和声搜索算法的多目标优化研究

可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记281（2011）51-67www.elsevier.com/locate/entcs多目标和声搜索算法研究JuanRicart1Germ′anHu′ttemann2Joaqu′ınLima3Benjam′ınBara′n4FacultadPolit'ecnicaUniversidadNacionaldeAsunci'on圣洛伦索摘要Harmony Search元启发式算法已成功应用于科学和工程领域。然而，它在解决多目标优化问题中的有效性，使用Pareto优化的概念，仍然没有得到证明。本文提出了两个建议的和谐搜索元启发式多目标优化，使用ZDT功能作为测试床。实验结果表明，性能指标的建议是有竞争力的，即使相比NSGA-II进化算法。关键词：和声搜索，多目标优化，音乐家即兴，帕累托优势。1引言大多数现实世界的工程优化问题本质上是多目标的，因为它们通常有几个必须同时优化（最小化或最大化）的目标。通常，这些目标是相互冲突的，也就是说，提高一个人的其他目标。由于这个原因，并不总是能够找到这些问题的唯一最优解，因为单目标优化问题是可能的。多目标优化问题的目标不是找到一个唯一的最优解，而是找到一组好的折衷或1电子邮件：juangabriel. gmail.com2电子邮件：ghuttemann@gmail.com3电子邮件：joaquinlima@gmail.com4电子邮件：bbaran@pol.una.py1571-0661 © 2011 Elsevier B. V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。doi：10.1016/j.entcs.2011.11.02552J. Ricart等人理论计算机科学电子笔记281（2011）51和声搜索算法（Harmony Search Algorithm，HS）是一种受音乐即兴创作过程启发而提出的元启发式算法它是作为单目标问题优化元启发式算法提出的，自其创建以来，它已在多个科学和工程应用中显示出有效性和方便性，如[14]所示。HS算法在多目标优化问题中的自然而有效的应用是现有研究的一个扩展。此外，使用该算法来解决复杂的多目标问题，如NP难问题，被认为是未来的挑战[22]。本文提出了两种求解一般多目标优化问题的HS算法.为了证明所提出的算法的有效性，将ZDT函数[24]用作测试床，并将这些算法的结果与NSGA-II [4]获得的解进行第二部分给出了多目标优化问题的定义及相关概念。第3节详细解释了和声搜索元启发式算法，首先与音乐即兴创作过程进行了比较，然后描述了算法结构的各个部分。第四节简要回顾了HS算法和多目标优化的研究成果.第5节介绍了本文的两个建议的单目标HS算法的适应。接下来，第6节介绍了一组测试和实验结果。最后，第7节提出了结论和今后的工作。2多目标优化问题形式上，多目标优化问题可以定义如下：定义2.1（多目标优化问题）：优化y = F（x）= [f1（x），f2（x），.， f k（x）]（1）受 g（x）= [g1（x），g2（x），.，g m（x）] ≥ 0（2）哪里x = [x1，x2，...，x n] ∈X<$Rn，y = [y1，y2，.，y k] ∈ Y<$Rkx是n维向量决策变量，y是k维目标向量，X<$Rn表示决策空间，Y<$Rk表示目标空间. 然而，多目标优化问题具有n个决策变量、m个约束和k个目标。优化则是指k个目标函数的最大化或最小化。在本文的其余部分中，所处理的多目标优化问题完全是最小化问题。多目标最优化问题（k >1）存在多个最优解（或折衷解），这就需要一个不同的最优概念。最普遍接受的最优概念是一个被称为帕累托最优的建议[2]。理解帕累托运算概念的基本概念J. Ricart等人理论计算机科学电子笔记281（2011）5153最优解是：帕累托优势，帕累托最优，帕累托最优集和帕累托最优前沿，定义如下[20]：定义2.2（帕累托优势）：向量u = [u1，u2，...， uk]支配另一个向量v = [v1，v2，...，[v k]当且仅当 u部分优于v，即，i∈ {1，2，.，k}，u i≤v ii∈ {1，2，.，k}，使得u<五岛 在这种情况下，我们说向量u支配（或优于）向量v，表示为u>v。 