直觉模糊逻辑中的鲁棒性分析及其应用

可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记324（2016）151-164www.elsevier.com/locate/entcsf- 和g-生成的Fuzzy（Co）蕴涵的鲁棒性The YagerRenata Reiser1，Rosana Zanotelli1，Simone Costa1，Luciana Foss1CentrodeDesenvolvimentoTecnol'ogico，CDTECUniversidade Federal de Peltier天气-佩尔松，巴西Benjamin Bedregal2Dep artamentodeInform'aticaeMatem'aticaAplicada，DIMAPUniversidade Federal Rio Grande do Norte巴西纳塔尔摘要研究了基于Atanassov直觉模糊逻辑的模糊推理中直觉模糊蕴涵的鲁棒性。从评价的敏感性在可表示的模糊否定，我们适用于Yager类的模糊影响的F -和G -生成的模糊影响的结果本文形式化地说明了鲁棒性保持了这类投影函数，并讨论了相应的对偶算子。关键词：鲁棒性分析，直觉模糊逻辑，雅格1介绍由于Yager一种运算If（x，y），它使用两个直觉模糊集A和B的隶属度μA（u）=a和μB（u）=b来估计语句中的不确定置信度1电邮地址：{reiser，rzanotelli，simone.costa，lfoss}@ inf.ufpel.edu.br2电子邮件：bedregal@dimap.ufrn.brhttp://dx.doi.org/10.1016/j.entcs.2016.09.0131571-0661/© 2016作者。出版社：Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。152R. Reiser等人/理论计算机科学电子笔记324（2016）151A→fB。这些操作也是相应的清晰操作的扩展：If（0，1）=If（0， 0）=1，If（1， 0）=0和If（1， 0）=1。模糊集的最大和平均扰动的概念[25]，估计各种模糊推理方法的最大和平均扰动参数，与基于模糊逻辑（FL）的系统相关，并因此与直觉模糊逻辑（IFL）相关。1.1主要相关作品在文献[15]中，Li等人研究了模糊连接算子和蕴涵算子的鲁棒性（或灵敏性）度量的性质，并讨论了它们与模糊集扰动性质的关系。许多其他的工作已经讨论了鲁棒性分析，也包括δ-敏感的方法，见例如。[14]、[15]、[16]、[17]和[18]。本文在文献[ 1 ]中Atanassov的直觉模糊逻辑（A-IFL）的基础上，推广了文献[15]中某些直觉模糊连接（IFC）的δ在[24]中，讨论了Yager模糊蕴涵类（包括h -生成蕴涵）的一些性质此外，在[19]中，还报道了将模糊蕴涵解释为Yager的蕴涵类的Bandler-Kohout子积关系推理系统提供给从业者。在[13]中提出了模糊规则模型的语义行为，作为用于推理的一对模糊蕴涵和肯定前件生成函数。这种方法适用于Yager的模型，通过Yager的蕴涵，它被证明是介于通常的剩余和强蕴涵之间的产品t-范数。事实上，Yager这种分析可以改进基于直觉模糊规则的系统稳定性的研究。本文考虑了[2]中提出的模糊直觉方法中模糊连接词的δ-灵敏度概念，它的特征是隶属函数和非隶属函数之间的非互补关系1.2论文的主要贡献继[21]中介绍的初步研究之后，本文考虑了Yager蕴涵类的Atanassov直觉模糊方法的δ-灵敏度的鲁棒性分析R. Reiser等人/理论计算机科学电子笔记324（2016）151153本文扩展了文献[20]、[21]和[27]中的工作，提出了一种基于δ-灵敏度的IFC解释方法，δ-灵敏度与条件模糊规则的真值和非真值密切相关因此，不仅给出了可表示直觉模糊否定的鲁棒性，而且基于Yager蕴涵类的δ-敏感性作为主要结果，直觉模糊f-和g-生成（共）蕴涵的鲁棒性可以通过其论元的鲁棒性，通过相应的模糊f-和g-生成（共）蕴涵来表示。