非局部模型的数据驱动学习：复合材料高保真模拟与本构律

···非局部模型的数据驱动学习：从高保真模拟到本构律尤怀倩，1岳宇，1斯图尔特西林，2玛塔1数学系，Lehigh University，PA2计算研究中心，桑迪亚国家实验室，阿尔伯克基，NM 3计算科学与分析，桑迪亚国家实验室，利弗莫尔，CA huy316@lehigh.edu，yuy214@lehigh.edusasilli@sandia.gov，mdelia@sandia. gov。摘要我们表明，机器学习可以提高一维复合材料中应力波模拟的准确性。我们提出了一种数据驱动的技术来学习应力波传播模型的非局部本构关系。该方法是一种基于优化的技术，其中非局部核函数通过Bernstein多项式近似。内核，包括它的功能形式和参数，是派生的，以便在非局部求解器中使用时，它生成的因此，最佳内核作为一个均匀化的非局部连续模型，准确地再现波动在一个更小的规模，更详细的模型，可以包括多种材料。我们将这种技术应用于波在具有周期性微观结构的异质杆中的传播。几个一维数值试验说明了我们的算法的精度。最佳的内核被证明是再现高保真数据的复合材料的应用程序，是从用作训练数据的问题有很大的不同。介绍非局部模型使用作用在长度尺度δ上的积分算子，称为视界.这一特性允许非局部模型在小尺度和多尺度行为下捕获长程力，并降低对解的正则性要求，允许解是不连续的甚至是奇异的。近几十年来，非局部方程已成功用于模拟多种工程和科学应用，包括断裂力学（Silling 2000; Ha和Bobaru 2011; Trask等人2019），地下 输 运 （ Benson ， Wheatcraft 和 Meerschaert 2000;Schumer等人2003），图像处理（图像处理），（D'Elia ， De los Reyes 和 Tru- jillo 2019; Gilboa 和 Osher2007），多尺度和多物理系统（Alali and Lipton 2012;Askari et al. 2008; You，Yu，and Kamensky 2020），金融（Scalas，Gorenflo和Mainardi 2000）和随机过程（D'Elia et al. 2017; Meerschaert和Sikorskii 2012）。然而，通常情况下，定义非局部算子的非局部核是后验证明的，并且不清楚如何定义这样的核来忠实地描述版权所有© 2021本文由其作者。在知识共享许可署名4.0国际（CC BY 4.0）下允许使用物理系统。学习一个合适的内核为特定的应用程序的问题是在非局部建模中最令人困惑的开放问题之一。关于用于学习给定函数形式的核参数的技术的文献是大量的，参见例如，（Burkovska，Glusa和然而，使用机器学习来学习内核的函数形式仍处于起步阶段（Xu和Foster 2020; Xu，在这项工作中，我们使用一种类似于（You et al.2021）中开发的方法来学习非局部内核，其相关的非局部波动方程通过构造很好地提出，并且可以用作更详细，高保真波传播模型的准确替代。特别是，我们提出了一个应用程序在微尺度波在非均匀固体中的传播。在这种情况下，机器学习的非局部内核嵌入了材料的本构行为，使得材料界面不必被明确地处理，更重要的是，材料的微观结构可以是未知的。此外，相应的非局部模型允许在比微观结构大得多的尺度上进行精确的模拟。我们的主要贡献是：一种优化技术的设计，通过为非均匀材料中波传播的模拟提供准确和稳定的模型替代物，将微观尺度和连续尺度联系起来。通过一维实验证实了该方法的适用性，并与最先进的结果相比提高了精度。我们的al-出租m的泛化属性的演示，其相关的模型代理是有效的，即使在问题设置，是从负载和时间尺度方面用于训练的基本不同非局部核学习我们引入了忠实地表示系统的高保真（HF）模型：对于R∈Rd，标量函数L∈×LN Σn+1n +12N∈∈R·δM. .δ.−−for ≤≤m，M∈----Kγu（x，t）解，对于（x，t）∈<$×[0，T]102uf（x，t）=f（x，t），（1）只要满足u（x，t）的某些边界条件和t=0时的初始条件，u和τ u/τ t都满足.