可在ScienceDirect上获得目录列表计算设计与工程杂志首页：www.elsevier.com/locate/jcde计算设计与工程学报6（2019）629锥度环面立铣刀水平切削时艾尤普·阿拉斯沙特国王大学机械工程系地址：Box 800，Riyadh 11421，Saudi Arabia阿提奇莱因福奥文章历史记录：2018年11月26日收到收到修订版2019年4月14日接受2019年4月15日在线提供2019年保留字：加工非标数控刀具扫掠型材环形管移动框架一对多策略A B S T R A C T本文提出了构造超环面和圆锥体次表面后掠轮廓的封闭解和算法虽然在现有的研究中已经广泛地研究了识别这种表面的整个SWP的问题，但是尽管该主题对于采用非标准形状的数控刀具的加工过程具有重要意义，但是很少解决表面下SWP的构造。现有文献中考虑的圆环形状仅限于管横截面的第四象限。然而，在工业应用中，轮廓铣刀包含环形表面的不同区域。为了识别所提出的研究中的SWP元素，一个单一的解析表达式，在一个变量已推导出使用两个移动框架。这种公式背后的基本思想是采用一对多的策略，这大大降低了计算成本和工作量。算法，以确定可行域的SWP参数在每个水平切割，环形和锥形表面满足，也提出了在这项研究中。这是重要的，因为沿着旋转轴切割工具表面将SWP参数域划分为必须针对每个工具姿态解决的非重叠间隔集合。此外，这项研究表明，对于某些工具的姿态，而C1连续子表面之间得到满足，SWP连接在某些点丢失。为了定位这些所谓的奇异特征点，已经执行了一些预计算步骤。最后，几个影响SWPs的光滑度的因素已被确定和讨论。©2019 计 算 设 计 与 工 程 学 会 Elsevier 的 出 版 服 务 这 是 一 个 在 CC BY-NC-ND 许 可 证 下 的 开 放 获 取 文 章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍关于支持虚拟制造过程的几何建模的关键方面包括在执行刀具移动期间生成刀具扫描体积的能力，由移动刀具形成的扫掠体非常重要，因为它代表了用于研究刀具路径验证、刀具-工件碰撞检测和刀具-工件接合计算的基本公式扫掠体构造最近已成为一个深入研究的课题，具有重要的理论和实践贡献。具有解析表达式显著简化了将扫描体积集成到NC仿真源代码中的过程。尽管对工具运动运动学（即固定工具轴取向）和工具几何形状两者施加约束提供了原始3D体积，但是对应的由计算设计与工程学会负责进行同行评审。电子邮件地址：earas@ksu.edu.sa技术不能被认为是全面和可靠的，因此，扫描体很少嵌入到现代CAD 系 统 中 （ Peternell ， Pottmann ， Steiner ， Zhao ， 2005;Wang&Yiphoi，2009）由于在一般多轴运动中，移动刀具的扫掠体积没有封闭形式的表达式，因此扫掠包络，一个封闭的表面，通常用于定义扫掠体积（WangWang，1986）。已经进行了大量的研究，其目的是对刀具的扫掠包络进行建模。其中最重要的是近似技术，这已被广泛研究的虚拟加工系统中的模拟制造过程。这些技术的一个共同特征是使用时间和/或工具离散化 （Aras， 2011; Boz ，Erdim ，&Lazoglu ， 2015; Li An ，2018;Nishida，Okumura，Sato，Shirase，2017）来简化计算，然后连接扫描剖面，以构建相邻工具位置的工具包络。另一方面，现有的研究已经提出了基于求解需要数值计算的复杂微分方程的方法（AbdelMalek ， Yang ， Blackmore ， &Joy ， 2006; Blackmore ， Leu ，Wang，1997; Yang Abdel，2005）。虽然这些技术提供了更好的结果，但由于涉及https://doi.org/10.1016/j.jcde.2019.04.0032288-4300/©2019计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一个在CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。630E. Aras/Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）629-646并且实现速度相当低扫描包络生成方法的全面调查和评论可以在（Abdel Malek et al.