计算设计与工程杂志，卷。号11（2014）27~36www.jcde.org平行四边形域上Shuqian Fan*，Jinsong Zou，Mingquan Shi中国科学院重庆绿色智能技术研究院，重庆，中国（2013年9月8日接收;2013年10月23日修订;2013年11月1日接受摘要弧齿锥齿轮是许多机械系统的重要组成部分，其轮齿的几何特性对机械系统的运动学和动力学行为有着重要的影响。对数弧齿锥齿轮因其具有等螺旋角特性，在传动中显示出独特的优势。然而，由于齿轮行业传统切削加工不方便，因此，适合于精确数字化建模的数学模型、基本几何特性以及相关的齿面接触分析方法尚未得到深入研究基于基本的齿轮传动运动学和球面渐开线几何学以及切平面几何学，建立了对数弧齿锥齿轮齿面几何的精确数学模型;实际上，齿面是定义在平行四边形域上的参数曲面然后给出齿面几何的等价性证明，以大大简化数学模型。作为影响轮齿润滑、表面疲劳、接触应力、磨损和工艺性的主要因素，本文用经典基本形式概括了齿面的微分几何特性通过使用所提到的几何特性，可制造性（及其在对数螺旋锥齿轮中的限制）被分析为使用精密锻造和多轴自由形式铣削，而不是基于铣削或滚齿的经典摇篮型机床几何和可制造性分析结果表明，对数螺旋齿轮具有许多应用优势，但仍有许多迫切需要解决的问题，如精密塑性成形的接触齿分析和多轴自由曲面铣削等，还需要进一步研究。关键词：弧齿锥齿轮;数学建模;参数曲面;几何特性;可制造性1. 介绍计算机辅助几何设计（CAGD）中的参数曲面通常定义在三角形、矩形或N边域上。非均匀有理B样条（NURBS）曲面是定义在矩形域上的一种重要曲面，主要用于描述工业产品的形状然而，由于其固有的性质，NURBS曲面不能准确地描述一类运动或动态形状，如螺旋锥齿轮的齿面。弧齿锥齿轮广泛应用于相贯轴的动力传动中，其齿面呈曲线且与轴心线成一定角度。与其中齿由圆柱体坯料生成的正齿轮和斜齿轮不同，在螺旋锥齿轮中，齿在锥形表面上生成由于这些齿轮提供出色的平滑度和负载能力，它们是最好的齿轮之一。现代机械工程中的基本部件理论上，螺旋锥齿轮的齿面是球面渐开线齿面[1];实际上，齿面几何形状几乎完全取决于相关的切削过程。更确切地说，螺旋锥齿轮是使用摇篮式铣削或滚齿机床制造的;因此，它们的这就是为什么不制造标准化的螺旋锥齿轮的原因。Park和Lee [2]利用球面渐开线齿廓来标准化锥齿轮系统，并解释了标准化锥齿轮的几何特性和运动基于铣削或滚齿过程，已经采取了几种实用的方法[3-6]来使用NURBS设计螺旋锥齿轮的齿由于齿面是由实际齿面采样点[3，4]或加工模拟点[5，6]构建的基于NURBS的弧齿锥齿轮参数化建模方法不太方便数控摇篮式机床*通讯作者。联系电话：+86 -23-6593-5572，传真：+86-23-6593-5416E-mail地址：fansq@cigit.ac.cn© 2014 CAD/CAM工程师协会Techno-Press doi：10.7315/JCDE. 2014. 00328S. Fan等人/Journal of Computational Design and Engineering，Vol.号11（2014）27~36工具已经使得能够执行用于小齿轮和齿轮齿面切削的非 线 性 校 正 运 动 。 因 此 ， 应 根 据 齿 面 接 触 分 析（TCA）方法[7-12]通过使用机床的最佳设置来Litvin等人[8，9]提出了一种局部轴承接触的螺旋锥齿轮的局部综合方法，以及传动误差受控水平的预先设计的抛物线函数。小齿轮齿面是在加工过程中Cao等人[10]提出了一种面向功能的主动齿面设计方法，将传动误差和弧齿锥齿轮啮合过程中的接触轨迹综合考虑因此，可以在使用摇篮型机床制造之前直接控制有利的形状Tang等人[11]在TCA中考虑了机床的运动误差和齿轮副的安装误差在弧齿锥齿轮加工中，他们提出的误差齿面接触分析（ETCA）方法比传统的接触分析方法需要更多的工艺参数然而，由于齿面质量对摇篮式机床的动态误差非常敏感，机床切削参数的调整是一项费时费力的繁琐工作，而且在大多数情况下是无法实现此外，由于有限的切削过程，已知螺旋角沿着螺旋锥齿轮齿不是恒定的。