这些结果被总结在交换图中，表明δ-灵敏度算子与NS-对偶算子是可交换的，通过考虑FL和IFL两种方法1.3文件概要本文的结构如下。首先，本文介绍了金融中心和国际金融中心的基本概念第三节给出了模糊控制器鲁棒性的一般结果，包括模糊否定和模糊蕴涵的δ-敏感性研究，主要涉及f-和g-生成蕴涵。在第四节中，我们考虑δε=（δ1，δ2）∈U2，证明了一个非直觉的δ-灵敏性算子fI在pointx∈U<$ n上，用它的左投射（lU<$ n（x<$））和右t-投射（rUn（x）），它与矩阵的δ-灵敏度有关，与IFSfI（U∈ n）相关联的元素n t x ∈ χ的非隶属度。我们，摘要研究直觉模糊否定和直觉模糊蕴涵的δ-敏感性，主要涉及f-和g-生成蕴涵最后意见见结论。2预赛通过回顾FL和IFL的一些基本概念，我们首先报告Zadeh [26]关于否定和（共）蕴涵[10]的FL概念。有关文献研究了不同类型的模糊蕴涵，见[5，11，12]和[24].设U=[0，1]为实数的单位区间 回想一下，一个函数N：U→U是一个模糊否定，如果它满足，对于所有∈U的性质：N1：N（0）=1且N（1）=0;N2：如果x≥y，则N（x）≤N（y）。满足对合性质的模糊否定：N3：N（N（x））=x，<$x∈U;被称为强模糊否定（SFN），例如标准否定NS（x）= 1 −x。当x =（x1，x2，...，xn）∈Un，且N是模糊否定，则考虑N（x）=（N（x1），N（x2），…，N（xn））。设N为否定。f：Un→U的N-对偶函数由下式给出：f N（x）= N（f（N（x）， <$x ∈ Un.（一）154R. Reiser等人/理论计算机科学电子笔记324（2016）151→∞0GX蕴涵算子I：U2→U扩展了经典蕴涵：I0：I（1， 1）=I（0， 1）=I（0， 0）=1，I（1， 0）=0。[10]第10话在JFodor和M.Roubens，当x，y，z∈U2，一 模糊 意蕴 我：U2→U是 一个 暗示者 还核查：I1：I（x，y）≥I（z，y），如果x≤z（第一位反序性）;I2：I（x，y）≤I（x，z），如果y≤z（第二位等序性）;I3：I（0，y）= 1（假显性）;I4：I（x，1）= 1（边界条件）;类似地，共蕴涵子J：U2→U验证了以下条件：J0：J（0， 0）=J（1， 0）=J（1， 1）=0，J（0， 1）=1。模糊上蕴涵是一个类似于模糊蕴涵定义的上蕴涵，分别用J3：J（x，0）= 0和J4：J（1，y）=0代替定义2.1中的I3和I4在许多类别的模糊（共）蕴涵函数（参见，例如，[6]和[7]）中，[23]利用与t-模相关的非交换性描述了一类模糊蕴涵的公理化表示，称为A-蕴涵A-蕴涵是基于[10]中所列公理的一个子集.在本文中，我们重点讨论了雅格在[24]中，Yager提出了两类新的模糊蕴涵，称为f-生成蕴涵和g-生成蕴涵，这两类蕴涵不能完全满足上述类型。在[24，Sect.3]中，设f：[0，1][0，]是一个f-生成元，这意味着一个严格递减的连续函数，使得f（0）= 1，其伪逆f（−1 ）：[0，∞] → [0，1]定义为：f（−1）（x）= f −1（x），如果x ≤ f（0）;否则为0。当0·∞ =0时，f-生成的模糊蕴涵I f：U2→U由下式给出：I f（x，y）= f（−1）（x·f（y））.此外，设g：[0， 1]→[0，∞]是一个g-生成元，这意味着，一个严格增加的连续函数，使得g（0）= 0，其伪逆g（−1）：[0，∞]→[0， 1]定义为：g（−1）（x）=g−1（x），如果x≤g（1）;否则为1。当1=∞时且∞·0 =∞，则g-生成模糊蕴涵Ig：U2→U由下式给出：I（x，y）= g（−1）. 1·g（y）命题2.2[24]二元函数IY，（JY）：U2→U由下式给出：X如果x = y = 0，则I Yf（x，y）= 1;否则，I Yf（x，y）= y。（二）1−x如果x = y = 1，则J Yf（x，y）= 0;否则J Yf（x，y）= 1 −（1 − y）。（三）是一个f-生成的模糊（余）蕴涵，称为Yager（余）蕴涵。另外，函数I g，（J g）：U2→U由下式给出：R. Reiser等人/理论计算机科学电子笔记324（2016）151155--1如果x = y = 0，则I Yg（x，y）= 1;否则，I Yg（x，y）= 1（1y）x。