这里，HF是HF算子，其可以是微分算子或积分算子，并且f表示强迫项。我们假设这个HF问题的解可以近似于一个非局部问题的解，102uf（x，t）=f（x，t）（2）对于（x，t）<$[0，T]，在<$δ（围绕区域的厚度为δ的层）上增加非局部边界条件，并在变量u上增加相同的初始条件图1：具有周期为2 L的有序微观结构的一维杆。 材料1和2具有相同的密度和杨氏模量E1和E2。为了比较，报告了视界δ、波长λ和离散化尺寸h。用均匀网格间距h黎曼和逼近K。通过求解以下优化问题来获得最佳参数。其衍生物如（1）。强迫f可能与（1）中的强迫项一致，也可能是一个适当的表达式。最小T行程Ttr/dt u<$−u（t）<$+R（{C}），同样的感觉我们寻求LK作为以下形式的非局部算子：Cmdt3Nk=1kkA2n=1M（七）LK[u]（x，t）=K（|x−y|）（u（y，t）−u（x，t））dy（3）ΩS.T. k满足（6）和（8）K满足基于物理的约束。（九）其中K是径向的、符号变化的核函数，紧密地支持在以x为中心的半径为δ的球上，即，Bδ（x）和=δ。该算法为了学习核K，我们假设我们被给予N对强迫项和对应的解（1），关于每个解的L2范数在N ×[0，Ttr]上归一化。这些表示为Dtr={（uk（x，t），fk（x，t））}k=1，（4）对于xT和T（0，Ttr].与（You et al. 2021）类似，我们将K表示为伯恩斯坦基多项式的线性组合这里，在空间离散化点xi上采用l2范数，（）是系数上的正则化项，其改进优化问题的条件，并且（9）取决于问题的物理（作为示例，其可以对应于强制代理模型精确地再现某类解）。非均质材料我们将上述学习算法应用于一维异质杆中的波的传播，如图1所示，具有有序的微观结构，即具有相同长度的两种材料周期性地交替。我们的目标是学习一个非局部模型，该模型能够在远大于微观结构尺寸的距离上再现波的传播，而不需要解决K. |y|=mm=0CmBδd+2m，M. . y.Σ、（五）微观尺度。我们所依赖的高保真模型是经典波动方程;用于训练和验证的相应高保真数据由求解器获得其中Bernstein基函数被定义为B（x）=M xm（1x）Mm0x1M其中CmR.注意，通过构造，这个内核保证（2）是适定的（Du，Tao，and Tian 2018）。我们通过寻找最佳参数来机器学习非局部模型使得对于f=fk和与Cm相关联的核函数K，解u∈k到（2）尽可能接近训练变量uk。在本工作中，我们使用时间步长为dt的中心差分格式，用u k对uk进行数值逼近，即u<$n+1（x）=2u<$n（x）−u<$n−1（x）如下所述高保真数据为了训练和验证的目的，我们生成的数据使用高保真度模拟应力波的传播内的异质性，线弹性杆的微观结构。这种方法被称为直接数值解（DNS），它构造了一个任意复杂的波图（也称为x-t图），它处理了许多波阵面在任一方向上运动的相互作用和叠加。 条形被离散为节点，使得波花费恒定的时间Δt来我的天（六）在节点γ和γ+ 1之间移动，而不管弹性+dt2（LK，h[u<$n]（xi）+fk（xi，tn）），K其中，u<$n+1（xi）表示时间步长tn+1和离散点xi处的第k次近似解，LK，h是这两个波节之间的材料中的波速因此，在非均匀介质中，节点之间的间距不是恒定的。每个节点γ在每个时间步长n处具有速度vn（注意，在这种情况下，下标指的是位置，- − −∈ − −M−γ−γ1−f（x，t）=e−（5kL）et0=tp= 0。八、≤tpcos22πxKLM+1m=0M1) 振荡源。 设b= 50，v（x，0）=u（x，0）= 0，2x2−，t-t0，2。Σ图2：DNS方法中两个波的相互作用每个节点可以位于或可以不位于材料界面处2) 平面波。对于b=50，f（x，t）=0和u（x，0）= 0，我们规定对于ω = 0，v（−b，t）= sin（ωt）。35，0。7，···，3. 85.3) 波包。对于b=133。3，f（x，t）=0且u（x，0）=0，我们规定v（b，t）=sin（ωt）exp（ （t/5）3）2）对于ω=2，3. 