2382最小点-面距离曹旭1石博新2、3大仓文雄1松下康之11大坂大学2北京大学3鹏程实验室摘要本文提出了一种曲面法向积分法，解决了局部平面拟合的反问题。基于法线映射的曲面重建是光测形状重建的基础.为此，我们制定正常的整合在相机坐标和共同解决的3D点的位置和局部平面位移。与考虑3D点之间的垂直距离的现有方法我们的方法可以处理任意边界的正射或透视法线映射.与现有的正常集成方法相比，我们的方法避免了棋盘式的伪影，对自然边界，尖锐的特征和离群值表现得更鲁棒。我们进一步提供了一个几何分析的工件，出现在以前的方法的基础上，我们的平面拟合配方的来源分析计算，合成，和现实世界的表面上的实验结果表明，我们的方法产生准确和稳定的重建正交和透视法线映射1。1. 介绍从表面法线贴图重建表面，一个称为法线积分[28]的问题，对于光度3D重建至关重要，例如着色形状[19]，光度立体[34]和极化形状[20]。在正规积分的所有方法中，基于变分的方法已经研究了很多年[14，16，28]，其基于泛函优化。通过以离散泊松方程的形式离散泛函本身[14]或其最优条件[28，29最近，提出了一种基于离散几何处理（DGP）的非变分方法[37]用于法向积分。DGP还解决了一个线性系统来估计表面。然而，对于所有三个线性系统，1 源 代 码 可 以 在 https ： //github 上 找 到 。com/hoshino042/NormalIntegration.[37]第二十七话：我的世界我们的重建图1. （上）求解线性系统正规积分的典型问题。从左到右：棋盘伪影、尖锐特征附近的吉布斯现象和对离群值的敏感性（下）我们的结果来自与上面相同的法线贴图。没有棋盘状伪影，吉布斯现象几乎消失，异常值几乎不扭曲表面。它们的最小二乘近似解存在几个问题。对于离散功能，[38]中报告了棋盘形伪影，如图1左上所示。离散泊松已经研究了各种补救措施来提高对这些伪影的鲁棒性。首先，使用正则化[13，14]或平滑项[38]来改善反射质量。然而，引入正则化项需要调整加权因子，增加了获得满意结果的努力其次，残差向量的2-范数被p-范数[6]取代以增加鲁棒性;然而，它带来了更重的计算。第三，具有小仰角的法向量被视为离群值[37]，但启发式阈值并不能确保对离群值的鲁棒性。与现有的方法不同，我们专注于线性系统的剩余向量。通过有限差分离散泛函或泊松因此该差是垂直距离（即，的2383切平面表面到切平面的垂直距离（剩余）垂直距离异常值和尖锐的特征。2. 相关工作非变分方法早期的作品解决了这个问题-点间法线表面点到平面距离（残差）Lem的正常积分路径积分[10，30，35]。另一种方法是通过将梯度场投影到由一组基函数（例如，傅立叶基函数[9]，余弦图2. （左）垂直距离，沿观察方向的距离和（右）点到平面的距离，即，沿平面法线的距离（我们的）。沿观察方向的距离）之间的3D点，如图2左所示。DGP还在其局部成形步骤2中显式地计算垂直距离。然后，这些系统将点之间的垂直距离与测量的坡度相等。因此，在几何上，残差表示从估计点到其相邻点处的切平面的垂直距离。本文引入了点到平面的垂直距离（即，沿平面法线方向的距离）到法线积分问题，如图2右侧所示。我们将法向积分表示为相机坐标中局部平面拟合的逆问题.为了测量点到平面的距离，除了点的高度值之外，我们还引入平面位移作为未知量。从几何的角度来看，我们的方法同时移动相机射线和平面上的点沿其法线方向，以最小化点到平面距离的平方和。由于公式因此，我们的方法避免了棋盘伪影，并对尖锐特征或离群值表现出鲁棒性，如图1的底行所示。1.一、我们的贡献概述如下我们提出了一种新的方法，通过共同优化点的位置和相机坐标中的局部平面位移的正常整合的问题。据我们所知，这是第一种基于点到平面距离进行法向积分的方法我们显示的棋盘工件的中心差分离散功能的源evolv- ing我们的平面拟合公式。