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1基于半定规划Jose 'Pedro Iglesias1,Carl Olsson1,2和FredrikKahl 1瑞典查尔姆斯理工大学2瑞典隆德大学摘要在本文中,我们提出了一个研究的全局最优性条件的点集配准(PSR)缺失数据。PSR是将多个点云与未知目标点云对齐的问题。由于存在非线性旋转约束,因此该问题本质上是非凸的,并且通常通过计算拉格朗日对偶来放松,这是一个半定规划(SDP)。在这项工作中,我们表明,给定一个局部极小的对偶变量的SDP可以计算在封闭的形式。这开辟了验证最佳的可能性,使用SDP公式,而不显式求解。此外,它还允许我们通过光谱分析来研究在什么条件下再循环是紧密的。我们表明,如果(未知)最优解的误差有界的SDP制定将能够恢复它。1. 介绍点集配准(PSR)是计算机视觉领域中的若干应用的问题[4,20,14,21,29,5,2,11,24],其包括估计对齐两个或更多个3D点集的变换。只有两个视图通过刚性变换相关联的PSR的实例是已经被深入研究的特殊情况,并且可以以封闭形式求解[3]。但随着视角数目的增加,以及考虑不完全观测,由于旋转的约束,问题变得更加在这项工作中,我们专注于注册的多个点云的全球坐标系。点云对应于来自m个局部坐标系的n个点的子集的观测这些观察,除了不完整,可以是嘈杂的,并通过未知的刚性变换。假设3D点之间的稀疏对应是已知的,这样的问题的目的是不仅是估计未知的转换,将m个局部坐标系转换为全局坐标系,而且还转换为原始的n个点的集合的全局坐标。这个问题的解决方案或近似解决方案并不完全是新的,如[7]所示,我们的目标是研究使用半定规划(SDP)[26]解决PSR时的全局最优性条件在旋转流形上的全局优化问题以前已经被许多论文研究过了。一个经典的结果是霍恩等人。[13]表明,在欧几里德变换下的两个点集的配准可以使用奇异值分解来全局最优地求解。在[18]中,考虑了一个类似的问题,其中点到点对应被点到平面对应代替它显示了如何应用拉格朗日对偶实现正交或变换矩阵。在[6]中收紧了松弛,在旋转矩阵的列上引入了方向约束Yang等[28]还应用拉格朗日对偶来获得Wahba问题的基于四元数的可证明最优解。近年来,由于其在运动结构和SLAM应用中的有用性而受到大量关注的问题是旋转平均[9,1,30,19,8]。解决该问题的第一次尝试之一在[10]中提出,其中单位范数约束被丢弃以实现线性解决方案策略。Fredriksson等人[9]展示了如何使用对偶来合并范数约束Martinec和Pajdla [16]使用矩阵参数化,但放弃了正交性和行列式约束,并从与系统矩阵的三个最小特征值对应Eriksson等[8]最近表明,尽管问题的非凸性,但应用La-grangian对偶允许在非常慷慨的噪声水平下严格执行正交性和确定性约束文[12]研究了单次旋转平均问题的凸性.据我们所知这些结果82878288i、jyi、ji、jJii,j不要推广到多次旋转的情况。从应用的角度来看,最接近我们的工作是乔杜里等人。[7]的文件。这项工作引入了谱和SDP松弛,将点云的全局配准转化为凸问题,源集合可能缺少对目标集合中的某些点的观测。目标是最小化变换后的源集到目标集之间的距离,相应的优化问题通常表示为Σ可以使用所提出的算法在多项式时间内求解。作者还提出了充分条件miny,R,ti、jwi,j<$yi−(Rj xi,j+tj)<$2、(1)问题的精确恢复使用该算法,以及详细的稳定性分析。受[8]的启发,即使它从类似的公式开始,这项工作与[7]的不同之处在于提出了一个证明,并研究了估计点云,全局姿态和缺失数据方面的条件,以确保候选原始解的全局最优性,使用拉格朗日对偶和谱分析。