精神分裂症患者脑电分析及李雅普诺夫指数的神经动力学研究

医学信息学解锁18（2020）100289基于李雅普诺夫指数的精神分裂症患者脑电分析伊利亚·E. Kutepov *，Vitaliy V. Dobriyan，Maxim V. Zhigalov，Mikhail F.放大图片作者：Stepanov，AntonV. 瓦迪姆·雅科夫列娃克里斯科Yuri Gagarin State Technical University of Saratov（SSTU），77 Politechnicheskaya Street，Saratov，410054，RussiaA R T I C L EI N FO保留字：EEG李雅普诺夫指数A B S T R A C T本工作的重点是研究的混沌性质的脑电图（EEG）的信号，在精神分裂症评估李雅普诺夫指数，这可以作为一个指标，具体的脑功能遭受的疾病。收集了45例精神分裂症患者（年龄在10岁至14岁之间）和39名年龄匹配的健康青少年的脑电图。使用16个通道采集EEG记录。为了计算最大李雅普诺夫指数，使用Kantz，Rosenstein和Wolf算法，并使用Sano-Sawada算法计算指数的谱。结果表明，精神分裂症的特点是通过Rosenstein算法估计的最大李雅普诺夫E× ponents。由于大量的重要通道，李雅普诺夫谱提供了提高分类精度的机会。因此，非线性脑电图分析，李雅普诺夫指数的基础上，被认为是有用的精神分裂症患者的神经动力学研究1. 介绍精神分裂症是一种精神障碍，其特征是在执行几项任务时出现广泛的干扰[1]。这些干扰应在初始状态下独立于具体任务进行解释，即，在执行任务之前或休息时。精神分裂症的神经生物学研究已经使总结各种数据来证实这种方法成为可能[2，3]。与精神分裂症相关的神经结构和生理学的任何异常都可能直接或间接地影响大脑系统的基本非线性特性。精神分裂症的症状，如正式的精神障碍和扰乱思维的顺序或流程，是动态的。这表明违反了非线性过程，例如皮质系统中的状态转换[4]。[5]的作者将非线性分析方法的作用描述为分类是患者脑电信号研究中的一个相关目标精神分裂症在参考文献[6]中，估计了第一代熵度量（诸如近似（ApEn）、样本（SampEn）和模糊熵（FuzzyEn））在EEG信号分类方面的效率。文章[7]还研究了Lempel-Ziv（LZC）的熵复杂性评估对以下疾病进行分类的机会：精神分裂症Thilakvathi等人使用显著复杂性特征（Higuchi分形维数、Kolmogorov复杂性和ApEn）的不同组合Sabeti等人研究了各种熵和复杂性度量对信号属性变化的敏感性;从EEG信号中提取了包括香农熵、谱熵、ApEn、LZC复杂性和Higuchi分形维数在内的几个特征[9]。他们使用遗传编程（GP）来降低特征维数，并通过将分类误差视为适应度函数来选择最具鉴别力的特征。脑电信号的复杂性可以被认为是一种混沌现象现象混沌动力学的一个基本性质是所谓的对初始条件的敏感依赖性。该性质可以通过计算系统中的第一正李雅普诺夫指数来量化。最大李雅普诺夫指数描述了吸引子上相邻轨道的平均收敛或发散速率：它表征了系统的稳定性（负指数：稳定;正指数：不稳定）。这样的指数的频谱，每个空间维度一个，描述了吸引子如何填充相空间。因此，我们假设频谱可以为更准确地分析EEG提供机会。根据文献[10]提出的混沌系统的层次结构，在某些情况下，系统的随机性是增加的。 李雅普诺夫指数谱使得有可能* 通讯作者。电子邮件地址：iekutepov@gmail.com（I.E. Kutepov）、dobriy88@yandex.ru（V.V. Dobriyan）、zhigalovm@yandex.ru（M.V. Zhigalov）、mfstepanov@mail.ru（M.F.gmail.com（A.V. Krysko），yan-tan1987@mail.ru（T.V. Yakovleva），tak@san.ru（V.A.Krysko）。