Fuzzy度量空间中混合映射对的公共不动点定理

Journal of the Egyptian Mathematical Society（2014）22，453埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsFuzzy度量空间中混合映射对的公共不动点定理M.A. Ahmeda，*，H.A.纳法迪ba埃及艾斯尤特71516艾斯尤特大学理学院数学系b埃及艾资哈尔大学理学院数学系，Assiut 71524收稿日期：2013年6月4日;接受日期：2013年2013年12月9日在线发布本文在Fuzzy度量空间中引入两个混合映射对的公共极限值域性质（X-性质），并利用X-性质证明了这类具有隐关系映射的公共不动点定理。我们的结果将一些已知的结果推广到多值领域。 证明了满足积分型的模糊度量空间中的2000年数学潜规则分类： 47时10分; 47时09分; 47时04分; 46时40分; 54时25分？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 引言和附录Fuzzy集[1]是拓扑学和分析学中的一个重要概念。它是脆集的一个推广。模糊度量空间的概念已经被许多作者从几个方面进行了研究。Kramosil和Michalek[2]引入了KM-模糊度量空间的概念，作为Menger[3]和Schweizer和Sklar[4]给出的概率度量空间的推广。George和Veeramani[5]将这一概念推广到GV-模糊度量空间，并得到了这类模糊度量空间的Hausdorff拓扑。模糊集理论在应用科学中有应用*通讯作者。联系电话：+20 882317965。电 子 邮 件 地 址 ： mahmed68@yahoo.com （ 硕 士 ） Ahmed ） ，yahoo.com（H.A.Nafadi）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier例如数学规划、建模理论、工程科学、图像处理、控制理论和通信。许多作者证明了度量空间和模糊度量空间中的不动点定理和公共不动点定理。Mishra等人[6]在模糊度量空间中以渐近可换映射的名义扩展了相容映射的概念，并利用一个映射的连续性和所涉及映射的完备性证明了公共不动点定理。Singh和Jain[7]在Fuzzy度量空间中引入了弱和半相容映射的概念Pant[8]开创了度量空间中非相容映射的公共不动点的研究。对于非相容映射，Aamri和El Mouss-Pant[9]引入了一个新的性质，称为（E. A）性质，Pant[10]利用模糊度量空间中的（E.A ） 性 质 研 究 了 非 相 容 映 射 的 公 共 不 动 点 . 最 近 ，Sintunavarat和Kumam[11]引入了映射对的公共极限值域性质（或（E.A）性质）的概念，作为（E.A）性质的推广，并证明了1110- 256 X？ 2013制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.10.006关键词模糊度量空间;混合映射;公共不动点454M.A. Ahmed，H.A. 纳法迪ðÞFuzzy度量空间中的公共不动点定理混合映射的（CLRg）性质的概念是单映射的推广.用不同的方法得到了类似的结果，如[12本文的目的是推广模糊空间中混合映射的一些定义，并利用（CLRg）性质证明混合映射的公共不动点定理.我们的结果改进了文献[15现在，我们列出一些重要的定义。实施例1.7 [5].设X;d是度量空间，其中aωb<$ab对于所有a;b2½0;1]。然后，我们可以定义一个模糊矩阵Mdx;y;t，tMdx;y;tMd x; y;tMdx;y;对于每个x;y2X且t>0。定义1.1[20]第20段。 一二进制 操作0;10; 1定义 1.7[24]第10段。 让 公司简介 被 集合 所有nonempty！1/20; 1]被称为连续t-范数，如果(I) ω是交换的和结合的，(II)ω是连续的，ω：½]×½]模糊度量空间的闭有界子集;M; ω n. 则对于每个A;B;C2CB<$X<$且t>0，.ΣMA;B;t=min minMA;B;t= minMA;b;t= min;(III) aω1/4a对于所有a2/2 0;1]，a2AB2B(IV) aωb6cωd每当a6c和b6d为 所有a;b;c;d2½0;1]。实施例1.2[21].