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理论计算机科学电子笔记165(2006)121-132www.elsevier.com/locate/entcs使用“I m a ge”类型构造函数形式化类型操作阿列克谢·诺金和阿列克谢·科佩洛夫加州理工学院计算机科学系Pasadena,CA 91125电子邮件:{nogin,kopylov}@ cs.caltech.edu摘要在本文中,我们介绍了一种新的方法来形式化某些类型的操作在类型论。传统上,类型论中的许多类型构造器都是独立公理化的,并且这些公理的正确性是从语义上论证的。在本文中,我们引入了一个给定类型的“图像”的概念,一个映射,捕捉了许多这样的语义参数的精神。这允许我们使用新的我们展示了“图像”构造函数表达“健忘”类型的能力,通过使用它来形式化“squash”和“set”类型构造函数。我们还证明了它的能力,处理类型与非平凡的平等关系,使用它来形式化的联盟类型操作符。我们展示了“图像”构造函数表达某些归纳类型的能力本文所做的工作已经在MetaPRL证明助手中实现,所有的推导都经过了MetaPRL的验证。保留字:类型理论,类型构造器,NuPRL,MetaPRL,Coq,构造演算1介绍1.1类型理论本文介绍的工作重点是NuPRL类型理论[7]及其变体,包括NuPRL类型理论的MetaPRL实现[12新范式是马丁-洛夫范式[15,16]的一个外延,它在例如,在Coq所需的等式必须是精确的,这可以是相同的负担。在Martin-L?ftyper中,每个类型都有自己的相等关系(在函数的情况下是扩展关系),类型化规则保证良好类型的1571-0661 © 2006由Elsevier B. V.出版,CC BY-NC-ND许可下开放获取。doi:10.1016/j.entcs.2006.05.041122A. Nogin,A.Kopylov/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 165(2006)121马丁-洛夫的类型是,他或她有以下判断A型是一种格式良好的类型A=B A和B是(有意)相等的类型(前提是A类型和B类型)。B型)a∈A a有A型(前提是A型)a=b∈A a和b作为类型A的元素是相等的(前提是a∈A和b∈B)。马丁-洛夫的风格和你们现在的风格一样。这意味着类型xpr-sion可以包含任意类型的自由变量。例如,我们可以形成一个类型族T [x] = [0. x]表示自然数的初始值。当x的范围大于N时,这个族是良构的。马氏-罗尔夫型的约束结构类型是约束单元A + B(其中,对于a ∈ A,元素的形式为inl(a),b∈B)和依赖积x:A×P[x](包含对A,p∈A,p∈P[a])。NuPRL类型理论也有子类型关系。虽然它对我们的工作不是必不可少的,但我们应该提到NuPRL中的成员和子类型是扩展的。例如,A<$B并没有说明这些类型的结构,而只是意味着t1=t2∈A蕴涵t1=t2∈B。因此,类型检查和子类型是不可判定的。另一方面,类型相等(A=B)是内涵的。1.2符号我们将f [x1,... ,xn]的项,该项可以包含变量x1,. ..,xn,以及f [t1,.,tn]中的所有x i的自由出现项t i的替换。,xn]。我们将以根岑式单结论演算的形式介绍类型论的公理和规则。当提到序列时,通常更方便的是将假设的序列作为一个整体进行推理,而不是集中在单个假 设上 。 我 们 将 γ:Γ <$C [γ] 写 成: A1; x2: A2 [x1];. ; xn: An [x1;. ; x n−1] C[x1;. ;xn]。那么,如果γ是一个项的列表t1;. ; t n,则我们将使用C [γ]对于C [t1;. ;t n]。 我们还将写“<$γ ∈ Γ”作为“对于所有项列表γ = t 1 ;. ;tn,s.t. 对于所有i =1.. n, t i∈A i [t1;. ; t i−1]"。我们还将写u=v∈A项γ = t1. ; t n并且对于所有项列表γJ= tJ. ; tJS.T. 对于所有i = 1..n,t i= tJ∈A i [t1;. ; t i−1] = AJ[tJ;... ;tJ1N]".i i1i− 1A. Nogin,A.Kopylov/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 165(2006)1211231.3类型理论NuPRL类型理论(以及其他一些类型理论)最常用的语义是PER(部分等价关系)语义[21,2,1]。在PER语义中,每个类型都被一组对象(通常是一组封闭项)以及该集合上的等价关系识别,该等价关系充当该类型的对象(封闭项)的相等关系。 这导致相等谓词是注1.1注意,在这种方法中,对象是类型i的元素,它等于该类型中的自身。