非线性离散动力系统的稳定可积解

Journalof the Egyptian Mathematical Society（2011）19，91埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems短通信非自治间断动力系统A.M.A. El-Sayeda，*，M.E.纳斯尔湾a埃及亚历山大，亚历山大大学理学院b埃及Benha 13518 Benha大学理学院2011年11月9日在线发布本文研究线性和非线性非自治间断动力系统的一致李雅普诺夫稳定可积解的存在性。2011年埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 引进有间断（可积）解xta1½t]x2L0;T];其中½：]是苞片功能：离散动力系统[1，4]x n<$ax n-1;n<$1; 2.. .ð1ÞRo1ð6Þx0¼ c：1200有离散解x n<$A n x0; n<$1; 2. ：3000更一般的动力系统x≤t≤ax≤t-r≤;t2≤ 0;T]且r>0≤ 40xtxo;t60：5*通讯作者。电子邮件地址：amasayed5@yahoo.com，amasayed@hotmail.com（A.M.A.El-Sayed）。1110- 256 X？ 2011埃及数学学会。制作和托管由Elsevier B. V. CCBY-NC-ND许可下开放访问。非线性离散动力系统xn<$fxn-1;n<$1;2. . .ð7Þ初始数据（2）x0¼ c有离散解xn<$fnxo;n<$1;2.. .ð8Þ但非线性问题xtfxt-r;r>0 9与初始数据（5）相比，问题（7）更一般（14）且有间断（可积）解x¼f1½t]x2L0;T10同行评审由埃及数学学会负责。doi：10.1016/j.joems.2011.09.006制作和主办：Elseviernro1因此，我们可以称系统（4）-定义1.间断动力系统是滞后型泛函方程XZJ2XXJ.XXt！01XZXJJ21ZJn¼n1/1我第1页j f it; x1; x2;. ; x n = 0; y; y;. . ; y j 6 k ijxj-yj;e-Nsjjgjsj -gωsjjdsjjg-gωjje-Nujxju-xωujdue-编号j jjgj-gωjjXZXPJ凌晨92点 El-Sayed，M.E. Nasrxtft;xt-rt;r;t>011xtgt;t2-1;0]：12设L1[a，b]，-1ab<1是Lebesgue类<0是任意的jjFi xi-Fi yjjn6kie-Nrj不e-Nt-rjjxjt-rjt -yt-rjjdt并让nL1[a，b]，-1ab<1是Lebesgue类<<我L1≤0;T]J10可积列向量X（t）=（x1（t），x2（t），. . . ，xn（t））0de-[a][b][a][bn¼kin第1页 e-Nrj不e-Nt-rjjxjt-rjt -yt-rjjdtRJjjXjjnL1½a;b]¼ XZbe-Nt jxktjdt;xk2L1½a;b];N>0是任意的nnke-NrjZT-rje-Nsjjxs -ysjdsk¼0一我10JJJJ本文证明了非自治非线性间断动力系统存在唯一的一致李雅普诺夫稳定解xL1[0，T6kinnn=1e-Nrj不e-Nsjxjs -ysjds0x itf it; x1t-r1;x2t-r2;. ; x nnt-r nn t;t;r i> 0ð13Þxitgt2L1-r;0];limgtxi0;i1;2.. . ;n这意味着6kie-NrjjjX-Yjj第1页XnnL1≤ 0;T]：我我t！0ð14Þ外汇-上一财年，1/1jjFi xi-Fi yijjL1≤ 0;T]其中r = min{r1，r2，.. . ，rn}。的非自治线性不连续 动力学n6ki1/1n第1页e-编号j！X-YjjnL1≤ 0;T]：系统xitXaijxjtXbijtxjt-rj15选择足够大的N，使得 < 1我们通过压缩不动点定理推导出存在2第1页第1页问题（13）-（14）[3]的唯一解xL1（0，T现在考虑由Eq. （ 13）和xitgit2L1-r;0];limgitxi0其中a和r> 0，r = min{r，r，.. . ，r}是常数，初始数据xitgωit2L1-r;0];limgωitxωi0;i国际新闻报1 2Nt！