作为连续t-范数的经典例子，我们提到t-范数T L;T P;T M，它们通过T L <$a;b<$$>maxa <$b-1; 0; T P<$a;b<$$> ab和T M<$mina; b<$b定义。定义1.3 [2]。称三元组空间X;M;ω n是KM- fuzzy度量空间，如果X是一个 任意集合，ω是一个连续t-n∈M，M是X2× 1/20;1 ∈M上的模糊集，满足下列条件：其中M=C;y;t=max xfM=z;y;t=z2Cg。注1.8[16]。显然，当a2A和M<$A;B;t <$$>1时，M<$A;B; t<$6 M<$A;B;t<$1森 林 论 坛A¼B 。显 然 ，1¼MA;B;t6MA;B;t，对于所有a2A。定义1.24 [25]。设X;M;ω X是模糊度量空间.我们用CP<$X <$来表示X的非空紧子集的集合。我们定义一个函数HM在CP<$X<$×CP<$X<$×<$0;1上，降低条件（对于所有x;y;z2X和t;s>0）：HMA;B;t=0.001min.infMa;B;t;infMA;b;t;a2 A b2 B0.01千米1千米x;y;0.01千米0，当x=y时，10KM3Mx;y; t My;x;t，KM450公里5英里/小时！1/2;1]是左连续的。注1.4[22]。函数M x;y;t通常被解释为x和y关于t的接近程度。引理1.5[23]. 对每个x;y2X，映射M∈x;y;·x在x 0; 1 x上是非减的.定义1.6 [5]。称三元组X;M;ω n是GV-模糊度量空间，如果X是一个任意集，ω是一个连续t-范数，M是X2×X 0; 1n上的模糊集，满足下列条件（对所有x;y;z2X和t;s> 0）：对所有的A;B2CP<$X<$且t>0，也有αH M;ω <$是CP<$X<$上的模糊度量。定义1.9[5]。称Fuzzy度量空间<$X;M;ω <$X中的序列fxng收敛于某个x2X，如果对所有t>0，1Mxn;x;t1.定义1.10[26]。设CL<$X<$是度量空间<$X ; d <$的所有非空闭子集的集合F：YX！CLX。然后是地图f：Y！称X在x2 X是F-弱可换的，如果对所有的x2Y。定义1.12[27]。设X;M;ω X是模糊度量空间.一张地图f：YX！ X被称为巧合幂等w.r.t. 映射F：Y！ CL<$X<$如果f在<$f; F<$的重合点处幂等，即，对于所有x2Y且fx2Fx的ffx¼fx， 前提是fx2Y。定义1.13[11]。设X是度量空间. 两个映射f; g：X！称X满足X的连续性，如果存在X中的序列fx ng，使得GV1limfxn你好！1林gxn你好！1¼gx;GV210GV3Mx;y;t My;x;t，GV4500万美元！1/2;1是连续的。对于某个x2X。从定义1.13出发，我们可以得到定义1.14.设X是度量空间.两个映射f：X！X，F：X！称CLf，如果在X中存在序列fx ng，使得¼Fuzzy混合映射对的公共不动点定理455fg½]！ 半]limfxn<$fv2A<$$>limFxn;n/2 2<$/u;1;u;1;1;uP08u2½0;1]意味着u<$1。你好！1对于一些v2x。你好！12. 主要结果定义1.15 [11]。 设X;M;ω X是模糊度量空间.两个映射f;g：X！X被称为满足最小化条件如果在X中存在序列fxng，使得limfxn limgxngx;首先，我们重写定义1.18和1.19。定义2.1.设X;M;ω X是模糊度量空间，你好！1你好！1f; g; F; G：Y <$X！ X. 然后对f;F;和g;G;被说成对于某个x2X。根据定义1.15，我们可以定义1.16. 设X;M;ω X是模糊度量空间. 两具有公共极限范围属性（相对于f和g）通常表示为f;g如果存在两个序列，则表示为fxng和fyng，使得limfxn limgyn limFxn limGynt;映射f：X！ X和F：X！ 据说CLX满足你好！1你好！1你好！1你好！1联合国开发计划署属性，如果存在序列 Xn在X这样的的limfxn limFxn;其中tgw，对于某些t;v;w2X.定义2.2. 让 X;M;ω被一模糊 度量空间，你好！1你好！1f; g：Y X！ X和F; G：Y！ CLX。然后是混血儿对于某个u;v2X，定义1.17 [28]。 设λX;M;ω λ是模糊度量空间，f; g; F; G：X！ X. 称对f;F和g;G满足f;F和g;G被称为拥有财产f;g，存在两个序列fxngfyngf 在Y中，使得Li mn！