保角映射：多连通域到圆形域的MATLAB工具箱

联系我们软件X 11（2020）100464原始软件出版物PlgCirMap：一个计算多边形多连通域到圆形域共形映射的MATLAB工具箱Mohamed M.S. 纳赛尔卡塔尔大学数学、统计和物理系，P.O.Box 2713，多哈，卡塔尔ar t i cl e i nf o文章历史记录：收到2019年2020年3月30日收到修订版2020年3月30日接受保留字：数值保角映射多面体域圆域MATLAB工具箱a b st ra ct给出了一个计算多边形多连通域到圆形多连通域及其逆的保角映射的MATLAB工具箱该工具箱可用于具有高连通性和复杂几何形状的多连通域。它也可以用于单连通域。©2020作者由爱思唯尔公司出版这是CC BY许可下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）中找到。代码元数据当前代码版本v1.0用于此代码版本的代码/存储库的永久链接https://github.com/ElsevierSoftwareX/SOFTX_2019_303法律代码许可证GNU General Public Licensev3.0使用的代码版本控制系统无使用MATLAB的软件代码语言、工具和服务编译要求、操作环境依赖性Windows（32位和64位）、Mac OS X（64位）和Linux（64位）MATLABR2017a及以上如果可用，链接到开发人员文档/手册https://github.com/mmsnasser/PlgCirMap/tree/master/doc问题支持电子邮件：qu.edu.qa1. 动机和意义保角映射用于将具有复杂几何形状的二维域（物理域）变换到具有较简单几何形状的域（正则域）上。文献[1- 3 ]中曾考虑过许多典型域，它们是扩张复平面C对于单连通域和多连通域，最重要的典型域可能是圆形域;即，所有边界都是圆的域。这是由于多连通圆域中若干问题的解析公式的存在（见最近的专著[4]和其中引用的参考文献）。此外，圆形域是使用傅立叶级数和FFT的理想选择[5]。E-mail地址：qu.edu.qa。https://doi.org/10.1016/j.softx.2020.100464复杂几何域的重要例子是多边形域，其边界由直线段组成。对于单连通域，单连通域的SC公式是由Christoffel在1867年和Schwarz在1869年分别独立发现的（见[6，p. 4]）。这个公式的推广到双连通域是由于Komatu [7]在1945年（见[8，pp. 478-486]）。然而，SC公式的扩展到多连通域是最近才建立的。事实上，DeLillo，Elcrat和Pfaltzgraff [5]和DeLillo [9]推导出利用反射原理分别给出了圆形域到无界和有界多边形域的保角映射的SC公式。Crowdy [10，11]提出了用Schottky-Klein素函数计算这类映射的SC公式。Drivel [12-2352-7110/©2020作者。由爱思唯尔公司出版这是CC BY许可下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。可在ScienceDirect上获得目录列表SoftwareX期刊主页：www.elsevier.com/locate/softx=======-=z=======≥两个硕士Nasser / SoftwareX 11（2020）100464到给定的多边形单连通域上。该工具箱是由Trefethen [15]开发的Fortran软件包SCPACK的推广自适应神经网络已被许多研究者广泛使用。然而，到目前为止，没有这样的工具箱可用于多边形多连通域。开发这样一个MATLAB工具箱是本文的主题。所提出的工具箱可用于计算保角映射Wf（z）从一个给定的多边形多连通域G到一个圆域D及其逆z=f−1（w）。2. 保角映射设G是一个给定的有界或无界多边形多重连通区域，其边界为m个多边形Γj，j（1，2，.）. .，m，使得这些多边形的角都不是尖点。对于m1，域G是单连通的.如果G是有界的，那么我们假设Γm是外部边界分量，并且包含所有的其它边界分量Γj，j= 1，2，. . .，m− 1。总和复杂的几何形状，见[18，19]。最近，Gopal和Trefethen [20]和Trefethen [21]提出了另一种基于有理逼近计算从圆形域到多边形域的在所呈现的PlgCirMap工具箱中，上述从多边形域G到圆形域D的共形映射wf（z）以及从D到G的其逆z f−1（w将使用[18]中提出3. 软件框架3.1. 