另外两个常用的符号是：uv，意味着u被v支配，uvv，这意味着没有向量u支配v（u 9 v）nor v domains u（v 9 u），因此，它们不是可比的，即 如果u9vuvuv.定义2.3（帕累托最优）：一个解x∈X被称为是关于X的帕累托最优的，当且仅当它不存在一个解x ' ∈ X，其中v = F（x'）= [f1（x'），f2（x'），...，f k（x '）]支配u= F（x）= [f1（x），f2（x），.， f k（x）]。定义2.4（最优Pareto集）：对于多目标优化问题F（x），最优Pareto集定义为关于X的所有非支配解的集合，即P ={x∈X|$x' ∈ X，其中F（x'）> F（x）}。定义2.5（最优帕累托前沿）：对于多目标优化问题F（x）和最优帕累托集合P，最优帕累托前沿定义为集合：PF ={u = F（x）= [f1（x），f2（x），.，f k（x）]|x∈ P}。3Harmony Search元启发式算法在介绍HS算法及其每个部分之前，我们将在第3.1节中简要比较音乐即兴创作（和优化）的过程。然后，算法的结构及其每个部分将在3.2节中处理。3.1音乐即兴创作和优化和声搜索元启发式算法是一种新兴的优化算法，灵感来自音乐即兴创作的基本原则。当音乐家创作一首和声时，他们通常会测试存储在记忆中的各种音高组合。寻找工程问题最优解的过程类似于高效地寻找完美的和谐状态[21]。表1给出了音乐即兴创作和优化之间的比较。图1显示了和谐记忆（HM）的结构，这是HS算法的核心，以及音乐即兴和优化之间的类比。考虑一个由萨克斯管、低音提琴和吉他组成的爵士三重奏在每个音乐家的记忆中，有几个最喜欢的音高：萨克斯手，{C，D，E};双贝斯手，{E，F，G};吉他手，{G，A，B}。 如果萨克斯管手从记忆中随机选择{C}，低音提琴手选择{E}，吉他手选择{G}，新的和声{C，E，G}就产生了。如果这种和谐比54J. Ricart等人理论计算机科学电子笔记281（2011）51比较因子音乐即兴创作优化最佳状态完美和谐全局最优估计审美标准目标函数估算乐器音高变量值处理单元每个实践每次迭代表1音乐即兴创作与优化的比较在HM中最坏的，然后新的和谐取代它。这个过程重复，直到达到完美的和谐。图1.一、和声记忆结构与音乐即兴与优化的类比在真正的优化上下文中，每个音乐家被每个决策变量替换，并且最喜欢的音高被最喜欢的变量值替换。如果每个变量都表示配水管网中两个节点之间的管道直径，则每个变量都有一定数量的偏好直径。如果第一个变量x1从{100 mm，200 mm，300 mm}中选择{100 mm}，第二个变量x2从{300 mm，400 mm，500 mm}中选择{300 mm}，第三个变量x3从{ 300 mm，400 mm，500 mm}中选择500 mm，{500 mm，600 mm，700 mm}，这些值构成新的解向量，{100 mm，300 mm，500 mm}。如果解向量优于HM中的最差向量，则新向量替换HM中的最差向量。重复该过程，直到达到终止算法的停止标准或找到全局最优J. Ricart等人理论计算机科学电子笔记281（2011）5155我我我我3.2算法的结构为了更详细地解释HS算法，需要将专家音乐家所做的即兴创作当一个音乐家在改进时，他可以在三个选项中进行选择：（1）根据记忆执行任何音高;（2）执行与他记忆中的任何其他音高相邻的音高;（3）从所有可能的音高范围中执行随机音高。类似地，当每个决策变量选择一个值时，有三个选项：（1）从内存中选择任何值;（2）选择与内存中任何值相邻的值;（3）从所有可能值的域中选择一个随机值。Geem等人。[12]在2001年将这三个选项正式化，创建了一个新的元启发式，三个相应的组成部分是：记忆使用或考虑，音高调整和随机性。 这三个选项中采用的HS算法使用两个参数：内存consider- eration率，和音高调整率。已经解释了HS算法的三个主要组成部分：和声记忆（HM）、和声记忆考虑率（HMCR）和音高调整率（PAR），以下小节解释了包括HS算法的每个步骤。3.2.1问题公式化如第1节所述，HS算法最初被设想用于解决其中考虑单个目标的优化问题。因此，要将规范HS应用于问题，必须将其表述为单目标优化问题，具有一个目标函数和多个约束：f（x）= f（x1，x2，.， （3）受h i（x）= 0; i = 1，.，p（4）g i（x）≥ 0; i = 1，.，q（5）x i∈X i={x i（1），x i（2），.