（四）1如果x = y = 1，则J Yg（x，y）= 0;否则，J Yg（x，y）= y 1−x。（五）是一个g-生成的模糊（余）蕴涵。实施例2.3[4，实施例3和4]（2）Eq.（4）（Eqs.（3）Eq.（5）根据定义2.1，定义模糊（共）蕴涵。推论2.4函数（IYg，JYg）和（IYf，JYf）都定义了N S-对偶模糊（余）蕴涵对。证据直 截 了 当 。Q2.1直觉模糊连接词本节对直觉模糊连接词进行了简要的研究。更多参考文献见[1、2、3、8]和[9]。根据[1]，在非空论域中的直觉模糊集（IFS）AI χ表示为Ai={（x，μA（x），νA（x））：x∈χ，μA（x）+νA（x））≤1}。因此，IFSAI中元素x的直觉模糊真值与有序对（μA（x），νA（x））相关。此外，IFSAI推广了FSA={（x，μA（x））：x∈x}，因为表示元素x的非隶属度的νA（x）小于或等于其隶属度μA（x）的补数，因此νA（x）不一定等于其补数1−μA（x）。设U∈ {（x1，x2）∈U2|x1≤NS（x2）}是所有i-模糊集values和lU，rU：U→U是U上的投影函数，其中，lU（x）=lU（x1，x2）=x1和rU（x）=rU（x1，x2）=x2。我们，f或所有的x∈ =（x∈1， . ，x<$n）∈U<$ n，使得当1≤i≤n时，x<$i=（xi1，xi2）andndxi1≤NS（xi2），考虑lU<$ n，rU<$ n：U<$ n→U n为y给出的投影lUn（x） =（lU（x1），lU（x2）， . ，lU_n（x_n））=（x11，x21， . . xn1）;（6）rUn（x） =（rU（x1），rU（x2）， . . rU（xn））=（x1 2，x2 2， . . xn2）。（七）文[2]给出了对x∈ U，y∈U∈U的序关系≤U∈Ux<$x≤U<$x <$1≤y1且x2≥y2，使得<$0=（0，1）≤U<$x<$，<$1=（1，0）≥U<$x<$（.8）此外，下面的表达式是已知的：x1≤y1andx2≤y2，（9）直觉模糊推理（简称IFN）NI：Ux，y∈U，具有以下性质：NI1：NI（0，1）=NI（0，1）=NI1和NI（1，0）=NI0;I2：Ifx≥y则I（x）≤I（y）.→U满足，为所有人此外，NI是强直觉模糊否定（SIFN），验证了以下条件：NI3：NI（NI（x<$））=x<$，<$x<$∈U<$.156R. Reiser等人/理论计算机科学电子笔记324（2016）151˜˜˜˜˜（x，y）=.y1−x2，1−（1−y2）x1;JY（x，y）=.1−（1−y1）x2，y1），y1−x1<$（.十四、1−（1−y1）1−x2，yx1yx2，1−（1−y2）1−x1IYfI1fI2考虑NI为IFNinU且f：Un→ U。 F或所有的x∈ =（x∈1， . ，x<$n）∈U<$ n，则NI -f的对偶直觉函数，记为yf<$NI：Un→Un，isgivivenbyy：f<$NI（x<$1）=NI（f<$（NI（x<$1）， . . . ，NI（x<$n）。（十）当N∈I是SIFN时，f∈ I是一个自对偶的直觉函数。Aditionally，by[3，定理1][8]，a SIFNNI：U→U使得：如果存在SFNN：U→U，NI（x1）=（N（NS（x2）），NS（N（x1））），（11）另外，如果N=NS，则Eq。 11可以简化为NI（x∈ N）=（x2，x1）.根据[7，定义3]，Atanassov直觉模糊蕴涵II：U2→U是直觉模糊蕴涵，使得定义2.1中从II1到II4的类似条件通过附加性质得到验证：如果x1=（x1，x2），则x1+x2=1，则NS（x1+x2）=0成立因此，在J.Fodor和M.Roubens根据[2]，定义算子II的另一种方法是考虑II0中的边界条件以及性质II1和II2。在[7]中，Bustince等人在[7，定义3]的意义上，基于聚合算子和SFN构造了直觉模糊逻辑的模糊蕴涵。考虑到上述结果，给出了函数II（JI）：U_n ~2→U_n~2的表达式。