https://doi.org/10.1016/j.imu.2020.100289接收日期：2019年10月15日;接收日期：2019年12月29日;接受日期：2020年1月1日2020年1月3日在线提供2352-9148/©2020的 自行发表通过Elsevier 公司这是一个开放接入文章下的CCBY-NC-ND许可证（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）中找到。可在ScienceDirect上获得目录列表医学信息学期刊主页：http://www.elsevier.com/locate/imuKutepov等人医学信息学解锁18（2020）1002892eeð Þ¼¼ ðð-你好描述随机性的程度。超混沌在实际的物理系统中被发现，包括简单的电路[11]和机械系统[12]。超混沌系统的存在表明，李雅普诺夫指数谱的分析可能是有用的，以确定可能的特征，在EEG信号。基于精神分裂症的非线性动力学分析的几项先前EEG研究显示，健康人的左下额叶和前颞区的最大Lya- punov指数降低[13]。该研究[14]指出，在睡眠中，对于两个电极位置，精神分裂症患者的最大李雅普诺夫指数显著高于对照组。因此，在精神分裂症的李雅普诺夫指数的研究有矛盾的结果。我们的研究旨在比较几种估计Lya- punov指数的算法，并定义最具特征的版本。2. 材料和方法2.1. 受试者和EEG数据研究对象为10-14岁的青少年。第一组由45名11-14岁的精神分裂症男孩组成。第二组包括39名10-13岁的健康男孩。EEG片段是从清醒和放松状态的青少年中获得的，眼睛闭着[15]。受试者在研究前未接受药物治疗，因此认为EEG结果未受影响。用“10-20%”系统记录EEG信号，'Pz'，'P4'，'T6'，'O1'，'O2'。电极阻抗低于10 kOhm，采样率为128Hz，带宽角为0.5和45 Hz。不同类型的伪影可分为外部伪影和内部伪影。外部伪影由外部动作引起，内部伪影与受试者所做的动作相关联（肌肉伪影、眼部伪影、心脏伪影）。伪影主要来自头部和眼球运动，根据两位专家的意见手动删除。测量时间为60 s。因此，7680个样本是指每个通道的1分钟EEG记录 图图1示出了来自一个 正常和一个 精神分裂症的F7通道的信号的示例话 题 吧 EEG 源 信 号 数 据 库 可 在 线 公 开 获 取 ：http://brain.bio.msu.ru/eeg_schizophrenia.htm。2.2. 非线性测度从每个通道的时间序列Wolf [16]，Rosenstein [17] and Kantz[18]算法已经实现。计算李雅普诺夫指数谱的方法在其他地方提出[19]。每个EEG信号被表示为时间序列。我们将参考文献[20]中提出的重构过程应用于每个EEG数据，将信号嵌入相空间。使用5 ms的时间延迟和4的嵌入维数进行计算。2.2.1. 沃尔夫在参考文献[16]中，Alan Wolf等人提出了一种基于时间序列估计非负Lyapunov指数的算法。在他们的工作中，他们表明李雅普诺夫指数与相空间中相邻轨道的指数快速发散或收敛有关。从概念上讲，该方法是基于一个预先开发的技术，只适用于分析定义的模型系统。在吸引子的低体积元素的长期增长率进行监测。该方法的思想是通过单坐标采样计算最大李雅普诺夫指数。当系统的演化方程未知，相坐标不可测时，该方法很有用.混沌过程的一个坐标值存在一个时间序列xt;t1;N，该序列是在固定的时间间隔内导出的。互信息法求出一个时间延迟τ，伪最近邻算法求出嵌入空间的维数m。重建在Rm空间中给出一组点：xi¼ xi;xi-τ;在那里我M1 τ1;N.我们可以从序列中选择一个点x0观看序列，我们可以找到一个点x0，其中方程x0-x0<$ε0ε成立，其中ε是一个固定值，远小于重建的大小<结构吸引子还需要将点x0和xe0分开，Fig. 1. 来自F7通道的EEG信号。Kutepov等人医学信息学解锁18（2020）1002893eeeee- 是的XNN伊春nFGFG不ð ÞΔtXJJN1我是我公司简介jUtjjtτ-iτjN时间此后，跟踪重构吸引子上的这些点的演化，直到它们之间的距离超过预定值εmax。我们把这两个点记为x1和x1，它们之间的距离记为ε0'，演化的间隔记为T1。