蚁群算法在球面旅行商问题中的应用

工程科学与技术，国际期刊20（2017）1242完整文章蚁群算法在求解三维球面旅行商问题中的应用Hüseyin Eldema，Erkan ÜlkerbaKaramanogluMehmetbey大学，计算机技术系，土耳其bSelçuk大学，计算机工程系，校园，土耳其阿提奇莱因福奥文章历史记录：2017年7月7日收到2017年8月18日修订2017年8月23日接受2017年9月14日在线发布保留字：蚁群优化球面几何极大极小蚂蚁系统非欧TSPA B S T R A C T旅行商问题（TSP）是一个组合优化问题，应该由销售人员以最小成本（最小路线）旅行所有城市并返回起始城市（节点）来解决目前，为了解决这类问题的最小费用问题，已经使用了许多优化算法。主要的是这些元启发式算法。在这项研究中，元启发式方法之一，蚁群优化（ACO）方法（最大最小蚂蚁系统非欧几里德TSP，它由一组不同的计数点组成，这些计数点恰好位于球面上。在这项研究中，使用了七个具有不同点数的点集。通过不同的实验验证了MMAS方法求解非欧TSP问题的性能。同时，将蚁群算法与文献中的离散布谷鸟搜索算法（DCS）和遗传算法（GA）进行了比较。对球形TSP问题的实验表明，蚁群算法©2017 Karabuk University. Elsevier B.V.的出版服务。这是CCBY-NC-ND许可证（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍旅行推销员问题（TSP）是一个推销员需要访问日程表中的所有城市，并以较少的花费返回起点的问题TSP中的路径、时间、费用和路径等参数都可以优化。TSP也被称为Hamilton路径问题，用于计算机科学中的数据建模。在离散和组合问题中求解的TSPTSP分为对称和非对称两类在对称TSP中，始终，x之间的城市和Y。城市是平等的，即，dxy = dyx。在非对称TSP中，城市之间的距离矩阵可能不是对所有城市都相等为了解决TSP问题，人们提出了许多方法。从获得最优结果的角度出发，将其分为两类，即精确方法和启发式方法。分支定界法、分支切割法和迭代改进法是求解TSP问题的精确方法[4，23]。各种启发式算法，基于*通讯作者。电子邮件地址： heldem@kmu.edu.tr（H.Eldem），eulker@selcuk.edu.tr（E.Ülker）。由Karabuk大学负责进行同行审查模拟退火[21，12]，遗传算法（GA）[35，16，18，38，26]），禁忌搜索[14，15，25]，人工神经网络[19，22，30，28]和蚁群系统[2，3，5，13，7，8，33，32，1]已经被开发出来，它们在合理的时间内使最接近的可能解成为最佳解同时，为了解决TSP，还使用了2-opt，3-opt和4-opt局部搜索算法[20]。一些研究者为了得到TSP的最优解，研究了混合进化算法[24，39，27，34，25].一些TSP应用程序在基本的3D几何图形上执行，如球体和长方体[36，37，31，29，10，9，11]。通过在长方体[36]和球体[37]上使用GA求解TSP，提出了一种算法。在文献[31]中，通过将TSP问题的解放在长方体上，提出了粒子群优化算法（PSO）提出了一种在球面上用布谷鸟搜索算法求解球面TSP的算法[29]。在此基础上，提出了用蚁群算法和粒子群算法求解球面和长方体TSP问题的算法[9]。蚁群优化算法（ACO）是一种用于解决离散优化问题的元启发式算法，由Marco Dorigo在1992年作为博士论文提出[5]。蚁群算法是一种元启发式计算算法技术。蚁群算法通过研究图上的可能路径来解决图问题。蚁群算法的灵感来自于蚂蚁的行为，即通过信息素来寻找它们的巢穴和食物资源之间的最短距离http://dx.doi.org/10.1016/j.jestch.2017.08.0052215-0986/©2017 Karabuk University.出版社：Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。可在ScienceDirect上获得目录列表工程科学与技术国际期刊杂志主页：www.elsevier.com/locate/jestchH. Eldem，E.Ülker/Engineering Science and Technology，an International Journal 20（2017）12421243蚂蚁在快速搜索食物资源时，会选择最短的路径。蚁群算法已成功地解决了各种TSP最大最小蚂蚁系统（MMAS）是对Stützle和Hoos提出的蚂蚁系统（AS）的改进[32]。MMAS不同于AS在信息素更新。