该文件的主要贡献是:• 拉格朗日对偶在Point Regis中的应用问题,即给定一个候选解决方案,若Rj∈ SO(3),j= 1,. . .,m其中,Rj和tj是从帧j到全局帧的旋转和平移,yi是目标集合的第i个点,xi,j是第j个源集合的第i个点的观测,并且wi,j={0,1}确定在第j个源集合中是否观测到点i我们假设目标集有n个点,有m个源集合,所以i = 1,. - 是的- 是的 ,n,并且j= 1,. - 是的- 是的 、m.(1)的每一项都可以用迹表示法写成更紧凑的形式,如下所示yi−(Rj xi,j+tj)原始问题使我们能够得到相应的Σ1−1−xTT我封闭形式的对偶变量这允许验证不求解SDP的局部最小值的全局最优性(引理1),这导致显著的加速;=tryitjRj1xTxi,j xi,j −xi,jxT我不知道,不J(二)• 关于重构误差的证书/界限(定理1和2)的推导,如果满足,则是足够的如果我们假设每个源集的均值为零,即iwi,j xi,j= 0,通过对i和j求和,(1) 成为为了保证候选原始序列的全局最优性溶液A−W−XTYT• 根据缺失数据和估计的中文(简体)TTB0−X0C第1003章:一个人的世界(3)RT3D场景,使用合成和真实数据。1.1. 符号其中Y=[y1 -是的-是的-是的yn],T=[t1 -是的-是的-是的tm],R=[R1. -是的-是的R_m],{W}i,j={W_i,j,A和B是对角矩阵,{A}i,i=jwi,j和{B}j,j=iwi,j,在整个文件中,我们使用小写字母来表示-发送标量和向量,以及矩阵的大写字母矩阵A在位置(i,j)处的元素被称为C是具有3×3块C j的块对角矩阵,j=联系我们w i,j xi,j xi,并且X = X T,. - 是的- 是的 ,其中X j={A},而A∈Rn,m对应于w1,jx1,j. . . wn,jxn,j. 在(3)i、ji、j取决于R,Y和T如果我们把剩下的变量-矩阵A的维数为n×m。我们用了一个小的-一个矩阵A的算子2-范数,且A†作为其伪逆 记λ i(A)为矩阵A∈Rn×n的第i个特征值,使得λ1(A)≤λ2(A)≤. . . ≤λn(A)。2. 问题陈述点集配准(PSR)问题包括估计m个变换,即,对旋转和translations,对准m个观察点集w.r.t.一个全球坐标系统,以及一个“平均”点集。m个表格不受最小二乘目标的约束,因此我们可以根据R计算最佳Y和T,从而消除Y和T。另一种写法是(3).ΣtrY AYT−2Y WTT−2Y XT RT+TBTT+RCRT,(四)其中RCRT项可以省略,因为RRT沿其3×3块对角线是恒定的从(4)中梯度相对于T的平稳条件,我们得到−2Y W+ 2TB= 0惠T=YWB−1,并通过替换(4)中的T观测点集和.TRYLYT -2Y XTRT.(五)活泼地该问题假设点集之间存在已知的对应关系,并且在某种意义上它可能存在缺失数据ΣR8289矩阵L=A−WB−1WT是加权图的拉普拉斯算子,具有n个节点,每个节点对应于3D8290我nnk点Y。一个类似类型的图进行了研究Mieghem等人。[25 ]第20段。图拉普拉斯算子有一些众所周知的性质:1)它们是半正定的; 2)对于非退化情况,它们具有唯一的零特征值,其对应于特征向量n,即所有1的向量。为了简化符号,我们设P=L。通过考虑L和P的本征值分解,很容易看出P也是如此,并且P的非零本征值可以从L的本征值获得为:λk(P)=1/λn−k+2(L),k=2,. -是的-是的 ,n.Alternativ ely,1原问题的结构,也可直接应用于PSR问题的半定规划。