这使得我们可以用a = a∈ A来识别a ∈ A。根据PER方法,每当某个对象的范围超过某个类型时,它不仅必须跨越整个类型,还必须尊重该类型的相等性例1.2为了使函数f被认为是从类型A到类型B的函数,不仅对于每个a ∈A,f(a)必须在B中,而且只要a和aJ在类型A中相等,f(a)就应该等于类型B中的f(aJ)。请注意,在这个例子中,第二个条件是足够的,因为它实际上意味着第一个条件。然而,单独考虑第一个条件通常是有用的。由于类型论包含依赖类型,“良构类型族”的概念在PER方法中,为了使类型A上的类型族T[x]被认为是良构的,不仅对于每个a∈A,T[a]必须是良构类型,而且对于每个a1=a2∈A,类型T[a1]和T[a2]必须相等。例1.3考虑集合类型T:={x:A|B [x]}(cf. 第3.2节)或依赖产品类型T:= x:A×B [x]。类似于上面的例子1.2,为了使T是良构类型,不仅B [ a ]必须对任何a ∈ A是良构类型,而且对任何a = a j ∈ A,B [ a ]和B [ a j ]应该是相等类型的情况。对非理性判断的意义也是以同样的方式来定义的。为了使<$γ:Γ <$C [γ]被认为是有效的,不仅必须是<$γ∈ Γ的情况。C [γ],但t和C也必须遵守所有由Γ遵守的等式。也就是说,<$γ1 = γ2∈ Γ[γ1] = Γ[γ2]。C [γ1] = C [γ2]。例1.4假设A是良构类型,则序列“<$λx.t ∈ A → B“和“x:A <$t ∈ B“是等价的。换句话说,序列的意义的定义与其他功能要求完全对应,例如我们在例1.2中给出的函数的定义。1.4作为类型的命题与计算类型理论Martin-Lo?f的类型是将这两种类型的数据存储到预处理器中。这一原则意味着一个命题与它的所有见证者的类型一致。一个命题被认为是真的,如果相应的类型是居住的,否则被认为是假的。类似地,一个<$r <$C被认为是有效的i <$r <$t∈C124A. Nogin,A.Kopylov/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 165(2006)121对某些测试有效。在本文中,我们将交替使用“类型”和“命题”;“证人”和“成员”也是如此然而,必须指出,“证人”的概念例如,成员类型t∈T包含单个规范元素·1。由于NuPRL类型理论经常被解释为计算的,一个类型的参数有时也被称为该类型的事实上,NuPRL类型理论有时被称为计算类型理论,计算的概念是其中非常基本的概念除了这四项判决外,在第1节中列出的第二个列表中的Martin-Léo。1,NuPRL类型包括以下几种:a和b在计算上相等这个计算等式[14]是一个关系的传递对称闭包,它既包括纯计算关系(如beta约简),也包括定义等式。在NuPRL类型理论中,一个项可以在任何上下文中被替换为计算上相等的项[14]。1.5动机和概述乍一看,图像类型构造函数似乎微不足道至少是语义上的。 给定类型A和函数λx.f[x],类型Img{A;x.f[x]}将是包含所有元素f[a]的类型,其中a∈A。然而,这是一个新的定义,它允许对等式进行修改。如果不这样做,不仅要指定类型Img{A;x.f[x]}的成员,还要指定其相等关系。另一个障碍是还必须指定两个Img{}类型何时相等。通常,如果两个类型由相等的部分构成,则它们被认为是相等的例如,当A1=A2和B1=B2时,两个产品类型A1×B1和A2×B2被认为是相等的。然而,在图像类型的情况下,我们不能遵循相同的模型,并声明当A1=A2时Img{A1;x.f1[x]}=Img{A2;x.f2[x]},并且对于所有x∈A f1[x] =f2[x]∈B,因为这需要知道函数fi的图像B,这是我们首先试图定义的正如我们将在本文中看到的,这些问题是可以解决的。一旦解决了这些问题,并定义了“Image”类型,那么这个构造函数就可以捕获类型理论的PER语义的一个基本特征。众所周知[3,4,5],在类型论中,标准类型构造函数和它们的公理化有一个共同的主题当一个新的类型构造函数被添加到理论中时,通常有一个标准模式来定义它的语义,制定公理并(语义上)论证新公理与理论的规范PER模型一致。事实证明,“Image”类型构造函数允许在理论本身中捕获这种模式。现在,许多标准类型构造函数可以使用1这个规范元素有时表示为单位元素(),有时称为ax(NuPRL)或Triv.A. Nogin,A.Kopylov/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 165(2006)121125规则现在可以被正式地导出,而不必将它们作为公理添加并从语义上证明它们。理论推导和语义论证之间的区别 在自动化定理证明环境的上下文中尤其重要,其中理论推导是正式的并且可以自动检查,而语义参数是非正式的,写在纸上,并且只能手动检查。