在AS中，当完成旅行时，每个蚂蚁更新它们的信息素试验。但在MMAS中，只有最好的蚂蚁更新信息素试验和信息素水平之间的最小和最大限度的限制。在这项研究中，旅行商问题的解决，一个球上的点的蚁群算法（MMAS）。据我们所知，迄今为止，还没有在三维空间中用这种方法求解TSP的研究对于可用的TSP，点的坐标和它们之间的距离是已知的。由于所有的点都存在于一个球面上，并且从一点到另一点的通道是从球面进行的，因此该问题不同于现有的TSP。该研究涵盖了球面上的点的定义，找到点之间的距离和适应的问题，蚁群算法。2. 球面的底面球体是由与空间中给定点的距离相同的点组成的3D对象每个点（坐标为x，y，z）分布在距离中心等距离r处，位于球面上。换句话说，球体是通过绕z轴旋转在距原点相同距离处以x-y坐标绘制的弧而获得的x、y、z坐标和球体半径之间的关系由等式表示（1）：r<$px2y2z2ð1Þ球体的半径，r是从中心（点A）到球体上的点（B，C，D和E）的距离，如图1所示。球面上的每一点都有x，y，z坐标，这些值总是满足方程。（一）.当一个问题被认为是一个领域，首先想到的例子是地球的几何相似性的一个领域。穿过球心并以球体为界的圆是一个大的圆，称为地球赤道当两点之间的最小距离，即，被认为是沿着下横截面的球体上的测地线。这些曲线被称为球面上任何表面上的测地线，使它们之间的距离最小化[37]。2.1. 球面上点的数学表示法欧几里得曲线只有一维。这些曲线可以通过沿3D曲线的称为u的单个参数来定义。换句话说，根据参数u指出笛卡尔坐标。曲线上的任何一点都可以根据给定的参考笛卡尔坐标Fig. 1. 球面和半径。每个笛卡尔坐标值是表面参数u和v的函数，它们在0和1之间变化。以原点为中心的半径为r的球面的坐标可以由方程定义（5）[17]：xu;vr：cosmos 2pu：sinospv【十七】：Pu xu;yu;zu2yu;vr：sina2pu：sinapvzu;vr：cosmosð5Þ通常，坐标方程可以以参数u在0和1之间描述的方式建立。例如，xy平面上以原点为中心的圆以下面给出的参数形式定义[17]：x u r：cosmos 2puyuzhur：sina2puz u 0;06u61 3圆和圆曲线也可以用其他参数形式定义倾斜的欧几里德表面是由参数u和v描述的二维变体。表面上的坐标位置可以由参数化向量函数表示，其中u和x、y和z坐标值的v参数[17]。u其中，参数u和v分别定义了表面上的纬度恒定线和经度恒定线[17]。为了说明，根据方程计算参数u和v的不同值的x、y、z坐标（5）并在表1中给出。注意，r被取为1，并且随着值x、y、z的值也应该以相同的方式增加2.2. 求单位球面上所有点对之间的最短距离在球面上，两点（P1，P2）之间的最小距离是沿着一个大圆的弧（图1）。 2）的情况。因此，在弧度中，1244H. Eldem，E.Ülker/Engineering Science and Technology，an International Journal 20（2017）1242aBIJ一表1不同参数u和v值的球面坐标uvXyz00001000.5111.2204646 e-16 06.123233e-17-10.50.500.50-101.224646e-1616.123233e-170.51101.224646e-16 1.499759e-32 10 0 110.51-2.449293e-16 6. 123233e-171 1 1.224646e-16-2.999519e-32 1角θ（h）的值可以用在两个矢量V！1和V！二、两个向量的标量积是[37]：小维1·V！2½jV！1jjV！2jcosh2016其中h是两个向量方向之间的小角度。小维1·V！2¼P1XP2XP1YP2YP1ZP2Z7向量V的大小！1和V！2对于单位球面上的点是1。最短距离是[37]：你好！1·V！2Þð8Þ该问题是一个非欧TSP问题，不同于欧TSP问题。因为在欧几里得TSP中，两点之间的最短距离（Pi，Pj）是通过使用欧几里得距离（直线）而不是弧长来计算的[37]。球面上的点距离矩阵与对称TSP（d（Pi：Pj）= d（Pj：Pi））相同。3. 在单位球面上用蚁群算法（MMAS）应用于球体表面的三维TSP不同于普通的二维TSP。在二维空间中，蚂蚁只在一个平面内移动.但在三维TSP中，销售人员（代理、蚂蚁等）只能通过表面在两点之间移动（而不是通过球体内部）。在这项研究中，TSP点是在球面上。类似于标准TSP，所要解决的问题可以描述为检测机器人的最短旅行距离移动位于球体表面上的所有点（具有已知坐标和存储的距离矩阵的总共N个点）并返回到原点。本研究的目的是利用蚁群算法改进信息素更新的MMAS方法来解决上述问题。