， 2006年）。本文研究了由超环面和圆锥面刀具的子曲面构成的扫掠轮廓。存在关于环面SWPs的综合文献。Chung、Park、Shin和Choi（1998）介绍了一种单值建模技术，用于描述不同刀具几何形状的扫掠曲面，包括圆环 面 。 推 导 了 三 自 由 度 直 线 运 动 刀具 的 曲 线 生 成 解 析 表 达 式 。Sheltami、Bedi和Ismail（1998）提出了生成与环面有关的曲线的显式方程。他们的技术表明，在模拟的每个实例中，刀具上都存在一条曲线，该曲线描述了刀具位置对最终扫掠曲面的贡献。后来，Mann和Bedi（2002）提出了一种用于环形刀具的压印方法，用于与5轴刀具运动学结合使用。他们证明了另一种解释的相切条件，以产生放牧点。Chiou和Lee（2002）介绍了一种三维形状生成轮廓方法，其中使用与5轴加工相关的SWPWeinert，Du，Damm和Stautner（2004）提出使用基于B-Rep的方法，该方法部分源自Wang&在他们提出的方法中，通过引入运动标架的基，得到了具有环面的圆角端铣刀的瞬时廓形。为了进行有关5轴加工的特殊情况分析，利用刚体运动和包络理论。Aras（2009 b）描述了一种基于球面的特征圆和大圆之间关系的分析方法。随后，他在使用工具作为髓腔表面进行的机加工模拟中使用了该方法（Aras Feng，2011）。 Gong和Wang（2009）提出了计算过牧点的封闭形式解决方案，而不知道机床的特殊配置。Aras（2009 a）描述了一种基于z图的模拟方法，其中确定了刀具环形部分的射线和包络交点。在此，通过在两个连续工具姿态之间固定工具取向来近似外环面包络。Lee和Nestler（2011年）使用高斯图来确定扫描体积，并指出由于忽略了一系列偏微分方程，他们的方法保证了高效和稳健的计算。Rossignac和Kim（2012）提出了一种计算经历螺旋或分段螺旋运动的管扫过的区域边界的方法。这项技术可以构建一个面的超集，在它们的交叉点将它们分开，以及选择形成所需边界的部分。Feng和Gong（2016）将三角形网格（一种实体建模的线性化边界表示方案）应用于铣削仿真。在这项研究中，不同的刀具几何形状，包括环面已被利用。Machchhar、Plakhotnik和Elber（2017年）提出了一种代数方法，其中工具的扫描体积的边界可以通过使用B样条基函数由代数约束系统精确建模。然后，可以采用基于细分的求解器来求解结果方程。Duan，Peng，Zhu，and Jiang（2019）提出了一种基于五轴铣削中切削刃单元建模的刀具工件啮合计算技术。在该方法中，刀具包络面是由一个环面的圆角端铣刀获得的。根据对相关文献的分析，在基于离散时间的扫频包络形成和实现问题领域中的研究空白将在下面讨论(1)从上面提到的研究中，很明显，大多数现存的SWP-纯粹依赖于环面的参数表示的计算技术将表面几何形状限制为圆角凸体上的管横截面的单个象限立铣刀此外，据作者所知，管的内部补丁被省略或近似使用B样条曲面。然而，许多模具制造行业使用具有各种不同形状的非传统工具特别是型材切割机，具有一定的管的内部和外部区域（图1）。(2)一旦SWP控制方程已经推导出，算法的实施仍然是唯一剩下的任务。基于离散时间的扫掠包络法的文献表明，算法实现的一般策略是固定刀具轨迹参数，在可用范围内改变其中一个曲面参数，利用一次一个的相切条件获得该过程可以迭代地重复，直到所有数万个工具运动被处理。这会导致内存使用和程序运行时间的增加如果能够确定一种更简单的分析方法并将其集成到源代码中，而不使用任何数值程序或重复计算上昂贵的步骤，这将是有用的（3）在这些工具中，沿着旋转轴分裂管表面将SWP域划分为必须针对每个工具姿态处理此外，为了在垂直于旋转轴切割的每个水平处保持SWP连通性，相邻表面（在本研究中被视为圆环面和截头圆锥体）上的公共法线必须相等。然而，据观察，在某些工具的姿态，C1的表面之间的连续性是满意的，而SWP连接丢失在所谓的奇异点。在SWP施工过程中，管道表面上的这些点存在严重障碍。因此，在开始执行迭代方案之前，有必要确定导致创建这些点的工具姿势。(4)在SWP构建过程中，通常希望获得通过特征点的光滑曲线然而，当工具原点的瞬时速度几乎垂直于旋转轴时，特征点簇倾向于向扫掠轮廓的一部分移动。