因此，Huston和Coy [13]认为，恒定的螺旋角会对齿面特性产生不利影响，这反过来又会极大地影响载荷分布、接触应力和不稳定的运动学，同时还会引起螺旋锥齿轮的振动换句话说，不恒定的螺旋角不能确保沿着齿轮齿与配合齿轮的均匀运动学和对数螺线（也称为等角螺线或增长曲线）是自然界中常见的一种曲线形式，Huston和Coy [13]首次将其引入弧齿锥齿轮传动的齿面描述中对数弧齿锥齿轮由于其具有恒定螺旋角的特性，被认为是一种理想的弧齿锥然而，在现代齿轮工业中制造这样的齿轮并因此，适合于精确数字建模的数学模型和齿面的微分几何特性尚未得到彻底的研究。门控Tsai和Chin [14]将对数螺旋应用于16]。与此同时，通用多轴数控铣床（而不是特殊的摇篮型机床），也使造船业小批量制造高精度大模数齿轮成为可能[2，17]。本文共分为五个部分。第一节提出了对数弧齿锥齿轮齿面最直观的数学模型。第二节讨论了平行四边形域上不同运动类型参数曲面的统一定义然后在第3节中解释了不同的几何特征，这些特征将有助于在第4节中分析了对数螺旋锥第5节然后提出了应用程序的优点和许多迫切需要解决的问题进行了讨论本文的主要贡献是对数弧齿锥齿轮齿面的统一参数化表示，以及利用导出的齿面直观特性对数弧齿锥齿轮2. 齿面几何形状重点研究了影响弧齿锥齿轮齿面精确数学模型构形的最重要因素为了满足恒定螺旋角的传动条件，我们考虑对数螺线曲线在齿面的几何形状。2.1 球面渐开线球面渐开线几何形状由Shunmugam等人[18]很好地描述。此外，球面渐开线几何的其他工作可以参考[2，14]。为了便于理解第2.3节，我们在本节中说明了球面渐开线几何形状，如[18]所示锥齿轮副的基本运动特性可以用节锥和基锥来描述Un-yX锥齿轮系统他们通过求解方程组，给出了螺旋齿面相对复杂的因此，表面表示不具有直观的几何意义，并且不适合于可制造性分析。基于直观的空间几何学，切平面O0球面渐开线不QQ运动学理论，Li et al.[15]推导了齿面的空间方程但是，如果没有CAD或Matlab等专业工具的帮助，推导出的方程形式近年来，精密塑性成形工艺，如锻造和冷挤压，使得大规模生产广泛应用于汽车工业的小模数螺旋锥齿轮成为可能[2，基圆锥奥z图1.球面渐开线几何。S. Fan等人/Journal of Computational Design and Engineering，Vol.号11（2014）27~362900折叠基锥表面，表面母线上的点Q将跟踪球面渐开线P（x，y，z），如图1所示在右手坐标系中，假设ρ0是从顶点o到点Q的距离，δ是底锥角。P是由点Q（ρ0sinδ，0，0）生成的球面渐开线曲线上的一点，T（ρ0sinδcosφ，ρ0sinδ sinφ，0）是基锥上的切点，其中渐开线生成角φ在基锥上从o′Q到o′T测量基锥表面可以用公式表示为：������（（一）展开和拉伸基锥表面，切断母线oQ将形成在母线oT处与基锥表面相切的平面。当角φ变化时，将得到一族切平面包封基锥的切平面族可以由单个参数方程描述为：������（= 0。（二）此外，弧长QT应明显等于PT;即，φ= φ sin φ。与坐标系相关联，PT的弦长最终可以用公式表示为：（���− ρ0 sin cos φ）2 +（ y − ρ0 sin sin φ）2图2.平面对数螺线。如图2所示，平面对数螺线也称为等角螺线。这里，用于描绘对数螺线的局部移动坐标系ox′y ′z ′+（ z −ρ0使用cos）2=4ρ2sin2（/2）（三）在基锥上的切平面上构造，其中o是顶点。平面对数螺线的方程可以用极坐标形式写为：���2+y2+z2= ρ2。（四）ρ = r0e （π/2 + πF）cot β=r0eCotFβ（七）然后，解方程。（2）-（4）同时，P的位置可以获得为：φ= ρ0（ cos φ sin φ + sinφ sin φ）其中r0是平面对数螺线的基圆半径，ρ0= r0 e（π/2）cotβ。2.3平面对数螺线{y = ρ0（ cos sin φ sin −sin cos φ）z = ρ0 cos cos。