根据等式（8）、该问题的解等于标准TSP，经过计算每对点之间的距离在此步骤之后，可以通过每种方法来检查问题的解决方案，以解决在引言部分的文献综述中描述的TSP在这篇文章中，一个特定数量的随机生成的点的解决方案，获得了每一个迭代使用MMAS。MMAS的总体结构为所有边设置初始信息素水平;将蚂蚁放置到问题上的随机城市;对于每次迭代：根据概率函数，将每只蚂蚁移动到下一个城市对于每只蚂蚁，完成一次完整的旅行：如果蚂蚁如果新的信息素水平> s max，则计算最佳蚂蚁路径的每条边上的信息素设置信息素水平为s最大，否则如果信息素水平为s最小，则设置信息素水平为s最小应用信息素更新;如果（迭代最佳路径比全局解短），则将全局解更新为迭代最佳路径端直到所有的蚂蚁都完成了它的解决方案端根据该一般结构，首先，调整ACO算法的参数的初始值。这样，调整点之间每个角点的初始信息素数据，并将其写入信息素矩阵。距离矩阵，其中每个点到所有其他点的距离由等式给出。（8）得到。首先，在蚁群算法中，每个代理蚂蚁，帮助解决问题，是随机分布在节点（城市）。在每一次迭代中，蚂蚁选择下一个城市，他们将根据方程。（九）、（½sij：½gij]]pkP½sikt]：½gik]b如果j2允许，则k图二. 测地线：球面上两点之间的最短距离[37]。在某一时刻，t;sijt是在弧上留下的标记的密度gij，即，可见度是dij的乘法倒数。dij是球面上i点和j点之间的距离。A和B是根据信息素的可见性控制信息素重要性的两个参数。在完成每只蚂蚁的旅行之后，即，并且分别执行信息素的蒸发和更新密度过程。随着蒸发，H. Eldem，E.Ülker/Engineering Science and Technology，an International Journal 20（2017）124212451/4 MMAS表2使用GA[37]和ACO（MMAS）计算单位球体表面上N= 100、150、200、250、300、350和400个点的平均球形TSP行程长度进化Number个点number100150200250300350400GAACOGAACOGAACOGAACOGAACOGAACOGAACO1090.119424.810157.644329.861227.233737.717299.179942.686374.184146.633441.312750.870532.628854.7062072.046724.745132.987229.796187.765737.564265.236642.262333.550446.588393.696750.508472.203654.3253053.030624.676100.984129.762162.887337.420224.234142.150288.002446.450353.174950.456439.49654.2604042.692224.64782.258829.623141.721137.461200.055642.024259.662246.432323.288850.350393.745754.0375037.194224.40170.573729.615115.115537.657165.567442.155226.118346.371291.178950.234354.37554.1366005004003002001000605040302010010 20 30 40 50进化数（一）ACO10 20 30 4050进化数（b）第（1）款100150200250300350400100150200250300350400同时，由蚂蚁提供的最佳解是将提供全局最佳位移的解，并且是迭代完成时的最佳最终结果。4. 实验结果在该实验中，针对单位球体的N= 100、150、200、250、300、350和400个点测试MMAS。对于每一个N值，在单位球面上重复求解TSP的MMAS算法100次。不是使用预定义的点集来概括单位球体中的结果，而是为每个试验创建一组新的随机点。就像Dorigo等人的论文中，a和b参数的默认值分别为1和5。并且信息素踪迹蒸发参数q也被设置为0.5[6]。在本文中，在案例研究#1中，我们的方法ACO（MMAS）的结果与[37]中给出的GA方法进行了比较。在案例研究#2中，将使用ACO（MMAS）算法获得的结果与新型离散布谷鸟搜索算法（DCS）[29]的结果进行了比较，DCS的性能优于基于GA的方法。结果采用Matlab R2010a软件进行计算。U gZaghur等. [37]用遗传算法计算了球面上TSP的结果对于不同的GA世代大小（10、20、30、40和50代），对于N= 100、150、200、250、300、350和400个点。