这是另一个可能对最终表面包络质量产生负面影响的问题。以下各节讨论了上述问题详细SWP形成的输入在第2节中给出，随后是使用第3节中的一对多策略确定特征点的控制方程的推导。第4节介绍了整体算法的实现和相关讨论。最后，本研究得出的主要结论列于第5。2. 地下SWP形成本文综述了用于构造非标准铣刀扫掠轮廓的主要输入的参数定义。刀具的扫掠轮廓的存在需要两个主要输入：（i）刀具表面几何形状的定义，在本文中，假设为数学运算提供足够灵活性的参数形式;以及（ii）具有相对于特定轴组定义的线速度和角速度分量的瞬时工具运动运动学。第一输入对应于自然二次曲面、环面和平面形式的工业工具的表面几何形状。其中，主要的焦点集中在具有超环面和圆锥面的子曲面片的刀具上，因为通过在规定的范围内改变参数值，可以从它们导出各种各样的其他刀具曲面集。例如，尽管它们在外观上存在差异，但环面和球体都具有某些共同的几何特征，这些特征允许使用系统方法来识别扫掠轮廓。这也可以从以下关系中观察到不2½2½]¼2½]2½E. Aras/Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）629-646631Fig. 1. 具有各种不同形状的锥形超环面刀具。锥角为零的情况下，圆锥台与正圆柱之间的相互如前所述，圆锥曲面的截头体非常适合填充不同级别的非相邻凸（或凹）管曲面片之间的间隙，这些曲面片需要在公共边界处满足C1连续性（参见响应于其顶部已被切断时留下的几何体。假设这些表面的原始坐标系使它们的轴与机器坐标系OM-XYZ对准，则可以如下在齐次坐标中参数化地定义该形式。图1）。所提出的研究特别关注环形曲面片的另一个原因是，对于任何工具移动的情况，都存在多个子扫掠剖面，它们分别位于更重要的是，S环u;vR-rsinv rcosv第1页]ð1Þ它们被考虑用于构造扫掠包络。这种几何特性使得环面在其他刀具曲面中是特殊的，因为其他刀具的所有不相交的扫掠轮廓都被利用。SFRUSTUMu;llsinnbcosuðrþlsinðnbÞÞsinu-rtannblcosb1]ð2Þ在研究刀具运动运动学时，遇到的第一个问题对应于描述和处理刀具速度和姿态的概念，这些概念作为扫掠轮廓形成所需的第二输入。基本上，相对于机床坐标系固定到刀具主体的刀具坐标系的位置和取向表示相关刀具的姿态在从3轴到5轴的任何刀具姿态下，都有必要确定刀具本体上的线速度方向。将角速度关系应用于任意点的位置矢量，导致该点的线高自由度刀具运动中角速度的存在使计算复杂化。因此，在拟议的研究中，作者使用了一个附加的移动框架来简化计算，并对扫掠剖面地层进行了更详细2.1. 仿形刀具与标准的APT型刀具不同，轮廓刀具在航空航天、医疗、汽车等多种行业有着广泛的应用。轮廓工具可以具有由沿着工具的旋转轴线切割的内管和外管补片构成的环形表面以及倒置的截头圆锥体。基本上，环面是通过围绕与圆共面的轴旋转特征圆而产生的旋转表面（图2）。环面在数控加工中的一个有用的应用对应于自由曲面的粗加工和精加工。另一方面，在模具制造过程中设计用于侧铣、轮廓和加工成角度表面的圆锥表面的截头体，这里，u;v0; 2p和l0;h= cosb.为了避免配置退化，在某些情况下，人们需要0rR的条件来确定极向半径和环向半径的大小。<<必须注意的是，有必要将内管表面和外管表面相对于表面分开。v的vided值0;p和vp;2p。这是因为，正如所描述的，在后面的3.1节中，在所述管表面上构造的两个扫掠轮廓彼此不相交（除了在奇异情况下），因此，根据表面类型，可以选择仅保留两个表面中的一个。如图2所示，与传统表示中所使用的参数相比，参数l可以被不同地定义，其中其值沿着z轴垂直地改变由方程式（2）、b的正号和负号分别表示标准和倒锥面的存在。注意，当b=0时，导数变得适用于直圆柱。在每个笛卡尔点处的表面法线可以通过计算偏导数相对于来自等式1的相应表面参数的叉积来获得（1）和（2）。N环面-因为usinv- 辛u辛vcosv [0]NFRUSTUMu½ cos nb cos u因为你是我的朋友-sin nb 0]Tð4Þ为了生成不同的刀具形状，上述曲面可以沿刀具轴方向进行切片。因此，自然地，环形和锥形表面的切片参数表示为v/4vSLICE，ll切片，分别。与环形曲面不同，截头体的法线与切片参数无关。此外，沿l变化方向通过的矢量垂直于法线（图2）。