基于SFN的可发送模糊（余）蕴涵NS：U→U如果存在模糊（余）蕴涵Ia，Ib（JA，JB） ：U2→U，则对所有的x∈，y∈U∈，满足：II（x1，y2） =（Ia（NS（x2），y1），NS（Ib（x1，NS（y2）;（12）JI（x1，y2） =（Ja（NS（x2），y1），NS（Jb（x1，NS（y2）.（十三）命题2.5设If，Ig，（Jf，Jg）：U2→U是命题2.2中定义的f-（g-）生成模糊（余）蕴涵 函数I Yf I，I Yg I（J Yf I，J Yg I）：U2→ U表示可表示的模糊（co）蕴涵表达式为：.1IYGI（x，y）=1Σ2.1;JY GI（x，y）=11 Σ. （十五）证据当量（14）从Eq。（12）取Ia= Ib=IYf和Ja= Jb=JYf。还有，Eq.（15）从Eq。（13）取I a= I b= I Yg Ja = Jb= JYg。Q3模糊连接词在[15]和[20]的基础上，研究了n阶函数f在点x处的δ-灵敏度在域U上被认为是，在模糊逻辑的鲁棒性的背景下，主要是R. Reiser等人/理论计算机科学电子笔记324（2016）151157Yf与（S，N）-蕴涵类有关。定义3.1 [15，定义1]设f：U n→U是一个n阶函数，δ∈U且x =（x1，x2，. xn），y =（yi，y2，. y n）∈U n. f在点x处的δ灵敏度，记为Δf（x，δ），由下式给出：f（x，δ）= sup{|f（x）-f（y）|：y∈U n且（x，y）≤δ}（16）其中ver（x，y）=max{|xi−yi|：i=1， . ，n}。另外，最大值δf的灵敏度表示为Δf（δ），定义如下：Δf（δ）=x∈UnΔ f（x，δ）。（十七）命题3.2[20，定理1]若N=NS且fN是f则fN在点x处的灵敏度由下式给出：Δ fN（x，δ）= Δ f（N（x），δ）.（十八）3.1f-和g -生成模糊（co）蕴涵现在，我们根据定义3.1研究FC中的δ敏感性，该定义基于先前在[15]中给出的结果。 为了提供更简单的符号，当f：U2→U且x=（x，y）∈U2时，考虑以下符号：f[x|f（（x − δ）<$0，（y + δ）<$1）; f [x<$$> f（（x + δ）<$1，（y − δ）<$0）.命题3.3[15，定理1]设f：U2→ U，δ ∈ U且x =（x，y）∈ U2. 如果f验证两个性质，第一位的反张性（I1）和第二位的等张性（I2），那么：Δf（x，δ）=（f（x）−f[x<$）<$（f[x| f（x）= 0.（十九）命题3.4证明了命题2.2中定义的函数IYf，JYf，IYg，JYg的δ-灵敏度。（2）-（5）由等式给出。（十九）、证据 简单的命题3.3和推论2.3。Q3.2f-和g -生成模糊（co）蕴涵在下文中，我们考虑f-和g-生成的模糊蕴涵IYf和IYg的最大δ灵敏度，表明它们与它们的NS-对偶共轭一致结构，（JYf）和（JYf ），通过考虑U2中酉区间的端点，得到了U 2中酉区间的一些性质.注3.5根据方程（19）和（18），也包括命题18中的结果，我们得到以下结果：ΔIYf（（0， 0），δ）=（1−0）<$（1−1）= 1 = ΔJYf（（1， 1），δ）;δ δΔIYf（（0， 1），δ）=（1−（1−δ））Δ I（1−1）= 1−（1−δ）= ΔJ（（1， 0），δ）;ΔIYf（（1， 1），δ）=（1−（1−δ））Δ I（1−1）=δ= ΔJY（（0， 0），δ）;（1−δ）158R. Reiser等人/理论计算机科学电子笔记324（2016）151YfΔ IYf（（1，0），δ）=（0 − 0）（δ 1 − δ − 0）= δ= Δ J（（0， 1），δ）.R. Reiser等人/理论计算机科学电子笔记324（2016）15115911−δ注3.6根据方程（19）和（18），也包括命题18中的结果，我们得到以下结果：ΔIYg（（0， 0），δ）= 1δ<$（−1−δ）∞= 1 = ΔJYg（（1， 1），δ）;1 1ΔIYg（（0， 1），δ）=δδ0 =δδ= ΔJYg（（1， 0），δ）;ΔIYg（（1， 1），δ）=δ0 =δ= ΔJYg（（0， 0），δ）;ΔIYg （（1， 0），δ）= 0<$1−（1−δ）1−δ= 1−（1−δ）1= ΔJYg （（0， 1），δ）.