我们指出离散Poisson方程和DGP具有相同的内在原理，因此具有相似的性能，并证明了我们的方法具有更强的鲁棒性2见[37]的图3。函数[11]，正交向量[21]或形状[23]。最近，Xieet al. [37]提出了一种基于离散几何处理的法向积分方法，该方法直接从法向图恢复离散多边形网格。他们的后续工作涉及不连续保持[36]和不连通的法线映射[33]。第五节论证了DGP线性系统的残差向量变分方法。由Ikeuchi [18]开创并由Horn和Brooks [16]详细描述的正规积分问题已通过优化泛函以变分方式表示。Agrawal等人[1]提出了一个通用的框架来构造函数的一系列解决方案代替最小化最小二乘泛函，研究了不同种类的正则化以增加鲁棒性，如L1范数[6，27]。深度测量也被用作表面的先验知识[2，17，25]。如何更好地离散泛函也是实践中的一个重要问题[3，28]。此外，边界条件应仔细处理[8]。离散化的典型方法是将高度图矢量化并通过有限差分近似偏导数。Zhu和Smith [38]使用2D Savitzky-Golay滤波器来近似偏导数。Harker和我们的方法研究了由透视法向图重建曲面的两种方法。首先，Durou等人[7，8，28]通过取高度值的对数来整合透视法线贴图。然后，他们解决了离散Pois- son方程类似的正交情况下，并exponentiate的结果，以恢复所需的高 度 图 。 Second ， Nehab 等 人 [25] 以 及 Zhu 和 Smith[38]，基于法向量应垂直于表面切向量，推导了透视法向图和高度图之间的关系。据我们所知，我们的逆平面拟合公式提供了第三种选择，以解决问题的正常积分在perspective情况。···2384×∈ S··联系我们--∈−N−→··∈ S- -3. 问题陈述本文首先简要回顾了正态积分的定义和传统方法.一个正规映射n：n→S2→R3记录了表面取向，在离散像素坐标u= [u，v]n∈n处的站，其中，域n=1，. . .、H1、. . .，W由尺寸H W的图像定义。设p（u）= [x（u），y（u），z（u）]n为3D表面点，n（u）= [nx（u），ny（u），nz（u）]n2为与像素坐标u对应的单位表面法向量。法线积分的问题是从法线映射n（）重建高度映射z（）。变分方法将正规积分公式化为根据梯度，即，从测量的梯度场[p，q]恢复高度图。在正投影下，沿着平面在本文中，我们将称d为平面位移平面上的所有点pR3都（四）、假设给定一组法向量n（u）在像素坐标上。对于每个法向量n（u），存在平行于切平面的平面族，其由其位移d（u）参数化为p<$n（u）+d（u）= 0。（五）由于表面由平面局部近似，我们强制点p（u）的对应于像素u的附近点位于平面上，Σmin（p<$n（u）+d（u））2，（6）p∈N（ p（ u））p=nxnz，q=nynz.（一）哪里 （p（u））表示最近邻点的集合 到p（u）。方程（6）与PlaneSVD [ 22 ]完全相同，PlaneSVD [22]是一种通过以下方式从已知3D点估计法线的方法：我们请读者参考[28]，以了解不同类型投影下[p，q]π变分方法然后通过最小化以下泛函来找到最优曲面∫∫拟合平面。在法向积分问题中，给定法向向量n，并估计三维点p，这就是为什么我们称我们的方法为为了恢复3D点，我们需要联合考虑所有点的平面方程，J（z）=（uz p）2+（vz q）2du dv，（2）卢恩Σminp，dΣ（p<$n（u）+d（u））2.（七）其中，u和v表示函数z：nR沿图像平面上的u和v将欧拉-拉格朗日方程应用于函数方程。（2）导出必要的最优条件z=div（p，q）=这是泊松方程的形式。方程（2）和（3）考虑连续域上的正规积分问题。 