当量（5）可以写成（五）将局部运动坐标系ox′y ′z ′代入全局坐标系oxyz。ox′轴与ox轴重合，oz′轴与基锥母线重合作为运动学初始条件，如图3所示���辛φ[y] = [sin φ− cosφy00ρ0 sin0 cos000] [ 0 [Sin]1 0 0 科索当切平面在底锥上无滑动地滚动时，平面对数螺线上的任何点（如S）在接触底锥后都可以产生轨迹实际上，S的轨迹是球面渐开线，如所述× [ρ0ρ0 cos]=RφR<$Vρ0。（六）、第2.1节当点S接触基锥时，接触点S可以被视为位于基锥上的点S'（图2中）的情况下的坐标变换结果。2.2平面对数螺线由于对数螺线上的每个点在切线和径向线之间具有恒定的螺旋角β，母线oQ围绕oz轴旋转根据圆锥体的几何关系，可以表示为切平面z'S'SP0'r10的OX'30S. Fan等人/Journal of Computational Design and Engineering，Vol.号11（2014）27~36z基圆锥切平面z'S好啊QPT齿面平面对数螺线球面渐开线空间对数螺线（c曲线）yX'你们ox图3.齿面几何形状。sin（八）用平面对数螺线展开角代替θY与旋转角θ，等式（7）可以表示为ρ =ρ0e λ sin β。（九）S的旋转变换是V ρ =（ ρ sin θ，ρ，ρ cos θ）T（13）其中，φ =（φ − φ） sin φ。S的轨迹，更准确地说是球面渐开线，可以用φ的参数方程表示为：（���，y，z）T=R<$RφR <$Vρ。（十四）cosR= [ sin0− sincos000]。（十）1参考方程式(6)，与S的轨迹方程相关的变量可以容易地表示为最大cos（φ − ε）sin（φ − ε）0R= [sin（φ −） −cos（φ − φ）0]，（11）0 01cos 00（0，0）最大值R=[ 00和Sin1000科索平面对数螺线（const）c曲线曲线曲线S. Fan等人/Journal of Computational Design and Engineering，Vol.号11（2014）27~3631]、（12）图4.牙齿表面的轮廓图域。32S. Fan等人/Journal of Computational Design and Engineering，Vol.号11（2014）27~36z母线向量基圆锥切向量'P双曲线奥P0T球面渐开线（Sphericalinvolute）齿面空间对数螺线（c曲线）yox图5.齿面及其特征。由于S可以是平面对数螺线上的任意点，因此齿面表达式r（φ，φ）可以以自然的方式用双参数风格描述为：r（φ，φ）=R<$RφR <$Vρ。（十五）当量（14）可以用坐标分量的形式重写当φ为常数时，φ曲线的映射为球面渐开线。同时，平行四边形区域可以作为c曲线沿φ方向扫描的结果因此，在不考虑平面对数螺线的情况下，齿表面可以被认为是由几何视图中的基锥上的空间曲线（图3中的c曲线）生成的当φ − φ = 0时，我们有作为（φ，{y（ φ，θ） =（ cosθ sin φ sin θ − sinθ cos φ）ρ0 eθsinθcotβz（ φ，φ） = cosφ cos φ ρ0 eφsinφcotβ（十六）式中，φ=（φ − φ）sin φ，0 ≤ φ − φ ≤���mas 、0 ≤ λ ≤ λ。 MAS和θMAS是与螺旋锥齿轮设计的详细参数相关的特定角度约束。图4表示齿面的平行四边形域，它与经典自由曲面的矩形域（如B样条和NURBS）有些不同。当φ等于一个常数时，它在齿面上的映射曲线正好是运动切平面中的平面对数螺线（图3）。同样地，c（ ω） = ρ0esincotβ（ cos sin，sin sin，cos）T.（十七）根据等式（17），c曲线肯定是空间对数螺旋[19]。空间对数螺线在其切线向量和母线向量之间也有一个恒定的螺旋角β，如图5所示图5还示出了齿面上的φ曲线（φ=常数）和φ曲线（φ-φ3. 统一参数曲面描述上述参数曲面方程显然是从与螺旋角β（见图2）方向相同的顺时针方向的φ和逆时针方向的φ导出的（从顶视图看，见图3）。