对于每一代人，Uguretal. [37]将GA种群大小固定为100。在每一代中观察到的群体中个体的突变可以称为进化。总进化量等于种群规模乘以世代数对于文献中的TSP在这项研究中，球形TSP解决方案被应用考虑到这个等式。为了与文献中的GA[37]结果进行公平的比较，并实现MMAS的相同数量的进化，通过使用Eq.（十）：旅行次数世代数×种群数蚂蚁数量MMAS图三.通过GA[37]和ACO解决方案建立的单位球面上不同数量点的平均行程长度。也许有可能忘记错误的解决方案，并通过防止信息素积累给新的旅游机会。在表3ð10Þ对于最佳的旅行长度，得到了不同进化数的结果，即，10、20、30、40和50个演变。对于所有模拟，常数为a= 1，b= 5和q= 0.50（蒸发系数）。 蚂蚁的数量使用ACO（MMAS）计算单位球体表面上N= 100、150、200、250、300、350和400个点的平均球形TSP巡回计算时间进化数数量的点100150200250300350400GA旅游景点旅游景点1246H. Eldem，E.Ülker/Engineering Science and Technology，an International Journal 20（2017）1242时间（秒）时间（秒）时间（秒）时间（秒）时间（秒）时间（秒）时间（秒）105,799,4512,6816,8125,4727,7838,202018,5230,0139,4350,9352,6755,7864,213027,4342,4558,4475,7078.7383,65102,734024,6243,4860,1676,2787,78108,93127,015028,0745,7563,1283,90108,64139,08167,39H. Eldem，E.Ülker/Engineering Science and Technology，an International Journal 20（2017）12421247表4使用DCS[29]和ACO（MMAS）计算单位球体表面上N= 100、150、200、250、300、350和400个点的最佳球形TSP行程长度进化点数Number100150200250300350400DCSACODCSACODCSACODCSACODCSACODCSACODCSACO1025,541222,762831,171428,898036,594034,553741,140440,408845,611143,964745,633644,166952,295051,75972025,412022,671531,195228,774436,469734,481440,950639,151245,354043,725145,335744,152451,955550,77833025,384622,340530,997528,652236,453834,457940,828039,077045,277343,741145,228444,101951,830450,68084025,340922,314730,976828,055036,385634,220040,762238,958045,236742,712245,107944,069251,742950,66075025,334122,294430,973527,989436,379234,173440,755738,744145,200542,319845,091843,946251,672549,5383ACO605040302010010 20 30 40 50进化数（一）60DCS5040302010010 20 30 40 50进化数（b）第（1）款100150200250300350400100150200250300350400如在UgBogurr等人中所述。[37]并给出了结果。但是，在UgZurur等人[29]中，仅将DCS的最佳结果与GA进行了比较。在本文中，表2所示的结果表明，所提出的ACO发现的迭代的平均结果在案例研究#2中，将ACO计算的最佳巡视距离与DCS在表4中，当300点的进化数取为40时，用ACO获得的行程长度为42.7122，用DCS获得的行程长度为45.2367。在所有100分的评价数字对于其他各组点（150、200、250、300、350和400），ACO方法比DCS方法对每个进化数更有效。当检查图4和表4时，可以看出ACO（MMAS）的行程长度在[22，52]范围内，DCS的行程长度在[25，53]范围内。当比较DCS和ACO的结果时，参见表4的另一列，观察到ACO算法的结果对于球形TSP比DCS成功。