在此值得一提的是，可以通过使用一对一匹配来定位所有子特征点。 战略，其中不不.Σ¼×ΣΣðÞ.ΣðÞ632E. Aras/Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）629-646图二. （从左到右）内管表面和外管表面、截头圆锥体和倒截头圆锥体。对于切片参数的给定值，每次一个，可以计算另一个参数的值另一方面，由于切片参数是为所需的水平切割提供的，因此它们往往会从方程系统中消除。这被称为一对多策略，其中仅单个切片参数可以用于计算对应切割水平处的其他参数的值，并且可以在另一切割水平处重复相同的过程随后，可以追踪这些水平之间的特征点如实现部分所述，该策略显著减少了总体计算运行时间。2.2. 使用移动标架的这里，h表示由弧对向的角度，并且插值参数t取0和1之间的值。如图3所示，Eq. （5）涉及围绕固定旋转轴的具有均匀角速度的3D旋转，该旋转轴保持与单位球的大圆弧所在的平面许多问题属于数控运动学可以considerably简化通过使用刀具坐标系固定到一个移动的工具。 这个具有正交基向量qx; qy; qz的坐标系随其原点（设置为工具参考）T移动，并且可以如下使用qz轴来识别n向量（图2）。 3）。qz¼ n=k nk 6如果kn_k k和qy<$qz×qx（五轴工具在数控加工过程中，当制定刀具位移时，有必要确定两个任意刀具姿态之间允许的相对运动类型，并为其分配某些变量以进行运动评估。机床的自由度将有许多这样的例如，在五轴运动学中，由于与三轴运动学不同，工具连续经历多个有限角位移，因此必须引入工具取向的角速度作为沿着平行于瞬时旋转轴的方向的矢量。 刀具运动可以指定为位置p i和刀具轴方向ni（i = 0，1，.）上的一系列约束。. ，N. 对于每个连续的对p i; ni和p i1; ni1，弧长参数化空间曲线可以由直线、圆弧或B样条曲线表示，以被分配形式T的值（t）对于t2R.例如，考虑使用运动学）如果kn_k<$0和n×VTqxqy×qz（固定轴刀具运动学）这里，上方的点表示相对于刀具路径参数t的偏微分;VT表示刀具参考沿着路径的瞬时速度;并且刀具轴线的瞬时速度可以通过表示角速度来确定刀具运动速度x为n_Xn. 注意，根据等式（6）、刀具的逆时针旋转必须考虑-积极的使用等式（6）可以如下重写刀具表面及其在机器坐标系中的相应表面法线的方程SMω;tqx Qy qzTtSω7线性插值（勒普）的值对于t2½0;1，t1-tpitpi1]。.pi;pi=1，即 关于我们NMω;t QxQyqz 0Nω 8这里，* 表示各个表面参数。指出的在加工模拟过程中处理刀具姿态时，不仅要考虑位置，还要考虑方向。正如通过采用平移变换随时间计算工具由于四元数可以很容易地插值，它们代表了一种描述3D旋转的方便方法给定两个连续的方向ni; ni≠ 1，用单位四元数表示，中间刀具方向矢量n可以用球面线性插值（slerp）计算如下（Shoemake，1985）。Slerpni;ni1;tntsin½1-th]nisin½ti1;为了进一步简化后面的推导并对掠形方程进行更详细的分析，作者在这项研究中考虑了局部移动标架的另一种变体，右手Frenet三面体et;em;eb，它表示原点Q位于密切平面上的第二移动标架（参见图3）。矢量et与由u参数化的圆曲线相切，并且沿着曲线跟踪的方向被认为是正的，对应于u的增加;矢量em与et正交并且指向曲线的中心;最后，矢量eb沿着双法线指向。这些标准正交向量可以表示为黄曲霉素H新和dQu;tdQu;t其中h<$cos-1<$ni·ni<$1<$$>5<$etðu;tÞ ¼du=k杜克嘟嘟E. Aras/Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）629-646633图三. 一个刀具方向和两个移动框架的中间状态。emu;tdetu;t=kdetu;tk9ebu;t etu;t× emu;t正如在3.1节和3.2中所讨论的，尽管对于环面和锥面，Q可以不同地定义，但在这两种情况下，自由网三面体的单位矢量一旦建立了两个局部工具坐标系，就可以使用以下关系容易地识别表面点在不同坐标系由于特征点的集合，刀具几何参数方程组和三变量切向约束的非线性方程组必须同时考虑。由于典型的NC刀具路径包含数万个刀具运动，因此为每个刀具运动执行这些计算变得复杂而费力，特别是在考虑五轴刀具运动学时。