在本节中,我们将简要回顾这一分析。有关其他详细信息,请参阅[8]。3.1. 原问题的松弛如果一个解R是原问题(P)的最小值,它必须满足KKT条件。如果我们通过去除行列式约束(det(R j)= 1,j= 1,. - 是的- 是的 ,m),则问题的拉格朗日量为可以写为L= Θk,其中Θk=diag(Wk)-1WT Wkknkk.TΣWk是W的第k行。 请注意,对于源点集,L(R,Λ)=trR(Λ+M)R-tr(Λ),(8)在零均值的情况下,我们有tk=iwi,kyk =1Y WT,iwi,knkk其中Λ = diag(Λ,. . . ,Λ)和Λ3×3对称其中,nk=iwi,k。 这意味着,Tk可以是ob-k。1mj从Y得到Tk=1Y WT Wk,因此.kΣ矩阵从(8)的梯度,我们得到KKT条件Y k−T k=Ydiag(W k)−1W TW k =YΘk。每个Θknkk联系我们是正交投影,这意味着Θ2= Θk= ΘT,(Λ +M)R= 0,第1009章:一夜情(9)它可以被解释为选择集合的运算符在点集k中观察到的Y的点,并通过减去其平均值使其为零均值对于一个完整的源点集,Wk是一个全一向量,我们有R ∈ SO(3).(9)的第一个方程允许我们得到作为R的函数的Λ的封闭形式解,其中每个块Λ是Θ= I n− 1<$n,因此ΘP = P Θ = P。为了从表达式(5)中消除Y,我们再次使用稳定点条件,现在使用梯度与重新-给出=Σ Xi PXT RTR,i= 1,.- 是的- 是的、m.对Y进行spect,i j j iJ(十)2Y L−2RX= 0惠Y=RXP+Q,(6)从(10),并通过定义MΛ= ΛΛ+M,我们得到,.不* T∗其中Q是满足QL= 0的任意矩阵。的矩阵Q,其(M~)i,j=KiX i PXkRk Ri, i= j−X PXT,否则. (十一)Ij恒定的行。 由于XT的列为零,很明显,QX T= 0,因此s。将(6)替换为(5)(11)的结果将在后面的章节中使用。我们可以将成本函数写为-trRXPXT RT。以来Q对成本函数没有影响,我们可以选择Q= 0,因此Y=RXP。我们将我们的原始问题(P)定义为最小化旋转矩阵组上的成本函数,即,3.2. 全局最优性的充分条件在本节中,我们将定义(P)的对偶问题和关于MΛ的状态条件,它们保证原始问题和对偶问题之间没有对偶间隙(P)minR-tr .RXPXT RT(七)从(8)我们可以将(P)的对偶(D)问题写为:若Rj∈ SO(3),j=1,. . .、m.下面我们设M= −XPXT。3. 对偶性和最优性条件注意我们得到MaxMΛ≥0minR.L(R,Λ)。(十二)本 节将重点讨论对偶变量的充分条Σ8291件,对于这些条件,没有对偶间隙,minRL(R,Λ)=− tr(Λ),M Λ ≥0- ∞,否则、(十三)在原始问题(7)和它的对偶问题之间。然后,在下一节中,我们将从输入数据、噪声水平和缺失数据方面分析这些条件。Eriksson等人[8]研究了应用于旋转平均问题的对偶问题的这些条件。推理和主要结论,鉴于类似的这就给出了对偶问题(D)max tr(Λ)。(十四)MΛ≥0下面的引理将KKT条件与对偶问题联系起来,并形成了我们方法的基础:8292.YθYΘYΘRYΘYMYYΘΣYΘJJ引理1若R是KKT点,且对应的La-Σ注意,根据(15),j.DRMΛTΣRi,j=0,grange乘子Λε则Rε是全局最优的,若MΛ≥0,则(P)与(D)之间无对偶间隙。这意味着任何矩阵μN = μ[II I . - 是的- 是的]T,其中任意μ属于DR MΛDT的零空间。用于.TRT如果对偶变量Λ可以用其他方法计算,那么M≥0就可以作为一个证明,很大。