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Journalof the Egyptian Mathematical Society(2016)24,25埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章具有扩散耦合反应器的Lengyel-Epstein系统的分岔沙班阿里*King Khalid University,Faculty of Science,Department of Mathematics,Abha 9004,Saudi Arabia接收日期:2013年9月25日;修订日期:2014年5月9日;接受日期:2014年2014年8月1日在线发布摘要本文的主要目的是继续研究冯启等(2008)的重要系统。研究了由两个耦合反应器组成的均匀小阵列中扩散传质过程的Turing分岔和Hopf分岔,该过程由一个常微分方程组描述。研究了平衡解的存在条件和稳定性,并给出了系统发生Hopf分支的参数条件。分析表明,扩散驱动的不稳定性发生在某个临界值,当系统发生图灵分岔,图案出现。空间齐次平衡点失去稳定性,出现两个新的空间非常数稳定平衡点,它们是渐近稳定的。在数值上,当扩散系数达到某一临界值时,周期解失稳,并通过Turing分支产生两个新的空间非常数周期解.2010年数学学科分类: 34C23; 35K57; 35J55; 92D25; 92D30?2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 介绍Alan Turing(参见)[1])在数学上表明,由于所谓的“反应-扩散耦合方程”,耦合反应-扩散方程系统可以从任意初始配置产生固定特征长度的空间浓度模式。*地址:埃及艾斯尤特爱资哈尔大学理学院数学系。电子邮件地址:shhaly70@yahoo.com同行评审由埃及数学学会负责扩散驱动的不稳定性,即扩散可能使反应-扩散系统的稳定平衡不稳定,并导致不均匀的空间图案。多年来,图灵[2它不仅在生物学和化学领域得到了研究,一些研究范围还包括经济学,半导体物理学,生态学,胚胎学和恒星形成(参见。[6然而,在真实的化学或生物系统中研究图灵模式是困难的。第一次在化学反应器中观察到图灵模式的实验是由De Keppers小组完成的,他们在亚氯酸盐-碘化物-丙二酸(CIMA)反应中观察到了斑点模式(参见图1)。[10])。的实验1110- 256 X? 2014制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.06.020制作和主办:Elsevier关键词Lengyel–Epstein;26S. Aly.我的 天 -ð Þ ¼ - 你好-.我的 天 -ð Þ ¼ - 你好-ðÞðÞ ¼ ðþ þÞ0B.--¼2ðÞð Þ¼-ðÞðÞq.我的 天 -102a1CIMA反应揭示了在开放凝胶反应器中存在固定的空间周期性浓度模式,即所谓的图灵结构。后来,Lengyel和爱泼斯坦建议(cf。[3,11]),这些图案可能出现,因为碘活化剂物质与用作该反应的颜色指示剂的淀粉分子形成低迁移率的可逆复合物。与Fengqi等人[4]的结果不同的是,本文研究了两个耦合反应器的小均匀阵列中扩散连接传质的Turing和Hopf分岔的发生,这两个耦合反应器的扩散连接传质由一个常微分方程组描述。这不是[4]中的情况。本文的结构如下:第二节建立了模型,第三节研究了模型的渐近行为我们将集中讨论平衡点的存在性及其局部稳定性。这一信息将是至关重要的,在下一节中,我们研究的扩散参数的稳定性的影响。3. 稳定性和Hopf分支相互作用被描述为如下的微分方程系统:u_t;1a ut;14ut;1avt;1a t;1u2t;1v_t;1rbut;1ut;1vt;1v t;1u2t;1在第四节中,我们讨论了局部系统的线性化问题,并建立了局部系统的Turing分岔的条件(这是本文的主要结果);在第五节中,我们用数值模拟来说明我们的结果;在第六u_t;2a ut;24ut;2avt;2a t;1u2t;2v_t;2rbut;2ut;2vt;2:1u2t;2ð3Þ总结了研究的主要结论2. 模型我们研究了图灵和霍普夫分岔我们看到,u1;v1;u2;v2:a;1a2;a; 1a2是无扩散系统的唯一空间齐次平衡,其中a/4a=5。系统(3)在u1;v1;u2;v2处的雅可比矩阵可以写为:在小的均匀的耦合反应器阵列中。我们考虑一个一般的双变量模型,它代表一个激活剂-抑制剂方案与可以形成惰性化合物的底物3a2- 510a22ra2b4a10a2— 拉卜0 010 0 C与活化剂复合。我们使用J¼B10a210a2C:400动力学yel–Epstein model is in the formB0 03a2-54aC动力学是这种方案的一个具体例子。冷-@1个2-1个2CA4紫外线u_ <$a-u-1u2:<$f u; v;v_rb uuv:1米2特征多项式为2 23a2- 5-rab5rab1/4g/u;v/v;100g/u其中u;v表示活化剂D动力学模型D2动力学模型;D2动力学模型1a2k1a2:ð5Þ碘离子和抑制剂分别是碘离子和抑制剂Cl-O-2;和b是与进料浓度相关的参数,r是取决于淀粉浓度的重新缩放参数。