提供了李雅普诺夫指数的估计。让我们假设某个向量，并在它的邻域中找到向量的集合fkigi<$1;我们得到了向量集yi∈ki-i∈j，其中yi∈ε。在m次迭代之后，运算符Tm将然后，我们再次考虑序列，并发现点xe向量进入向量杰姆 还有，向量进入向量基木.因此，yi向量x1，满足方程x<' 1 - x 1/4 ε 1 ε。向量x1-x1和x可能会有相同的方向。对x1和x'1。重复这个过程M次，我们可以估计主指数为：转化为：yimkim-jm如果ε为 很小，我们可以假设 存在 和j操作员，满足：λffiM-1k¼0ln.ε'��kMTkk¼1yim<$Ajyij给出了系统的变化描述。我们可以使用最小二乘法来估计A：该文件提到了估计李雅普诺夫指数的数据要求包括短尺度和数据噪声限制minS/4min1X.yim-Ajyi2（静态和动态）。2.2.2. 罗森斯坦RosensteinAjAj Ni¼0我们得到维数为n的方程组如下：Aj VC;V1Xy k y l;N计算速度然而，其结果不是数值λ1，而是而是时间的函数y=i;Δt=1lndj=i;dj=i= minxj-x1/4千升C我我1/1ylj其中V;C是 维数矩阵 ��是第k个其中x是所考虑的点，并且x是相邻点之一。该算法基于dj和Lya值的相关性yi向量的分量，yk我是yim向量的第k个让普诺夫指数：djieλ1iΔt。估计需要考虑点的最近邻。该方法包括估计的最大李雅普诺夫指数作为其最线性区域的倾斜角。A是这些方程的解，则李雅普诺夫指数可以估计如下：λi<$lim1XlnAj ej我找到这个区域是一个复杂的问题。 有时这个地区无法找到2.2.3. 康茨Kantz该算法求解以下方程：n→∞nτj¼1哪里eJ是一组基向量在切空间中。当实现该算法时，我们可以做同样的，当我们估计李雅普诺夫指数在解析确定的常微分方程组。选择任意基es。之后，我们将跟踪Ajs向量长度的变化。随着A_j_s矢量增加并改变方向，它们需要正交化和重新赋形，例如，通过Gram-Schmidt过程。在获得新的Sτ1Xln�1Xx x x�t1/2i2Ut在此基础上，重复该过程。其中xt是信号的任意点;Ut是xt的邻域;xi是xt的邻域;τ是无量纲时间乘以采样率;T是采样大小;Sτ是实线线性增长区域的拉伸因子，表示斜率角等于李雅普诺夫指数的曲线，即eλτ<$e S<$τ<$。值得注意的是，这种线性增长的要求在后处理期间增加了新的误差。虽然该方法是有用的和精确的系统与已知的李雅普诺夫指数值，然而，选择的线性增长区域和参数是相当任意的。本研究的作者建议仅在已知Lya- punov指数的期望值的情况下使用我们的方法。因此，我们可以选择角度等于此值的区域。2.2.4. 雅可比基方法[19]的作者提出了以下算法。选择一个小半径ε的球体。在m次迭代之后，某个Tm算子将该球体变换为具有半轴a1;球面沿着轴a1;...; as > ε伸展，其中s是正李雅普诺夫指数的计数，如果有的话当ε值相对较小时，Tm算子将接近移位算子与线性算子之和A. 在整个吸引子上平均长期算子A[21].比较经典系统的李雅普诺夫指数可以检查算法的可靠性（表1）：超混沌广义Enon映射[22]和Rossler吸引子[23]。在这种情况下，沃尔夫2.3. 统计分析为探讨精神分裂症患者与正常人的李雅普诺夫指数差异，采用独立样本t检验，并利用MATLAB统计工具箱进行统计分析。由于Levene检验的结果，选择Student t检验，用于确定组间方差是否齐性。在零假设“患者和对照受试者之间的李雅普诺夫指数无差异”下，数据呈正态分布。配对样本t检验用于评估所提出的方法对每个EEG通道的有效性。3. 结果和讨论表2XK所有测量值均由对临床数据不知情的评定者使用定制软件计算。算法的细节在别处描述Kutepov等人医学信息学解锁18（2020）1002894�¼¼ ¼ ¼¼¼¼-�¼ ¼¼-表1李雅普诺夫指数对照组和精神分裂症患者。 李雅普诺夫表3-5.39420表2-4中的指数每个EEG通道都有自己的P值，特征用Kantz方法估计李雅普诺夫指数与相应频道的相关性有关。P0： 05被视为相关的通道[24]。