梁结构的失效安全优化设计与工程学报

可在ScienceDirect上获得目录列表计算设计与工程杂志首页：www.elsevier.com/locate/jcde计算设计与工程学报6（2019）260梁结构Julian Kajo Lüdeker，Benedikt Kriegesmann汉堡理工大学，Am Schwarzenberg-Campus 4，21073 Hamburg，Germany阿提奇莱因福奥文章历史记录：2018年8月27日收到2019年1月12日收到修订版，2019年2019年1月23日在线提供保留字：故障安全网格结构优化应力约束A B S T R A C T在目前的工作中，梁结构的失效安全优化进行。这种方法可以提供对晶格结构的鲁棒性的洞察。梁单元的使用允许用于获得待应用的故障安全设计的常用工程方法。这包括一次移除一个梁元素并优化剩余结构。在过程结束时，最大光束半径用于最终设计。这种方法对于网格结构来说在计算上是极其昂贵的在我们的贡献中，我们表明，从这种方法获得的设计实际上并没有实现所需的故障安全行为。因此，我们采用多模型的方法，其中故障安全的要求是一个优化约束。这仍然是计算上的要求，因此，减少故障情况下，要考虑在优化的方法进行了此外，p-范数被应用于应力约束，以减少梯度计算的计算工作量。减少失败案例和使用p范数对结果的保守性有相反的影响，因此可以相互补偿一定程度上©2019计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一个开放在CC BY-NC-ND许可证（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）下访问文章1. 介绍增材层制造的进步不仅影响了拓扑优化结构的应用，而且影响了晶格结构的使用。通过晶格结构，我们意指由非常大量的梁状构件组成的结构，所述梁状构件通常由重复的单元格构造。与实心结构相比，网格结构具有更好的噪声和碰撞防护特性，并有望具有更好的失效安全性能。对于某些机身结构，大型飞机的认证规范CS-25（大型飞机认证规范，2012）要求设计“多载荷路径结构”，并且还要求“飞机可以在缺少元件的情况下安全地运行”。换句话说，这些结构需要通过即使一个载荷路径失效也能够抵抗设计载荷而具有故障安全性。格构结构通常比实心结构具有更多的载荷路径，因此，它们被认为比实心结构更接近失效安全。然而，优化网格结构而不要求它们在优化中是故障安全的不能导致故障安全设计。由计算设计与工程学会负责进行同行评审。*通讯作者。电 子 邮 件 地 址 ： julian. tuhh.de （ J.K. Lüdeker ） ， benedikt.tuhh.de （ B.Kriegesmann）。如果优化设计是故障安全的，那么它将不是原始优化问题的最优值。拓扑优化方法是轻型结构计算机辅助设计的典型方法。用于拓扑优 化 的 材 料 惩 罚 方 法 （ SIMP ， RAMP ） （ Sigmund Maute ，2013）中的插值方案是物理激励的，因此可以找到给定体积分数（等于设计变量）的单位单元，其以与插值方案（Sigmund ，2000）相同的方式表示具有给定的一组机械性能的晶胞的设计也可以通过材料惩罚方法（例如，几何非线性（Wang，Sigmund，&Jensen ， 2014 ） 或 应 力 约 束 （ Collet ， Noël ， Bruggi ，&Duysinx，2018））。在实践中，增材制造的轻质结构通常使用预定义的晶格单元来填充，而不考虑任何类型的插值方案。这些骨样结构在机械性能方面不一定是最佳的（Sigmund，1999），但它们似乎满足故障安全条件。这种说法必须加以研究，因为结构破坏主要是由最大应力驱动的由于在格构连接处的应力集中和低得多的体积分数，格构结构中出现的最大应力明显高于全材料结构中的最大应力，并且由于影响整体承载能力的高度相互依赖性，每个构件的性能可能更加重要。这种网格结构可以用梁单元模拟https://doi.org/10.1016/j.jcde.2019.01.0042288-4300/©2019计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一个在CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。