本文中提出的工作已经在MetaPRL证明助手中实现[10,11,13],并且所有推导都由MetaPRL检查。本文的结构如下。在第2节中,我们将介绍接下来,在第3节中,我们将展示一些非常基本的类型操作,这些操作传统上在NuPRL风格的类型理论中通过假设公理形式化,现在可以使用新的类型构造函数导出。最后,在第4节中,我们展示了如何使用新的类型构造函数来形式化一些归纳类型,包括以前被认为不可能充分形式化的类型。2图像类型我们将引入一个新的类型构造函数Img{A;x.f[x]}。正如预期的那样,Img{A;x.f[x]}类型的元素都是f[a]形式的表达式,其中a∈A。例2.1我们可以将单例类型定义为{a}:= Img{Unit; x.a}(其中可以使用任何非空类型来代替Unit)。此类型只包含一个元素a。在PER方法中,当定义新类型构造函数的语义时,我们需要定义它的相等关系。显然,只要a1=a2∈A,就应该是f[a1] =f[a2]∈Img{A;x.f[x]}的情况。因此,我们将把图像类型上的等式定义为A上的等式关系所诱导的等式的传递闭包(连同NuPRL的PER模型中所有等式关系都需要遵守的计算等式闭包正如我们在1.5节中简要提到的,定义Img{}类型的相等性可能很棘手。例如,考虑上面例2.1很容易看出,涉及此构造函数的类型族并不总是格式良好的。考虑一个类型,其中有两个不同的元素相等。例如,类型B//True2具有tt=ff∈ B// True。很明显,{a}不是a∈ B//True上的良构类型族。事实上,{tt}和{ff}显然是不同的类型,所以{a}不遵守等式tt=ff∈ B// True。这些设计将遵循以下规则:ΓA型ΓImg{A;x.f[x]}类型2B是一种布尔类型,只包含两个元素:tt和ff。B//True是B类型在常数关系上的商,使得商的所有元素变得相等。126A. Nogin,A.Kopylov/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 165(2006)121无效.相反,我们将声明当f没有任何参数时,Img{A;x.f[x]}是良构的,即,f[x]只有x作为自由变量。2.1推理规则我们将以下公理添加到类型理论中:良构性规则:ΓA型ΓImg{A;x.f[x]}类型引入规则:Γa∈AΓ[x]}消元规则:Γ;x:A∈T[f[x]]Γ;y:Img{A;x.f[x]}t∈T[y]其中f[x]是一个禁止f包含除x以外的变量的自由出现的符号。注2.2注意,消元法则要求结论是相等的.这与理论的计算性质有关。正如我们在1.4节中所提到的,只有当对某个t,Γ; x:A<$t [ x ] ∈C [f [x]]时,Γ; x:A<$C [f[x]]才有效。 因为一般来说我们不能从y计算x,y = f [x],一般来说,没有办法构造一个见证tJ,使得Γ; y:Img{A; x.f<$t [x]}; Δ[y]<$tJ [y] ∈C [y]。因此,Γ;x:A<$C [f [x]]的有效性并不总是意味着Γ; y:Img{A; x.f<$C [x]}; Δ[y]<$tJ [y]∈C [y]的有效性。 另一方面,正如我们在1.4节中所述,我们的类型理论中的等式总是有一个规范见证,所以当C是一个等式时,这个问题不会发生。还要注意的是,虽然消去规则是用t不依赖于x或y来表述的,但这不是必需的--这个规则的更一般形式可以从更简单的形式推导出来。2.2形式语义根据[2],为了给出类型表达式E的语义,我们需要确定这个表达式何时是格式良好的类型,描述两个这样的类型何时相等,并指定将充当这个类型的相等关系的部分等价关系(a=b∈E)。我们定义Img{}构造函数的语义如下:• 闭项Img{A;x.f[x]}是良构类型当且仅当A是类型。• Img{A1;x.f1[x]}=Img{A2;x.f2[x]}i <$A1=A2且λx.f1[x]<$λx.f2[x].• Img{A;x.f[x]}上的等式关系是最小PER,使得f[a] =f[b]∈Img{A;x.f∈ Img[x]},当a=b∈A时,它遵守了Img关系。(In特别地,这意味着t∈Img{A;x.f[x]}if[a]对于某个a∈A。)定理2.3第2.1节的规则在这个语义下是有效的。A. Nogin,A.Kopylov/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 165(2006)121127证据格式良好规则。假设γ:Γ<$A [γ]型是一个真判断。 也就是说,A[γ1] =A[γ2]由于f[x]是一个不依赖于γ的闭项,我们立即得到,Img{A[γ1];x.f[x]}=Img{A[γ2];x.f[x]},因此<$γ1=γ2∈ Γ.Img{A [γ1];x.f[x]}=Img{A[γ2];x.f[x]}这意味着γ:Γ<$Img{A [γ];x.f[x]} Type是真判断。