对于Wolf对于Kantz 对于Rosenstein方法（表4），发现了以下六个通道“F3”：（P 0：0488）、“F4”（P 0：0018）、“F8”（P 0：0123）、“T3”（P0：0397）、“Cz”（P 0：0001）和“C4”（P 0：0011）。李雅普诺夫指数平均值的可视化是如图2所示。作为地形图像的分析结果，我们发现，控制组的李雅普诺夫指数是较低的每种算法。WolfKoukkou等人报告了精神分裂症患者和对照组中EEG信号的不同相关复杂性[25]。的复杂性精神分裂症患者的时间序列的t_（max）显著高于对照组。作者认为，与对照组相比，精神分裂症患者大脑功能机制的空间复杂性更高，类似于一个恶化的电极对照组（平均值（英文）表4精神分裂症组（平均精神分裂症AD）p值组织思维。用Rosenstein方法估计李雅普诺夫指数表5示出了平均李雅普诺夫指数值L 1 L 4和平均偏差（AD）。两组均显示L1> 0，这表明信号的随机性然而，只有相关（P1/4： 0114）。第二指数为负L 2 <0，但有四个通道相关：“F3”（P1/40：0207）、“Cz”（P1/40：0121）、“C4”（P1/40：0106）和“P4”（P1/40085）。L 3显示了7个通道，P = 0：05：' F 4 ' （ P = 0 2 7 0 ） ，' F 8 ' （ P =0 3 9 6 ） ， ' T 3 ' （ P = 0 1 7 8 ） ， ' C z ' （ P=0 0 9 7 ） ，'C4'（P0112），'Pz'（P0343），'P4'（P0226）。L4的所有通道都是P0： 05的特征。图图3显示了Lyapunov平均值的可视化指数谱对地形图的分析表明，两组的第一指数L1近似相等对照组的EX ponents L3 L4显著高于精神分裂症组。 通道“F4”、“Cz”、“C4”、“Pz”和“P4”中的活性地形图像使得定位大脑区域成为可能，电极对照组（平均值（英文）精神分裂症组（平均精神分裂症AD）p值表2用Wolf方法估计李雅普诺夫指数精神活动减少，结果使精神分裂症的典型脑功能偏侧化[26]。该研究的作者[27]提到，特征通道属于前额叶区和颞叶电极对照组（平均值（英文）精神分裂症组（平均体重）p值颞叶包括大部分的边缘系统。这证实了神经心理学和神经解剖学的差异，’’’’’’’Cz’’’’’’Pz’’’’’健康人和精神分裂症患者[28]，表明前额叶皮层和边缘系统的缺陷导致阳性/阴性症状和认知恶化是精神分裂症的流行假设。4. 结论根据参考文献[4]，与健康患者相比，精神分裂症患者的EEG和行为数据的非线性方法的初始应用显示出复杂性和不规则性的异常模式。总体而言，临床患者的行为和电生理表现出复杂性的丧失，最重要的是，正常灵活性的丧失从字面上看，这可能是狼坎茨罗森斯坦频谱L1L2L3Henon映射Rossler吸引子0.452140.058550.266010.020800.279300.072600.276280.071350.257700.00000-4.04053’’0.5840�0.5872��’0.6038��’0.5612�’0.5761�’0.5821�’Cz’0.5361�’0.5485��’0.5831��’0.5706�’0.5723��’Pz’0.5940�’0.6135�’0.6139�’0.5925��’0.5619��0.14300.18320.47660.52070.18110.51790.21430.99170.17600.58050.16240.53450.25030.57520.24580.10190.17510.75530.15770.29340.16130.81310.17490.63420.14040.16890.16620.65720.18500.78450.19740.9617’’0.5916�0.6146�’0.6183��’0.6173�’0.6167�’0.6096��’Cz’0.6145�’0.6124�’0.6183��’0.6148�’0.6111�’Pz’0.6202�’0.6218��’0.6204�’0.6126�’0.6111�0.03570.01210.39320.04880.00770.00180.00930.01230.00880.03970.02320.42500.01130.00010.01300.00110.02600.70760.03110.56710.01280.68730.00660.06030.00620.02530.00630.27690.00940.90170.02220.6274Kutepov等人医学信息学解锁18（2020）1002895图二、 