由于法线贴图是在 离散域，以前的方法要么离散的功能[14]或泊松我们在第5节中表明，这些传统的离散化方法通过测量沿观察方向的垂直距离来最小化残差另一方面，我们的方法最小化沿表面法线方向的点到平面的距离u∈np∈N（p（u））为了解决这个优化问题，我们引入了两个算法。首先，我们假设图像平面上所有3D点的2D投影是已知的。该约束将点的自由度从3减少到1，即，所有点只能沿着已知的照相机射线移动然后，我们可以将点p参数化为p（z;up），其中up是3D点在图像平面上的已知投影，z是3D点其次，我们将假设3D点之间的紧密关系对于它们在图像平面上的投影保持相同也就是说，N（p（u））={p（z;up）|up∈ N（u）}.（八）这个假设适用于连续曲面。有了这两个假设，客观的Eq。（7）成为4. 逆平面拟合法向积分Σminz，dΣ（p（z;up）n（u）+d（u））2.（九）我们的主要思想是用垂直于法向量的平面局部逼近曲面。我们考虑3D空间中的平面方程的形式为pn+d=0，（4）其中n2是垂直于平面的单位法向量，d是到坐标原点的距离2385--u∈nup∈N（u）还有一个问题，优化方程。（9），即定义了up的集合，它反映了我们将要求解的兴趣点。在本文中，我们展示了两种设计方案第一个明显的选择是让up= nn，这与传统的变分方法相同。第二种选择是将up放置在距离u半个像素的位置，2386u||||N2{}Noo2关于我们--Dz，dz， d2 d尺寸在不失一般性的情况下，为了符号简单，本文中我们将假设h= 1。将点表示法插入到Eq.（范数的内部部分）并且将已知项移动到右手侧，我们获得在一个像素处的线性方程组为nz1zoo⊤oounz1zo+n2017年 1月o-=−u[x]。（十二）像素坐标像素坐标z nz1nz1z+oz-oDo-ny⊤+Ou图3.（左）上域中的局部五点模具图像平面 我们强制投影到这个模板上的所有点，位于具有中心法向量和未知距离的平面上，- -阿在所有像素处堆叠方程导致稀疏的超定线性系统A[z]=b。的行数安置 （右）域z由DGP [37]使用，表示为DA或所有平面方程的个数为Σu∈|、|,界每个pixel在pixeln中有四个相邻pixel在pixelz中。如图所示3右。第二个与DGP [37]所使用的相同，我们将其表示为dz。为了检索u的最近邻投影，我们使用半径为1的球查询。在{up}=n的情况下，n也就是接近5|卢恩|A的列数为2 n，因为z和d分别是n高度值和平面位移的堆栈。我们可以推导出一个最小二乘法通过最小化以下残差的Minnesota2s.t.e=A[z] −b。（十三）查询结果为像素的五点模具，相邻像素也在图3中，如图3左侧所示。我们使用下标下标对于边界像素或角像素，（u）具有四个或三个元素，因此，在Eq.（9）现在变成类似地，如果我们在区域上工作，我们可以导出与Eq相同的平面方程。（12）但是在每个像素处具有四个等式。系数矩阵A为4|卢恩|（|卢恩|+的|拉斯|），因为有|卢恩|位移和|拉斯|高度值。有前景的案子。 假设具有本征函数K的透视针孔相机将表面点p（z; up）投影到Σu∈N（u）（p（z;up）n（u）+d（u））2（十）图像平面在UP。它的反投影是包含具有未知尺度z的p（u）的相机射线，=[poopo+po-p+Op-o ]n（u）+d（u）1n2，p（z;up）=zK−1up<$zp<$，（14）其中1是全1向量。在up= mz的情况下，所有像素中的（u）具有四个元素，无论其是否是边界像素。同样，Eq中的内部求和（9）成为其中u<$p=[u，v，1]<$p是齐次坐标中的u p，p<$p是反投影点K−1u<$p 。 在{up}=n 的 情 况 下，插入Eq.（14）将方程（Eq.）