MASTER程序中的鲁棒控制方法和国际控制联合会控制教育

Weuy-G（s）R（s）第九届国际会计师联合会控制教育进展国际自动控制联合会，俄罗斯下诺夫哥罗德，2012年MASTER程序中的鲁棒控制方法控制论V. 你好，D。Voz'ak斯洛伐克共和国布拉迪斯拉发斯洛伐克理工大学电气工程和信息技术学院EURPI（电子邮件：（vojtech.vesely; daniel.stuba.sk）。翻译后摘要：本文解决了这个问题，以认识到在我们的研究所的鲁棒控制器设计的水平，并显示学生课程的实施的困难本文的第一部分介绍了单输入单输出系统鲁棒控制器设计的研究概况，并对结构和非结构不确定性的鲁棒控制器设计进行了推广。论文的第二部分是MIMO系统。在频域鲁棒控制器设计过程中，我们简化为SISO子系统的独立设计，在时域中，采用多面体系统描述的LMI或BMI方法是有利的。关键词：鲁棒控制，频域，时域，多面体系统，李雅普诺夫函数，线性系统1. 介绍在过去的几十年里，鲁棒性已被公认为控制系统分析和设计中的一个关键问题。基于类小增益鲁棒性条件的鲁棒控制设计方法的发展史始于Zames的开创性工作只有在20世纪80年代末才找到了这个问题的实际解决方案。值得一提的是一些代数方法，这些方法鲁棒控制系统设计理论属于研究由标称模型和模型不确定性描述的实际对象这是一个模型批准的实际工厂，然后有没有差距的控制理论和实际测量所获得的结果因此，鲁棒控制理论是一门很有收获的理论。本文主要研究了两个鲁棒设计问题。首先考虑了具有结构不确定性的不确定系统的鲁棒镇定问题，对于单输入单输出系统，系统的传递函数为线性或多线性区间;对于多输入多输出系统，系统的传递函数为多面体描述第二章研究了一类具有非结构不确定性的SISO和MIMO系统的鲁棒分散控制器设计问题论文的最后一部分是专门的三个实验室练习的结果。在我们的课程中，2. 鲁棒控制器设计2.1 频域。结构不确定性考虑一个闭环系统，该系统包括标准反馈配置中的被控对象G（s）∈Rm×m和控制器R（s）∈Rm×m的传递函数矩阵，图1Fig. 1.标准反馈配置其中w、u、y、e分别是兼容尺寸的参考、控制输入、输出和控制误差的矢量本文所要解决的问题是一个鲁棒分散控制器的设计R （ s ） =diag{Rii （ s ） }m×m（ 1）这保证了受控设备G（s）的整个操作范围内的闭环稳定性和性能考虑具有以下类型不确定性的SISO对象（m= 1）：线性区间，多线性和非线性情况。设被控对象和控制器的传递函数为本文所述的鲁棒控制器设计的基本理论，读者可以在Kharitonov（1979）; Bhattacharyya等人（1995）; Skogestad，Postleth-G（s）=P1（s）P2（s）R（s）=R1（s）R2（s）（二更）1996年，《我爱你》（Koz'akov'aetal.） （2009）;Ve esely′etal. （2011）;当Pi（s），i=1，2时Rosinov'a，Vesely' （2007）; Grman et al.（2005年）。Pi（s）=poi+p1is+. . +pnisni（3）这项工作得到了斯洛伐克科学资助机构的NAP V V−0211− 10和1/ 1241/ 12与pji∈∈Qi;i=1，2;j=1，2，. ，ni© 2012 IFAC 84 10.3182/20120619-3-RU-2024.000172012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会85））考虑以下关于线性区间多项式的假设- pi∈Qi，i= 1，2中的元素相互独立地受扰动- 被控对象和控制器的特征多项式是同阶的。根据Bhattacharyya et al.（1995）闭环稳定性问题可以使用广义Kharitonov定理定理2.1. 对于 给定 的实多 项式R （s）= [R1（s） R2（s）]：- R（s）镇定线性区间多项式P（s）= [P1（s）P2（s）]当且仅当控制器镇定极值传递函数K1（s）[S1（s）ii = j，i，j = 1，2，...，p 2 p−1; λ∈<0，1>i和j都必须取为对应边的顶点数。一般来说，极值传递函数（4）和(10)是完全不同的。当GE（s）的个数为32时，GP（s）的个数与不确定参数qi的个数成指数关系。对于多线性不确定性的情况，设不确定的对象传递函数为：G（s）= P11（s）P12（s）. P1n（s）（11）P21（s）P22（s）. P2d（s）其中P ij（s），i = 1，2; j = 1，2，...