地形图像的算法a）沃尔夫，b）Kantz，c）罗森斯坦。表5Lyapunov指数谱（平均体重）解释为在精神分裂症中，异常的神经动力学损害了灵活性和稳定性之间的平衡，这可能对正常的大脑功能至关重要。反过来，这可能是由于各种病理过程影响基本的神经生理功能。本研究的目的是确定最具代表性的算法，估计李雅普诺夫指数的分类EEG信号在精神分裂症。比较是基于每个EEG通道的指数平均值和静态P值估计。我们的研究表明，Wolf和Kantz的最大李雅普诺夫指数是不是很有代表性，以解决分类问题。Rosenstein在参考文献[29]中，使用ApEn、Shannon熵（ShEn）、Kolmogorov复杂度（KC）和LZC研究并比较了参与者的EEG复杂度。作者发现KC对检测脑电复杂性更敏感L1L2电极对照组（平均体重）AD）精神分裂症组（平均精神分裂症AD）p值电极对照组（平均值（英文）精神分裂症组p值’0.1970�0.0226 0.1902�0.02320.1926’-0.0489�0.0188-0.0531�0.01810.3789’’0.20000.20030.1983���0.0206 0.19390.0209 0.20250.0224 0.2026���0.01950.01600.01560.12320.55200.3337’’-0.0417-0.0336-0.0315���0.02000.02020.0222-0.0512-0.0394-0.0384���0.01560.01400.01480.02070.10420.0595’’0.19980.1975��0.0212 0.20240.0190 0.1971��0.01440.01750.49510.9177’’-0.0324-0.0386��0.02100.0200-0.0391-0.0434��0.01740.01490.10400.1987'Cz'’0.19090.1917��1987年0.0232 0.1986��0.01760.01800.09940.0943'Cz'’-0.0285-0.0275��0.02150.0209-0.0386-0.0371��0.01290.01630.01210.0106’’0.20160.1941��0.0197 0.19030.0232 0.1885��0.02150.02020.01140.2177’’-0.0409-0.0466��0.02070.0207-0.0492-0.0521��0.01990.01580.08780.1943’0.1939�0.0239 0.1910�0.01810.5102’-0.0444�0.0216-0.0494�0.01520.2598'Pz'’0.20270.2047��0.0197 0.20150.0195 0.2055��0.01580.01820.75290.8450'Pz'’-0.0360-0.0359��0.01970.0197-0.0425-0.0458��0.01650.01480.13070.0085’’0.20430.1969��0.0193 0.20160.0228 0.1945��0.01470.01600.48580.5543’’-0.0387-0.0424��0.01980.0232-0.0427-0.0481��0.01230.01540.30050.1955’0.1949�0.0227 0.1932�0.01790.7068’-0.0405�0.0210-0.0480�0.01210.0802L3 