,国际数学杂志,模型方法。应用科学2(5)(2011)247-254。[2] X. Zhou,Z. Guo,带疫苗接种的甲型H1N1流感流行病模型的分析,阿拉伯文。J. 数学1(2012)267[3] M.F.尼尔,M。Susan等人,在社区使用抗病毒药物期间,评估埃博拉病毒感染中耐药潜在传播的群体动态模型,J.Antimicrob. Chemother. 51(2003)977-990。[4] C. Fraser,A.D. Christl等人,甲型H1N1流感病毒株的大流行潜力:早期发现,科学324(2009)1557-1561。[5] B.J. Coburn , Multi-Species In Quanzhuenza Models withQuantification,Ph.D.论文珊瑚山墙,迈阿密大学,佛罗里达州,2009年。[6] E. Beretta,V. Capasso,关于传染病系统的一般结构,全局渐近稳定性,计算机。Math.Appl.12A(1986)677-694。[7] W.O. Kermack,A.G. McKendrick,对流行病数学理论的贡献,Proc. R. Soc. 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