自动计算F-签名的Hilbert-Kunz多重数和交代数的研究

12nSoftwareX 9（2019）35原始软件出版物自动计算F-签名Gabriel Johnsona，Sandra Spiroffb，1999，1a美国密西西比大学计算机科学系，牛津，MS 38677b密西西比大学数学系，牛津，MS 38677，美国ar t i cl e i nf o文章历史记录：收到2018年2018年12月4日收到修订版，2018年MSC：68-0413-0415A39保留字：Hilbert–KunzF-签名交代数a b st ra ctThe 我们提供的软件，并描述了自动化，计算的两个不变量的情况下，相交代数多项式环。版权所有©2018作者.由爱思唯尔公司出版这是CC BY许可下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）中找到。代码元数据当前代码版本v1用于此代码版本的代码/存储库的永久链接https://github.com/ElsevierSoftwareX/SOFTX_2018_153法律代码许可证BSD 3条款使用Git的代码版本控制系统使用Common Lisp、Bash的编译要求，操作环境依赖性Clozure Common Lisp，Bash/Cygwin，Sed，Mathematica（可选）如果可用开发人员文档/手册问题支持电子邮件gsjohnso@go.olemiss.edu1. 动机和意义Hilbert-Kunz重数和F -签名在交换代数和代数几何的相关领域中特别是，在文献中很少有两个值同时已知的例子。这种情况激发了Enescu和Spiroff的工作，他们计算了两个不变量，以及类群，对于某些类的交代数[2]。在它们的（环面）设置中，希尔伯特-昆兹多重数和F -签名可以使用多面体的体积来因此，它们的计算，在本质上是组合的，完全适合于计算机自动化。人们可能期望能够获得通用的不变量的公式，然而，一个重要的障碍是缺乏一个可用的描述的唯一的希尔伯特基元素的参数。交换环R的交代数理想I和J是B=BR（I，J） =πr，s∈Z（IrJs）. 特别是，*通讯作者。≥0a1a2n当R = k[xx]时，对于域k，且I（x x · · ·Xa）和J=电子邮件地址： gsjohnso@go.olemiss.edu（G. Johnson），spiroff@olemiss.eduBBb1，. . .，n=1个2N（x1x2· · ·xn），其中ai，bi∈Z≥0，序对（bi，ai）的划分1S. Spiroff得到了西蒙斯基金会的支持，美国合作基金#245926。https://doi.org/10.1016/j.softx.2018.12.002将平面的第一象限分成由尖的比例锥组成的扇形，从中得到幺半群和希尔伯特基2352-7110/©2018作者。由爱思唯尔公司出版这是CC BY许可下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。可在ScienceDirect上获得目录列表SoftwareX期刊主页：www.elsevier.com/locate/softx（S.Spiroff）。BB]B=【日×→联系我们= [ ]BBB···布湾⋀⋀=+G+=GGG∈G+=∈H=G={：∈H}=H=H=一 一、 Z≥0BB36个G. Johnson和S.Spiroff/SoftwareX 9（2019）35而对于一般的n N和a（a1，. . . ，a n），b（b1，. . . ，b n）没有希尔伯特-昆兹重数e HK（）或F -签名s（）的公式是已知的，Enescu和Spiroff有一个算法来计算这两个，对于任何特定的数字条目[ 2，§5]。该算法已由约翰逊自动化。因此，虽然研究人员过去依赖于不变量的边界，或者只知道其中一个的信息，但他们现在可以通过简单的数值数据提取来知道这类环交代数与代数几何中的对象类重叠。例如，当Rkx，R（（xa1），（x））同构于有理正规涡卷SkT，xT，xyT，yT，x−1yT，x−2yT，. . .，x−（a1−1）yT [5，实施例3.5]，以及R（（x），（x））是一个Segre乘积，uct [6，§3]，[2，命题1.12]，即，Segre嵌入P1的齐次坐标环P1P3。关于交代数的更多细节，特别是背景材料，参见[7，§2]和[8]，关于Enescu和Spiroff得到的完整结果，参见[2]。几何结果的参考文献为[1，5，6]。在整个文件中，R将是一个多项式环在一个域k和I， J主单项理想。由于在我们的例子中数值不变量是由体积给出的，它们与k的特征无关。2. 软件描述为了计算的积分的区域，并将维度的数量限制在两个或三个。该软件包包括一个名为ccl的包含Clozure Common Lisp本身的脚本包，另一个名为src的包含Lisp源代码和几个辅助bash脚本的脚 本 包 ， 以 及 三 个 主 要 的 bash 脚 本 ： setup ， equalities 和calculate-integral。第一个设置必须在尝试运行其他设置之前运行它让Clozure将源代码编译成一个名为hkm. image的图像文件（实际上是一个DLL;在Lisp中，所有程序本质上都是由语言内核加载的DLL实现的，并使用指定的顶级函数来运行，而不是REPL）一旦hkm.image与其他文件位于同一个目录中，就可以按照上面的指定运行calculate-integral。所有的文件和子目录必须占用同一根目录。此外，对于Mathematica 的 用 户 ， 该 程 序 还 假 定 Mathematica 内 核 （ 称 为MathKernel或Wolfram）存在于指定位置，具体取决于操作系统。2.2.实现细节下面是我们的程序中使用的两个命令中的任何一个的算法的简要概述一旦从命令行收集参数3，除了卷的集成之外的所有步骤都完全在Lisp中完成。步骤1. 我们的程序首先找到希尔伯特集，R（I，J），[2，§1]，[7].与（b， a）对相关联的是锥C和C，并且BR（I，J）=<$r s∈ （Ir s），其中R=k[x1，. . .