软件构架PlgCirMap是一个MATLAB工具箱，由不同的MATLAB函数组成。此工具箱中的主要函数是plgcirmap、evalu、evalud和plotmap。功能边界Γ = ΣG = Σm Γj是定向的，使得G在左边=plgcirmap本身依赖于三个主要函数，mainmap，关于rJ1.则存在一个保角映射w=f（z）从cirmapb和cirmapu（见图1）。①的人。函数的输入域G到多连通环D上由m个圆Cj，j 1，2，. . .，m（参见[8，p. pp. 488pp. 118-127]）。映射f扩张到G的边界，其中f（Γj）C j，j一，二，. .，m。我们假设当G有界时，圆域D有界，当Gplgcirmap是一个单元数组ver，其中包含多边形和多边形域G中的点α。用于数值计算的参数的默认值在函数plgcirmap中设置。数值实现Koebe迭代法的一个重要性质是在函数mainmap中给出的不受约束总边界C=D=mCj具有相同的Koebe方向为r。j=1从有界单连通域ping单元当G是有界的时，保角映射f是唯一确定的，假定外边界CmD的f（Γm）是单位圆，f（α）= 0，f′（α）>0，（1）其中α是定义域G中的给定点。条件（1）可以替换为条件f（α）= 0，f（β）=1，（2）其中β是外部边界Γm上的给定点。另一方面，如果G是无界的，则映射函数f通过假设f（z）=z+O（1）（3）接近无穷大或者，f通过假设Cm=f（Γm）是单位圆而唯一确定，f（∞）= ∞，f（β）=1，（4）其中β是边界Γm上的给定点。文[5，9 从圆域D到 多边形域G.然而，使用这些SC公式，需要求解一个非线性方程组，以确定多边形求解这样的非线性方程组仍然是一个具有挑战性的问题。另一方面，从多连通域到圆形域的共形映射可以使用Koebe迭代方法[ 17 ]计算§ 17.7]）。作为一种特殊情况，KoebeD.用广义Neumann核边界积分方程快速实现Koebe[18 ][19][19 ][ 19]在[18]中提出的方法也可用于计算逆映射zf−1（w）从 圆形域D到多边形域G上。此外，这方法甚至可以应用于具有高连通性的圆盘和计算从无界单连通域到单位圆盘外部的共形映射（更多细节见[18这样的共形映射将分别使用函数cirmapb和cirmapu来计算。 的plgcirmap的输出将是一个MATLAB对象f，包含关于保角映射f及其逆f-1的所需信息。从对象f，我们可以计算出利用函数evalu给出了保角映射及其逆。f和f−1的一阶导数的值可以使用函数evalud计算。最后，函数plotmap使用对象f来可视化保角映射f及其逆映射f− 1。3.2. 软件功能PlgCirMap工具箱用于计算和可视化从给定多边形多连通域G到圆形多连通域D及其逆z f−1（w）的保角映射wf（z）。所有条件 （ 1 ） -PlgCirMap 也 可 用 于 多 边 形 简 单 连 通 域 。 要 使 用PlgCirMap工具箱，假设多边形域的边界没有尖点或狭缝。4. 执行情况和实证结果4.1. 参数在PlgCirMap工具箱中，f（z）和它的逆z f−1（w）使用[18]中提出的边界积分方法计算。该方法基于Koebe迭代法的快速数值实现，假设每个多边形rj有n =j3个顶点。 我们用n个分级网格点离散多边形Γj的每个段，使得Γj由n个分级网格点离散（有关如何选择分级网格点的详细信息，请参见[22，23然后，应用具有梯形规则的Nyström方法将积分方程简化为求解的线性系统×=≤ ≤+=−=5.=磁共振波谱 Nasser/SoftwareX 11（2020）1004643Fig. 1. PlgCirMap通过MATLAB函数gmres迭代。使用MATLAB工具箱FMMLIB2D [ 24 ]中的MATLAB函数zfmm2dpart计算GMRES方法中的该方法的计算成本是O（m2<$n m< $nlogn），其中n =max1jm<$j（详见[18，19]）。在 PlgCirMap 工 具 箱 中 ， 数 值 计 算 参 数 的 默 认 值 在 函 数plgcirmap中设置如下。1. n的默认值（多边形每边的离散化点数）设置为n=2 × 9。事实上，即使n的值小到n=2 × 5，也可以得到精确的结果。增加n导联的值以提高获得的结果的准确性。但是，应避免选择非常大的n 值，因为这可能会导致工具箱FMMLIB 2D [24]中FMM函数的收敛问题。2. 对于FMM函数zfmm2dpart，我们设置默认值iprec=4，这意味着FMM的精度为0的情况。5 10-12。 所获得的结果的准确性可以通过选择iprec=5（FMM的精度）来改进将是0。5× 10−15）。