J.K.吕德克湾Kriegesmann/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）260261R2¼R¼¼e我6475我ref23从而更容易制定故障安全要求。每个梁单元被解释为一个荷载路径，如果一个单元失效，其余的结构必须能够承受荷载而不超过最大允许应力水平。Sun等人在1976年已经提出了桁架结构优化过程中的故障安全设计考虑（Sun，Arora，Haug，1976）。这些作者施加压力，最小Vrp½diagrr]Tl受c jrir-rref6 0 j¼ 1.. . ncI¼ 1. nrrmin6r e6 rmaxe¼ 1. nð1Þ屈曲和位移约束的每个故障情况。由于大量的约束条件和计算限制，这种方法仅限于相对较小的例子。对于更大的模型，Sun et al.一 次 只 考 虑 几 个 失 败 案 例 Jansen 、 Lombaert 、 Schevenels 和Sigmund（2013）提出了在拓扑优化中使用固体各向同性材料惩罚（SIMP）考虑故障安全要求的初步想法，并在商业软件中实现（Zhou Fleury，2016）。而不是应用故障安全条件作为额外的控制，约束的优化问题，如在孙等人。（1976年）这里，r;lRn 是光束半径和恒定光束的矢量长度，其中光束半径的矢量是设计矢量。在n r个应力评估点处，将应力rir与许用应力rref进行比较。 由于应力是有界的正值和负值，约束的数量是nc/2nr。这可以通过限制应力值的平方而不是限制正值和负值来减少到n c n r。最小Vr时间：目标函数表示为最大顺应性，所有子问题，其中每个子问题代表一个失败案例。crrr2-r260I¼ 1.. . nð2Þ该公式导致更稳健的设计，但它不能保证所得到的结构在允许应力方面是故障安全的。考虑到SIMP公式中的应力约束，（例如：如Duysinx Bendswee（1998）所建议的，可以是一种结合故障安全要求的方式，但这将进一步增加计算成本，这对于这种故障安全方法已经是非常苛刻的。应该强调的是，本文考虑的故障安全要求不包括由于过载而导致的渐进故障。因此，目前的工作不同于分析和优化冗余的研究，例如，（Grimmelt&Schuëller，1982; Murotsu，Shao，Watanabe，1994），其中结构通过每个构件或接头的失效而逐渐失效。类似地，Serafinska，Özenkirn和Kaliske（2017）中给出的螺栓模式的故障安全优化考虑了裂纹扩展。正如Zhou和Fleury（2016）所强调的那样，故障安全优化不应与基于可靠性或鲁棒性的设计优化相混淆（例如，Schuëller Valdebenito，2010）。这两种方法可能会导致类似的结果，但基本的概念是非常不同的。稳健设计优化需要嵌入概率分析。故障安全设计优化rmin6r e6 rmaxe ¼ 1.. . n梁结 构的 优化 可以 导致 与 Kirsch （ 1990 ）和 Cheng 和 Jiang（1992）所报道的桁架结构相同的奇异性问题。然而，在目前的研究中，目的是保持格型结构，而不是删除成员。因此，Cheng和Guo（1997）以及Duysinx和Bendsste（1998）中给出的松弛方法都不适用。使用增材层制造，可以为构件实现各种各样的横截面。在本文中，我们专注于圆形截面。2.1. 应力测量为了检测临界状态，在二维（Euler-Bernoulli）梁单元（见图1）的四个点处评估应力，从而导致优化问题的n cnr4 n约束。在局部位置n; y处的单元e中的应力（见图10）。 1）可以基于局部节点变形u loc来评估：需要定义故障情况和相应的控制，ren;yEeBTn;yulocð3Þ约束。 把这些不同的概念结合起来似乎是合理的（Cid Bengoa，Baldomir，Hernández，Romera，2018），以提供更强大的故障安全设计。在目前的研究中，质量最小化的晶格结构进行应力约束，其中晶格与梁单元建模。一种工程方法，在实践中经常使用的是应用，以获得故障安全结构。这其中Ee是元素的杨氏描述了应变和变形之间的关系。-我6岁以下1 -2岁162年2- 3年7月这种方法不仅计算量大，而且无法Be n;yl2l6 7ð4Þ导致预期的结果。因此，严格制定使用具有故障安全要求的优化，并且各种位置，讨论了减少计算量的方法。