1Gyn2CL-2X射线衍射仪和limfx limFx;f和g性质范围内的联合公共极限n你好！1n你好！1n你好！1（简单地说，是一个性质）如果存在两个序列fxng并且fyng在X中使得[英]][英][英][英]对于某些u;v;w2X，现在，我们证明我们的主要定理如下。你好！1你好！1你好！1你好！1定理2.3. 设f;g：Y<$X！X是两个映射，一些u2x。定义1.18[29]。设f;g;S和T是定义在对称空间<$X;d<$X上的四个自映射。则称对f;S和f;g; T具有公共极限值域性质（相对于S和T），通常用f; g;T表示，如果X中存在两个序列fx ng和fy ng，使得limfxn limgyn limSxn limTynt;模糊度量空间<$X;M;ω <$X和F; G：Y子集Y！CL<$X<$满足以下条件：(a) 混合对F_f;F_f和G_g;G_f满足性质CLR(b) 存在/2U，使得/MFx;Gy;t;Mfx;gy;t;Mfx;Fx;t;Mgy;Gy;t;Mfx;Gy;t;Mfy;Fx;t;P0;你好！1你好！1你好！1你好！1其中tTw，对于某个t;u;w2X。根据定义1.18，我们可以定义1.19.设f;g：X是对称空间，f;g：X是对称空间.X和F; G：X！ CLX。则称对f;F和f;g;G具有性质f;g，如果在X中存在两个序列fxng;fyng，使得limfxn<$ limgyn<$u2A<$ limFxn; limGyn2CLX;对于所有的x;y2X. 然后(1) 混合对F;F具有重合点V2Y，(2) 该混合对Gg;Gf具有重合点W2Y，(3) 如果F在v 2 X ; ffv 1/4 fv和fv 2 Y处F -弱交换，则混合对F;F具有公共不动点(4) 混 合 对 gg;Gw 有 一 个 公 共 不 动 点 ， 假 设 g 是 G- 在w2Y;ggw/gw和gw2Y处弱交换，你好！1你好！1你好！1你好！1(5) f;g;F;G有一个共同的固定点，前提是两者都是对于某些u;v;w2X，我们的结果涉及以下隐含关系。定义1.20[27]。设U是满足下列性质的所有下半连续函数f：0; 16 0; 1的族：（3）和（4）是真的。证据由于杂交对f;F和f;g;G满足性质f;g;f; g ; f，Y，y中存在两个序列fxngf;fyngf，A;B2CL，X，y，y，1Gyn¼B和limfxn<$ limgyn<$u2A<$ limFxn;456M.A. Ahmed，H.A. 纳法迪在第3、4、 5、 6坐标中，/1/你好！1你好！1你好！1变量，/21对于某些u;v;w2X，现在，我们继续证明A/B。作为Fuzzy混合映射对的公共不动点定理457！！ðÞ¼2¼ 2 ¼2ð Þ ð Þ ¼ðÞð Þ2ð Þ22ðÞ212fxn g¼;fyg ¼1n2N在X. 因为，K knL knknknknK kn/MFxn;Gyn;t;Mfxn;gyn;t;Mfxn;Fxn;t;Mgyn;Gyn;t;Mfxn;Gyn;t;Mgyn;Fxn;tP0：作为n！1，我们知道/MA;B;t;Mfv;fv;t;Mfv;A;t;Mfv;B;t;Mfv;B;t;Mfv;A;tP0：所以，推论2.5。 设X;M;ω X是模糊度量空间. 设f：Y<$X X和F：Y CL X是一对杂交映射，满足下列条件：(a) 对f;Ff满足性质fCLRfff，(b) 对于所有的x;y2Y，Mfx;F y;tPmin.Mfx;fy;t;Mfx;Fx;tMfy;Fy;t;Mfx;Fy;tMfy;Fx;t：/MA;B;t;1; 1;MA;B;t;MA;B;t;1P/Mfv;B;t;Mfv;A;tP0：由于n/21，我们有M=A;B;t=1，所以A=B。为了证明（1），由于fv2A.现在，我们证明了A¼Fv。作为/MFv;Gyn;t;Mfv;gyn;t;Mfv;Fv;t;Mgyn;Gyn;t;Mfv;Gyn;t;Mgyn;Fv;tP0：当n！ 1、我们有/MFv;A;t;Mfv;fv;t;Mfv;Fv;t;Mfv;A;t;Mfv;A;t;M/Fv;Fv;t/P0：使得A;t-1;1;M-2; Fv; t-1; 1;M-2; Fv; t-1;P/M-2;Fv;A;t-1;1;Mfv;Fv;t;Mfv;A;t;Mfv;A;t;Mfv;Fv;tP 0：由于/22，这得到M A;Fv;t1，这意味着A Fv。然后是fv这证明了（1）。