N =100、250时，由SphereTSP400个点，如图5和图6所示。对于图5和图6，分别以透明模式和立体视图同时查看所有点和路线5. 结论球面几何显示出与欧几里德几何的不同.在平面几何中，最短距离由直线给出，而在球面几何中由大圆形成。也就是说，两点之间的距离是通过球体表面上的曲线而不是直线传播的。其中，考虑了角距离。本研究的贡献，它是建议ACO（MMAS）算法提供可靠的结果，解决球形TSP。蚁群算法（MMAS）在球形TSP问题上取得了成功，在现有的平面TSP问题上也能得到最优解当所提出的方法的结果和见图4。 单位球面上不同量点的最佳巡视长度由DCS和ACO创建[29] 解决方案等于所有实验的点（城市）数。将所提出的ACO（MMAS）方法计算的平均行程距离与GA同时，平均计算时间如表3所示。这些值是在球体的单位表面上获得的。如果检查表2，当150个点的进化数取为50时，用ACO得到的行程长度为29.615，用GA得到的行程长度为70.5737。例如，当进化数为50时，对于250和400点，GA的巡回长度分别为165.5674和354.375，ACO的巡回长度分别为42.155和54.136。当比较GA和MMAS结果时，可以观察到，考虑到表2中的其他列，对于球形TSP，MMAS算法的结果比GA成功得多。在文献[29]中，离散布谷鸟搜索算法（DCS）也使用相同的生成大小和点数进行了测试通过遗传算法的球形TSP的应用，由UgZerour等人给出。[37]的结果进行了比较，可以看出，对于球形TSP，蚁群算法比遗传算法更成功。当最佳结果为球形TSP的建议ACO方法和DCS 欧阳法等[29]进行比较，ACO在球形TSP的所有最佳结果中比DCS在未来的研究中，作为一个建议，其他启发式方法中使用的TSP解决方案，如粒子群优化（PSO），可以测试球形TSP解决方案。同时，还可以混合利用启发式方法研究球形TSP问题.可以预见，随着算法进化和迭代次数的增加，单位球面的优化结果会进一步提高。通过改变ACO常数的取值，可以得到更好的优化结果TSP在球面条件下的应用和所提出的方法对地球表面运动的规划具有重要意义。对于由于运输等各种原因而需要在地球表面不同地点行驶的车辆，该方法可以用来优化费用-时间问题。旅游景点旅游景点1248H. Eldem，E.Ülker/Engineering Science and Technology，an International Journal 20（2017）1242图五.在球体上随机放置100、250和400个点，获得最短路径的透明视图。见图6。在球体上随机放置100、250和400个点，获得最短路径的立体视图。H. Eldem，E.Ülker/Engineering Science and Technology，an International Journal 20（2017）12421249提出的方法有利于理解现实世界中每个球形物体上蚂蚁（agent）的行为。同时，使用蚁群算法，元启发式方法和混合方法的优化问题的3D形状，包括球体可以为不同的研究灵感的来源。引用[1] S. Chen C.，马缨丹属陈文龙，遗传蚁群算法在求解旅行商问题中的应用，专家系统。Appl. 38（2011）3873-3883。[2] A. 科洛尔尼湾Dorigo，V.Maniezzo，蚂蚁殖民地的分布式优化，Elsevier出版社，阿姆斯特丹，1991年，pp. 134-142。[3] A.科洛尔尼湾Dorigo，V. Maniezzo，An investigation of some properties of anantalgorithm，North-Holland，Amsterdam，1992，pp. 509- 520[4] G.丹齐格河Fulkerson，S. Johnson，一个大规模旅行商问题的解，J。操作员Res. Soc.2（1954）393-410。[5] M.李文生，最佳化、学习与自然演算法，国立台湾大学，1992。博士 论文[6] M. Dorigo，V. Maniezzo，A.陈文，蚁群系统：一个多智能体系统的优化设计，北京：计算机科学出版社，2000。B部分Cybern。26-1（1996）29-41。[7] M. Dorigo，L.M. Gambardella，蚁群系统：旅行商问题的合作学习方法，IEEETrans.Evolut。Comput. 1（1）（1997）53-66。[8] M. Dorigo，L.M. Gambardella，旅行推销员问题的蚁群，BioSystems 43（1997）73-81。[9] H. 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