如果我们改变φ或φ的任何方向，S. Fan等人/Journal of Computational Design and Engineering，Vol.号11（2014）27~3633根锥节锥基圆锥Oy一X阿格玛x图6.不同方向的平面螺旋。凹面凸面图7.不同方向的平面螺旋。可用于锥齿轮设计的参数化曲面3.1 平面螺线的统一描述螺旋角β的方向决定齿轮齿是左旋还是右旋。在左手/右手齿轮齿中，齿的外半部分从通过齿的中点的轴向平面沿逆时针/顺时针方向倾斜，如观察者观察齿轮的面所看到的假设螺旋角β的逆时针方向为正（-），反之亦然，如图6所示平面对数螺线可以表示为：ρ = r e（3.3平行四边形域上的曲面根据上述分析，我们可以使用统一的参数曲面方程来描述齿面。（十五）、所有曲面都定义在不同的平行四边形域上，这些域取决于φ和φ的方向。图8示出了齿表面的类别。4. 微分几何特性弧齿锥齿轮的弹性流体动力润滑、表面疲劳、接触应力、磨损、寿命和可制造性在很大程度上取决于齿面的微分几何特性，如法向量、主曲率和方向。许多有利的属性对数弧齿锥齿轮的齿廓应采用经典的微分几何工具来揭示。其中ρ0= r0 e当量(18)具有和EQ一样的风格。(7)不管螺旋角的方向如何，平面对数螺线具有统一的定义。3.2凸/凹齿面当然，Eq。（15）表示齿的凸齿表面，4.1 第一基本形式齿面曲率由一对参数φ和φ通过矢量方程r（φ，φ）来描述，其中r是曲率上典型点P的位置矢量在任意点P处的基向量由下式给出：不同方向螺旋锥齿轮。 较布雷尔cos φ cos φ凸面生成原理，凹面可以= ρ sinφ cos<$[sin φ cos <$]，（19）被认为是其中切平面中的对数螺线曲线在基锥上滚动而不沿负（-）方向（顺时针方向）滑动的轨迹因此，凹面的方程与凸面的方程相同。差异是参数φ的定义域，如图7所示∂φ和− sin切平面z'SP0r10的OX'34S. Fan等人/Journal of Computational Design and Engineering，Vol.号11（2014）27~36布雷尔∂ɸρ sin=sin βc o s（−β）c os φsin+si n（−β）sinφ[c o s（−β）sinφsin−si n（−β）c os φ]。coscos（−β）（二十）其中α是瞬时压力角。如果γ等于节距角γp，则α为标称压力αn，在齿轮传动中，其典型值为20°4.2 二基本形式对法向量Eq.（21）参数φ，并得到以下公式因此，P的单位法向量可以由下式给出：ncos（r=cos[cos（−β）sinφcos]（28）∂φ∂φ ∂Ø ∂φ ∂ɸ−cos（−β）s，单位为−sin（ −β）cosφcos +cos（ −β）sinφ=[−si n（−β）sinφsin−co s（−β）cosφ]。（21）−sin（ −β）cos卢恩∂φcos（n−β）c osφsinn+sin（n−β）sinφ第一个基本形式表述为：=sinn[co s（n−β）sinφs inn−si n（n−β）cosφ]。cos（ε−β）c osεI = Edφ2 + 2Fdφd + Gd2（22）哪里第二种基本形式由下式给出：（二十九）阿吉尔E =·∂φ ∂φ=ρ2sin2cos2，（23）阿吉尔F =·= 0，（24）II = Ldφ2 + 2Mdφd φ 2 + Nd φ2（30）哪里L=−r·n=−ρsincos（−β）cos2，（31）∂φ ∂Ø∂φ ∂φ和∂r ∂n ∂r ∂nM = −·= −·= 0，（32）布雷尔布雷尔G =·∂Ø ∂Øρ2 sin2 π=sin2β。（二十五）和∂Ø ∂φ∂φ ∂ØF= 0意味着等参数曲线，更准确地说，图5中所示的φ曲线和φ因此，ISO-阿仁N = −·∂Ø ∂Øρ sin2 π= −sin β .（三十三）参数曲线是主曲线，基向量与主方向重合还有一个重要的结论隐藏在牙齿表面的第一基本形式之后;即，曲线的切向量与其半径向量之间的夹角βY，在第二种基本形式中，我们专注于主要的齿面曲率和方向分布。