， n（d）属于线性区间多项式。设K ij（s）和S ij（s）分别表示相应的Kharitonov多项式和相应的P ij（s）的Kharitonov分段。以下GE（s）={S2（s）（四）K2（s）Bhattacharyya et al. （1995年）定理2.3. 控制器R（s）= [R1（s）R2（s）] stabi.- 此外，如果控制器多项式具有以下形式：Ri（s）=sti（ai s+bi）（Ui（s）Zi（s），i=1， 2（5）则如果控制器R（s）稳定将多线性系统（11）用于不确定性框，当且仅当多项式R（s）稳定以下极值传递函数（ETF）第11（s）条. S1n（ s）[ K11（ s）.K1n（ s）Kharitonov传递函数ME（s）={K21（s）.K2 D（s）S21（s）.S2D（十二）（s）K1（s）GK（s）=K2（s）（六）对于不同类型的不确定性，可以获得不同数量的ETF。在实验室练习中，学生可以其中Ki（s）={Ki（s）1，Ki（s）2，Ki（s）3，Ki（s）4}表示对应于每个Pi（s）的Kharitonov多项式，并且鲁棒控制器设计过程分两种方式实现- 利用Nejmark D-划分方法，计算所有ETF的控制器参数。1 2 1 3Si（s）={[Ki（s），Ki（s）]，[Ki（s），Ki（s）]，. .（7）. . [Ki（s2，Ki（s4]，[Ki（s3，Ki（s4）其中Pi（s）是Kharitonov分段，Ui（s）是反Hurwitz多项式，Zi（s）是奇或偶多项式，ai，bi是正数，ti≥0是整数。注意S（s）1= λK（s）1+（1 − λ）K（s）2; λ ∈<01>。- 设计鲁棒控制器的稳定性最坏的情况下ETF检查是否满足所有ETF的稳定性和性能条件。如果否，确定ETF+控制器的新最差情况并设计新控制器。对于这种迭代过程，我们主要使用BODE图方法和相位裕度的概念。2.2 频域。非结构不确定性我我我设G（s）的植物传递函数写成以下仿射形式布吕普本节讨论使用不同不确定性类型的MIMO和SISO系统不确定性的标准反馈配置G（s）=P1（s）=P0，1（s）+Pi=1Pi，1（s）qi（八）由附加不确定性描述的系统描述于P2（s）P0，2（s）+pi=1 Pi，2（s）qi图二其中，Pj，1（s），Pj，2（s），j= 0，1，.，p是具有常数参数的实多项式，不确定性参数q i来自区间q i∈< q i，q i>i= 1，2，.， p描述（8）表示线性系统的多面体，其顶点是G （s）= Pv1，j（s） j = 1，2，...，N; N = 2 pvjPv2，j（s）（九）2012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会86图二. 带添加剂的不确定对于不同的变量q i，i = 1，2，.，P交替地取它们的最大值Qi和最小值Qi。基于边定理，可以得到定理2.2. 具有实多项式的控制器R（s）= [R1（s）R2（sq∈Q当且仅当控制器镇定以下极值传递函数上面的框图可以很容易地转换成M−Σ结构，Skogestad，Postlethwaite（1996），其中对于两种（加性和逆加性）不确定性类型，已经获得了Ma（s）=−[I+R（s）GN（s）]−1R（s）Mai（s）= [I+GN（s）R（s）]−1GN（s）（13）G（s）=λPv1，i+（1−λ）Pv1，jP λPv2，i+（1 −λ）Pv2，j（十）鲁棒闭环稳定性条件由以下定理给出，Skogestad，Postlethwaite（1996）。2012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会87定理2.4. 假设标称闭环系统Mk（s），k=a，ai是稳定的，不确定性满足下列不等式02反正弦（1M2MT ）;PM2016 - 02 -2200：00：00第一章2个月0t=0T T TJ（ t）= x（ t） Qx（ t）+ u（ t） Ru（ t）+ δx（ t） Sδx（t）GL2012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会88可以确定相位裕度PM，并且从AFB稳定时间到鲁棒控制器的- 对于所设计的控制器，检查鲁棒稳定性条件（18）、（19）和所有子系统的性能的验证- 如果满足稳定性和性能条件，则完成设计过程，如果不满足，则增加相位裕度（建立时间改变）- 对于稳定的对象，我们使用加性不确定性，对于不稳定的逆加性不确定性。