九五4) 冲击对于b= 266.6，f（x，t）= 0和u（x，0）= 0，我们规定对于所有x [ b，b + 1] v（x，0）= 1。6]和v=0在这个区间之外。该初始条件表示冲击器在零时刻撞击杆，产生宽度约为3.2的速度脉冲，该速度脉冲传播到杆的内部。脉冲衰减和改变形状，因为它遇到的许多微观结构的界面。训练过程对于优化问题（7），我们选择一个Tikhonov正则化的形式R（{Cm}）=MC2，与其对应于特定样本k的前一部分相反）。 为了计算下一个时间步中的速度，假设两个沿相反方向运动的波在时间步n处会聚在节点γ上（见图2）。图中所示的波可以在其中正则化权重是根据经验选择的，以保证准确的预测，正如我们稍后解释的那样。（9）中基于物理的约束定义如下，并且也通过黎曼和进行离散化;它们用于显式地规定CM−1和CM的值：因为节点两边的材料γ可以具有不同的波速c。的跳跃条件Cmδy2Bm，M.|y|Σdy=ρc2，所施加的波将波上的应力变化[ σ ]与速度变化[v]相关联。这些跳跃条件m=0M0δ3δ0（十）具有以下形式：Cmγδ4Bm，M.|y|Σ dy=−4ρc3R，[σ]=±ρc[v]，m=00δ3δ0其中ρ是质量密度，+和符号分别适用于右行波和左行波。根据这些条件，速度vn+1可以从时间步n1中相邻节点处的值显式地计算出来。外部施加的力也可以以直接的方式包括在内。在计算vn+1之后，更新的位移近似为：n+1=n+1其中ρ是密度，c0是无限长波长的有效波速。当ρ= 1时，它由c0=（2/（1/E1+ 1/E2）2）给出。R是波群速度相对于频率ω的二阶导数，在ω = 0时进行评估。这两个参数都是通过使用DNS（Silling 2020）模拟在长距离内通过微结构传播的极低频平面波获得的。这些参数主要影响大时间的模拟γ γ γt>10。然而，由于计算机的实际限制，该方法的详细信息可以在（Silling 2020）中找到该DNS求解器具有重要的优点，即不使用空间或时间导数的近似表示来计算速度，因此，不受PDE求解器通常遇到的截断误差和其他离散化误差源的影响这使我们能够模拟波通过数千个微观结构界面的传播，而无需担心速度的哪些特征是真实的，哪些是数值伪影。我们考虑了四种类型的数据，并使用前两种进行训练，最后两种用于验证我们的算法。在所有实验中，我们设定L=0。2，E1=1，E2=0。25，ρ = 1，对称域ε =（b，b）。 DNS解算器的离散化参数设置为Wnt = 0。01，max{x}= 0。01.资源，我们的训练模拟仅限于t2。因此，我们将这些参数合并为从DNS获得的约束，如（10）中所示，而不是试图通过我们的算法来学习这些参数。（10）中的第一个约束在（Xu，D'Elia，andFoster2020）中也用于类似的目的，并通过惩罚在弱意义上规定。使用类型1）和2）的DNS数据执行训练。将非局部求解器和优化算法的参数设置为h= 0。05，dt= 0. 02，Ttr=2，δ= 1.2，M= 24和δ= 0。01.用L-BFGS求解优化问题（7）请注意，我们根据经验选择δ和δ，以使下面定义的群速度（对应于最佳内核）尽可能接近一个是DNS。图3中报告了最佳内核Kopt;如文献所示（Xu和Foster2020; Xu，时间位置宁t波左转事故右向入射波内陷波左旋透射波右转传输，k = 1，2，. . . ，20，群速度∈200HH我ρQ我Q60 0.7500.6400.50.4300.3200.2100.100-100.2 0.4 0.6 0.8 11.2键长（|y|）-0.1角频率图3：最优核Kopt作为距离的函数0.70.60.5200.40.3150.20.1100-0.15角频率00 20 40 60 80 100 120 140波数图4：与Kopt相关的色散曲线。and Foster 2020; You et al. 2021; Weckner and Silling2011），我们观察到一种符号变化行为。计算了相应的色散ω（k）和群速度vg（ω）= dω/dk。 