介绍规则。 假设γ:Γa[γ]∈A[γ]是一个真实的判断。 也就是说,γ1=γ2∈ Γ.a [γ1] =a[γ2]∈A[γ1] =A[γ2]然后通过图像类型的定义,f[a[γ1]]=f[a[γ2]]∈Img{A[γ1];x.f[x]}=Img{A[γ2];x.f[x]}所以,γ:Γ<$f [a[γ]]∈Img{A[γ];x.f[x]}是一个真实的判断。淘汰规则。 假设γ:Γ;x:A[γ]<$ t [γ]∈T[γ;f[x]](2.I)是真判断。我们需要证明,γ:Γ;y:Img{A[γ];x.f[x]}<$t[γ]∈T[γ;y]成立。假设γ1=γ2∈ Γ且y1=y2∈Img{A[γ1];x.f[x]}=Img{A[γ2];x.f[x]},我们需要证明t[γ1]∈T[γ1;y1],并证明(t [γ1] ∈T [γ1; y1])=(t [γ2] ∈T [γ2; y2]).(2.II)首先,如果y1∈Img{A[γ1];x.f[x]},则存在x1∈A,使得y1<$f [x1]。则由于γ1=γ2∈ Γ且 x1=x1∈A[γ1] , 我 们 可 以 利 用 ( 2.I ) 得 出 结 论 : t[γ1]∈T[γ1;f[x1]] 且(t[γ1]∈T[γ1;f[x1]])=(t[γ2]∈T[γ2;f[x1]])。因为所有的判断都是一致的。如果t[γ1]∈T[γ1;y1],(t [γ1] ∈T [γ1; y1])=(t [γ2] ∈T [γ2; y1]).(2.III)根据定义,真正的成员也有一个见证人。我们有t [γ1] ∈T [γ1; y1]的证明。128A. Nogin,A.Kopylov/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 165(2006)121设R是由A[γ2]诱导的Img{A[γ];x.f[x]}上的关系即y1Ry2i <$i存在x1和x2使得x1=x2∈A[γ2]且y1<$f[x1]和y2<$f[x2]。我们将展示(t [γ2] ∈ T [γ2; y1])=(t [γ2] ∈ T [γ2; y2]).(2.IV)A. Nogin,A.Kopylov/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 165(2006)121129由 于 γ2=γ2∈ Γ 且 x1=x2∈A[γ1] =A[γ2] , 我 们 可 以 利 用 ( 2.I ) 得 出 ( t[γ2]∈T[γ2;f[x1]])=(t[γ2] ∈T[γ1;f[x2]])的结论。(2.4)保持。由于Img{A[γ2];x.f[x]}上的等式是R的传递闭包,所以(2.IV)对任意y1=y2∈Img{A[γ2];x.f[x]}成立.现在(2.II)由(2.III)和(2.IV)得出。Q3派生简单类型构造函数事实证明,一些非常基本的类型操作,传统上在NuPRL风格的类型理论中通过假设公理形式化,现在可以使用新的类型构造函数导出。3.1派生Squash类型构造函数我们的类型理论曾经包含一个名为squash的原始类型构造函数[7,17]。南瓜类型[A]对于任何类型A,类型[A](非正式地,人们可以把[A]看作一个命题,它说A是一个非空类型,但是所有关于为什么A不为空的信息。使用Image类型,我们现在可以简单地定义squash类型,[A] := Img{A; x. ·}使用这个定义,可以导出通常为这种类型假设的所有规则[17]。与本文中的所有其他推导一样,这些推导都是在MetaPRL证明助手中执行和检查的。3.2导出集合类型构造函数集合类型类型{x:A|P [x]}是一个类型,它包含所有类型A的元素条件P[x]成立,隐藏了它为什么成立的信息。使用图像类型构造函数,我们可以将集合类型运算符定义为{x:A|P [x]}:= Img{x:A×P [x]; x.π1(x)}其中π1是第一个元素投影。从这个定义中,我们能够推导出传统上用这个类型构造函数假设的所有规则。3.3联合类型构造函数联合类型[20],记为B[x],是B[x]x:一个x∈A。 它包含所有类型B[x]的元素。 的等价关系B[x]是类型等价关系并的传递闭包x:一个B[x]。 联合类型的推理规则如表1所示。130A. Nogin,A.Kopylov/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 165(2006)121Γ<$A型Γ;x:A<$B[x]型Γ ►(x:一个B[x])类型Γ<$a∈AΓ<$b ∈B [a] Γ;x:A<$B[x]型Γ;x:A;y:B[x][C[y]]Γb∈B[x]x:一个r;y:B[x][C[y]]x:一个表1联合类型aΓ}类型Γ; Δ[a]<$C[a]Γ;x:{a}; Δ[x]<$C[x]表2单例类型我们可以定义union类型构造函数如下:x:一个B[x]:=Img{x:A×B[x];x.