其中Q，S∈Rn×n，R∈Rm×m是对称正定（半正定）和正定矩阵.保证成本控制的概念以标准方式使用：定义2.1. 设 存在反馈增益矩阵F和一个常数J0（x0），使得J≤J0（x0）（27）对于闭环系统（24）成立然后，相应的控制（23）被称为保证成本控制，2012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会89幅度（dB）我CIJ0（x0）的值是初始状态为x0的闭环系统的保证成本。设V（α）是不确定闭环系统当控制器参数矩阵Kp，Ki，Fd未知时，不等式（32）转化为双线性矩阵不等式（BMI）.system（24）. 从LQtheory，seeRosinov′a，Vesely′（2007）具有保证成本的系统（24）的鲁棒稳定性的以下引理成立。引理2.1. 控制算法（23）是闭环系统（24）的保成本控制律，当且仅当存在V（α）> 0和常数矩阵F，使得以下不等式成立B （ α ） =δV （ α ） +J （ t ） 0;<（ 28）此外，从初始时间t0到t→ ∞，得到−V（t0，α）+J00<（29）具有不等式（29）的定义（2.1）提供了保证成本J0=V（t0，α）对于具有控制律（23）的闭环系统（24）本文这一部分的主要目的是展示我们用来设计实验室工作的鲁棒PID-PSD控制器的过程，该控制器使不确定多面体系统（20）稳定，具有保证的成本和参数依赖的李雅普诺夫函数，定义为：中国P（α）=aiPi，其中Pi=PT> 0（30）i=13. 案例研究在这一部分中，本文描述了三个实验室工作的鲁棒控制器在第一种情况下，磁悬浮模型已被考虑。问题是要设计一个强大的PID控制器，将保证稳定性和所需的性能方面的相位裕度在整个操作范围内的植物。磁悬浮线性化模型如下G（s）=y（s）=kmu（s）为2+bs−1给出了磁悬浮的线性区间模型：Km∈<2。四六。8>; a∈<1. 344. 025>10−4; b ∈<1。5. 3895> 10−6。让要求闭环性能的计算公式为MT=1 .一、6，MS = 2，相位裕度大于PFM= 72度。利用ETF（4）和BODE方法，得到了鲁棒PID控制器的传递函数. 02748 s2+ 1。278秒+8。162R（s）=S开环系统极值传递函数最差稳定情况的波特图见图3PID控制算法被认为是阿勒特伯德图Gm = −8.76 dB（17.2 rad/sec），Pm = 72.9 deg（153 rad/sec）6050u（t）=Ky（t）+K y（t）dt+Fystec（t）（31）40P I d d02010比例和积分项可以以定义辅助的常见方式包括在状态向量中。阿勒特0−10−−9200statez=y（t），i. e. zstec（t）=y（t）=Cx（t）和dystecd=Cdxst e c（t）。0−135鲁棒PID控制镇定的主要结果是在下一个定理中总结定理2.5. 考虑具有PID控制器（31）和成本函数（26）的连续不确定线性系统（20）、（21）。以下语句是等效的：−180−225−270−1100 1 2 310 10 10 10频率（rad/sec）- 闭环系统（24）是鲁棒稳定的，具有PDLF(30)以及关于成本函数（26）的保证成本：图三.开环系统J≤ J0= xT（0）P（α）x（0）.- 存在由（30）定义的矩阵P（α）>0，和H，G、F和Fd的相应尺寸，使得Σ图4中的奈奎斯特图中的圆圈定义了奈奎斯特图的ATHT+HAQ+CTFTRF CT TPi− Mdi H+ G 的c1中国（32）最差稳定性情况下的闭环阶跃响应为如图5T0−MdiG−G Mdi+SACi=（Ai+Bi FC）表示第i个闭环系统顶点，Mdi包括PID相位（度）302012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会90控制器的导数部分：Mdi=I−Bi Fd Cd。注意，鲁棒稳定性条件（32）是用于稳定性分析的LMI形式。对于鲁棒PID控制器设计，针对具有人工交互的两容过程（TTP），设计鲁棒PI控制器的设计过程被描述为2× 2 MIMO系统的第二组和第三组实验练习。在3个不同的工作点（阀门位置与蓄水池流量、水位）确定了TTP。为2012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会91奈奎斯特图6420−2−4−6−6 −4 −2 0 2 4 6实轴见图4。