因此,我们假定所有常数a、b和r都是正的。在实验室条件下,在0a 35,0b 8和0b 8的范围内采集参数样本。<<< 0下,系统(3)是一个活化剂-沉淀系统。如果03a2-5rab;6<<则系统(3)的平衡点u1;v1;u2;v2是局部渐近稳定的。接下来,我们分析了Hopf 分岔 发生 在u1;v1;u2;v2处,选择b作为分叉参数。表示3a2- 5b临界值:¼抗氧化剂u_t;1-ut;1-4ut;1vt;1dut;2-ut;1;当b/b,Jacobian矩阵J具有一对1u2t;1v_t;1rbut;1ut;1vt;1v t1u2t;112019- 04 - 25 00:00:00暴击虚本征值k 1/4iD2的根是k,则3a2- 5-rab动力学5r abcrit. 设k<$bb ixbbeu_t;2-ut;2-4ut;2vt;2dut;1-ut;2t;bb2011年1月2日;1u2t;2s.ut;2vt;2120 r ab. 3a2-5-rab2v_t;2rbut;2-1u2t;22019 -04 -25 00:00:00ð2Þx100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000和--0 02ra2b1a2拉卜10a2B具有扩散的耦合反应器Lengyel-Epstein系统的分歧27ð ¼Þ2-1个国家a2;2008年其中di>0;i1; 2为传质扩散系数。b0bb¼b暴击RA电话:+86-21-8888888传真:+86-21-88888888<0:09分28S. Alyb=17,d1 =d2=0b=7,d1 =d2=0--. 10a2.12ra2b10a2...C根据Poincare Andronov Hopf分歧定理(参见[12],03a2-5-d-4ad01定理3.1.3),我们知道系统(3)经历一个10a21b2ra2b10a2— rab-d10dC当b/b临界时,在?u1;v1;u2;v2?处分叉。¼B100a210a22 2DBd03a2- 5-d-4aC4. 扩散图灵不稳定性对于两个耦合反应堆,我们将推导出相对于平衡的扩散驱动不稳定性10d2. 3a2- 5-d-k-4a10a212ra2b1a2D10a2拉卜10a220ð10Þ.溶液,反应的空间均匀溶液-扩散Lengyel-Epstein系统我们看到u1;v1;u2;v2J-k,我的助手。1甲2-1甲2-d2-k0d2.110a210a212ra2b拉卜.d03 a2- 5-d-k-4 a.也是系统的空间均匀平衡,扩散具有扩散的系统(2)的雅可比矩阵.0d2100a2-100a2-d2-kð11Þu1;v1;u2;v2利用行列式的性质,我们得到65.554.543.532.521.510 2 4222018161412108640 24161412108646 8 10不6 810不765432100 20 4025201510500 2040201816141210864260 80 100不60 80 100不2电话:+86-10 - 8888888传真:+86-10-88888888u100.511.522.533.544.5五5.5u1图1左五:在b¼17处分叉之前的解u1和v1;解是稳定的。右图:在b¼7处分叉后的解u1和v1;解因图灵分叉而失去稳定性(应用MATLAB生成的u1v1v1v1u1v1;:拉卜1J不@一不具有扩散的耦合反应器Lengyel-Epstein系统的分歧29b=17,d2 =20u1--2-.10a210a2.....:.3 a2- 5-k-4 ad必须至少有一个特征值具有正实部。.2ra2b-rab-k0d。我们知道D2k有两个负实部的根.10a210a22通过(6),显然,.003 a2-5- 2 d-k-4 a。10a2110a23a2- 5-rab.0011a2- 11a2- 2 d2-k。ð12Þ1-2-3 -4-5-<另一个多项式将具有负根和正根,如果为了使系统(2)具有图灵不稳定性,特征多项式D4k; d1; d2; D2k; D2k; d1;d2; 13常数项为负。根据模型的性质前两项是正数。假设已经选择了参数,3a2 5rabD2k; d1; d2k-k1a2-2天1天2天5rab13a2 5d12011年1月a2日:1014年<2002年d1 拉卜1个国家a2-2d23a2- 51个国家a212ra2b0拉卜30S. Alyb=17,d2=200u1ð Þ-2天1小时;如果我们做到了这一点,常数项变为负数。计算结果是以下定理。具有扩散的耦合反应器Lengyel-Epstein系统的分歧3165.5v1v132S. Aly54.5具有扩散的耦合反应器Lengyel-Epstein系统的分歧3343.534S. Aly32.5具有扩散的耦合反应器Lengyel-Epstein系统的分歧3521.510 5 10 1520不151413121110987650 5 10 15 20不15141312111098736S. Aly651 2 3 4 5 6u16具有扩散的耦合反应器Lengyel-Epstein系统的分歧375.55v1v138S. Aly4.54具有扩散的耦合反应器Lengyel-Epstein系统的分歧393.5340S. Aly2.52具有扩散的耦合反应器Lengyel-Epstein系统的分歧411.510 10 20 30 40 50不151413121110987650 10 20 30 40 50不141312111098760 1 2 3 4 5 6u142S. Aly图2左五:解u1和v1在d2/420处分叉之前;解是稳定的。