（十）在一个像素处产生五个方程，Σ（p（z;up） n（ u）+d（ u））2中文（简体）⊤˜zoozo+npo+⊤1zo-u∈N（u）（11）np-1⊤˜z+oz-o=0。（十五）=[p++p+-p-+p--]n（u）+d（u）1n2，n p+o1布吕德np-o1从现在起，我们将分别对up=n和up=z的情况称之为五点和四点平面拟合。4.1. 求解方法在UP的情况下，= πz，在每个像素处存在四个类似的等式。将所有方程叠加得到稀疏的均匀系统A[z]=0。A的维数与相应的正交情况下的维数相同。那么我们使用最小二乘法的目标就变成了正交格。在（缩放）正交投影下，投影或弱透视投影，曲面点迷你版2S.T.e=A[z]。（十六）相机坐标相机坐标-���库库乌���-中文（简公司-中文（简+o公司简���+-中文（简观看方向中文（简观看方向公司简���- ���+中文（简体）������–-���u2387pp（z;up）以沿xy轴的缩放比例投影到图像平面上，即，p（z;up）= [hun，z]n.比例因子非平凡的解决方案，以方程。（16）是对应于A3的最小奇异值的右奇异向量。h将相机的xy坐标转换nates;在有限差分的上下文中，h被称为步骤3参见，例如，[ 15 ]的A5.3详细证明。2388zz−22nzXXy+ozy+oz等级、模糊度和求解器。系统矩阵A在正交情况下是秩亏的，而在透视情况下是满秩的。在正交投影情况下，无效度（A）=（a）等式（12）（b）等式（18）（c）等式（19）（d）等式（20）（e）等式（十七）1; null vector是1−n−1z，其中n−1是阿达玛高所有nz的叠加矢量的倒数。空向量可以在Eq中验证。（12），并意味着解决方案中的偏移模糊。从几何学上理解，如果所有点都沿着相机光线移动1个单位，则最佳拟合平面沿着平面的法线方向移动n-1 我们使用LSQR [26]来求解方程。（13）在本文中。当系统矩阵A的大小变大时，求解方程（1）的正规方程。（13）用多重网格方法[4]可以更有效。在透视的情况下，由于我们求解的是一个齐次系统方程，因此该解达到了一个尺度模糊性。（十六）、系统矩阵A可以是满秩的，因为除非表面是平面，否则平面拟合的残差永远不会达到0。这种直觉与我们的观察是一致的，即只有当曲面是平面时，A0图4.从平面拟合到中心差分离散泛函的演化每列显示估计的曲面和绝对差异图。中心差隐含地允许每个五点模板中的局部偏移（即，在一个像素处拟合两个平行平面），从而引入棋盘状伪影。函数方程（17）.我们首先丢弃方程中中心点p。。。上的平面约束。（12），在一个像素处产生四个等式，（u−1）nx+vny+z-onz+d= 0（左）为了有效地找到方程的解。当A的右奇异向量是A的右奇异向量时，我们可以(u+1)n+vn+zn+d=0(right)nx+（v+ 1）ny+zo+nz+d= 0（上） . （ 十八）特征向量我们使用了隐式重新启动Lanczos方法[ 32 ]的ARPACK5. 稳健性分析和比较unx+（v−1）ny+zo-nz+d= 0（下）方程（18）在一个平面上强制四个点，但是现在让我们放松约束，（u−1）nx+vny+z-onz+d= 0（左）本节分析了我们的平面拟合语言中的三种以前的正交正态积分方法(u+1)n+vn+zn+d=0(right)nx+（v+ 1）ny+zo+nz+d′= 0（上） ，（十九）丁公式：离散泛函[14]，离散Pois- son我们首先描述联合国x+（v−1）ny+zo-nz +d′= 0（下限）出现中心差分离散化泛函的棋盘形伪影然后，我们证明了离散泊松方程和DGP的残差向量离散函数。中心差异通常用于 离散化的功能方程。（2），得到两个方程这意味着我们为四个点拟合两个平行平面。