因此，优选的是具有一个解，该解可以表示为具有可能更少变量的封闭（或解析）形式函数。另一个问题出现在扫描轮廓连接的情况VMω;td库图;t库图xt×r10在水平切削时，C1连续性消失，在该水平下，相邻刀具表面之间甚至满足C1连续性这最后一个事实可能是其中r表示第二移动帧中的位置矢量。注意，如第3节所述，r表示向量em和eb的线性组合，因此位于第二移动标架的法向平面上。3. 使用移动标架引入SWP构造问题的主要输入，同样可以用于识别刀具曲面子片上的特征点虽然，这份手稿的标题强调了存在多个扫掠轮廓的环形管，一个需要考虑只有一个SWP内的表面结构信封。这个属性使得圆环面在其他由自然二次曲面和平面表示的工具曲面中是特殊的。考虑到五轴刀具运动的复杂性，不仅需要区分刀具的前部和后部，还需要区分管的外部和内部。去追寻一条路-用作识别奇点的一种手段，称为奇点。刀具表面上奇异点的存在对扫掠轮廓的构造提出了严重的障碍;例如，对于环面，具有长半径的圆上的速度矢量的方向保持垂直于旋转轴。本节中的讨论通过提出分析方法来解决这些问题，这些分析方法提供了关于具有亚环面和圆锥面的成形刀具的SWP3.1. 环形管上特征点的识别从2.2节中可以回忆起，使用弗伦内三面体为涉及五轴刀具运动学的扫掠轮廓问题通过使用Eq.在等式（9）中，右手笛卡尔坐标系的标准正交基可以如下形成。etu;tu-sinuqxcosuqyþðÞ1/4吨.布雷尔NMdtTORUS环面634E. Aras/Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）629-646emu;tu-cosuqx-sinuqy11ebu;t qz这里，表示第二移动帧的原点的速度的矢量dQu;t=dt（12）如下。注意，为了推导清楚起见，以上单位向量的参数分量不出现在以下部分中。d库图;tDT环面t还必须指出，上述三个单位向量中的每一个都对应于响应于u和t的函数。这是因为，在上面的等式中，T的VT环面表示瞬时速度Frenet标架被限制为参数化的圆曲线，以增量方式改变u（图4）。从同一个图中，运动标架Q的原点的关系，即，环形表面上的特征圆的中心可以表示为环面。其次，确定了管接头上特征点的位置。确定了相切约束等于零的面。使用公式根据公式（14）和（15），可以推导出以下环面管的相切约束。Qu;tTTORUSt-Rem12其次，可以定义与上述运动标架相关联的环面及其法向坐标替换Eqs。（一个）fu; v; t。dQu;trxtxNMu;v;tu;v;tð17Þ（3）在Eqs。（7）和（8），并通过使用来自等式（7）的单位向量来排列结果。（11）如下产生机器坐标系中的表面几何形状和单位法线上述方程本质上是非线性合并等式（13）和（17）到一个单一的封闭形式的表达式，方程。（17）必须求解其中一个表面变量，M环 u;v;tPunycosveb2013年在这项研究中，V。这种选择的数学原因是，作者可以提供切面角v/v SLICE 因此，对于期望的水平切割，需要消除变量VM环面 u;v;t从上面的等式。回顾标量三重积规则a×b·cb×c·a，并将其应用于等式（17）产量fu;v;tdQu;t·NMu;v;t备注1. 第二项括号内的方程。（13）可以很容易地被识别为表面法线。因此，可以使用表面法线重新参数化环面，DTM环环面n;v;tn×N环面u;v;t表示法向平面矢量em和eb的线性组合。如本节后面所述，上述注释导致了一个重要的观察结果，即管的内表面和外表面上的特征点位于表面法向通过在加法符号右边的项消失，因为括号内的曲面法线的叉积等于零。因此，Eq.（17）现在可以通过考虑-将剩余项dQu;t=dt和NM的点积表示为：通过移动坐标系Q的原点。参考图4中描绘的速度多边形，一旦如下所述环面从方程中的任意表面点的位置如果已知（13）式，则可以如下获得该点处的速度（使用方程：（10）和（13））。fu;v;tA2sinvA1cosv0 19这里，上述超越方程的系数可以表示为：VMu;v;tdQu;trxt× NMu;v;td库图;td库图;tTORUSdt环面A2¼dt·em和A1¼dt·eb20见图4。 具有相关工具运动学的环形管。SNq22BB组21半-]¼.ΣE. Aras/Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）629-646635在相切约束下，切片参数_。