（2）的证明与（1）的证明为了证明（3），使用给出的条件在（3）中，我们有ffvfv和ffvFfv这样你傅Fu.（4）的证明类似于（3）的证明，而（5）则紧接着。证明到此结束H现在，我们提供一个例子来说明定理2.3。实施例2.4. 令X;M;ω 是模糊度量空间，其中对于所有的a;b2½0; 1]，不Mx;y;ttjx-yj;对于所有的t>0;x;y2X.则f;f有一个公共不动点，只要f是F-在v 2 X和ffv <$$>fv处弱可换，其中v 2 C<$f; F<$。备注2.6.(1) 定理2.3是定理4.1[15]在混合映射中的推广。(2) 推论2.5是定理3.10[30]的推广。我们的下一个定理涉及一个多值映射序列。定理2.7. 设fFng;n2N是从模糊度量空间<$X; M; ω <$的子集Y到CL<$X<$的多值映射序列，且f; g：Y！ X满足以下条件：(a) 对f;Fk和f;g;Fl满足以下性质其中，对于所有n2Nn，(b) 存在/2U，使得/MFkx;Fl y;t;Mfx;gy;t;Mfx;Fk x;t;Mgy;Fl y;t;Mfx;Fl y;t;Mgy;Fk x;tP0;对于所有的x;y X。然后(1) f;Fk有一个重合点ukY，(2)g;F1具有重合点u; Y，(3) f;Fk有一个公共不动点，只要f是Fk-在uk处弱可换且f是一致的，有效w.r.t. Fk，(4)g;Fl有一个公共不动点，条件是g是F l-在u l处弱可换，并且g是W. r. t巧合幂等的。Fl.定义/：半0;1]6！半0;1]作为/ft;t;t;t;t;tg <$t-t;证据由于混合对f;Fk和g;Fl满足123456 1 2Σ Σ3性质f∈f;g∈f，Y中存在两个序列fxkng;fykng定义X上的映射F;G;f;g为Fx的1/42x;1;Gx¼½x2;1]并且对于所有的x;y2X，fx1/4 2x;gx 1/4x2。定义两个序列和Ak;Bk2CL<$X <$，使得limn！1Flykn<$Bk，. 2003年 。 Σlimfxnlimg ynlimF xnlimGyn;其中ukg wl，对于某些uk;v;w2X。你好！1你好！1你好！1你好！1现在，我们证明，1/4B k. 作为混合对F_f;F_f和G_g;G_f满足性质ðCLRðf;gÞÞand/fMFx;Gy;t;Mfx;gy;t;Mfx;Fx;t;Mgy;Gy;t;Mfx;Gy;t：Mgy;Fx;tg ¼0因此，定理2.3的所有条件都满足，并且0仍然是四个涉及的映射的公共不动点/MF x;F y;t;Mfx;gy;t;Mfx;F x;t;Mgykn; F l ykn; t;Mfxkn; F l ykn; t;Mgykn; F k x kn; t P0：As n！1、我们发现，/MAk;Bk;t;1; 1;Mfvk;Bk;t;Mfvk;Bk;t;1P 0：limfxkn limgykn limFk xkn：nn2N你好！1你好！1你好！1458M.A. Ahmed，H.A. 纳法迪¼ðÞ ¼ ¼ 222¼ðÞ22¼ð Þ2ðÞknð Þ2L knKL kn使得/MA;B;t;1; 1;MA;B;t;MA;B;t;1证据 由于杂交对f;f 和;G 满足k k k k k k在u2Y的性质，则存在P/MAk;Bk;t;1;Mfvk;Ak;t;Mfvk;Bk;t;Mfvk;Bk;t;Mfvk;Ak;tP0：由于n/21，我们有MAk;Bk;t1，由此产生两个序列fxng;fyng在Y和A;B2CL<$X<$x中使得limn！1Gyn¼B和limfxn<$ limgyn<$u2A<$ limFxn;Ak¼Bk.你好！1你好！1你好！1当uk2Ak时，我们证明Fk vk<$Ak。作为/MFkvk;Fl ykn;t;Mfvk;gykn;t;Mfvk;Fk vk;t;M;Fy;t;M;fv;Fy;t;对于一些u;v;w2X，具有ugw。我们证明，A/B，因为Z/MFxn;Gyn;t;Mfxn;gyn;t;Mfxn;Fxn;t;Mgyn;Gyn;t;Mfxn;Gyn;t;Mgyn;Fxn;t0uploadsp0：M=kn;F= k vk;t=P0;在制作N！1减少到/<$M<$F k v k; A k; t<$;1; 1; M<$uk; A k; t<$;M<$uk;A k; t<$;1 <$P 0;所以F k v kA k证明了（1）。剩下的部分很容易证明。到此结束证据 H作为n！ 