对于给定的内核K和不同的fre-k，图5：群速度的比较Upper：对应于Kopt、Kconst和DNS数据的群速度下图：对应于不同对（δ，δ）的K_opt的群速度。通带利用用于拟合我们的非局部核的粗略离散化，我们仅处理第一低频通带，即ω（0，ωbs），其中因此，最优内核仅适用于频率ki=0，2π，···，2π，对应的角波长大于微观结构;这是频率ω（ki）和群速度vg（ω（ki））近似为：10- 11- 1|y|）（1 − cos（k y））h，Q足以再现用于典型应用的分层介质中的波传播群速度的分布显示了改进的交流-我们的最佳内核的精确性，不仅匹配的是，v（ω（k））<$ω（ki+1）−ω（ki−1），G i对于低ω值，它是一个很好的选择，但也捕捉到了以下行为ki+1−ki− 1ω=ωbs4。这一事实对其中yq属于（−δ，δ）中大小为h的均匀网格。对于大于ωbs的ω值，再现波传播的能力。为了证明上述关于图4中报告了分散曲线，其正性表明Kopt对应于物理稳定的材料模型。群速度在图5的上图中报告，并与通过观察给定频率的波包在其移动通过微结构时的速度而用DNS计算的曲线进行比较。我们还显示了与通过完全不同的方法对相同材料获得的替代核相关的群速度（Silling 2020）。 这个替代的内核是一个常数，具体来说，我们有Cm=Kconst=0。7714，对于M= 3和δ = 0。15个。众所周知，层状、周期性弹性介质具有波传播的带结构，参见（Bedford和Drumheller 1994，第121-122页）。在本研究中，由于不可能重现较高频率的为了确定参数δ和δ的最优性，我们报告了对应于不同对的群速度分布;从图5中的分布可以清楚地看出，（δ，δ）=（1. 2，0。01）提供了在ω= 0处的曲率和带阻的识别方面的最佳匹配数值验证我们在类型3）和4）的数据集上测试了最优内核Kopt的性能，即考虑用于验证的问题设置具有与用于训练的模型参数不同的模型参数（包括域），因此，这些测试用作我们的算法的泛化特性的指示器。波包。对于数据类型3），我们数值计算如下-DNS数据最佳内核常数核024BS6810DNS数据最优核= 0.6，= 1e-1= 0.9，= 1e-101234BS52K（|y|群速度位置位置位置DNS数据最优核位置速度≈1.5 1.51 10.5 0.50 0-0.5-0.5-1电话：+86-150-140-130-120-110-100-90-80-1电话：+86-150-140-130-120-110-100-90-80图6：使用K opt计算的速度。图从上到下对应于：1. t=100时ω1= 2; 2.ω2= 3。9在t= 320; 3.t= 100时ω3= 5（2）使用K_opt和DNS数据作为非局部边界条件。我们考虑对应于三个ω值的解：ω1= 2 <ωbs，ω2= 3。9ωbs和ω3=5>ωbs。注意，后一个值超出带阻，因此对应于零群速度，即， 波的传播并不及时。 在图6中，我们分别报告了ω 1、ω 2和ω 3在时间t=100、t=320和t=100时对应于计算位移u ′的速度;作为参考，我们还报告了精确的DNS速度。 我们的结果表明，我们的核可以准确地再现类型3）的解决方案，在时间大于Ttr和所有的值的ω，甚至大于ωbs。这是可能的，因为对应于Kopt的群速度非常准确地再现了真实的群速度，参见图5。特别地，检测带阻的存在允许我们准确地预测ω>ωbs的值的波传播。由于与K常数相关的群速度的精度较差，因此相应的解在ωbs附近和更大范围内对ω的精度不高。为了说明这一现象，我们重新-图7：使用Kconst计算的速度。图从上到下对应于：1.t=100时ω1=2; 2.ω2=3。9在t=320; 3. t=100时ω3=5对于第二种和第三种情况（ω2和ω3），通过机器学习获得的最佳内核Kopt（图6）明显优于Kconst图7中的端口分别为ω1、ω2和ω3在时间t= 100、t= 320和100时对应于Kconst的速度行为。与DNS数据的比较表明，对于ω2，与K常数相关的波比精确的波传播得更快，对于ω3，当精确的波不传播时，它继续传播冲击 我们使用最优核来计算对应于数据类型4）的解。 