右五:解u1和vv具有扩散的耦合反应器Lengyel-Epstein系统的分歧43在d2/4200处分叉后,解因图灵分叉而失去稳定性(应用MATLAB生成的44S. Aly-¼ ð Þ ¼¼ð Þ¼ð Þð Þ ð Þ ¼ ð Þ定理1. 如果(6)和(14)成立,反应扩散方程组的新解(2).溶液的稳定性会因扩散而改变我们d2critb:rab 2005年2月2日d1日;15203a2-5- 2d1201a2202 a分析表明,扩散驱动的不稳定性发生在 一个特定的临界值,也就是说,系统经历了一个图灵则会出现图灵不稳定性。注:在d2临界点bb处,我们有四个特征值ki=1; 2; 3; 4,使得ki0=1; 2; 3,且k4=0。<如果d2bd2critb)ki0i 1; 2; 3; 4,则u1;v1;<d2critb)ki0i1;2;3且k4>0,则,u1;v1;u2;v2因此,如果d2b增加到d2bd2critb,则空间均匀平衡失去其稳定性。备注1.如果(6)成立,并且参数已经被选择,3a2 5d1>201a2;16然后自扩散从未动摇的平衡态u1;v1;u2;v2是渐近稳定的动力学系统,即对于所有的d2值,平衡态u1;v1;u2;v2u 1是扩散稳定的。5. 数值研究在本节中,我们提出了一些数值模拟来说明我们的理论分析。首先我们选择参数:a<$15;r< $8;d1<$1,然后我们有B临界点0:9166和d2临界b21 b.在不存在扩散的情况下,当b > bcrit时,系统的平衡态u1;v1;u2;v2是渐近稳定的,并且在b处发生Hopf分支b crit,分叉的方向是次临界的,分支周期解是渐近稳定的. 这在图中示出。1.一、对于带扩散的模型:如果d2>d2crit>bcrit,则通过(6)、(14)和(15),空间齐次平衡点u1;v1;u2;v2均会因图灵分支而失去稳定性.如果d2>d2crit,则bb crit=21b和bbcrit。<由(7)可知,在临界点发生Hopf分支,分支方向是亚临界的,分支周期解是局部渐近稳定的。 这在图中示出。 二、6. 讨论本文的主要目的是确定空间齐次平衡解和周期解的稳定性/不稳定性的参数范围。常微分方程组(3)的平衡点和周期解是空间齐次的。分支,模式出现,空间齐次平衡失去其稳定性,并出现两个新的空间非常数稳定平衡,这是渐近稳定的。数值上,对于周期解,当扩散系数达到某一临界值时,周期解会发生失稳,并通过Turing分支产生两个新的空间非常数周期解.致谢作者要感谢编辑以及匿名评审非常宝贵的和富有启发性的意见,这有助于改善文件。我们非常感谢应用数学研究小组(哈立德国王大学理学院数学系)的所有成员就本文所研究的主题进行了有益的讨论。引用[1] 图灵,形态发生的化学基础,EPPhil。 译R. Soc. London B237(1952)37-72.[2] R.G. Casten,C.J. Holland,反应扩散方程组解的稳定性,SIAM J. Appl. 数学33(1977)353-364。[3] I. Lengyel,I.R. Epstein,反应扩散系统中图灵模式设计的化学方法,Proc. Natl. Acad. Sci. USA 89 (1992 )3977-3979.[4] 易凤岐,魏俊杰,S.李俊平,Lengyel-Epstein系统中扩散驱动的不稳定性和分叉,非线性分析:RWA 9(2008)1038-1051。[5] W.倪唐,CIMA反应中Lengyel-Epstein系统的图灵模式,Trans.Am. 357(2005)3953- 3969。[6] S. Aly , Bifurcations in a predator-prey model with diffusionandmemory,IJBC 16(6)(2006)1855-1863.[7] S. Aly,Scheurle-Seydel型人类迁移模型中的图灵分叉,IJBC23(3)(2013)1350051。[8] M.郭文贵,交叉扩散的两种模拟方法,《非线性分析》,台北市医学会,1997年,第30期,第1225-1233页。[9] A.大久保公司莱文,扩散和生态问题:现代观点,第二版,施普林格,柏林,2000年。[10] P. De Kepper,V. Castets,E.陈文辉,高分子化合物与碘丙二酸反应之研究,国立成功大学化学工程研究所硕士论文,(1991)。[11] I.R. J.A.爱泼斯坦李文,非线性化学动力学导论,北京大学出版社,1998年。[12] S.李文,应用非线性动力学系统与混沌,北京,1991。
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