（19）对于v，用下列正切半角恒等式代替正弦和余弦函数的条件下，1<$tan2<$v=2 <$- 0，这反过来又意味着，cosv = 2 - 0。qB22B12nu/B0 <$$> 0;其中/<$tan2-1B2;B126其中上述关于瞬时刀具运动的系数可以定义如下。. v2ð Þ. v2B2¼-r.qy·x;B1rqx·x和B0qz·VTTORUS27最后，从方程u的一般表达式（26）可以写cosv1/4-tan 2。v=1 tan 2. v21as22这就产生了下面的三角方程，它可以简化为一个关于tanvv = 2vv的二次形式。u¼n-1na-/np;其中a¼sin-10B@-B01CA28fu;v;tA1 tan 2. v-2A2 tan. v-A1¼0，其中22其中整数n以单位步长递增重要的是要谭. v22 2A2nqA22A12的1ð23Þ注意，如果括号内关于反正弦函数的内容属于区间1;1，则存在SWP曲线分成两个分支的奇异情况，每个分支表示单独的（内部和外部）片（图5）。由于Eq. （28）允许u的多个值，得到的解可以被接受，所以长为u1;22½0;2p。最后，y取代v1;21;2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14;15; 16; 17;19备注2. 相切约束中的A1项是至关重要的.条件A10不能代表方程的有效解.（23），因为除以零是不确定的。因此，A1允许人们容易地识别奇异情况，其中SWP连续性在相应的管贴片上消失（参见图11）。 5）。在这种情况下，很自然地使用等式来寻求关于v的解。 （19）不使用上述切半角恒等式。在条件A1 1/40的情况下，（19），正弦项产生v 1;21/40;p。 必须注意的是，可以假设A2- 0，否则，v 2 ½ 0 ; 2 p意味着两个完整的圆。接下来，可以通过将等式（1）代入等式（2）来确定u的相应值。（16）A1，如在Eq. （20）并且随后将A1设置为等于零;即，A1/4VTTORUS。（11）重新排列得到的表达式，B2cosuB1 sinuB0< $025这也可以表示为（13）产生位于内管表面和外管表面上的奇点的笛卡尔坐标。据我们所知，这方面的问题往往被忽略了离散时间为基础的扫频包络文献。因此，在开始确定特征点之前，重要的是使用上述非昂贵的预计算步骤来检查奇异情况的存在必须指出的是，到目前为止，在讨论中，所有的工具，需要分析确定的位置的特征点上的环形补丁已被描述。例如，在Eq. （20），通过在1/20的范围内改变u的值，A2可以确定。一旦这些值是已知的，可以使用等式来计算v。（十九）、最后，将v和相应的u值代入Eq.（13）产生特征的位置点重要的是要注意，必须对每个u重复上述过程，一次一个，直到v的所有值都被使用Eq. （19）执行标准数学在U上操作另一方面，根据前面提到的替代策略，其中可以消除v从溶液系统，Eq.（17）将自然地从计算中消失，从而大大降低了计算成本图五. 环形管内外表面补片上的SWP辛·乌·坦=1埃斯坦2;¼ðÞð· Þ- ð· ÞA2英寸2A21.Σð×et>半]DT一一1m例如，在插入运动期间（即，VT·qz0）等式<（三十二）0m的ωωDTB22@636E. Aras/Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）629-646（参见第4.2节）。因此，返回到我们上述的推导，必须注意，对于条件A1tanv= 2，根据等式（23）回到方程中的正弦和余弦项（21）产量为了减少方程中的项和算术运算的数量，（31），的三重横产品规则a×b×c应用1/4a c b a b c得到以下一个变量的最终表达式（即，u）用于期望的工具位置。8>sinv<$npA1A22A12PA12时有效21ð29Þ8>>Q uω;trdQuω;tdtkd Q uω;t ×etk阿22 2 20Mωdt>：cosv<$pA2A2itisvalidwhenA2A1PA2STORUS（S环面）.dQuω;tð32Þ>：Quω;t-rdt×etω为了消除输入变量v，可以将三角函数项代入方程：（十三）、因此，每个特征点的以下表示0 1kdQu;t ×et K在这个表达式中，标准正交向量et 这相当于当参数u在减小的间隔uI;uT上前进时，dQu;t=du在工具框架的x-y平面中扫过一个圆。