不过，可能有个问题对于j 1，2，. . .，m。顶点必须被排序，使得区域G总是在边界Γ的左边。如果G是有界的，则verm是外部多边形的顶点，alpha是域G中将映射到域中的0的点D.当G是无界的，我们定义alpha=inf，它将映射到域D中的inf。为 了 计 算 具 有 正 规 化 （ 1 ） 或 （ 3 ） 的 保 角 映 射 ， 函 数plgcirmap被称为如下：f= plgcirmap（ver，alpha）。为了计算具有归一化（2）或（4）的保角映射，我们将函数plgcirmap称为：f=plgcirmap（ver，alpha，ver{end}（k））这意味着多边形rm上的顶点k将被映射为1。对象f是一个带有多个字段的MATLAB结构体，包含从G到D的保角映射w=f（z）以及从D到G的逆映射z=f−1（w）的数据。比如说，1. f.cent是长度为m的向量，包含圆C，j= 1，2，. . . ，m。如果我们选择iprec=5，特别是当n太大时，FMM的收敛性。3. 在MATLAB函数gmres中，J2. rad是长度为m的向量，包含圆Cj的半径，j = 1，2，. . . ，m。GMRES方法被设置为gmresmax = 0.5e12，并且允许的缺省最大迭代次数被设置为gmresmax =100。GMRES无需重启即可使用。4.对于Koebe言论1. GMRES方法和Koebe迭代方法允许的最大迭代次数的默认值为100。然而，对于使用PlgCirMap工具箱的几个数值实验，两种方法的收敛都小于100次迭代。2. 如果我们选择非常大的n值和/或iprec=5，工具箱FMMLIB 2D中的FMM函数可能会导致计算机崩溃。不幸的是，不会显示任何警告消息，有时需要重新启动MATLAB。在这种情况下，我们需要减少n的值。4.2. 工具箱的主要功能4.2.1. 函数plgcirmap为了调用这个函数，我们首先需要定义多边形的顶点ver和域G中的点alpha。这里，ver是单元阵列，其中verj是多边形Γj3. f.imgver是一个单元阵列，其中f.imgverj是多边形Γj在圆Cj上的顶点的图像，一，二，. . ，m。注意，这些计算值在文献中被称为多边形顶点的原像4. f.et是一个向量，它包含了边界Γ ε G的参数化的离散化。f.zet是一个向量，它包含边界C=D的参数化的离散化。4.2.2. 功能评估执行函数plgcirmap并计算MATLAB结构f后，我们使用函数evalu计算映射函数f及其逆函数f−1的值。为了计算在G中的点z的向量处的直接映射f，我们称函数evalu（f，z，'d'）。类似地，在D中的点w的向量处的逆映射f − 1的值可以通过evalu（f，w，'v'）来计算。4.2.3. 函数求值函数evalud用于计算映射函数f及其逆函数f −1的一阶导数的值。在G中的点z的向量上的f ′（z）的值可以通过evalud（f，z，'d'）计算，而在D中的点w的向量上的（f −1）′（w）的值可以通过evalud（f，w，'v'）计算。=-=-− + −=×=×4个硕士Nasser / SoftwareX 11（2020）100464图二、 PlgCirMap图（中）和SC图（右）之间的比较。4.2.4. 函数plotmap然后，我们使用SC工具箱计算MATLAB对象fisc，函数plotmap用于可视化保角映射f及其逆f−1。打印矩形轴网的步骤多边形域G和它们在圆形域D中的图像，我们可以plotmap（f，'d'，'rec'，n1，n2），其中n1是水平线的数目，n2是垂直线的数目。我们还可以通过plotmap（f，'v'，'rec'，n1，n2）在D中绘制矩形网格，并 在 G 中 绘 制 它 们 的 图 像 。 类 似 地 ， 可 以 通 过plotmap（f， 'd'， 'plr'，n1，n2） 和plotmap（f，'v'，'plr'，n1，n2）绘制极坐标网格，其中n1是圆的数量，n2是射线的数量。为了绘制没有网格点的域G和D，我们调用plotmap（f）。4.3. 与Schwarz-Christoffel工具箱的比较[14]PlgCirMap工具箱可用于计算从给定多边形单连通区域G到单位圆盘（对于有界G）或单位圆盘外部（对于无界G）的共形映射。在这种情况下，PlgCirMap工具箱的准确度可以与众所周知的SC图进行比较[14]。考虑顶点为1的多边形内部的单连通区域G。5分钟，11 .一、5分钟，11. 51.5和1（参见图2）的情况。SC磁盘可用于将单元磁盘映射到域G，使得单位圆上的1映射到多边形的最后一个顶点，该顶点也是1。