π2(x)}其中π2是第二元素投影。表1中的所有规则都可以从这个定义中推导出来。3.4Singleton类型构造函数在没有Image类型的类型论中,可以定义给定类型的单例也就是说,对于给定的类型A和给定的类型A的元素a,我们可以定义A的一个子类型,它只包含a:{a}A:={x:A|x = a ∈A}。这个类型实际上不仅包含a,而且包含其他不能被A与a区分开的元素。要定义元素a的单例类型,我们需要提供一个然而,正如我们在例2.1中看到的,使用Image类型,我们可以定义单例类型{a},而不知道a来自哪里:{a}:=Img{Unit;x.a}表2显示了在MetaPRL中导出的此类型的推理规则。请注意,类型{a}只包含一个关于波浪形相等的元素a。 因此,我们可以推导出一个比{ a } A更强大的消除规则。正如我们前面提到的,这种类型有一个限制,即a应该是常量。(记住,一个自由变量意味着不能包含自由变量)。A. Nogin,A.Kopylov/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 165(2006)1211314实现归纳类型事实证明,图像类型构造函数允许形式化一些有趣的归纳类型。我们将从一个简单的有限列表类型的例子开始。这种类型的故障是在Martin-Lo?f' s ty pe t h eor y using gW -ty pe [ 1 6 ]中定义的。我们将看到列表类型也可以使用不相交的联合,产品,自然数和联合来实现。在这里,图像类型构造函数的后一种实现要复杂得多,我们将只给出一个简要的概述。请参阅[19],了解使用图像类型构造函数进行语法推理4.1示例:列表类型A List类型是所有形式为a1::a2::···an ::[]的有限列表的类型,其中ai∈A,::是一个二元cons运算符,它将一个项连接到一个列表,[]是所有列表类型所共有的空列表(“nil“)。使用不相交联合类型(参见1.1节),我们可以递归地定义具体长度列表的类型如下:A列表0:=无效+单位A列表i+1:=(A×A列表i)+无效其中Void是空类型,[]被实现为inr(·),h::t被实现为inl(h,t)。现在,任意有限列表的类型可以通过简单地取所有具体长度列表类型的并集来定义:AList:=i:NA List i.列表类型的所有标准规则[12]都可以从这个定义中推导出来4.2示例:高阶抽象假设我们想定义一种λ-表达式,其中变量被抽象地处理,并且以alpha不变的方式处理。也就是说,对于某种类型的var,我们希望递归地定义Term为术语:=Var of var应用项×项的项λ →项132A. Nogin,A.Kopylov/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 165(2006)121其中Lambda情况下的函数空间仅限于替换函数-即将其参数视为“黑盒”的函数传统的方法来形式化这种高阶抽象抽象类型,其中一些然而,使用image类型构造函数,可以定义Term类型,使得其中没有引用[1] 好吧,S。 F.、 M art in-LéofT型的一个非线性微分方程,n:D. 李国忠,李国忠. 215-224.[2] 艾伦,S。F.、“A Non-Type-Theoretic Semantics for Type-Theoretic Language”,Ph.D.康奈尔大学博士论文(1987年)。[3] 巴古塞河,在Martin-Lo?f的类型或类型中,由于以下原因,这些方法和条件会导致以下结果A. Avron,editor,Workshop on General Logic,Edinburgh,February 1987,number 88-52 in ECS-LFCS(1988).[4] 巴克豪斯河C.的方法,P. Chisholm和G.马尔科姆,自己动手类型理论(第二部分),EATCS公报35(1988),pp. 205-245[5] 巴克豪斯河C.的方法,P. Chisholm ,G. Malcolm和E. Saaman ,Do-it-yourself type theory,FormalAspects of Computing1(1989),pp. 19比84[6] Carreno,V. 一、 C. A. 穆尼奥和S。 Tahar,editors,“Proceed in g s ofthe15thIinternalConferenceonTheoremProvinginHigherOrderLogics(TPHOLs2002),”LectureNotesinComputerScience2410,Springer-Verlag,2002.[7] 康斯特布尔河L.,S. F.艾伦,H。