0b ij是（0，T]，T上的有界函数，<其中i，j = 1，2，.. . ，n将被研究。四分之一;二... ; n：1600然后我们有2. 非线性系统考虑非线性非自治非线性间断，jjxi-xωijj6kin第1页e-编号j不e-Nt-rjjxjt-rjt -yt-rjjdt0我们的动力系统（13）和（14）。定理1. 如果函数fi，i=1，2. . n是连续的，¼kiþn第1页ZT0e-编号jZrj0e-Nt-rjjgjt-rjt-gωt-rjjdtΣ[0，T]且满足Lipschitz条件Xn12nJ第1页e-Nt-rjjxjt-rjt -yt-rjjdtXn“Z0第1页-RJJ则不连续动力系统（13）和（14）有唯一的可积解xL1（0，T]，T<.这个解是一致李雅普诺夫稳定的，T-rjþ0Xne-Nsjjxjsj -xωsjjdsZH0- -J6e>0，存在d>0，使得Xn6ki第1页ZT e-编号je-Nhjgjh-gωhjjdhΣ我1/1 0，r = min{r1，r2，.. . ，rn}是常数，bij是（0，T ]，T1上的有界函数<，其中i，j = 1，2.. . ，n.设（13）中的fi由下式给出：六、1-nKi1/1n第1页e-编号j-1nKi1/1n第1页e-Nrj！ jjG-GωjjL1-r;0]ð18Þfit;x1t-r1;x2t-r2;点;xnt-rn¼n第1页bijtxjt-rj：结果如下。考虑由Eq. （十三）x it f it; x1t-r1;x2t-r2;. ; x nt-r nn t;t;r i> 0和初始数据x itx io;t 6 0;i 1; 2. ;n：119然后可以证明下面的推论 H然后，用与定理1相同的方法，我们可以证明下面的定理定理2. 设bij（t）在（0，T]上有界.则间断动力系统（23）和（14）有唯一的可积解xL1（0，T]，T<.该解是一致李雅普诺夫稳定的。现在考虑不连续动力系统（15）推论1. 如果满足定理1的假设，则不连续动力系统（13）和（19）有唯一的可积解x2L1（0，T]，0的意义下是一致李雅普诺夫稳定的，存在d>0使得 Xnxitgit2L1-r;0];limgitxi0其中a i j和r j> 0，r = min{r 1，r 2，.. . ，rn}是常数，1jjXo-Xωo jjω¼1/1 jxio-xωiojd;蕴含jjX-XωjjnL1≤ 0;T] 020证据 让1B（t） =（b（t）），CtI-A-Bt1 2niPnabt;则c（t）在（0，T]上有界。x最大值x最小值g最大值2L1-r;0];limg最大值x最大值0;r最小值fr1;r2;。 . . ;rngð21Þ有唯一的可积解x L1（0，T].该溶液一致Lyapunov稳定例1.设q是（0，T]上的有界函数. Logistic方程xtqtxt-r11-xt-r2;t>0且r2>r1>0ð22Þ与初始数据令0表示矩阵的转置，并在形式XtA XtBtx1t-r1;x2t-r2;.. . ;xn=0;然后I-A. ;xn=0;这意味着XtI-A-1Btx1t-r1;x2t-r2;. . ;xt-rn0（15）可以写成Xn1 1t！0第1页6Ki：1717第1页xicijtxjt-rjXX有唯一的可积解xL1（0，T].该溶液一致Lyapunov稳定证明由定理2得出。H推论3. 不连续动力系统（15）3. 线性系统考虑线性非自治非线性不连续nxi第1页aij xjtn第1页bijtxjt-rj方程动力系统x itx io;t 6 0;i 1; 2. ;n21凌晨94点 El-Sayed，M.E. Nasr有唯一的可积解xL1（0，T]，T<.该解是一致李雅普诺夫稳定的。引用[1] S. Elaydi，An Introduction to Difference Equations，第三版，Springer，2004.[2] G.A. Coddington，N.列文森，微分方程理论，麦格劳-希尔图书公司，纽约，1955年。[3] R.F. Curtain，A.J. Pritchard，现代应用数学中的泛函分析，学术出版社，1977年。[4] 吸毒过量Galor，Discrete Dynamical System，Springer，2007。