因此，我们假定f是从多边形区域G到单位圆盘D的保角映射，由（2）用α归一化0 和β1,也就是说，f（0）0和f（1）1。为了使用PlgCirMap工具箱计算这样的保角映射f，我们首先设置多边形的顶点和点G中的α如下：>>ver{1}=[1.5i;-1+1.5i;-1-1i;1.5-1i;1.5;1];return0;然后，我们使用MATLAB函数plgcirmap来计算对象f，>>f=plgcirmap（ver，alpha，ver{1}（6））;为了在单位圆盘D中绘制正交极坐标网格（见图1）， 2（左））及其在多边形域G中的逆映射f −1下的图像，我们称之为>>plotmap（f，'v'，'plr'，20，25）;结果如图2（中）所示。接下来，我们使用SC映射来计算逆映射f-1从单位圆盘D到多边形区域G。首先，我们通过调用>> options = scmapopt（'Tolerance'，1e-14）;通过调用>> p=polygon（ver{1}）;>>fisc= diskmap（p，options）;>>fisk=center（fisk，alpha）;圆盘中正交极坐标网格的图像图D 在SC工具箱计算的逆映射f−1下的结果如图所示。 2（右）。此图是通过调用>> plot（fisc，20，25）;为了进行比较，我们使用PlgCirMap工具箱通过调用>> prevertpcm = f.imgver{：};并通过调用>> prevertscreturn（fisc，'prevert'）;然后，我们计算计算值之间的最大范数为>>E_1= norm（prevertsc-prevertpcm，inf）得到的最大范数为E11.一、057910-12接下来，我们选择一组点>>ZZ= 0.6.*exp（i.* inspace（0，2 *pi，1000））;在多边形区域G中。为了使用SC工具箱计算这些点zz处的共形映射f的值，我们调用函数evalinv（fisc，zz）。对于PlgCirMap工具箱，通过调用evalu（f，zz，'d'）计算点zz处的映射f的值。然后，我们计算计算值之间的最大范数为>>E_2= norm（evalinv（fisc，zz）-evalu（f，zz，'d'），inf）得到的最大范数为E2五、395210-13我们还通过选择一组点来比较这两个工具箱>>WW= 0.9.*exp（i.* inspace（0，2 *pi，1000））;在单位圆盘D中。然后，我们计算两个工具箱在点ww处计算的逆映射f−1的值之间的最大范数，如下所示：>>E_3= norm（fisc（ww）-evalu（f，ww，'v'），inf）=×= × =××== ×=磁共振波谱 Nasser/SoftwareX 11（2020）1004645图3.第三章。 有界多连通域的一个例子。得到的最大范数为E31.一、029110-12最后，我们分别检查每个工具箱的准确性。我们使用这两个工具箱来计算f−1（f（zz））和f（f−1（ww））的近似值然后，我们通过以下方式计算SC工具箱计算值的最大误差范数：>>ES_1= norm（fisc（evalinv（fisc，zz））-zz，inf）>>ES_2= norm（evalinv（fisc，fisc（ww））-ww，inf）所得值为ES19。653810 -15和ES21。445710-14对于PlgCirMap工具箱，我们计算最大计算值中的误差范数，>>E_4= norm（evalu（f，evalu（f，zz，'d'），'v'）-zz，inf）>>E_5= norm（evalu（f，evalu（f，ww，'v'），'d'）-ww，inf）得到的值为E47 .第一次会议。362110 −14 和e51 .一、193110-13正如我们从这个例子中看到的，有一个非常好的协议之间的结果得到了良好的开发SC工具箱和PlgCirMap工具箱（默认值n，n29）。此外，即使对于较小的n. 实际上，如果我们改变MATLAB函数中的n值，6个硕士Nasser / SoftwareX 11（2020）100464图四、 一个 无界多连通域的例子。plgcirmap到n=25，则上面计算的范数将如下：E1= 9。6102 ×10 −8，E2= 1。0283 × 10 −8，E3= 6。3408× 10 −8，E4=4。7186× 10 −9，E5= 8。2561× 10−9。5. 说明性实例在本节中，我们使用PlgCirMap工具箱来计算两个域的共形映射。更多有界域和无界域的例子可以在https：//github上找到。com/mmsnasser/PlgCirMap.5.1. 有界多连通域对于第一个例子，我们考虑一个有界多边形多连通域的连通性17。