换句话说，可能存在局部偏移（即，d d′）在左/右和上/下点对之间。然而，我们可以从Eqs导出相同的方程（18）和（19）如果我们取左和右，上和下点4之间的差. nz（z+o−z-o）=−nx在一个像素位置处，. 1（z+o−z-o）=p=−nx2nz（zo+−zo-）=−ny.（二十）2nz.（十七）将两边除以nz，然后我们得到离散的1（zo+−zo-）=q=−ny求解基于Eq.（17）导致棋盘状伪影，如图4（e）所示。关于伪影来源的一个推测是因为Eq.（17）独立于中心点zoo[38]。我们认为，这实际上是由于左/右和上/下点对之间的约束的损失。只要我们规范它们之间的关系，即使没有使用中心点的约束，也可以避免棋盘状伪影。为了验证我们的论点，我们逐渐操纵我们的五点平面拟合方程方程Eq。（12）离散图4显示了线性系统基于此演变中的方程估计的表面。 从图4（a）到（b），我们放弃了对中心点的约束。但它并没有产生棋盘格假象，原因是四个相邻点仍然被强制在同一平面上。 从图4（b）到（c），出现棋盘状伪影，这意味着放松来自等式4的约束（18）Eq。（19）介绍[4]该公式与Zhu和Smith的方法[ 38 ]在基于中心差的离散化的正交情况下相同函数方程（17）.2389Poisson一维直线拟合−−−z+o o on oo棋盘状伪影此外，图4（c）和图4（d）之间的棋盘伪影是不可区分的，验证了中心差异隐含地允许每个五点模板中的左/右和上/下点对图4（d）中的棋盘伪影比（e）中的棋盘伪影弱，因为等式（20）将垂直距离转换为沿平面法线方向的距离（多个1.41.21.00.80.60.40.20.0自然边界离群值1.11.00.90.8由NZ提供）。 这一现象进一步证明，-1-0.5 0 0.5 1-0.5 0 0.5确保沿法线方向的距离（等式（20））比沿着观察方向（Eq. （17））。离散泊松。泊松图5.泊松方程与2D半圆上的直线拟合（左）边界点具有较大的切线斜率（虚线），使估计点沿观察方向偏离切线。（右）我们旋转了一个法向量作为异常值，其切线显示为虚线。泊松z+ z+z+z−4z=p+o−p-o+qo+−qo-。+o-oo+ o-oo 22（二十一）残差则是从估计点到其相邻点处的切线的垂直距离。Qu e'au等人[29]指出在一个像素处考虑所有前向/后向差是相等的为了证明为什么这个残差对自然边界或离群值敏感，我们比较了泊松.z+o−z oo=p oo.zo+−z oo=q oo.（二十二）平面拟合的一维功能图。五、平面拟合解-用直线方程xnx+yny+d进行直线拟合的坡度=zoo−z-o=p ooz oo−z o-=qoo0的情况。我们使用一个圆函数y= 1−x2，x∈本文给出了两个叠加方程组的最小二乘近似解。（21）或（22）是相同的5。我们将使用Eq。（22）论证离散泊松方程残差的几何考虑一个中心和它的右手点位于该中心点.unx+vny+z= onz+d=0（中心）。（二十三）（u+1）nx+vny+zn+ onz+d=0（右）We用z表示，以强调理论是摄像机光线与切平面的交点的高度值，而不是通过求解线性系统得到取两个方程之差，z轴−z =−nx=p，（24）其揭示了梯度p0等于两个相邻交叉点之间我们可以为五点模板中的其他像素对推导出类似的等价性，并将其插入等式（1）中。（22）作为..z+o−zoo=z+o−zoozo+−zoo=zo+−zoo。[ [1，1]作为地面真实表面。在图5中，我们在均匀分布的点上采样9个法向量，[ 0。98，0。98]并估计9个点的高度值。这两个边界点靠近曲面的自然边界，因此相应的切线具有较大的斜率。离散Poisson方程估计的点沿观察方向的切线方向倾斜。另一方面，通过线拟合估计的点靠近表面，因为点到平面的距离不会通过在相机射线上移动它们而发生很大变化。