命题3.7 f-和g-生成的模糊（共）蕴涵I Yf，J Yf，I Yg，J Yg的最大灵敏度，如命题2.2中由等式2定义的。（2）-（5），如下所示ΔIYf（δ） = 1 = ΔIYg（δ）和 ΔJYg（δ） = 1 = ΔJYf（（δ）;（20）Δ IYg（δ）= 1 = Δ IYg（δ）和Δ JYg（δ）= 1 = Δ JYg（δ）。（二十一）证据 从备注3.5和3.6直接得出。Q基于命题3.7，f-和g-生成的模糊（共）蕴涵IYf和IYg的最大δ灵敏度与端点（0，0）和（1， 1）有关.这些结果与其相应的定义密切相关。此外，基于备注3.5和3.6，可以观察到在点（0， 1）处IYg比IYf更鲁棒，因为ΔIYf（（0， 1），δ）>ΔIYg（（0， 1），δ）。相反，在点（1， 0）处，IYf比IYg更稳健，因为ΔIYf（（1， 0），δ）ΔIYg（（1， 0），δ）。<4直觉模糊连接词在本节中，我们考虑YI∈{YfI，YgI}，这意味着YI表示f−或g-生成的直觉模糊蕴涵为了提供可应用于以下方面的鲁棒性的正式定义，n阶直觉模糊f-和g-生成蕴涵算子，考虑def-n阶模糊否定fI的δ-灵敏度的初始化：x=（x1，x2， . ，x<$n）∈U<$ n.Un→U在点当δε=（δ1，δ2）∈U2时，一个直觉算子的δ-灵敏性fIatpointx∈U n根据其左投射（lUn（x））和right定义，投射（rUn（x）），它与矩阵的δ-灵敏度有关，与IFSfI（U∈ n）相关联的元素n t x ∈ χ的非矩阵度。定义4.1对于y∈U<$ n，fI在p∈tx<$n处的δ -灵敏度定义为yΔfI（x<$，δ<$）=sup{|fI（x）−fI（y）|：（lUn（x），lUn（y））≤δ1和（rUn（x），rUn（y））≤δ2}，当（x，y）=m a x{|xi1−yi1|：i=1， . ，n}， （x，y）=m in{|xi2−yi2|：i=1，.， n}。4.1保持可表示否定第二个命题指出，应用于直觉模糊否定（IFN）的投影函数保持了点态灵敏度，这与[3]和[8]的意义相同160R. Reiser等人/理论计算机科学电子笔记324（2016）151UUNSII N我命题4.2[27]LetNI：Un→ UbeaSIFNasdefinedbyE q. （十一）、当δε=（δ1，δ2）∈U2且xε∈Uε n，NI在xε n点的δ-灵敏度由下式给出：ΔNI（x，δ）=（ΔN<$NS（rUn（x），δ2），ΔNS<$N（lUn（x），δ1））。（二十二）推论4.3[27]若nδ∈=（δ1，δ2）∈U2，NI=NSI且x∈U∈ n，则eδ-NIatpointxt的灵敏度也可以表示为lU（ΔNI（x，δ））=ΔlNI（rUn（x），rU（δ））;（23）rU（ΔNI（x，δ））=ΔrNI（lUn（x），lU（δ））.（二十四）特别地，我们有ΔNS I（x∈，δ∈）=（δ2，δ1）。下图总结了命题4.2和推论4.3的主要结果：可表示IFN的稳健性可以通过其参数的稳健性来表示：（x∈，δ）Eq. （22））Δ （x，δ）等式（六）（七）vEqs. （23）、（24））当量（六）（七）v（rU 2（x，δ），lU2（x，δ））（ΔrUNI（x，δ），ΔrUNI（x，δ））图1.一、可表示干扰素类的鲁棒性算子4.2直觉模糊函数的鲁棒性与N个SI-对偶结构从fI：Un→Uatpotxone的δ-敏感性可以得到相应对偶结构的δ-敏感性，如下面的命题所描述的：命题4.4LetfI：U_ n→U_b是可表示的模糊（co）隐式由等式（12）（E q. （13））和ΔfI（x∈，δ）是fI在x∈上的δ -灵敏度。WHENδε=（δ1，δ2）∈U2，NI=NSI且fIN是fI的NI-对偶函数，δ-fINI灵敏度 在点x处，由下式给出Δ（f）SI （x，δ）=.ΔfI（NSI（xθ），δθ）（二十五）是的。对于所有的x，y∈U n，它成立：Δ（fI）NR. Reiser等人/理论计算机科学电子笔记324（2016）151161.