带禁区的奈奎斯特图见图6。鲁棒稳定性条件图7和图8示出了从第一和第二子系统的真实工厂获得的1.510.50阶跃响应0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.91时间（秒）图五.闭环阶跃响应如果两个工作点不允许以下故障排除，则可能会出现故障-见图7。1.子系统的实际工厂阶跃响应0。0424 s+。854得到：G（s）=1.26。93秒2+ 8。922s+ 1. 2510秒+ 1秒10.29s+10。0443s+0。901424岁82秒2 + 7。834s+ 1本文所述的鲁棒控制器设计对于ESM的过程，对于稳定时间ts= 50s，相位裕度Ph=70度和附加型不确定性，获得用于第一和第二子系统的以下控制器：1. 子系统P = 0。876，I = 0。1405，D = 02.子系统P = 0。8363，I = 0。1278，D = 0第一个工作点的闭环系统的特征值为Eig ={− 0。1144 ±i0. 1949年;-0. 1106± i 0. 1662年;-0。1096± i 0. 0198;-0。0698}坚固耐用加法型不确定性（18）的稳定性条件是在Fig.6中。将上述TTP系统视为时域上的多面体系统。鲁棒PI控制器可以使用（32）的结果来设计在参数Q = qI下，q = 0。000001; R = rI，r = 1; S = sI，s = 0; S = 8（Pmax），两个不确定性和四个顶点一个，得到如下PI控制器：1.子系统P = 1. 6094; I = 0。16852.子系统P = 0。6661; I = 0。0723阶跃响应虚轴振幅2012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会92图八、实际工厂阶跃响应。2.子系统2012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会934. 结论本文综述了鲁棒控制器的设计方法。它是在控制论领域为我们的学生提供的课程中研究的。对于单输入单输出系统，利用小增益原理，针对区间系统和非结构不确定性，设计鲁棒控制器。对于多输入多输出系统，我们的注意力集 中在 两 个 方向 上 ， 使用 多 面 体系 统 的边 缘 定 理和Ljapanese函数和非结构不确定性的小增益定理，主要是最近发展的等效子系统方法。在实验室中，每个学生获得控制器和一个真实对象，他的练习的主要目标是识别真实对象，创建两个模型不确定性（多面体系统和可加性（乘法...）或逆加法（乘法 ）不确定性），de-用定义的参数对鲁棒分散控制器进行签名，并在实际对象上检验所得结果。引用A.C. Barlett，C.V. Hollot，and H.整多项式多胞形的根的位置：只需检查边。数学控制，信号和系统，1，第61-71页，1988年。S.P. Bhattacharyya，H. Chapellat和L.H.龙骨鲁棒控制：参数方法。Prentice Hall，Englewood Cliffs，1995年L. Grman，D. 我不想去，维。 我很高兴，还有A。 Koz'akov'a.多面体系统的鲁棒稳定性条件。IJSS，2005年12月36日，N15 15，第961-973页。V.L.哈里托诺夫一类线性微分方程组平衡点的渐近稳定性。Differential Equations，14，1979，1483-1485.A. Koz 'akov'a，V. 我也是，还有J。 OSUSKY'。鲁棒分散控 制 器 的 一 种 新 的 基 于 Nyqist 的 整 定 方 法Kybernetika，Vol.45，N1，2009，63-83.D. 我不知道，我也不知道。 我知道了。用线性矩阵不等式设计RobustPID-decentralizedControllerInternationalJournalofComputers ， CommunicationsandControl ，2007，195-204.S. Skogestad，J. Postlethwaite.多变量反馈控制：分析与设计。John Wiley and Sons，1996年V. 你好，D。 我不想去了。 Koz'akov'a. 鲁棒控制器设计：时域和频域中的新方法，见鲁棒控制理论与应用编辑。巴托 谢 维 奇 河 Intech ， 2011 年 （ 免 费 在 线 版 本www.intechopen.com）