M. Bromley,W. R. Cleaveland,J.F.克雷默河W. Harper,D. J.Howe,T. B. Knoblock,N. P. Mendler,P. Panangelo,J. T. Sasaki和S. F. Smith,[8] Despeyroux, J.和 A. Hirschowitz, Higher-order abstract syntax with induction inCoq , in:LPARpp. 159-173, 也 似乎 作为 INRIA研究报告RR-2292。[9] De s pe yroux,J. 、F. Pen ning和DC. Sch?rmann,Primitiverecursionforhrhigher-ord erab stra ctsyn t a x,in:R. Hindley,编辑,类型化Lambda演算及其应用国际会议论文集(TLCA'97),计算机科学讲义1210(1997),pp. 147-[10] 希基,J.,A. 诺金河L. 康斯特布尔湾E. Aydemir,E.Barzilay,Y.布留霍夫河Eaton,A.格拉尼奇,A. 科佩洛夫角 Kreitz,V. N. 克鲁普斯基湖 Lorigo,S. 施密特角,澳-地 威蒂和X Yu,MetaPRL- A模块化逻辑环境,在:D. Basin和B. 第16届高阶逻辑定理证明国际会议论文集(TPHOLS2003),计算机科学讲义2758(2003),页.287-303URLhttp://nogin.org/papers/metaprl.html[11]希基,杰杰,“The 论文,康奈尔大学,伊萨卡,纽约州(2001年)。URLhttp://www.nuprl.org/documents/Hickey/Hickeythesis. html[12] Hickey,J.J.,B. Aydemir,Y. Bryukhov,A. Kopylov,A.Nogin和X.Yu,MetaPRL理论列表。网址http://metaprl.org/theories.pdfA. Nogin,A.Kopylov/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 165(2006)121133[13] Hickey,J.J.,A. Nogin,A.Kopylov等人,MetaPRL主页。网址http://metaprl.org/[14] Howe,D. J.,懒惰计算系统中的平等,在:第四届IEEE计算机科学逻辑研讨会论文集(1989),页.198-203.[15] Martin-Léof,P., Construc tivemathemathicsanddcop uterprograming:ProceedingoftheSixthInternationalCongress for Logic,Methodology,and Philosophy of Science(1982),pp. 153-175[16] Martin-Léof,P.,“I n t i t i o n i s t i c T y p e T h e o r y , “ N u m b e r 1 i n S t u d i e sin P r o f T h e o r y , L e c t u r r e N o t e s , B i b l i o p o l i s , N a p o l i , 1 9 8 4 .[17]Nogin,A.,问题类型:一个模型应用程序,在:Carennatoetal。 [6],pp. 263-280。URLhttp://nogin.org/papers/quotients.html[18] Nogin,A. 和J。 然而,S等式是用于生成规则的结构,例如: [6],pp. 281-297.网址http://nogin.org/papers/derived rules.html[19] Nogin,A.,A. Kopylov,X. Yu和J. Hickey,关于绑定语言的相对元推理的计算方法,在:Merlin2[20] 皮尔斯湾C.的方法,Programming with intersection types,union types,and polymorphism,Technical Report CMU-CS-91-106,Carnegie Mellon University(1991).[21] Troelstra,A. S.,“Metamathematical Investigation of Intuitionistic Mathematics,” Lecture Notes inMathematics
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