如果有足够的μ,μ,我们有λ1D R M<$DR+μNN=λ4DR M<$DT.完全相同的推理可以应用于Λ最优状态 因此,这给了我们一种验证R到DYΘΦDT,得到λ1.ΣD YΘΦD T +µNN T为PSR问题的局部解的最优性。λ4DYΘΦDT. 因此,通过向两侧添加µNNT4. MΛ的谱分析我们得到λ4( DR M< $DT)≥ λ4( DYΘΦ DT)− |λmax(λ)|≥0。在本节中,我们研究在什么条件下我们可以确保对于KKT点R∈MΛ≥0。我们的目标是了解为什么这些问题往往给紧张的放松R YΘ(十九)我们将使用(19)的结果作为下界,λ4(DR M<$DT),这意味着如果我们得到λ4(DYΘΦDT)≥即使对于相对较高的噪声水平(见第6节)。R YΘ4.1. 解耦为无噪声和有噪声数据|则M Λ是半正定的,KKT|then MΛis positive semidefinite andthe KKT点是(P)的全局最小值。我们将从定义DR开始作为块对角矩阵现在, 作为 表示 在 [8], 我们 有 的 |≤|≤i,j其中(DR)i,i=R.由于DR是一个正交矩阵,我们jjjiT,其中i/=j,且<$i,i=−i/=j<$i,j。通过定义如果D R M<$D R 是半正定的,则MΛ是也是半正定的。 从(11),我们得到每个DR MΛDT的3×3块由下式给出:η:=最大值mYΘiPΘjYT−Ri Xi PXT RT(20)i/=j..Σ∗不*T我们可以断定|λΣ(✓)|≤2ǁ∆ǁ ≤D M DT=KiRiXiPXk Rk,i=jMaxi/=ji、jRΛRi、j−R<$X PXT R<$T,否则2m−1η。因此,从(19)我们得到一个充分条件iij j(十五)M全局最优。从现在起,我们将再次放弃(。)为简单起见,使用了 在没有噪声的情况下,Rk Xk=YΘk,我们得到,定理1给定一个满足(9)的候选解R∈ RDR MΛDT变为-YΘiPΘjYT,并且对角块η m成为ΣRkj=iYΘiPΘjYT.这导致了积极的:=λ4(DYΘ≤。(二十一)T)2(m−1)半定矩阵D YΘΦD T得双 曲 余 切 值 .3×n无缺失数据病例 在没有失手的特殊情况下-YΘ10. . - 是的通过对数据的处理,我们得到λ4(DYθΦDT)可以简化。03×nYΘ. -是的-是的YΘT1TD YΘ= θ。. 1 6岁(16)注意,在这种情况下,D YΦDY=(mI m−m)mY Y。... -是的-是的克罗内克积的特征值性质告诉我们,DYΦDT的特征值由λi(mIm-并且Φ的每个n×n块由下式给出:.I−P,i=jΦi,j =-P,否则不.(十七)不λ j(1Y Y T),其中i = 1,. - 是的- 是的 ,m且j =1,2,3。 矩阵mI m− <$m具有m个特征值,其中λ1(mI m−m)= 0且λ k(mI m− m)= m,k = 2,. - 是的- 是的 、m. 这意味着DYΦDT的最小非零特征值为由λ4(DYΦDT)=λ1(Y YT)给出。的上界对于DR MΛDR和DYθΦDYθ之间的差异,我们将调用由捕获噪声的矩阵组成的DR MΛDT的依赖性。 因此,我们有D R M<$D T =Y|也可以简化,因为现在我们有|can also be simplified since now wehaveTT不RD YΘΦD T + θ。Rη0:=最大值i/=jDΦD8293RRRYY-Ri Xi XjRj(22)4.2. 解耦数据这是全局最优的充分条件,矩阵DR MΛDT是半正定的,如果且获得无缺失数据的有效性仅当DR MΛDT的特征值大于或等于 为零使用Weyl推论1.1(无缺失数据)如果所有点在所有视图中均可见,即,wi,j=1,ni,j,则给定满足(9)的候选解Rn(P)和(D)如果.