对于梁结构，在优化中考虑应力约束比在拓扑优化中考虑应力约束简单得多。作者最终得出的结论也是有效的应力约束故障安全优化一般。2. 具有应力约束考虑在不超过许用应力rref的情况下，给定n个梁单元e1/2的网格结构的有限元模型。. n，具有由不同半径re限定的圆形横截面，尺寸优化问题由等式（1）表示。（一）.-6岁1-2岁2年1 - 3年对于每个单元e，计算角部的应力n<$0; 1和y<$-r e; r e（图中的红点）。 1）、Fig. 1. 二维梁元素上的应力计算点。R262J.K.吕德克湾Kriegesmann/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）26023¼6745@r¼¼eeþðn;Þe¼Rref@ri¼@ri@riere0;rerre0;-rere1re1;-reð5Þ方法（参见，例如，Nocedal Wright，2006）用于解决下面的优化问题2.4.示例用例例如，具有n/454个梁单元的小型2D模型2.2. 敏感性分析高效的基于梯度的优化算法受益于目标函数和约束的梯度的解析表达式。目标函数gradV2 Rn的梯度由下式给出：gradV@V2pdiagl6（E）21 000米0： 3）（见图2a）。一个晶胞的长度是10。左侧的自由度是固定的，在右下角施加一个载荷（F¼50）。每个半径的优化起始值是给定通过ri¼0： 5（V开始¼350： 50）。允许范围选择为10-46ri6 1，从而在该示例中没有达到最大值最大许用应力设为rref<$300。这个基本的例子在几秒钟内就解决了 图 2（b）约束梯度gradc2 Rn×nr 需要导数显示了优化的完整模型的储备系数（RF¼rref=r）。体积减小到V1/430： 93（初始体积的8：82%）。的局部单元应力方程。（3）：体积）并且结构满足应力约束。我们介绍-@ren;y¼Ee.@BTn;y ulocBTy@uloc！ð7Þ引入最小剩余储备系数（MRRF）作为梁构件冗余度元素e的MRRF@ri@rie e@ri是所有元素的最小RF，其中元素e是应变变形矢量@Be=@ri在应力评估点处的偏导数（4）并且对于i由于变换矩阵Te相对于变量r是不变的，因此局部变形向量的导数由下式给出：的页面不存在或 图在图2（c）中，根据MRRF对最佳设计的每个元素进行着色。大多数横梁（红色/黑色）是必要的，以保证结构的整体承载能力3. 失效安全网格结构的优化@uloc@ue本节将重新审视各种问题的表述，@ri¼Te@rið8Þ对静态FEM方程Ku F（Michaleris，Tortorelli，Vidal，1994）进行微分，得到梯度的表达式的全局变形向量。K@u¼。@F-@Ku由于外力相对于元件半径是不变的，所以项@F=@ri等于零。即使刚度矩阵已经被因式分解以求解u，该梯度的评估也需要计算。2.3. 求解优化问题用于更有效地考虑应力的方法，例如使用p范数或应力约束的聚类（参见，例如，Holmberg，Torstenfelt，Klarbring，2013）可能会导致一些不可行的最优设计。然而，为了在后续章节中评估故障安全优化方法，尽可能准确地满足应力约束其他--应该提供一个优化的故障安全设计。3.1. 工程方法最优失效安全设计的工程方法的基本思想是对网格结构并取所得设计变量的最大值（图三）。在每个优化中，通过将其杨氏模量设置为相对较低的值来移除梁元件中的一个（一个载荷路径）（图4（a））。移除一个元素被认为是故障情况，因此，故障情况的数量nFC等于元素的数量n。为每个故障情况找到的最优设计满足优化问题的约束：因此，储备因子大于1。 根据工程判断，可以假设使用从所有故障情况的优化中获得的最大半径（图1）。 4（b））提供了一种设计，该设计也满足所有故障情况下的要求RF P 1，因此该设计是故障安全的。~rjminVrEj0;j.1. . . nFC明智的是，很难确定是否由于故障安全方法或由于使用p范数导致的不准确性而获得不可行的设计。由于最优化问题（1）和（2）是在没有进一步提高效率的措施的情况下解决的，因此这些问题涉及非常大量的约束。因此，一个内部点时间：cirrir2-r260I¼1.. . nrrmin6r e6rmaxe¼ 1. n rema x~rejJð10Þ图二. 