L4电极对照组（平均值）’-0.3450�0.0185-0.3518�0.04020.3704’-0.9124�0.0367-0.9577�0.06230.0002’’-0.3385-0.3293��0.0152-0.35210.0179-0.3453��0.04430.03720.05680.0270’’-0.9151-0.8997��0.03990.0281-0.9514-0.9389��0.07210.07430.01350.0042’’-0.3292-0.3295-0.3311���0.0149-0.34420.0184-0.34530.0206-0.3438���0.04010.03680.03680.03960.01780.0933’’-0.8987-0.8980-0.8866���0.03290.03450.0423-0.9401-0.9411-0.9398���0.07280.06960.06450.00490.00110.0001'Cz'’-0.3190-0.3182��0.0220-0.34070.0235-0.3392��0.03950.04430.00970.0112'Cz'’-0.8861-0.8918��0.04360.0396-0.9359-0.9281��0.07970.07910.00600.0182’’-0.3388-0.3386��0.0147-0.34800.0237-0.3516��0.04240.03910.18380.0825’’-0.9132-0.9064��0.03350.0482-0.9472-0.9498��0.06820.05630.00710.0016’’Pz’-0.3386-0.3330-0.3365���0.0206-0.34650.0162-0.34890.0163-0.3533���0.03790.04000.04090.30360.03430.0226’’Pz’-0.9033-0.9034-0.9027���0.04350.03540.0381-0.9439-0.9431-0.9469���0.06600.07010.07260.00340.00370.0015’’-0.3379-0.3361��0.0193-0.34830.0206-0.3486��0.03530.03710.12760.0729’’-0.9063-0.8934��0.03530.0432-0.9416-0.9486��0.06440.06050.00350.0000’-0.3305�0.0211-0.3442�0.03810.0509’-0.8950�0.0482-0.9451�0.06370.0004Kutepov等人医学信息学解锁18（2020）1002896-图三. L1-L4内的地形图像在所有研究的大脑区域中，患者的平均寿命比其他估计值高。应该注意的是，KC很难确定。在实践中，一个吸引子的混沌性质的标准是至少有一个正的李雅普诺夫指数的检测。李雅普诺夫指数谱的估计增加了分类的精度，由于大量的显着的通道。对于L1和L4，显著通道的平均值之间的差异分别为5.6%、29.3%、5.4%和4.8%，Kim等人报告两个显著通道的差异约为14.8%[13]。总之，我们的研究结果表明，精神分裂症患者在所有电极的李雅普诺夫指数值较低，与对照组相比。在实践中，这些研究可以用于诊断和教育机器人[30]。资金本 研 究 由 俄 罗 斯 联 邦 科 学 和 教 育 部 资 助 [ 授 权 号RFMEFI57717X0282]。伦理批准（动物参与）本文不包含任何作者进行的任何动物研究。伦理批准（涉及人类受试者）在涉及人类参与者的研究中进行的所有程序均符合机构和/或国家研究委员会的伦理标准以及1964年赫尔辛基宣言及其后续修订案或可比伦理标准。竞合利益作者声明，本论文的发表不存在利益冲突。致谢本研究是在俄罗斯联邦科学和高等教育部的协助下进行的（自2019年6月18日起提供资助的协议编号EB 075-15-2019-1341，协议编号14.577.21.0282，唯一项目标识符为RFME-FI 57717 X 0282，联邦目标计划“2014-2020 年俄罗斯科学技术综合体发展优先方向的研究和进展”。