Σ（x∈ N，δ∈N ） =（ΔfN（NS（x1 2），x2 1），δ1），ΔNS∈fN（x1 1，NS（x2 2）），δ2））（六）、（七）=（Δ f（（x12，N S（x21）），δ1），Δ NSf（（N S（x11），x22），δ2））由等式（十八）=ΔfI（1U（NI（x），δ），（ΔfI（rU（NI（x），δ）byEqs. （二十三）、（二十四）=（ΔfI（NSI（x），NSI（δ）（六）、（七）因此，Eq.（25）保持。QS162R. Reiser等人/理论计算机科学电子笔记324（2016）151YFYF.Y.Y4.3f-和g -生成的直觉模糊（co）蕴涵在本节中，我们研究了与f−和g−生成的直觉模糊（共）蕴涵IYfI相关的Atanassov直觉模糊方法的鲁棒性。2 2˜ ˜（JYgI）a tpointx∈U.或当fI：U→U，δ=（δ1，δ2）∈U，x=（x，y）∈U 2，我们用下面的符号表示：fI[x]| fI（（x命题4.5设fI：U< $2→ U<$2，δ<$2 =（δ1，δ2）∈U<$2，x<$2∈U< $2. IffI验证两种性质，第一位的反张性和第二位的等张性，则：ΔfI（x<$，δ<$）=（fI（x<$）−f[x<$$>）<$（f[x<$| −f（x≠0））（26）证据 简单的命题3.3。Q命题4.6LetIYfI（JYfI），IYgI（JYgI） ：U→Ue可表示f-和d2g-generat ed（co）的含义， 如等式2给出的。（14）和（15）。若δε=（δ1，δ2）∈U2和x∈=（x1，x2）∈U∈ 2是B_（Y）的δ-灵敏度由Eq定义（26页）。（JYfI）），IYgI（JYgI）在点x处，证据简单地说，因为他们通过命题2.5验证了性质I1I和I2I。Q命题4.7LetIYfI（JYfI），IYgI（JYgI） ：U→Ue可表示f-和d2g-g 如由等式2给出的enerated（co）含义。（14）和（15）。若δε=（δ1，δ2）∈U2和x∈=（x1，x2）∈U∈ 2是B_（Y）的δ-灵敏度表示如下：我，我，在x点，anbeΔI（x，δ）=ΔIfI（1U（NS（x1），x2），δ1），ΔIYf（rU（NS（x1），x2）），δ2）;（27）ΔIYg （x，δ） =.ΔIYg（1U（NS（x1），x2），δ1），ΔIYg（rU（NS（x1），x2）），δ2）。（二十八）最后，JYfI和JYgI在点x处的δ灵敏度定义为ΔJ（x，δ）=ΔJfI（1U（x1，NS（x2）），δ1），ΔJYf（rU（x1，NS（x2），δ2）; （29）fIfI我R. Reiser等人/理论计算机科学电子笔记324（2016）151163ΔJYg （x，δ） =.ΔJYg（1U（x1，NS（x2）），δ1），ΔJYg（rU（x1，NS（x2），δ2）。（三十）证据 设I Yf I是一个直觉模糊Yager 蕴涵，它可由Yager 模糊蕴涵I Y f和标准否定NS 表示，如等式2 所定义。（12）然后：我164R. Reiser等人/理论计算机科学电子笔记324（2016）151IYlI YUUUUUUUUUUUUUUUUYΔIY（x，δ）==sup{|IY（x）−IY（y）|：y∈U 2，（l2（x）， l 2（y））≤δ1且（r2（x）， r2（y））≤δ2}=sup{|IY（（x1 1，x1 2），（x2 1，x2 2））−IY（（y1 1，y1 2），（y2 1，y2 2））|：y∈U∈ 2，（lU2（x），lU2（y））≤δ1和（rU 2（x），rU2（y））≤δ2}=sup{|（IY（NS（x1 2），x2 1），NS（IY（x1 1，NS（x2 2））−（IY（NS（y1 2），y21），NS（IY（y1 1，NS（y22）|：y∈U< $2且（l<$ n（x<$）， l < $2（y<$））≤δ1和（r< $2（x<$）， r< $2（y<$））≤δ2}. （十二）=sup{|l< $2（IY（x1，x2））−l<$（IY（y1，y2））|：y∈U 2且（l2（x）， l 2（y））≤δ1}，超级|r2（IY（x1，x2））−r（IY（y1，y2））|：y∈U< $2且（r< $2（x<$）， l < $2（y<$））≤δ2}）=（ΔIY（1U（NS（x1），x2），δ1），ΔIY（rU（NS（x1），x2），δ2））乘以Eq。