， x i（K i）}或 x L≤ x i≤ xU（六）HS算法搜索所有解空间以找到最优解向量x =（x1，x2，.，xn），其优化（最小化或最大化）等式3中的目标函数。如果问题具有等式或不等式条件，则这些条件可以被认为是约束，如等式4和等式5所示。 如果决策变量具有离散值，则可能值的集合由下式给出：xi∈xi={xi（1），xi（2），.，x i（K i）}，其中K i是变量i在定义空间中的不同值的数量，另一方面，如果变量具有连续值，则可能值的集合由x L≤x i≤ x U给出。56J. Ricart等人理论计算机科学电子笔记281（2011）51XXXnn我我⎡我22⎤⎥.⎥12n3.2.2参数配置一旦问题公式化准备就绪，算法的参数必须与值相一致。此外，除了已经提到的两个参数HMCR和PAR之外，HS算法还具有其他参数，例如：和声存储器大小（HMS），即兴创作或迭代的最大量（最大即兴创作，MI）和音高范围可变性（音档宽度，FW [11]），这些参数在音高调整中与PAR考虑内存是很重要的，因为它确保了好的解决方案被认为是新解决方案的元素如果这个参数太低，只有少数好的解决方案被选中，收敛可能会很慢。如果此参数非常高（接近1），则大多数情况下使用内存值，而没有很好地探索其他替代方案，从而导致不太好的解决方案。因此，为了使用内存有效地，HMCR ∈ [0. 70; 0。95][22]。音调调整类似于遗传算法中的变异算子。PAR的低值与FW的窄值一起可以使HS算法的收敛变慢，这是由于对搜索空间的单个部分的探索的限制。另一方面，一个非常高的PAR值和一个宽的FW值可能会导致解决方案分散在几个潜在的最优随机搜索。因此，通常情况下，PAR[0。1; 0. 5]和FW，一般来说，是有界的1%和10%之间的所有范围的变量值[22]。3.2.3存储器初始化在问题被公式化并且参数被正确地配置之后，在存储器上执行随机配置过程HS算法最初随机地即兴产生几个解决方案。解决方案的数量必须至少等于HMS。但是，它可能更高，多达两倍或三倍[5]。然后，选择最佳的HMS解决方案。HM可以被视为以下矩阵：1112⎢12···x1···×2。f（x1）f（x2）HM =- 是 的.. . ...（七）HMSx HMS···xHMS。 f（xHMS）3.2.4即兴创作正如在3.2小节中提到的，HS算法在执行即兴创作时可以选择(i) 随机选择：当HS为新解确定x新x新=[x新，x新，...， x new]，它从所有的范围中随机选择一个值1 2N可能值{xi（1），xi（2），.，x i（K i）}或x L≤x i≤x U（1- HMCR）。XJ. Ricart等人理论计算机科学电子笔记281（2011）5157我我我我我⎪⎨⎪⎩⎩x+ Δifx∈HMii(ii) 存储器考虑：当HS确定xnew的值时，它从HM（j = 1，2，.，HMS）的概率等于HMCR。 可以使用均匀分布U（0，1）来计算随机索引j：int（0， 1）{\displaystyle\mathbb（0，1）}(iii) 音调调整：在先前描述的过程中从HM中随机选择x_new的值之后，可以以概率PAR将其调整为相邻值加上或减去给定量。对于离散变量，如果xi（k）=xnew，则音调调整为xi（k+m），其中m∈ {−1， 1}。对于连续变量，间距调整为xnew+ Δ，其中Δ = U（−1， 1）<$FW（i）。前面提到的三个基本操作可以表示如下：{x i∈ {x i（1），x i（2），.，x i（K i）}⎪⎩xi∈[xL,xU]我我我 我我w.p.（1− HMCR）xnew←新x∈HM ={x1，x2，.， xHMS}w.p. HMCR整流器（1− PAR）（九）⎪⎧⎨xi(k+m)ifxi(k)∈HM式中w.p. 代表“有可能“W.p. HMCR PAPAR3.2.5存储器更新如果新的解xnew在目标函数值方面优于HM中的最差解，则新的解被包括在HM中并且最差解被丢弃：3.2.6终止（xnew∈HM）<$（xworst∈/HM）（10）如果HS算法满足停止标准（例如，已经达到最大迭代量或最大执行时间），则过程终止;否则，另一个解决方案是即兴的。