由方程式（32），括号内的表达式对应于单位vec-0SMuω;tuω;turB@nq1emq2bCA环面A22A1A22A1ð30Þ与备注1中的陈述完全一致。 n个值结果表明，在A1DT沿曲面法线方向指向远处的曲面这一结果Eq.（32）出现在单独的（内部和外部）补丁环形管（图）6）。一个总是出于尊重而产生的问题DT2B211MDTMB在上面的等式中，uω表示两个之间的u的值初始区间界限 uI 和终端 uT （参见算法2）见第4.1节）。由方程式（30）括号内的向量签署公约是：一个人应该用什么符号来识别所需特征点的正确位置答案这取决于瞬时工具运动学，被归一化，即，k nAeAek¼q A2A2。代以工具中心速度和工具轴矢量的点积和2从等式（20）在Eq. （30）一个得到环面一旦Eq.（32）已经推导出来，没有必要使用所有带负号的解在外管上产生其他情况0的情况。dQuω;t·ee-我是说...dQuω;t·ee1在第4.1的算法3中进行了描述。STORUSu;t Qu;trK .dQuω;t·eb嗯，.dQuω;t·em英、布、克一ð31Þ曲面参数假设所选的刀具姿态为-具有刀具坐标系的面具有已知的参考-点速度，工具另外具有已知的角速度见图6。 水平切口之间的内部和外部子扫掠轮廓。锥台¼切片切片切片U半个小时 后DTð × Þ·¼ ð×Þ·.x×NM锥台M切片环面cosbqC22C12ADT异丙肾上腺素E. Aras/Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）629-646637速度已知这两个运动学量后，环面上的所有特征点都可以用方程确定。（32）不需要每次一个地计算参数u和v的值的中间步骤这通过允许显著减少运行时间（参考第4.2的实现），提供了优于上述替代技术的计算因此，为了追踪方程的解。（32）在内部或外部由于截头圆锥体的几何形状被限制为沿着工具的旋转轴具有可变半径的圆（11）（参考图（3）利用。为了推导出机床坐标系中的表达式，（2）和（4）代入方程。（7）和（8）。后来，使用Eq.的分量来安排（十一）、这产生对于曲面片，只需要计算u的区间上界和下界。例如，在执行此操作时，如果鞋面M水果你是我的朋友-SinBEMÞ ð36Þ水平切割值v U2½p;2p，用于将外管插入M当量（19），人们可能会遇到下面的三角恒等式，这是类似于方程。（25）.C2cosuC1 sinuC0< $033NFrustumu;t-cosbem-sinbeb37必须注意的是，方程中括号内的单位向量（36） 和法线是垂直的;即，Becauseyou're bad.sinbem·NM¼ 0.与环面不同，法线为这里，常数系数的值可以如下确定。独立于表面参数之一（即，l）。这意味切片参数lSLICE的值对于相同的u值不影响法线方向。 从图 7、我们观察到，C2¼ -RcosvU.qy·x-sinvU.qx·VTTORUSl的定义与传统表示中使用的定义不同，在传统表示中，l的值垂直变化。C1¼RcosvUqx·x.qy·VT环面 Σð34Þ沿着qz轴。 参照图 7，第二移动帧的中心可以表示为C0¼cosvU.qz·VTQu;tTRðt ÞþN中文（简体）如上文在Eqs. (25)–(28) oneu-1na-/np;其中a0 1注意，不失一般性，以下表达式是针对锥的第一形式导出的，其中b的符号为正。对于反转的圆锥体，这个符号变为负数。sin-1B@-C0C和//¼tan2-1C2;C1 35还要注意，在条件b=0下，以下推导完全适用于直圆柱体。一旦已知任意曲面点的位置，找到两个值u1u2后，从刀具坐标系的qx轴沿逆时针方向<当量（36），在这一点上的速度可以使用方程确定（10）和（36）如下。方向，一个需要选择正确的间隔计算VMu;l;t-辛贝Þ ð39Þu1;u2和u2;u12p，它们分别对应于给定水平切割的下特征点和上特征点（反之亦然）。只有一个边界满足包络方程。（32）在所需的曲面片上。识别它所需的步骤总结在第4.1节所述的算法2中。类似地，为了确定u在较低切片处的两个区间界限，方程：对于较低的水平切割值，必须求解（33）至（35）上述等式中等式右边的第一项表示第二移动帧的原点的速度同样，使用Eq。