示例用例：（a）边界条件，（b）储备因子，（c）最小剩余储备因子。J.K.吕德克湾Kriegesmann/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）260263¼¼R¼¼·我我ref图三.工程方法：采用所有优化的最大半径。这种方法需要n次FC优化，并且每次模拟中的约束数量ncnr随着元素的数量n。为了删除元素，相应的模量被减少到E1/4。由于考虑了每个故障情况，因此执行n个FC n优化。这些优化中的每一个都被限制为100次迭代。图4（a）显示了四种失效情况下的最佳设计示例。对于每种失效情况，满足应力约束（RFP1）。在确定故障安全设计时，遵循上述工程方法并将故障情况应用于该设计，可得出图1中给出的储备系数。 4（b）.尽管图4（b）中考虑的显然，采用最大半径对结构内的载荷分布有很大影响。图4（d）所示的“优化”设计的MRRF总结了这一发现与预期相反，通过工程方法得到的结构是不保守的。它甚至不能满足自动防故障的条件。3.2. 高度受限的方法结构必须是故障安全的要求可以严格地作为优化问题的一部分来计算，然后读作：最小Vr时间：评估点i和每个故障情况j。与工程方法相反，只有一个优化，与nc nFCnr约束，进行，导致约束梯度的立方增长与元素的数量（如果nFC n）。在那里-因此，这种方法被称为高度受限方法。由于约束梯度具有高密度，因此对于较大的模型不能有效地存储。此外，每次迭代所需的有限元解和应力评估的数量等于失效情况的数量。因此，计算工作量主要由优化的迭代次数驱动3.3. 结果图4显示了通过工程方法（b）和高度限制方法(c)四个失败案例。与工程方法不同的是，由高度限制的方法给出的最优设计在每种情况下都满足应力约束。这一发现总结在图1中的MRRF图中。 4（d）和（e）。这两种方法都产生了性质上不同的单元半径，甚至如果的目的值（卷）是类似（《明史》卷117： 14;《明史》卷109： 48）与工程方法相比，高度限制的方法能够补偿每个单个元件的故障。4. 减少故障案例cij rrjr2-r260I¼ 1. nrð11ÞE j 0j ¼ 1.. . n FCrmin6r e6 rmaxe¼ 1. n约束函数cijr描述了应力rj不能超过允许值rref 在每个应力下由于大量的失效情况和相应的梯度，需要对每个失效情况的每个应力约束求解稍微不同的方程组和伴随系统，因此需要非常大的计算量本节讨论两种旨在减少的高度限制方法为故障安全优化264J.K.吕德克湾Kriegesmann/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）260≈图四、（a）考虑特定故障情况的优化的示例结果使用（b）工程方法和（c）高度限制方法的优化结构的相同失效情况的储备因子，以及使用（d）工程方法和（e）高度限制方法的优化结构的最小剩余储备因子（考虑所有失效情况）。在不损失故障安全能力的情况下，考虑故障情况的数量。一种可能性是简单地忽略某些元件的失效，这些元件预计在承载中起次要作用。然而，在优化过程中，这些元件的半径将优先增加，因此它们对于承载的重要性也将改变。因此，最终结果可能不是自动防故障的。随后的另一种方法是将两个或多个故障情况组合成一个故障情况。如果结构被优化，使得其在缺少两个或更多个构件的情况下满足应力要求，则可以假设其在仅缺少这些构件中的一个的情况下也将满足这些要求。这就引出了如何找到应该组合的失败案例的问题。在下文中，讨论了通过组合故障情况来减少计算工作量的两种不同策略第一种方法试图组合直观上不具有承载功能的元件，第二种方法试图结合失败的情况下，在其初始状态的结构的力学行为的基础上。在这两种策略中，在优化之前确定要组合的故障情况，并且在迭代期间不更新组合。这是第二种策略的一个非常关键的假设，因为在优化过程中，不同成员之间的相互依赖性可能会迅速变化。4.1. 基于桁架模型如果考虑的格构结构是一个经典桁架，即，在节点处没有传递力矩，去除对角元件将导致具有相同方向的连接对角元件不再吸引载荷。即使在本结构中传递力矩，元件实际上主要通过轴向载荷加载。因此，基于桁架模型组合单元的失效情况是一种合理的方法，如图所示。 五、对于从给定的单元格构造的结构，简单地基于几何形状找到相关联的成员。一种更通用的方法是将所有失效情况作为桁架模型运行，并为每个失效情况识别未加载的元素。