算法的伪代码在算法1[22]中给出4基于和声搜索的多目标问题求解虽然在当前的参考文献中，我们可以找到一些提出应用HS算法解决特定多目标问题的作品，但其中大多数我我58J. Ricart等人理论计算机科学电子笔记281（2011）51我算法1和声搜索算法输入：f（x）、HMCR、PAR、HMS、MI、FW输出：xbestin HM随机初始化HMwhilestopping criteria is not satisfieddofor each variablexido如果U（0， 1）HMCR，则0，则将F截断为大小T将每个溶液F移至HM1结束if结束while所提出的算法以与单目标HS算法相同的方式开始，为变量生成具有随机值的解，直到HM1被填充。每次迭代开始时，使用与单目标HS算法相同的选择方法，即兴创作将属于HM2的所有解。也就是说，使用HM1中包含的决策变量的值作为考虑值来生成每个计算解一旦生成HM2的解，就计算Hu的Fonseca-Fleming排名一旦排序分配过程完成，选择Hu为了实现这一点，首先将Hu中的解分组为front，其中每个front包含具有相同排名的解解决方案从62J. Ricart等人理论计算机科学电子笔记281（2011）51这些前沿以升序转移到HM1，即，具有最低排名的前沿中的解决方案首先，然后是具有连续更高排名的那些前沿。这个过程一直持续到一个前沿中的解的数目等于或大于HM1中的可用空间。如果前面的尺寸超过HM1中可用的空间，则应用为SPEA2算法[25]开发的截断程序。截断减少解的数量，直到前端的大小等于HM1中可用的空间。在完成解的转移之后，HM1具有用于下一迭代的新的解集合当满足算法的停止准则时，HM1中排名等于1的解（非支配解）将作为Pareto最优集的最佳逼近返回。6实验结果为了评估所提出的多目标HS算法，选择了一组六个测试函数，这些测试函数考虑了几个特性，例如凸性、非凸性、离散性和非均匀性，以及多模态和欺骗性特性。这些函数考虑两个目标的最小化，被称为这六个函数（ZDT 1、ZDT 2、ZDT 3、ZDT 4、ZDT 5和ZDT 6）中的每一个都用于将两个提出的多目标HS算法与Deb等人[4]创建的众所周知的NSGA-II（非支配排序遗传算法II）进化算法进行比较，并可在[3]中获得。选择的评价指标是[24]中提出的指标•M1：计算的帕累托前沿与最优帕累托前沿之间的距离。•M2=计算的Pareto的分布。•M3是将计算的P面积从t.6.1比较算法的参数配置所提出的多目标HS算法的参数的采用值：HMCR、PAR、HMS和FW，是根据Yang [22]、Gao [7]和Geem [8，11]的建议采用的。这些变量的数值见表2。NSGA-II进化算法的参数值：种群规模、交叉概率、变异概率、交叉分布指数和变异分布指数取自[3]。这些变量的数值见表3。6.2结果对于每个测试功能，三种算法中的每一种都执行10次，每次执行10秒。实验结果示于表4至表6中。 这三个表显示了每种算法和每种测试函数的所有10次执行所获得的平均值，以及相应的标准偏差J. Ricart等人理论计算机科学电子笔记281（2011）5163参数值HMCR0.95PAR0.1HMS100FW（ZDT 5）百分之四十FW（其他ZDT） 百分之一表2多目标HS算法的参数参数值人口规模100交叉概率0.9突变概率（ZDT 5）1/B突变概率（其他ZDT）1/n交叉分布指数15突变分布指数20表3NSGA-II算法的参数。n是问题的变量数，b是所有变量的总位数（对于二进制问题）。在括号中。值得一提的是，这些值是根据利马[17，16]使用理论最优帕累托前沿归一化的。这样，一是最佳值，度量值离一越远，它就越差。此外，图3显示了三种算法中每种算法计算的帕累托前沿与每个ZDT函数的最佳帕累托前沿（PFtrue [20]）之间的比较。如表4所示，在每个ZDT函数中，两种算法都没有优于其他算法，但MOHS 1算法平均结果最好，其次是MOHS 2和最后一个NSGA-II。最显著的差异可以在ZDT 5测试函数中观察到，其中MOHS 1和MOHS 2算法在数量级上明显优于NSGA-II，这对平均值有很大贡献。这种差异可以在图3e中最好地看到。虽然其他问题存在小的数值差异，但这在图形上是微不足道的，如图3a至3d和3f所示。考虑表5所示的值，我们可以看到，就分布度量M2而言，最好的算法是MOHS 2，紧随其后的是NSGA-II，MOHS 1排在最后。对于每个问题，差异值都很小，尽管MOHS 1对所有问题的值始终较低从图形上看，分布度量的行为与M1的行为类似，如图3所示。64J. Ricart等人理论计算机科学电子笔记281（2011）51(a)（b）第（1）款(c)（d）其他事项(e)（f）第（1）款图三. 