1、我们有/MA;B;t;Mu;u;t;Mu;A;t;Mu;B;t;Mu;B;t;Mu;A;t0然后Z/MA;B;t;1;Mu;A;t;Mu;B;t;Mu;B;t;Mu;A;tuploadsp0：备注2.8.定理2.7是定理2[31]在Fuzzy度量空间中的推广。下面的定理是[15]中定理5.1的推广。0或/MA;B;t;1; 1;MA;B;t;MA;B;t;10uploadsp0：uploadsp0：定理2.9. 设f;g：Y<$X！X是从模糊度量空间<$X;M;ω<$的子集Y到X和F;G：Y的两个映射！ CL<$X <$，使得(a) 对F和G满足关于F和G在u2Y处的p_（？）fg_（？）(b) 存在/2U，使得/u;1; 1;u;u;1urologysp0;0或/u;1;u; 1; 1;uurologysp0;那么MM;N<$A;B;t<$$>1，我们有A<$B。(1)为了证明（1），由于fv2A，我们证明A¼Fv，由于/MFv;Gyn;t;Mfv;gyn;t;Mfv;Fv;t;Mgyn;Gyn;t;Mfv;Gyn;t;Mgyn;Fv;tuploadsp0：0作为n！ 1、我们有/MFv;A;t;Mfv;u;t;Mfv;Fv;t;Mu;A;t;Mfv;A;t;Mu;Fv;tuploadsp0：0然后Z/MFv;A;t;1;Mu;Fv;t;Mu;A;t;Mu;A;t;Mu;Fv;t0其中u：1/2;1/2！是一个可和的非负Lebes-gue可积函数，使得对于每个s2½0;11u_（？）s_（？）s>0;S0或A;t-1;1;M-2;Fv; t-1; 1; M-2; Fv ; t-1;M-2;Fv;t-10uploadsp0：uploadsp0：这意味着对于所有u;v2½0;1]，/MFx;Gy;t;Mfx;gy;t;Mfx;Fx;t;Mgy;Gy;t;Mfx;Gy;t;Mgy;Fx;t0对于所有的x;y2X和t>0。然后urologysp0;这表明M A;Fv;t1，然后A Fv。然后，证明了（1）。H其他结果立即生效。引用(1) 所述混合对 f;F 有一个重合点V是的，(2) 所述混合对 g;G 有一个重合点W是的，(3) 如果f在v处F -弱交换，则混合对f;F有一个公共不动点 X;ffvFV和fv Y，(4) 混合对g;G具有公共不动点，假设g是G-在w Y;ggwgw和gw Y处弱交换，(5) f;g;F;G有一个公共的不动点，条件是（3）和（4）都为真。[1] 洛杉矶Zadeh，Fuzzy sets，Inform. 对照8（1965）338-353.[2] I. Kramosil，J. Michalek，模糊度量和统计度量空间，Kybernetika 11（1975）336-344。[3] K. Menger，统计度量，Proc. Nat. Acad. Sci. 28（1942）535-537。[4] B.施韦策，A. Sklar，Statiscal metric spaces，Paci fic。J.数学。10（1960）314[5] A.张文龙，模糊度量空间中的若干结果，《模糊集系统》，ZZZZZZZZZFuzzy混合映射对的公共不动点定理4591994年，第395-399页。460M.A. Ahmed，H.A. 纳法迪[6] S.N.米什拉河Sharma，S.L.张文，张文辉，张文辉，等.模糊度量空间上映射的公共不动点.数学学报，2000，21（1）：117 - 118. 17（1994）253-258。[7] B. 辛格，S。Jain，Semicompatibility and fixed point theoriesinfuzzy metric space using implicit relation ， Int. J. Math.Math. Sci.（2005）2617-2629。[8] R.P. Pant，压缩映射的公共不动点，J. Math. Anal. Appl 226（1998）251-258.[9] M. Aamri，D. El Moutawawaan，Some new common fixedpointtheories under strict compressive conditions ， J. Math.Anal. Appl. 270（2002）181-188.[10] 李文，李文，李文。J. 数学33（4）（2007）647-655。[11] W. Sintunavarat，P. Kumam，Fuzzy度量空间中弱相容映射对的公共不动点定理，J. 14.