图 5右，我们在[0. 五，零。5]，即，没有自然边界的影响。然而，我们旋转了一个法向量作为异常值，其切线显示为虚线。由于离群法向量引入较大的垂直距离，离散泊松方程估计的点离散几何处理（DGP）。 我们将证明DGP [37]的残差与离散泊松方程的残差基本相同DGP包括两个步骤：（1）局部成形和（2）全局混合.局部造型定义了以u为中心的局部3D坐标zoo−z-o=zoo−z-ozoo−zo-=zoo−zo-（二十五）oo然后计算垂直距离从相邻像素到具有法向向量noo的平面通过U00（即，d= 0）。例如垂直这些方程意味着离散泊松2390使垂直距离相等，配对的相邻点和相邻切线交点。5应针对边界像素修改等式（21）[3]。2391++++→z=−++−++4++计算右上pixelu++的距离z（local）为：0的情况。5nx+0。5ny+nzz（local）=0GT形法线映射[29]第二十九[37]第三十七话四点（当地）++0的情况。5nx+0。5纽约nz（二十六）高然后，全局混合将一个点与其四个相邻点的平均值之间的差值等同于局部垂直距离，如下所示：05.30/3.97 0.86/0.69 5.27/3.940.76/0.61×10−2z− z +z+-+z-++z--=z（局部）。（二十七）局部坐标中的垂直距离与相机坐标中的垂直距离相同，即，z（位置）=z++我的船令zoo是四个相邻高度值的平均值可以简化公式（27），并且现在读取高08.32/5.21 3.56/1.41 8.24/5.212.79/0.64×10−1.z++−zoo=z<$++−z<$ooz+-−zoo=z+-−zoo.z-+−zoo=z-+−zooz--−zoo=z--−zoo.（二十八）图6. 从（上）具有高斯噪声和各向异性高斯表面的1%离群值的法线图[14]和（下）具有背景填充的无噪声球体法线图重建形状及其绝对差图。离散泊松这种形式类似于到离散泊松等式中等式（25），除了高度值定义在域上。因此，DGP的残差具有与离散Poisson方程的残差相同的几何意义图6比较了离散泊松由于在估计高度图中存在全局偏移模糊，我们首先找到估计高度图和地面实况高度图之间的最佳偏移。然后，我们计算均方根误差（RMSE）和平均绝对误差（MAE）作为评估指标。离散泊松方程和DGP具有不可区分的误差模式，并获得接近的RMSE / MAE。这一现象验证了我们对DGP和离散Poisson方程的残差向量具有相同几何意义的认识。另一方面，我们的方法对离群值和尖锐特征表现得更鲁棒。6. 透视法图7比较了分析计算、合成和真实世界法线贴图上最先进的透视法线积分我们用透视摄影机模型计算了SPHERE我们使用Mitsuba6来渲染Stanford BUNNY的法线贴图和相 应的高度贴图。 然后，我们在 SPHERE和BUNNY的法线映射中添加高斯噪声，并随机选择1%的6MitsubaRenderer.https://www.mitsuba-renderer.org/index_old.html，最后一次访问于2020年11月16日。关闭RMSE / MAE（错误映射下方的数字）。离散泊松方程或DGP的形状对于真实世界表面，我们使用了DiLiGenT基准[31]中对象HARVEST上最先进的光度立体方法[5有关DiLiGenT中所有观测结果的比较，请参见我们的补充材料。为了更好地反映线性方程组的特征，我们只考察了无正则项和光滑项的最小二乘近似解。由于估计高度图中存在全局尺度模糊性，在计算RMSE和MAE之前，我们在估计高度图和地面实况高度图之间找到了一个最佳尺度。我们将指数[28]应用于离散泛函[14]和离散泊松据观察，幂放大了离散功能和敏感性的离散泊松方程的离群值的棋盘状伪影。两种方法均出现尖峰。