，x n]，I =12n2n1我我我（x1x2· · ·xn），且J=（x1x2· · ·xn），其中a i，b i ∈N，则通过在[10，算法2.4]中给出的算法。希尔伯特集是用户提取（如果需要，置换）指数为两个字符串的风扇有序的正2整数，1，. . . ，a n和b1，. . . ，bn，意味着对于所有1 ≤ in，ai/bi≥ai+1/bi+1<。然后用户命令是用户目录$。/ calculate-integrala1a2· · ·a n b1b2· · ·b n和用户目录$./不等式a1a2· · ·a nb12N命令行界面可以在Unix shell上运行。如果第一个命令被调用，那么程序将在两行上显示R（I， J）的两个不变量的精确值，必然是有理数[6希尔伯特-昆兹多重性=p1/q1F-签名=p2/q2否则，第二个命令显示用于计算这些值的Mathematica代码。参见示例3.1。2.1. 软件架构和功能使用了三种主要技术1. Bash shell它从用户那里收集参数并调用程序本身。2. Clozure Common Lisp.这是我们用来计算该区域边界的一组不等式的编程语言它提供了大量的列表处理操作符以及高度灵活的循环结构，使其非常适合处理本项目中涉及的不确定维度的点3. Mathematica[9]. 这 是 用 来 计 算 积 分 的 最 终 值 ， 给 出Mathematica的积分特性特别适合这个项目，其中积分区域由任意维数的一组不等式定义。其他能够解决积分的工具往往需要一个函数而不是一组不等式来定义2 非负整数的情况可以在正整数的范围内解决见[2，命题1.6]。我 0、...、nI.步骤2. 它找到集合（v，t（v））v ，其中t（v）（max（a i r，b i s））i1、......、n为v （r，s） 。希尔伯特集合中的每一对都将被重写为一个（n2）-元组。额外的n个坐标z i根据公式z i（x，y）max（ai x，bi y）确定，对应于单项式理想的交集。步骤3. 它确定了第一组不等式界定一个区域在n 2维。如果的每个元素的单独坐标被标记为（x，y，z1，z2，. . . ，zn），则通过预定模板导出初始不等式集合：n0≤ a i x ≤ z i<$0 ≤ b i y ≤ z i。我1从这些最初的不平等和 进一步的不平等必须所有这些不等式的结合将产生我们寻求的区域：元素（p，q，r1，r2，. . .，r n）通过以下函数生成一组进一步的不等式：extraInequality（p，q，r1，r2，. . . ，r n）=<$initial不等式（x−p，y−q，z1−r1，z2−r2，. . . ，z n−rn），其中initialInequalities是一个函数，它接受的元素，当且仅当给定点满足所有初始不等式时返回true的每个元素重复此过程.然后，它通过合取将所有的不等式集合连接起来，产生我们的区域，其体积是步骤4. 它确定了第二组不等式，对于F签名，在n2维中界定另一个区域，使用以下公式na i x ≤ z i≤ 1 + a i x b i y ≤ z i≤ 1 + b i y。i=1这可以用一个简单的for循环来实现。F-签名是这个多面体的体积[4，定理3.2.3].输出. 如果./调用不等式命令，然后程序显示计算中使用的Mathematica代码，3 回想一下，1，2，. . .，a n和b1，b2，. . .，b n必须按扇形顺序输入。看到p. 二、一幺半群Qi，并且找到每个Qi的唯一希尔伯特基HiBB=-=[]个18236G. Johnson和S. Spiroff / SoftwareX 9（2019）35-3837其包括界定在步骤3和4中确定的区域的两组不等式，并终止。如果./使用calculate- integral命令，然后程序将此代码传递给Mathematica，Mathematica通过积分计算每个区域的体积。Sed用于以可读方式格式化输出备注2.1. The./不等式命令允许一个人单独或通过另一个程序整合或分析不变量，特别是如果他/她没有本地安装Mathematica（一种专有软件）。 正如下面的例子所示，在更高的维度上运行时间。calculate- integral命令可以根据所涉及的几何体的复杂性而显著增加。这些情况下的瓶颈是集成;不等式命令已完成{x，0，2000}，{y，0，2000}，{z1，0，2000}]积分[布尔[3x=z11+3x2y=z11+2y]，{x，0，1}，{y，0，1}，{z1，0，30}]下面使用Mathematica绘制了由不等式限定的固体。R（（x3），（x 2））的Hilbert-Kunz多重数和F-签名分别是固体的体积，根据[2]（见图2）。1和2号文件）。它们的确切值可通过以下命令获得./计算不等式3 2.此外，为了提供额外的清晰度，我们注意到BR（（x3），（x2））n=k[x，T1，T2，T3，T4，T5]/I，其中I=（T1T3− T 2，T1T4− xT2，T1T5− x2T4，T2T4− xT3，T2T5−xT2， T T −3即使在最复杂的测试案例中也几乎是瞬间的。它43 5T4），如[10，例3.14]所述。也可用于3D打印。3. 说明性实例实施例3.1（A. ）的。 对于B（I，J）=B（（x3），（x2）），其中R=例3.2（风扇顺序;运行时间）。 当Rkx，y，z，I（xy6z5）和J（x2y4z7），我们程序中的命令必须按扇形顺序执行：2 7 4 1 5 6。的运行时间。/ calculate-integral命令，其输出k[x]，命令R R生成以下对于BR（I， J），如下所示，约为3.5输出../不平等3 2时间，但是。不平等几乎是瞬间发生的。希尔伯特-昆兹多重性=1874881259711/391184640000F-签名=27251293/1564738560积分[Boole[0=x0=y3x=z12y<=z1&&（（z1<3x + 1||z1<2y +1））&&（（x< 1||y <2||Z1<3x+1））&&（（

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