（38）可以表示为dQutrdt¼VTFRUSTUMtcosbxt×NFRUSTUMu;t40L切片 2便士半;2便士2便士下面的相切条件的基本形式现在证明了方程的标量积。（37）和（39）等于3.2. 次圆锥曲面本文的标题表明，该研究主要集中在环形管的地下SWP零fu; l; t。dQu;tlxt×cosbeb-sinbem·然而，典型的轮廓工具可包括沿工具的旋转轴线处于不同水平的许多内管补片和外管补片M锥台ðu;t Þ ¼0 ð41Þ（参见图1）。为了保证刀体的SWP的连续性，需要填充曲面片之间的间隙。截头圆锥面是理想的连接不相邻的凸（或凹）的工具表面，需要C1连续性，以满足共同的边界。此类曲面类型设计用于模具制造和航空航天工业中的侧铣、仿形和加工成角度的曲面。如前所述，取决于切割环面的水平，圆锥的参数化表示采用不同的形式，对于圆锥的参数化表示，与上底座或虎钳上述方程本质上是非线性合并等式（三十六）和（41）转换成单个封闭形式的表达式时，采用了需要隔离上述相切约束中的一个表面变量的在这种情况下，参数l被选择为隔离变量，这是由于平截头体将使用该变量在水平切割处被切片的事实（参考图7）。为此目的的第一步涉及应用分配律的乘法超过总和在方程。（41）然后应用标量三重积规则一BCBca至与叉积和点积相关的术语注意到亦然然而，在任何一种情况下，工具的相邻表面上的公共法线必须保持相等。本节讨论了截头圆锥体上特征点的确定，通过遵循先前为tor制定的相同步骤进行验证M水果获得fu;l;t¼VTFrustumM水果ðtÞ ·NFRUSTUMM水果;×N水果1·x 1/40，1椭圆管再次，一对多的策略是用来减少计算成本。好吧Punchcosbeb-sinbem×NMu;tS切片MvN·N.¼ N锥台锥台¼u的值。两组不相交区间可以构造为：锥台BMMðÞ ¼þe×Nm-cosbMðÞ切片M切片锥台MTFrustumFrustum锥台cosb锥台cosb638E. Aras/Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）629-646见图7。 具有相关刀具运动学的次圆锥曲面片。为了进一步简化上述方程，括号内的叉积Pesticosbeb-sinbem×NFrustumu;t备注3. 这个结果与管道表面的概念非常一致，因为圆锥体的截头体也可以使用以B为中心的移动球体重新参数化，其可变半径由RB¼R=cosb给出（Aras，2009 b）。参照图 7证明了大半径可以是M M¼cosbeb×NFrustumu;t-sinbem×NFrustumu;t43参考图7，表明上述叉积由R l r lsinb计算。因此，方程（45）可以直接求解切片参数l，并且相应的结果可以代入方程（45）。（36）。因此，我们得到以下结果：M锥台M1/4-sinbet，其中et也可以表示为对于给定的刀具位置，用一个变量表示最终表达式eb× NFrustum¼ sinusp=2 b et¼ cos b et。从这些中消除et通过回代得到两个方程，em×NFRUSTUM¼ -tanbeb×NFRUSTUM，后来被取代到EQ。（43）。经过代数运算，方程。（43）假设0SMuω;t.Vt·N你好！的形式。M锥台uω;tPasticosbeb-sinbem公司简介;ð47Þ这里，uω表示两个区间界限之间的u值¼cosbeb×N Frustumu;t44最后，将上述方程代入Eq. （42），并重新安排后者产量fu;l;t。VTtle_b·NMu;t045初始u I和终端u T。如果存在任何特征点，必须位于从Q开始并通过方程中第二个括号描述的单位向量的直线上。（47）。此外，该点相对于第二移动框架的位置可以使用第一括号内的表达式来计算。Eq的重要性（47）没有必要不再使用所有曲面参数。我们可以确定所有的字符-其中e_b<$x×eb。 I在等式（45），括号内的表达式对应于点B处的速度矢量dBl;t=dt，即（图 7）。我的朋友 eb46特征点，而不执行一次一个地计算参数u和l的值的中间步骤。这显著降低了整体计算运行时间。因此，为了追踪方程的解。（47）在圆锥形贴片上，只需要计算u在两个剪切水平，l U对于上部和L L对于低。因此，对于AMe_·NbBecauseyou'reabadgirl.
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