对于Zhu和Smith然而，一个较弱的棋盘状伪影存在于中心差异的情况下。此外，与中心差分相比，高阶SG滤波器不能改善重建质量。相反，它引入了更大的高频噪声7。另一方面，我们的方法在7我们根据经验发现，SG平滑滤波器在Zhu和Smith的方法中对改善视觉质量起着至关重要的作用2392GT形&Harker等人[14个]Que' au等人[29日]朱和史密斯[38]朱和史密斯[38]我们我们噪声法线映射离散功能离散泊松w/中心差带SG过滤器科隆五点四点法高011.56/6.07 4.24/1.48 0.54/0.38 1.67/1.330.35/0.20 0.39/0.19×10−2高06.02/3.65 4.66/2.77 3.77/1.49 3.77/1.57 3.92/1.583.75/1.49 ×10−3高013.38/11.2413.10/11.1412.90/11.1112.91/11.1112.92/11.13×1图7. 在解析计算的SPHERE、合成BUNNY和真实世界HARVEST的法线贴图上，透视法线积分方法的视觉比较。每两行显示地面实况估计表面、法线图以及绝对差图（地面实况和估计高度图之间）。误差映射下面的两个数字分别是RMSE和MAE我们在SPHERE和BUNNY所有对象。异常值的影响很难观察到，并且系统的高频噪声从未出现。7. 结论本文提出、分析和评价了一种逆平面拟合法向积分方法。我们形成了一个线性系统，使点到平面距离的平方和最小化，而不是传统的垂直距离。我们展示了基于离散函数的方法中棋盘伪影我们还提供了对离群值或离散泊松方程的尖锐特征的敏感性的几何解释和DGP。我们的方法是简单的，鲁棒的离群值和尖锐的功能，超参数自由，但基于最小二乘法。我们有兴趣在此基础上进一步研究保不连续法向积分和深度法向融合。8. 致谢这 项 工 作 得 到 了 日 本 科 学 家 协 会 （ JSPSKAKENHI）JP19H01123号基金、国家自然科学基金（61872012、62088102）和北京市人工智能研究院（BAAI）的支持。我们感谢杨卓宇先生与我们进行了富有成效的讨论。2393引用[1] 阿米特·阿格拉瓦尔拉梅什·拉斯卡和拉玛·切拉帕从梯度场重 建表 面的 范围 是什 么？ 欧洲 计算 机视 觉会 议（ECCV），2006年。[2] 多丽丝·斯坦纳，斯沃拉德·斯托尔克和托马斯·波克。深度与法线融合算法综述. 传感器，2018年。[3] MartinBahr ，MichaelBreus，YvainQue'au，AliSharifiBoroujerdi，and Jean-Denis Durou.非矩形域上快速精确的曲面法向积分。计算视觉媒体，2017年。[4] 威廉L布里格斯，范埃姆登亨森，和史蒂夫F麦考密克。一个多重网格教程。SIAM，2000年。[5] Guanying Chen，Michael Waechter，Boxin Shi，Kwan-Yee K Wong，and Yasuyuki Matsushita.在深度未校准的光 度 立 体 中 学 到 了 什 么 ？ 欧 洲 计 算 机 视 觉 会 议（ECCV），2020年。[6] Zhouyu Du，Antonio Robles-Kelly，and Fangfang Lu.基于L1范数的梯度场反求曲面重构。 在proc 2007年，澳大 利 亚 专 利 识 别 协 会 数 字 图 像 计 算 技 术 和 应 用（DICTA）两年一度的会议。[7] Jean-Denis杜柔，让-弗朗索瓦奥约尔，和埃里克·考泰尔神父。存在间断时曲面法向场的积分。计算机视觉与模式识别研讨会（CVPRW），2009年。[8] 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