（十六）、因此，对于所有的x∈U∈ 2，byEqs。（6）和（7），则lU 2（ΔI（x，δ））=ΔIY（1U（NS（x1），x2），δ1）;和rU2（ΔIY（x，δ））=ΔIY（rU（NS（x1），x2）），δ2）。类似地，Gous方式，Eq.（28）和相应的对偶结构可以被证明。Q下图总结了命题4.6和4.7关于f-生成的直觉模糊（co）蕴涵的主要结果：直觉模糊f-生成（co）蕴涵的鲁棒性可以通过其参数的鲁棒性，通过相应的模糊f-生成（co）蕴涵来表示：（x∈，δ∈） Eq. （26））Δ（x，δ）我等式（六）（七）v等式（六）（七）v（rU）（x，δ），lU2（x∈，δ∈））Eqs. （27）（29））（ΔUI（x，δ），ΔrUIYI（x，δ））图二、可表示干扰素类的鲁棒性算子下面的定理推广了[15]中的结果：定理4.8考虑δε ∈Uεxε ∈Uε 2。其如下：(i) 当IY（JY）是一个f-基因模糊（余）蕴涵时，ΔIYI（x∈，δ∈）=R. Reiser等人/理论计算机科学电子笔记324（2016）151165ΔJYI（NS（x∈），δ∈）(ii) 当IY（JY）是一个广义模糊（余）蕴涵时，ΔIYI（x∈，δ∈）=ΔJYI（NS（x∈），δ∈）.证据 简单的命题4.4。Q表4.3总结了Atanassov直觉主义方法对Yager的（共）蕴涵的δ -敏感性，在U的端点中。下面，我们将讨论第一行中的示例表4.3中的其他情况可以类似地扩展：166R. Reiser等人/理论计算机科学电子笔记324（2016）151YY1Y Yy.- 是的ΣY Yy（0）. 1−（1−δ1）δ1，1−（1−δ2）δ2π。δ（1−δ1），δ（1−δ2）IYJY˜ ˜11−δ121−δ211−δ121−δ2˜ ˜11−δ121−δ211−δ121−δ212xΔI（x，δ）ΔJ（x，δ）f fI（δ0，δ0）（1，1）（δ1，δ2）（1−δ1），δ2（1−δ2）1−（1−δ1）δ1，1−（1−δ2）δ2（δ1，δ2）（1，1）表1f-生成（余）蕴涵的直觉方法的灵敏度分析ΔI（（0，0），δI） =（ΔI（（0，0），δ1），ΔJ（（1，1），δ2）fIf f=（（IYf（0，0）−IYf[0，0<$）<$（IYf[0，0 |−IYf（0，0）），（JYf（1，1）−JYf[1，1<$）<$（JYf[1，1| −JYf（1，1）=（（1 − 0）<$（1 − 1），（0 − 1）<$（1 − 0））=（1，1）。ΔJ（（0，0），δ1） =（ΔJ（（0，0），δ1），ΔI（（1，1），δ2）fIf f=（（JYf（0，0）−JYf[0，0<$）<$（JYf[0，0 |−JYf（0，0）），（IYf（1，1）−IYf[1，1<$）<$（IYf[1，1| −IYf（1，1）=（δ1，δ2）.类似地，表4.3总结了g-生成的（共）蕴涵的δ -敏感性，在U的结尾。xΔ（x，δ）Δ（x，δ）gIgI（δ0，δ0）（1，1）（δ1，δ2）（0，1）。1−δ）1，（1 −δ）1-是的1−（1 −δ）1，1−（1−δ）1（1，0）。1−（1 − δ）1，1 −（1 − δ）1-是的1−δ）1，（1−δ）1Σ（δ1，δ2）（1，1）表2模糊g-生成（余）蕴涵直觉方法的灵敏度分析命题4.9直觉模糊f-和g-生成（共同）蕴涵I YfI，J YfI，I，J Yg的最大灵敏度，如命题4.7中由等式（27）-（30），如下所示：ΔIYfI（δ）=（1，1）=ΔIYgI（δ）和ΔJYgI（δ）=（1，1）=ΔJYfI（δ）;（31）ΔIYgI（δ）=（1，1）=ΔIYgI（δ）和ΔJYgI（δ）=（1，1）=ΔJYgI（δ）。（三十二）R. Reiser等人/理论计算机科学电子笔记324（2016）151167证据 直接从命题4.4和表4.3和4.3中报告的结果。Q168R. Reiser等人/理论计算机科学电子笔记324（2016）151推论4.10考虑f-和g-生成（共）蕴涵I Yf I，J Yf I，I，J Yg，如命题4.7中等式4.