对于第2.4节中给出的示例，上述方法将失效案例的数量减少了16=5430%。这种策略并不适用于所有类型的单位细胞，因为它最终是基于桁架状行为的假设，这在一般情况下是无效的。4.2. 根据相互依存关系在本节中，讨论了更一般的约简策略其基本思想是寻找具有低相互依赖性的元素对为了确定相互依赖性，我们考虑如果元素i被移除，则元素j中的应力的变化这是通过计算所有故障情况确定的。由于减少人口的目标J.K.吕德克湾Kriegesmann/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）260265IJ.Σ我.最大值Dfori<$1;.. . ;n.IJ图五. 基于桁架模型的失效事例减少概念。失败的情况是为了避免计算它们所有，相互依赖性仅在优化之前确定。由于优化过程中的设计更新，相互依赖性也会改变，但当前方法忽略了这一事实，否则将没有计算益处。为了确定失效情况对，可以从相互依赖性最低的两个元素开始，然后继续下两个相互依赖性最低的元素，依此类推。然而，该过程将导致在选择过程结束时具有相对较高相互依赖性相反，建议了一种不同的程序，概述如下：ing算法基于相互依赖性的故障案例简化算法1. 确定在完好条件下和每种失效情况下初始配置（优化前）的应力，即，每个梁元件被移除一次。2. 确定所有元素之间的相互依赖性：–Dij=去除单元i时单元j中的应力变化。–所得到的矩阵与相关性是不对称的，但对于组合失效情况下，两个元素将被删除在同一时间。因此，需要对相互依赖性的唯一 度 量 ， 其 被 选 择 为 两 个 相 互 依 赖 性 中 的 最 大 值 ：Dsym/maxDij;Dji。3. 对于每个元素i，确定具有最小相互依赖性D min¼min的元素j。Dsym for j¼ 1;. n和j-1。图六、最小剩余保留因子（每个元素加上/减去剩余8个约束，每个元素右4个高阶约束）：（a）工程方法，（b）高度限制的方法，（c）基于桁架模型减少故障情况，(d)基于相互依赖性减少故障案例。失败案例对于每种方法，如（1）中给出的，每个单元八个应力约束（加/减）的结果，以及如（2）中给出的，每个单元四个应力约束（平方）的结果。 结果进一步总结于表1中。由高度限制的方法给出的最优设计为4. 找出具有最大最小相互依赖的元素i最大最小最小我5. 在4中找到的元素i和在3中找到的与i相关联的元素j被选择为一对，同时考虑其失效情况。6. 从相互依赖矩阵中删除元素i和j，并重复，从3开始找到一对。上述过程将优化中考虑的故障情况的数量减半。4.3. 结果在前面章节中描述的减少失效案例数量的策略适用于第2.4节中给出的示例。图6示出了通过工程方法和高度限制的方法发现的优化设计，无论是没有还是有两种建议的减少两种约简策略的结果在性质上是相似的。然而，结果表明，减少故障情况下的优化不提供故障安全设计。注意，使用归约策略得到的优化设计是相应问题的可行解。这些解决方案在不存在两种元素的情况下保留MRRF P 1，但在某些情况下，如果仅去除这些元素中的一种，则MRRF小于1。这显然是由相对于给定问题的优化引起的负载分布引起的这一发现意味着，前面章节中提出的用于减少数值工作的方法都不是保守的。尽管如此，他们提供了更好的结果比工程的方法，在较低的计算成本。MRRF为0.8左右，而它应该是1.0，当然是与故障安全条件的然而，这种巨大差异的一个根本原因是模型大小。模型越大，即结构中的元件越多，结构就越容易补偿一个元件的故障。为了证明这一点，需要一个更大的模型，266J.K.吕德克湾Kriegesmann/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）260X¼XX我hiX-Kk¼-CrEB 17ri我FC！！12|fflffl ffl ffl ffl ffl ffl ffl ffl ffl ffl ffl ffl { zffl ffl ffl ffl ffl ffl ffl fflffl ffl ffl ffl ffl}-EiiuBT@u-Eiiu-BTK-@KuR1/1我我 我@re我我！