λ D MDT≥λ(DΦDT)−|λ(✓)|≥ 0。ηm1个RΛR1YΘYΘMax(十八)0:=0≤λ1( YYT)2(m−1).(二十三)82942(m−1)YΘλ(YYT)3YΘλ(YYT)32(m−1)RR2RDYΘ不R4.3. 解释评价结果定理1和特别是推论1.1使我们得到了关于全局最优性的(充分)条件的一些解释对于无缺失数据的情况,可以看出,当噪声相关的最大特征值η0与最小特征值之比小于m时,保证了全局最优性。η0通过量化来封装问题中的噪声计算Y的协方差矩阵与每对点集的互相关矩阵,i=j。注意,在无噪声的情况下,我们有η0= 0。类似的解释可以扩展到缺失数据的一般情况,其中(20)中的协方差和相关矩阵以及λ4(D YΘΦD T)中的干净数据基于通过P的观测数据进行加权。为了评估对偶性差距和定理1和推论1.1的结果,我们将针对不同的噪声水平、缺失数据的百分比年龄和目标点云的空间分布生成若干(100)个PSR问题的每个实例具有n= 250个点和m= 10个旋转和平移,从高斯分布生成源点集中的噪声也是由高斯分布生成的,其标准偏差为实例点的标准偏差的0到4倍cloud.对于缺失的数据,我们随机删除n个点中的p%,p={0,25,50}。因为这取决于图1:在0%、25%和50%缺失数据和不同噪声水平下,对定理1结果的评估绘制的数据点对应于生成的问题实例的平均值 对于该实验,λ1(Y YT)=q固定为1。λ4(DYΘΦDT),我们还更改实例协方差,使得λ1(Y Y T)= q,其中q ={0. 1,0。5,1}。注意,如果q= 0,则点云包含在2D平面中。关于SDP松弛的对偶间隙,我们解决了SDP问题类似于埃里克森等人。[8]这样做,然后看得到的解的秩如果秩大于3,则松弛是非紧的。对于这两个实验,PSR问题实例上的SDP和SDP解决方案的平均秩分别如图1和图2所示,并且我们有足够的条件来获得全局最优性(当λ18297(a) p = 0(b)p = 0。25(c)p= 0。5图3:在与图1相同的条件下对定理2的结果的评估。连续的红线显示了实例上的平均值,红色三角形显示了每个噪声级别获得的最大值(a)q = 1(b)q = 0。5(c)q= 0。1图4:在与图2相同的条件下对定理2的结果的评估。连续的红线显示了实例上的平均值,红色三角形显示了每个噪声级别获得的最大值图5:我们的本地优化器和使用SeDuMi求解SDP的运行时间之间的比较[23]。6.1. 局部优化我们的结果的主要应用之一是使测试的全局最优性的局部最小值通过一些局部优化算法。这是特别有利的,因为与求解SDP相比,局部优化提供更快的图5显示了在我们的实验中使用的局部优化方法和求解SDP的运行时间之间的比较,对于m(源点集的数量)的增加值。在我们简单的局部优化器中,我们将旋转线性化为R↑[1+a1S1+a2S2+a3S3]R,如所期望的,来自定理2的结果对于以下更鲁棒:0−1000−10 0 0目标点云形状的变化S1= 100,S2= 0 00,S3=00-100%。在“”上绑定。 此外,也有一些改进。0 0 01 0 00 10(三十三)根据不同的失误的界限的紧密性与引理1的结果相比,数据百分比。6. 实验给定引理1和定理1、定理2,我们现在将其应用于真实数据。我们还简要说明了用于获得候选解决方案的局部优化器。其中, 1、 2和 3参数表示每次旋转。我们使用原始(P)的线性化成本函数的梯度独立地更新每个旋转的参数,然后使用指数将解投影到SO(3)初始映射R←ea1S1+a2S2+a3S3R。