在图8中，我们报告了与Kopt和DNS数据相对应的不同时间步长的速度分布，以进行比较。 图9显示了Kconst对应的相同结果。这些结果表明，我们的最佳内核可以准确地预测短期和长期的波传播，而不是常数内核，成功地预测了长期的行为。我们还指出，对于（δ，δ）的值，DNS数据常数核0.8DNS数据0.6最优核0.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-80-60-40-200200.0150.010.005DNS数据最优核0-0.005-0.01-0.015-0.02-0.025电话：+86-135-130-125-120-115 -110-105-100位置1DNS数据常数核0.50-0.5-1-100-500500.15DNS数据0.1常数核0.050-0.05-0.1-0.15一百三十到一百二十-110-100位置-90-80速度速度速度速度速度位置位置DNS数据最优核速度0.8T=200.8T = 200.6 0.60.4 0.40.2 0.20 0-0.2电话：+86-21 - 2222220传真：+86-21 - 22222220-0.2电话：+86-21 - 5555555传真：+86-21 - 5555555图8：T= 20时撞击问题的速度剖面T= 600，Kopt。如果速度不准确，则预测的速度和位移表现出非物理振荡，其在保证准确的群速度分布的对。结论我们介绍了一种新的数据驱动的，基于优化的算法，用于识别非局部内核的上下文中的波传播通过材料具有异质性在微观尺度。相应的非局部模型是良好的建设，并允许在更大的规模比微观结构的准确模拟。我们强调的事实是，我们的算法不需要先验知识的微观结构（通常是未知的和/或难以建模），但只需要高保真度的位移或速度的测量。我们还指出，我们的算法具有出色的泛化性能，因为最优内核在比用于训练的时间点大得多的时间和与训练数据集有很大不同在这项工作中最重要的发现之一是群速度在预测的准确性中的关键作用;事实上，我们选择层位δ和正则化权重δ的标准是群速度剖面的准确预测。 考虑到这种数量的关键作用，我们未来的工作包括识别最佳视野，可能的话，将对群速度的约束嵌入训练过程。另一个自然的后续工作是我们的算法在二维和三维测试用例的效率的说明。图9：在T= 20和T= 600时，K为常数时，撞击问题的速度剖面。通过机器学习获得的最佳内核Kopt（图8）通过减小跟随主脉冲的振荡的大小，在较早的时间（T=20）提供了比Kconst对于大的T，该解决方案是由脉冲的低频分量，其中两个内核的行为相似。致谢MD和SS由桑迪亚国家实验室（SNL）实验室指导的研究和开发计划以及美国美国能源部高级科学计算研究部在多尺度和多物理问题的数学和物理信息学习机合作实验室（PhILMs）项目下进行的研究。SNL是一个多任务实验室，由桑迪亚有限责任公司的国家技术和工程解决方案管理和运营，霍尼韦尔国际公司的全资子公司，根据合同DE-NA-0003525，为美国能源部国家核安全管理局提供服务。本文SAND 2020 -13633描述了客观的技术结果和分析。本文中可能表达的任何主观观点或意见不一定代表美国的观点。能源部或美国政府。HY和 YY 由 美 国 国 家 科 学 基 金 会 资 助 ， 授 予DMS1753031。T=6000.80.6DNS数据最优核0.40.20-0.28090 100 110 120 130 140 150位置DNS数据常数核T = 6000.80.6DNS数据常数核0.40.20-0.28090 100 110 120 130 140 150位置速度速度速度引用Alali，B.;和Lipton，R.2012年。周向公式中非均匀介质的多尺度动力学。Journalof Elasticity 106（1）：71-103.Askari，E.; Bobaru，F.; Lehoucq，R.;帕克斯，M。L.的; 西林，S.一、和Weckner，O. 2008.多尺度材料建模的周波学物理学杂志：会议系列，第125卷，012078。IOP发布。