rii@re1/1全局B向量Bi等于T B（transfor-ii）表1故障安全设计优化的不同方法的比较方法（每个元素加/减八个约束）迭代体积分数MRRF梯度大小（MB）无故障安全约束348.53%0.010.19工程方法–33.38%0.740.19高度受限的方法2831.23%110.07高度受限，减少故障情况（桁架模型）2531.68%0.925.97高度受限，减少故障情况（相互依赖性）2830.76%0.825.22方法（每个元素四个高阶约束）无故障安全约束298.82%0.020.09工程方法–33.76%0.610.09高度受限的方法2731.53%15.04高度受限，减少故障情况（桁架模型）5230.93%0.792.99高度受限，减少故障情况（相互依赖性）10030.61%0.822.61考虑了然而，这很难使用高度受限的方法来证明，因为所需的内存变得太大了，一旦模型变得稍微大了，就不能处理@cj@renr@cj@ri@ri@re1/1nr2个p 1 .@BT将在下一节介绍5.使用p-范数的i¼1nr我2个p1@re.@BTi@re1Σ我1/1nr@rei@reð16Þ代替为每个应力评估点制定应力约束，可以考虑失效情况的最大应力然后，优化问题如下：RR¼CXr2p-1E@BTu-我是说...K-1CXnrr2p-1EBT@Ku最小V时间：cjrmaxrjr-rref60I¼1.. . nrð12Þ|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{kTzfflfflfflffl fflffl fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}信息矩阵和局部B向量）排序到正确的位置E j 0j ¼ 1.. . n FCrmin6r e6 rmaxe ¼ 1.. . n由于最大值函数不可微，因此在优化中考虑应力的常用方法是使用所有的p范数（Duysinx& Sigmund，1998; Le，Norato，Bruns，Ha，&Tortorelli，2009）或某一组应力约束（Holmberg等人，2013年）。约束向量c的p范数由下式给出：基于相应自由度的指数伴随变量k是从下面的系统中导出的，由于K已经被因式分解为u的解，因此可以有效地求解该系统。nr2个p 1我1/1与前面的问题公式相比，每个故障情况只剩下一个约束，因此计算相应梯度的时间明显更短。此外--cPN¼nc1/11pp6最大值c 13此外，由于故障安全结构的总规模从n2·nr减小到nFC·nr，因此内点法所需求解的方程组规模也大大减小.此表达式收敛于c中的最大值，p，并允许使用基于梯度的方法，因为它是可微的。p的选择对于优化过程至关重要（Zhou Sigmund，2017）。低值过于保守，特别是当c的条目有很大区别时。过高的值导致设计域的高度非凸限制，使得优化算法更可能导致不太理想的局部解。因此，在优化过程中，p将p-范数应用于等式中的应力约束。（12）导致：1使用p范数允许更大的系统被优化为示于图7.第一次会议。就像在较小的模型中一样，模型在左边缘被夹紧，在右下端被加载，但它由12乘以6个单元组成，导致450个单元和498度的自由度。对于优化，p最初设置为12，并在100次迭代后增加到24对于使用相互依赖性的方法（见4.2节），在100次迭代后重新计算。由于p-范数仅提供最大应力的下限估计，因此它是保守的，而失效情况的减少结果是非保守的。出现的问题这个问题不能笼统地回答，因为cj¼nr1/1p2名p-r参考ð14Þ取决于p的值和模型本身。对于所考虑的示例，使用基于桁架模型的简化提供了低于1.0的 MRRF，即使当其与p范数组合时（参见这个约束对应力的导数由下式给出：1表2和图 7）。基于故障实例约简的组合依赖性和p-范数的结果是具有最低重量的保守@cj¼2. Xnr r2p-1ð15ÞCr相对于设计变量re的灵敏度是通过利用方程得到的。（7）和（9）。5.1. 计算工作量不同优化过程的计算工作量不能直接比较，因为每个优化过程的迭代次数不同。C.XR格尔。因此，使用p-范数进行故障安全优化¼CrRR¼Cr@rik¼1K我我我.XJ.K.吕德克湾Kriegesmann/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）260267ee见图7。使用p范数方法的较大模型的最小剩余储备因子，考虑（a）经典尺寸（无p范数）（b）所有失效情况，（c）基于桁架模型的简化失效情况和（d）基于相互依赖性的简化失效情况。