第十四届全国人大常委会委员长文章ID637958。[12] W. Sintunavarat，P. Kumam，度量空间中积分型切多值映射的Gregus型公共不动点定理，Int. J. 数学数学Sci. 2011年（2011年） 文章ID923458。[13] M.阿巴斯湾阿里，匿名戒酒会。Harandi，Housdorff模糊度量空间中混合映射对的公共不动点定理，不动点理论应用，2012（2012）225。[14] W. Sintunavarat，P. Kumam，满足积分型压缩条件的切多值映射的Gregus型不动点，J.不等式。Appl.2011（2011）3.[15] S. Chauhan ， M.A. 汗 ， S 。 Kumar ， Unified fixedpointtheoriesinfuzzymetricspacesviacommonlimitrangeproperty，J. Ineq.第182章.[16] P. Vijayaraju，Z.M.I.Sajath，Common fixed points of singleandmultivalued maps in fuzzy metric spaces，Appl. Math. 2（2011）595-599.[17] M. 放大图片作者：J.Hasan，Fuzzy度量空间中的公共不动点定理（E. A），Math. Compos. Mod.55（2012）770-778.[18] M. 贾 恩 ， S 。 Kumar ， A Common fixed point theorem infuzzy metric space using the property（CLRg）.J. 数学、出版中。[19] S. Sedghi ， K.P.R. 拉奥N.Shobe， A general common fixedpointtheorem for multi-maps satisfying an implicit relation onfuzzymetric spaces，Filomat 22（1）（2008）1-11。[20] B.施韦策，A.张文，概率度量空间，北京，1983。[21] D. Mihet，利用性质（E. A）的模糊度量空间中的不动点定理，非线性分析。73（2010）2184-2188。[22] 赵永杰，模糊度量空间中的不动点，模糊数学，5（1997）949[23] M. Grabiec ， 不 动点 在 模糊 度 量 空间 ， 模 糊集 系 统。 27（1988）385[24] I. Kubiaczyk，S. Sharma，Fuzzy度量空间中的公共重合点，J. Fuzzy。1.11（2003）1-5.[25] J. S.RodrBoguez-Lopez李文，李晓刚，李晓刚，等.模糊数学与模糊数学.北京：高等教育出版社，2004.[26] M.A. Ahmed ， 混 合 映 射 的 公 共 不 动 点 及 其 应 用 ，Comput。Math.Appl.60（2010）1888-1894。[27] M. Imdad，文学硕士Ahmed，H.A.杨文，模糊度量空间中混合映射对的公共不动点定理J. 数学、出版（2013）。[28] S. Chauhan，W. Sintunavarat，P. Kumam，利用（Jesus）性质的模糊度量空间中弱相容映射的公共不动点定理，Appl. Math. 3（2012）976-982。[29] E. 卡 拉 皮 纳 尔 帕 特 尔 ， M 。 Imdad ， D. Gopal ，Somenonuniquecommon fixed point theories in symmetricspaces，throughJ.P.S;T. P.property，Int. J. Math. Math. Sci.（2013年）8便士。文章ID 753965。[30] T.Kamran ， Coincidenceandfixedpointsforhybridstrictcontractions ， J. Math. Anal. Appl. 299 （ 2004 ） 235-241。[31] M. Imdad ， 文 学硕 士 Ahmed ， Some common fixed pointtheoremsfor hybrid pairs of maps without the completenessassumption，Math.Slovaca62（2012）301-314.