作为停止标准,我们使用了一个阈值,是的请注意,这是一个简单的局部优化器,可以(也应该)使用更有效的方法来解决这个问题。8298(a)(b)第(1)款图6:(a)在TUM RGB-D数据集的fr 1/teddy序列中评估我们的结果(m= 47,n= 3606)。用局部优化器获得的解是(P)的全局最小值,因为它导致psd MΛ和ε′= 0。1769年我们还得到了m= 2。(b)在TUM RGB-D数据集的fr3/teddy序列中评估我们的结果(m= 50,n= 2812)。用局部优化器获得的解导致非psd MΛ,λ= 2157。6和′= 714。84.6.2. 使用真实数据评价结果为了表明引理1和定理1和定理2的结果可以应用于实际问题,我们使用局部优化器来重建TUM RGB-D数据集[22]的两个序列的一部分:fr 1/teddy和fr 3/teddy。使用MATLAB通过匹配SIFT特征[15]获得每个序列中图像之间的对应关系[17]和VLFeat库[27]。在图6a和图6b中示出了所使用的三个图像和重建场景的两个不同视点。对于fr 1/teddy序列,我们使用前47张图像来获得点云和对应关系,得到n= 3606个点。利用我们的局部优化结果MΛ≥0,由引理1直接这意味着它是(P)的全局最大值我们也评估定理1和定理2的结果,给出了2。0963,且θ′= 0。1769,后者也提供了候选解的全局最优性的充分条件。事实上,不满足的充分条件相关的点云显示,即使有效,这个条件是多么敏感的缺失数据和点云的空间分布。对于fr 3/teddy序列,我们在每6个图像中取1个,执行SIFT匹配,最终得到n= 2812个点。对于我们用局部优化器获得的候选解,我们得到非psd MΛ,λ= 2157。6和′= 714。84.我们还求解了SDP,得到的解的秩为4,这表明该序列的SDP松弛是非紧的。该序列与先前序列的不同之处在于具有更多的点的移动和流动,导致更多的缺失数据和源点集之间更少的共享点,并且如在图1和图2中可以看到的,这些因素使得SDP松弛对于较低的噪声量不那么紧密7. 结论在本文中,我们研究全局最优性条件的点集注册问题通过SDP松弛。我们使用拉格朗日对偶,以确定一个充分条件,引理1,保证候选解决方案是一个整体最小的原始问题。然后,通过谱分析,我们将问题解耦为无噪声和有噪声的分量,并定义边界(定理1和2),这些边界也可用于测试候选解的全局最优性。特别是,对于无缺失数据的情况,我们提出了可以有效计算的推论1.1和2.1实验表明,对于源点集中相对较高的噪声量,SDP松弛是紧的,但随着目标点云变得接近平面以及问题中缺失数据量的增加,SDP松弛会降低这限制了在重建场景大致为平面或几个源点集之间只有很少的共享点的然而,对于大多数点都是可观测的情况下,SDP松弛是紧的,我们的结果可以作为候选解的全局最优性的证书。确认这项工作得到了瑞典研究委员会(grants no。2016-04445和不。2018-05375)和瑞典战略研究基金会(智能机器人的语义映射和视觉导航)。8299引用[1] MicaArie-Nachimson 、 ShaharZKovalsky 、 IraKemelmacher-Shlizerman、Amit Singer和Ronen Basri。基于点匹配的全局运动估计。 在3D成像,建模,处理、可视化和传输,2012年。1[2] Federica Arrigoni、Beatrice Rossi和Andrea Fusiello。基于lrs分解的三维点集全局配准在ECCV,2016年。1[3] K. 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