表2使用p范数估计最大应力，可获得较大模型的故障安全优化结果。方法迭代体积分数MRRF施胶913.43%0.02高度受限的方法2009.58%1.06简化失效情况（桁架模型）200百分之九点三二0.87减少故障情况（相互依赖性）200百分之九点三一1.04优化不能被先验地估计使用工程方法需要多次优化，因此总共需要更多的迭代。在高度限制的方法的主要问题是快速增长的约束梯度大小取决于元素的数量。这个过程是不实际的（例如，1e3个元素需要50GB的内存存储），而不使用p范数来组装每个故障情况的约束使用p范数通常会扩展所需的迭代次数对于故障安全的中型模型，唯一部分实用的解决方案似乎是使用p范数的高度限制的表3给出了所讨论方法所需计算工作量的概述。6.结论和前景在目前的工作中，网格结构的优化，其中每个成员被建模为一个单独的梁单元具有不同的厚度。所考虑的优化问题寻求在特定应力约束下使重量/体积最小化该设置用于研究如何将故障安全要求嵌入优化中。作为参考，确定故障安全设计的工程方法如下。虽然这种方法直观上似乎是保守的，但从这种方法获得的设计结果不是故障安全的。故障安全优化的严格公式化，其中故障安全要求被认为是约束，提供故障安全设计。然而，该过程在计算上要求很高（对于工程方法也是如此因此，减少优化中的约束数量的可能性进行了研究。讨论了两种方法，通过将它们相结合来减少故障情况的数量。从这些方法获得的最优设计能够在没有两个元件的情况下承受载荷，但在某些情况下，这些结构的MRRF低于1.0。因此，具有组合故障情况的方法不提供故障安全设计，尽管对该要求的违反小于工程方法。随着模型尺寸的增加，补偿一个单元失效的能力增加。因此，对于较大的结构，违反故障安全要求的情况变得较小。然而，对效率改进的需求也增加，并且人们可能希望同时考虑甚至更多的失败情况当用最大应力公式表示应力约束并使用p范数近似时，约束的数量减少，并且伴随方法可以用于确定导数。这提高了效率，但也导致过于保守的设计。使用p-范数方法减少故障情况的数量，允许补偿故障情况减少的保守性的缺乏，并利用两种措施的效率提高。然而，不能保证这种组合方法总是保守的。表3不同优化过程的计算工作量取决于元素的数量。迭代次数取决于问题。优化次数约束梯度大小每次迭代的FE因式分解每次迭代求解因式分解的FE LGS尺寸1ne× 4ne1 4ne尺寸，p-标准1ne×1 1 1工程方法nnne×4ne1 4ne工程方法，p-范数n nne×1 1 1高度限制的方法1ne×4n2ne4n2高度受限方法，p-范数1ne × 4 nene4 ne268J.K.吕德克湾Kriegesmann/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）260所提出的失效工况组合与简化方法也可应用于连续结构的拓扑优化设计显然，Jansen等人提出的方法。如果同时移除两个补丁，则（2013）变得更快。对于选择这样的补片对，可以使用第4.2节中给出的程序然而，所得到的最优结构可能不是故障安全的发现也可以应用于拓扑优化结构。这些研究强调，在故障安全设计优化的主要问题是如何定义的重要故障情况下，他们也表明，这个问题不能回答更复杂的结构先验。即使是忽略故障情况的合理策略这使得最先进的故障安全优化的推理复杂化，其仅考虑几个简单的故障情况，或者使多个模型的最大顺应性最金属部件也可能开始屈服，因此最大应力可能不是问题的关键限制在这种情况下，有必要在优化中包括更先进的损坏标准，以提供更少保守的设计，同时满足故障安全要求。利益冲突一个也没有。引用大型飞机认证规范（2012）。Tech.众议员CS-25，修正案12，欧洲航空安全局。郑，G.，Guo，X.（1997年）。结构拓扑优化中的e-松弛方法结构优化，13，9。郑，G.，姜，Z.（1992年）。带应力约束的拓扑优化研究工程优化，20（2），129.Duysinx，P.，&Sigmund，O.（1998年）。材料优化分布中应力约束处理的新进展。美国航空航天学会论文98-4906，10。Duysinx，P.，&本德索湾P.（1998年）。局部应力约束下连续体结构拓扑优化。国际工程数值方法杂志，43，1453-1478。Grimmelt，M. 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