（27）-（30）. 则以下成立：(i) 在点x∈{（0λ，0λ），（1λ，λ1）}处，IYgI至少与IYfI一样鲁棒;(ii) 在点x∈{（0<$，0<$），（1<$，1<$1）}处JYgI至少与JYfI一样鲁棒;(iii) JYfI在点（100，101）处存在，则JYfI更容易;(iv)IYfI比JYfI在点（101，100）处更重要。证据直 截 了 当 。Q5结论估计对小变化的敏感性与降低这种模糊连接词的相应逐点分量因此，本文以强模糊否定（标准否定）类为例，形式化地说明了n阶直觉模糊联结词在一点上当考虑可表示的模糊否定时，x∈Un在同一点主要研究了Atanassov直觉模糊方法对f-和g-生成（共）蕴涵的鲁棒性。对A-蕴涵的δ-敏感性及其对应的对偶结构还应作进一步的研究正在进行的工作，集中在依赖于直觉模糊规则的直觉模糊连接词的模糊推理的灵敏度，包括扩展的鲁棒性研究的R-（co）的影响，也将被调查。总之，未来的研究旨在为处理鲁棒性分析中的主要结果的应用提供基础理论结果，考虑到它们的主要算子，例如数学形态学中使用的腐蚀，膨胀，闭合，打开算子。确认这 项 工 作 得 到 了 巴 西 供 资 机 构 在 309533/2013-9 （ CNPq ） 、 309533/2013-9（FAPERGS）和448766/2014-0（MCTI/CNPQ）流程下的部分支持。引用[1] K. H. Atanassov，Intuitionistic Fuzzy Sets，Fuzzy Sets and Systems20（1986）87-96。[2] K. H. Atanassov和G. Gargov，直觉模糊逻辑的元素-第一部分，模糊集与系统95（1989）39-52。[3] M. Baczyn'ski，关于直觉模糊蕴涵的一些性质，in：ProceeedingsIFSAEUSFLAT（2003），168R. Reiser等人/理论计算机科学电子笔记324（2016）151169[4] M. Baczyn'ski和B. 杨文，杨文，等.模糊蕴涵的性质与互操作性，Kybernetika 43（2）（2007）157-182。[5] M.Baczyn'ski 和 B. [1]J Ay aram ， （ S ， N ） -andR-implications ： Astate-of-the-artsurve y ，FuzzySetsandSystems，159（2008）1836-1859.[6] M. 巴奇·恩斯基和B. 杨文，《模糊理论与软计算》，北京：清华大学出版社，2001（Springer，Berlin-Heidelberg，2008）。[7] H. Bustince，E. Barrenechea和V. Mohedano，直觉模糊蕴涵算子-[8] G. Cornelis ， G. Deschrijver 和 E. Kerre ， On the representation of intuitionistic fuzzy t-norms and t-conorms，IEEE Transactions on Fuzzy Systems12（1）（2004）45[9] G. Deschrijver和E.E. Kerre，Smets-Magrez公理的直觉模糊R-蕴涵，International Journal of Uncertainty，Future and Knowledge-BasedSystems13（2005）453[10] J. Fodor和M. Roubens，Fuzzy Preference Modeling and Multicriteria Decision Support（Kluwer，Dordrecht，1994）。[11] J. Fodor，On fuzzy implications operators，Fuzzy Sets and Systems42（1991）293[12] J. 傅明，模糊蕴涵的逆正对称性，模糊集与系统，1995，第141-156页[13] J. Villar ， M. 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