引用[1] Shenton ME，Dickey CC，Frumin M，McCarley RW.精神分裂症的MRI表现Schizophr Res2001;49（1-2）：1-52.[2] Calhoun VD，SuiJ，Kiehl K，Turner JA，Allen EA，Pearlson G. 探索精神病功能连接体：精神分裂症和双相情感障碍的异常内在网络。《精神病学前沿》2012;2：75。[3] [10] LittowH，HuossaV，KarjalainenS，Ja€a€skel€ainenE，HaapeaM，MiettunenJ，默里湾精神分裂症受试者默认模式和中央执行网络中的异常功能连接：一项全脑静息状态ICA研究。《精神病学前沿》2015;6：26。[4] 布雷克斯皮尔湾精神分裂症的非线性理论Aust N Z J Psychiatr 2006;40（1）：20-35.[5] 斯塔姆·CJ EEG和MEG的非线性动力学分析：新兴领域的回顾。临床神经生理学2005;116（10）：2266-301。[6] 作者：陈文辉，陈文辉. 噪声EEG基于熵度量的信号分类。 使用第一代和第二代统计数据进行绩效评估。ComputBiol Med2017;87：141-51.[7] SabetiM，Behroozi R，Moradi E. 分析了精神分裂症脑电信号的复杂性、变异性和谱测度。 Int J Biomed Eng Technol 2016;21（2）：109-27.[8] Thilakvathi B等，休息和精神活动期间精神分裂症的EEG信号复杂性分析。 2017年。[9] 萨贝蒂·马利赫，卡特比·塞拉吉丁，布斯塔尼·礼萨.熵和复杂性措施脑电信号分类的精神分裂症和控制参与者。Artif IntellMed 2009;47（3）：263-74。[10] Klein M，Baier G.动力系统的基本原理。在：一个混乱的层次结构。1;1991年。[11] 放大图片作者：Matsumoto T，Chua LO，Kobayashi K.超混沌：实验室实验与数值验证。 IEEE跨电路系统1986;33（11）：1143-7.[12] AwrejcewiczJ，Krysko AV，Papkova IV，Krysko VA.在连续机械系统中通向混沌的途径。第三部分：李雅普诺夫指数、超、超超和时空混沌。Chaos，SolitFractals2012;45（6）：721-36.[13] Kim DJ，JeongJ，Chae JH，Park S，Kim SY，Go HJ，Choi B.精神分裂症患者脑电第一正李雅普诺夫指数的估计精神病学研究神经影像学2000;98（3）：177-89。[14] 放大图片作者：RoSchkeJ，FellJ，BeckmannP. 睡眠脑电数据的非线性分析精神分裂症：计算主李雅普诺夫指数。精神病学研究1995;56（3）：257-69。[15] Darkhovsky B，Piryatinska A，Kaplan A.基于连续向量函数ε-复杂度的多通道脑电记录的二进制分类。2016. arXiv预印本arXiv：1610.01633。[16] Wolf A，Swift JB，Swinney HL，Vastano JA.从时间序列确定李雅普诺夫指数。Phys D Nonlinear Phenom1985;16（3）：285-317.[17] Rosenstein MT，CollinsJJ，De Luca CJ.从小数据集计算最大李雅普诺夫指数的一种实用方法。Phys D Nonlinear Phenom 1993;65（1-2）：117-34.[18] 坎茨湾一种估计时间序列最大李雅普诺夫指数的鲁棒方法。物理快报A1994;185（1）：77-87.[19] Sato S，Sano M，Sawada Y.高维混沌系统广义维数和最大Lyapunov指数的实用测量方法。Prog. 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