三种算法计算的Pareto前沿与Pareto最优解的比较每个ZDT功能。对于扩展度量，如表6所示，NSGA-II算法平均最好，其次是MOHS 2，最后是MOHS 1。存在一个超过1的异常值。这是因为计算出的帕累托前沿的延伸超过了理论上最优帕累托前沿的延伸，特别是对于NSGA-II和ZDT 5可以看到这一点。在这种情况下，如图3e所示，这是由于NSGA-II找到的一个解与其余解相距甚远，这不一定是一个好的特性。总之，没有算法优于其他的每个问题和/或每个指标，但提出的MOHS算法相比，一个众所周知的国家的最先进的替代NSGA-II是非常有竞争力的J. Ricart等人理论计算机科学电子笔记281（2011）5165功能NSGA-IIMOHS1MOHS2ZDT 10.9918（0.00）0.9922（0.00）0.9922（0.00）ZDT 20.9957（0.00）0.9960（0.00）0.9962（0.00）ZDT 30.9571（0.00）0.9533（0.00）0.9529（0.00）ZDT 40.9959（0.00）0.9963（0.00）0.9688（0.04）ZDT 50.0858（0.06）0.6223（0.10）0.6314（0.16）ZDT60.9420（0.00）0.9500（0.00）0.9385（0.00）平均值（σ）0.8281（0.36）0.9184（0.15）0.9133（0.14）表4对归一化的M1度量获得的平均结果：从t和t计算的P面积之间的距离最优帕累托前沿（括号中显示标准差功能NSGA-IIMOHS1MOHS2ZDT 10.8262（0.00）0.8225（0.00）0.8261（0.00）ZDT 20.8247（0.00）0.8107（0.01）0.8263（0.00）ZDT 30.8346（0.00）0.8312（0.00）0.8375（0.00）ZDT 40.8271（0.00）0.8191（0.00）0.8258（0.00）ZDT 50.8022（0.00）0.7787（0.03）0.8204（0.02）ZDT60.8241（0.00）0.6719（0.03）0.8225（0.00）平均值（σ）0.8232（0.01）0.7890（0.06）0.8264（0.01）表5归一化M_2尺度的一个平均结果：计算的P面积的分布（括号中显示了标准偏差7结论和进一步的工作和声搜索元启发式算法在解决工程中的各种优化问题中已被证明是有效尽管如此，它的正确应用，解决多目标优化问题仍然是一个任务，为未来。这项工作详细记录了使用Harmony Search的多目标问题的一般解决方案的两个66J. Ricart等人理论计算机科学电子笔记281（2011）51建议，考虑了优化文献中经典的代表性测试床[4，19，25]。实验结果表明，该算法与目前最具代表性的多目标优化进化算法考虑到这些有希望的结果，提出了以下未来的行动方针：（1）使用CEC 2009[23]中提出的测试床研究本工作中提出的算法的性能;（2）对时间进行分析。J. Ricart等人理论计算机科学电子笔记281（2011）5167功能NSGA-IIMOHS1MOHS2ZDT 11.0000（0.00）0.9943（0.00）1.0000（0.00）ZDT 21.0000（0.00）0.9936（0.01）1.0000（0.00）ZDT 31.0000（0.00）0.9983（0.00）0.9999（0.00）ZDT 41.0000（0.00）0.9916（0.01）1.0087（0.01）ZDT 51.1153（0.00）0.7224（0.03）0.8142（0.04）ZDT60.9999（0.00）1.0000（0.00）1.0000（0.00）平均值（σ）1.0192（0.05）0.9500（0.11）0.9705（0.08）表6归一化M_3尺度的一个平均结果：从M ~3~4 ~（括号中显示了标准偏差在解决所有考虑的问题中的算法的改进，以获得关于执行时间的度量结果;（3）将新建议应用于组合优化中经典问题的解决，例如旅行商问题（TSP）[1];以及（4）将MOHS建议与其他元算法进行比较，例如粒子群优化（PSO）[15]。引用[1] Applegate，D. L.，R. E. 比克斯比，V。 C hv′atal和W. J. 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