Bedford，A.;和Drumheller，D. S. 1994. 弹性波传播导论。威利Benson，D.;Wheatcraft，S.;Meerschaert，M.两千分数阶对流-弥散方程的应用。Water-ter Resources Research 36（6）：1403-1412.Burkovska，O.; Glusa，C.;和D'Elia，M. 2020.分数型非局部模型参数学习的一种基于优化的方法。ArXiv：2010.03666。D'Elia，M.; De los Reyes，J.;和Trujillo，A. M. 2019. 非局部图像去噪模型的双层参数优化。ArXiv1912.02347.D'Elia，M.; Du，Q.; Gunzburger，M.;和Lehoucq，R.2017.有界域上的非局部对流扩散问题应用数学中的计算方法29：71Du，Q.;陶，Y.;和Tian，X.2018年含键断裂的断裂力学周向模型。Journal ofElasticity 132（2）：197-218.D’Elia, 和Gunzburger，M.2016年。非局部定常扩散问题中扩散参数的识别。应用数学优化73（2）：227Gilboa，G.;和Osher，S.2007年非局部线性图像正则化与监督分割。多尺度模型你好6：595哈，Y。D.的; 和Bobaru，F.2011年。用周波捕获的动态脆性断裂特征工程断裂力学78（6）：1156Meerschaert，M.;和Sikorskii，A.2012年。分数阶微积分的随机。学习数学，格鲁伊特。Pang，G.; D'Elia，M.; Parks，M.; Karniadakis，G. E.2020. nPINNs：参数化非局部通用拉普拉斯算子的非局部物 理 信 息 神 经 算 法 与 应 用 发 表 在 Journal ofComputational Physics上。Pang，G.;卢，L.; Karniadakis，G. E. 2019. fPINNs：分数 物 理 信 息 神 经 网 络 。 SIAM Jour-nalon ScientificComputing 41：A2603-A2626.Scalas，E.; Gorenflo，R.;和Mainardi，F. 2000.分数阶微积分与连续时间金融学。Physica A284：376Schumer ， R.; Benson ， D.; Meerschaert ， M.; 而Baeumer，B. 2003.多尺度分数阶对流-弥散方程及其解。水资源研究39（1）：1022-1032。Silling，S.2020年。应力脉冲在非均匀弹性杆中的传播Sandia报告SAND 2020 -8197，Sandia国家实验室。Silling，S. A. 2000.不连续面和长程力弹性理论的重新表述。Journal of the Machanics and Physics of Solids48（1）：175Trask，N.;你，H。Yu，Y.; Parks，M. L. 2019.非局部问题的渐近相容无网格求积法则及其在周波学中的应用。应用力学与工程中的计算机方法343：151-165.Weckner，O.;和Silling，S. A. 2011. 由声子色散关系确定 非 局 部 本 构 方 程 。 国 际 多 尺 度 计 算 工 程 杂 志 9（6）。Xu，X.; D'Elia，M.; Foster，J. 2020.能量约束下的基于键的周向核学习。ArXiv：2101.01095。Xu，X.; Foster，J. 2020. 具有周期性微结构的一维弹性材料的周期性影响函数的推导。ArXiv：2003.05520。你，H。Yu，Y.; Kamensky，D. 2020.无重叠区域的局部-非局部耦合问题的渐近相容公式。应用力学与工程计算机方法366：113038.你，H。Yu，Y.; Trask，N.; Gulian，M.;和D'Elia，M.2021. 从高保真合成数据中学习鲁棒非定域物理。应用机械与工程中的计算机方法374：113553.