在下面给出的MATLAB代码中，我们首先定义多边形的顶点，然后在区域G中选择一个点α。然后，我们调用函数plgcirmap来计算具有正规化的保角映射（1）。然后调用函数plotmap来可视化保角映射f及其逆f−1，如图2所示。3 .第三章。ver{1}=[31+10i;31+5i;28+5i;28+10i];ver{2}=[25+10i;25+5i;22+5i;22+10i];ver{3}=[19+10i;19+1i;13+1i;13+10i];ver{4}=[10+10i;10+5i;7+5i;7+10i];ver{5} = [ 4+10i ; 4+5i ; 1+5i ; 1+10i ]; ver{6}= [31+19i ; 31+14i ; 28+14i ; 28+19i ]; ver{7}= [25+19i ; 25+14i ; 22+14i ; 22+19i ]; ver{8}= [19+14i ; 19+12i ; 17+12i ; 17+14i ]; ver{9}= [15+14i ; 15+12i ; 13+12i ; 13+14i ]; ver{10}= [19+18i ; 19+16i ; 17+16i ; 17+18i ]; ver{11}= [15+18i ; 15+16i ; 13+16i ; 13+18i ]; ver{12}= [19+22i ; 19+20i ; 17+20i ; 17+22i ]; ver{13}= [15+22i ; 15+20i ; 13+20i ; 13+22i ]; ver{14}= [10+19i ; 10+14i ; 7+14i ; 7+19i ]; ver{15} =[4+19i;4+14i;1+14i;1+19i];ver{16}=[16+29i ; 23+24i ; 9+24i];ver{17} = [16+32i ; 0+22i ; 0+0i ; 32+0i ; 32+22i];α = 16+15i;f = plgcirmap（ver，alpha）; plotmap（f，'d'，'rec'，25，30）;plotmap（f，'v'，'rec'，20，20）;plotmap（f，'d'，'plr'，15，25）;plotmap（f，'v'，'plr'，10，20）;5.2. 无界多连通域在第二个例子中，我们考虑一个无界多边形多连通域24。下面给出了该示例的MATLAB代码，其中使用了归一化（3）图4示出了所获得的图。ver{1} = [-1.75-0.9i ;-1.95-0.5i ;-1.75-0.1i ;-1.55-0.5i];ver{2} = [-1.25-0.9i ;-1.45-0.5i ;-1.25-0.1i ;-1.05-0.5i];ver{3} = [-0.75-0.9i ;-0.95-0.5i ;-0.75-0.1i ;-0.55-0.5i];ver{4} = [-0.25-0.9i ;-0.45-0.5i ;-0.25-0.1i ;-0.05-0.5i];ver{5} = [ 0.25-0.9i ; 0.05-0.5i ; 0.25-0.1i ; 0.45-0.5i];ver{6} = [ 0.75-0.9i ; 0.55-0.5i ; 0.75-0.1i ; 0.95-0.5i];ver{7} = [ 1.25-0.9i ; 1.05-0.5i ; 1.25-0.1i ; 1.45-0.5i];ver{8} = [ 1.75-0.9i ; 1.55-0.5i ; 1.75-0.1i ; 1.95-0.5i];ver{9} = [-1.75+0.1i ;-1.95+0.5i ;-1.75+0.9i ;-1.55+0.5i];ver{10} = [-1.25+0.1i ;-1.45+0.5i ;-1.25+0.9i ;-1.05+0.5i];ver{11} = [-0.75+0.1i ;-0.95+0.5i ;-0.75+0.9i ;-0.55+0.5i];ver{12} = [-0.25+0.1i ;-0.45+0.5i ;-0.25+0.9i ;-0.05+0.5i];ver{13} = [ 0.25+0.1i ; 0.05+0.5i ; 0.25+0.9i ; 0.45+0.5i];ver{14} = [ 0.75+0.1i ; 0.55+0.5i ; 0.75+0.9i ; 0.95+0.5i];ver{15} = [ 1.25+0.1i ; 1.05+0.5i ; 1.25+0.9i ; 1.45+0.5i];ver{16} = [ 1.75+0.1i ; 1.55+0.5i ; 1.75+0.9i ; 1.95+0.5i];ver{17} = [-1.75+1.1i ;-1.95+1.5i ;-1.75+1.9i ;-1.55+1.5i];ver{18} = [-1.25+1.1i ;-1.45+1.5i ;-1.25+1.9i ;-1.05+1.5i];ver{19} = [-0.75+1.1i ;-0.95+1.5i ;-0.75+1.9i ;-0.55+1.5i];ver{20} = [-0.25+1.1i ;-0.45+1.5i ;-0.25+1.9i ;-0.05+1.5i];ver{21} = [ 0.25+1.1i ; 0.05+1.5i ; 0.25+1.9i ; 0.45+1.5i];ver{22} = [ 0.75+1.1i ; 0.55+1.5i ; 0.75+1.9i ; 0.95+1.5i];ver{23} = [ 1.25+1.1i ; 1.05+1.5i ; 1.25+1.9i ; 1.45+1.5i];ver{24} = [ 1.75+1.1i ; 1.55+1.5i ; 1.75+1.9i ; 1.95+1.5i];alpha = inf; f=plgcirmap（ver，alpha）; plotmap（f，'d'，'rec'，25，25）;6. 影响保角映射是解决科学和工程领域中涉及拉普拉斯方程的许多问题的有力工具，借助于保角映射，将复杂几何区域（物理区域）中拉普拉斯方程的求解归结为简单几何区域（规范区域）中拉普拉斯方程的圆域的简单几何结构使其成为物理和计算上重要的典范域。例如，D. Crowdy和几个合作者最近提出了圆形多连通域中流体力学的几个问题的解析公式（例如，[4]及其中引用的参考文献。在所提供的工具箱的帮助下，这样的解析公式也可以用于多边形域（我们参考[25]以获得工具箱的这样的应用的示例）。7. 最后意见和今后改进1. PlgCirMap工具箱中用于计算保角映射的数值方法基于[18]中提出的边界积分方法。因此，工具箱的精度取决于数值解的精度所用的边界积分方程。在当前版本的工具箱中，积分方程是使用Nyström方法和基于分级网格点的梯形规则求解的（详细信息参见[22]）。提高积分方程数值解磁共振波谱 Nasser/SoftwareX 11（2020）1004647将提高所呈现的工具箱的准确性。今后可以考虑这样做2. 文[18]中提出的方法可用于一般多连通区域的光滑或分段光滑边界。因此，PlgCirMap工具箱可以推广到多边形域以外的多连通域。特别地，该工具箱可以容易地通用化以计算从具有圆弧边界的多连通域到圆形多连通域的共形映射。3. 计算从圆形区域D到伸长区域G的保角映射的数值方法的精度受到已知的影响如拥挤现象（见[6，§2.6]）。虽然该工具箱中使用的方法是基于计算从细长区域G到圆形区域D的保角映射，但它仍然受到拥挤的影响。一个可能的方法，以提高目前的工具箱的精度为细长域在未来是使用区域分解方法或考虑规范域以外的圆形域（见[6]）。竞合利益提交人宣称，他没有已知的可能影响本文所述工作的相互竞争的致谢该工具箱已在2019年9月9日至13日在剑桥举行的“艾萨克·牛顿数学科学研究所”举行的研讨会上提出：“复杂分析工具箱：新技术和视角”。作者要感谢INI在研讨会期间的热情款待。作者还要感谢两位匿名审稿人的宝贵意见和建议，这些意见和建议改进了本文的介绍。本文的出版由卡塔尔国家图书馆资助。引用[1]Koebe P. Abhandlungen zur theorie der konformen Abbildung，IV.我们的教 育 应 该 是 让 孩 子 们 在 Schlitzbe-reiche 的 世 界 里 变 得 更 好 。 数 学 学 报1918;41：305-44.[2]纳瑟先生。多连通域到第二、第三和第四类Koebe正则狭缝域的数值保角映射。J Math Anal Appl 2011;382：47[3]纳瑟先生。多连通区域到第五类Koebe正则狭缝区域的数值保角映射。J MathAnal Appl2013;398：729-43.[4]克劳迪·D解决多连接域中的问题，SIAM，CBMS-NSF应用数学区域会议系列，生产中。[5]DeLillo TK ， Elcrat AR ， Pfaltzgraff JA. 多 连 通 域 的 S c h w a r z -C h r i s t o f f e l 映 射 。J Anal Math 2004;94：17[6]Drivel TA，Trefethen LN. 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