由于F= 0和M= 0，主曲率表达式可以分别推导为：任何点P总是等于β，因为cos βY = r ·（r）<$r ·（r <$）<$r = cos β。 （二十六）Lcos（−β）k1=E= −ρ sin（三十四）∂ɸ ∂和这一结论意味着每一条曲线都是空间对数螺线.与c曲线相比，其基本区别在于锥角γ及其起始点P0。根据球面三角正弦定理，很容易得到δ与γ之间的关系。换句话说，sin α = sin y cos α（27）N sin βk2 =G= −ρ.（三十五）从Eqs。在等式（19）-（20）中，主方向可以被描述为S. Fan等人/Journal of Computational Design and Engineering，Vol.号11（2014）27~36350罪受损域 0最大凹面凸表面右手左手最大凸表面最大凹面最大 0 受损域辛辛图8.精锻模拔模极限。cos φ cos φe1 = [sin φ cos θ]（36）− sin和cos（β−β）cosφsinn +si n（β−β）sinφe2=[cos（β−β）sinφsinβ −sin（β−β）cosφ]。co sc os（−β）（三十七）上述显式表达式使我们能够从齿轮参数精确地计算齿面的二次特性另一方面，我们不能准确地确定主曲率和主方向，如果牙齿表面近似的NURBS。5. 可制造性分析在传统的切削加工中，由于铣削或滚切过程中不可避免地会改变螺旋角，所以不可能加工出对数螺旋锥齿轮。由于纤维取向有利于承载高摩擦载荷，因此可满足汽车工业中广泛使用的高载荷和小模数齿轮的生产需求[20]。然而，精密锻造技术通常仅用于制造直齿锥齿轮和直齿锥齿轮[16]。对于对数螺旋锥齿轮，基本的限制是锻模的模型拔模。对数弧齿锥齿轮的模具几何形状是由其理论几何形状得到的，因此可以根据上述齿面几何形状来分析其可制造性沿z轴的合适的图案拔模，其单位矢量vd为（0，0，1），必须满足n· vd ≤ 0（38）其中n是齿面的单位法向矢量对于凸齿表面，根据等式（20）Eq.（38），下面的公式必须工作。机床的运动然而，制造对数螺旋锥齿轮的合适方法仍然存在βφ − ɸ ≥辛辛（三十九）不确定5.1 精锻在各种塑性成形方法中，精密锻造提供了获得高质量零件的可能性与切削相比，它可以更好地利用材料，由于更短的周期时间而降低成本，以及锻造齿轮齿面几何形状的新可能性。精密锻造也有助于实现当量(39)显示如果理论凸齿表面的形状没有被修改，则不可能从锻模中移除锻造部件而没有任何损坏，如图8所示的参数域中所示。当量(39)这也意味着精锻技术只适用于制造螺旋角较小的螺旋锥齿轮。然而，根据TCA或面向功能的主动设计方法对损伤区域的形状修改和接触区域的优化，36S. Fan等人/Journal of Computational Design and Engineering，Vol.号11（2014）27~36流线（主线）图9.精简外地定向。采用精锻技术制造对数螺旋锥齿轮是完全可能的对于凹曲面，法向量n应根据参数方向反转因此，在本发明中，β流线场取向;因此，刀具路径应该与齿表面的主曲率线之一重合。更准确地说，齿轨应该是双曲线，因为双曲线也是主曲率线，如图9所示。6. 结论 对数弧齿锥齿轮的齿面是定义在平行四边形域上的参数曲面.通过微分几何分析，它无疑提供了许多有利的几何分析齿面几何形状有助于我们充分了解其可制造性以及在应用中可能的运动学和动力学行为 由于对数螺旋锥齿轮不能被制造，采用传统的滚铣加工工艺，分析了采用精锻和多轴自由成形铣削加工工艺的工艺性。结果表明，齿面修形是精锻加工的必然要求。然而，齿形修改可以很容易地由两个简单的特征参数来控制。此外，多轴自由曲面铣削加工应保持曲面流线，以获得高质量的齿面φ − ɸ ≤ 辛辛（四十）面 从理论上讲，真正共轭的螺旋齿轮有一条直线，总是存在，由于 到 −���mas≤ φ − ε ≤ 0（β > 0） 或0≤ φ − φ ≤φmas（β 0）。因此，没有必要修改理论凹齿面的形状，如图8所示。5.2多轴自由铣削在制造过程中，几乎所有的工程都假设齿轮是使用特殊类型的机床加工然而，基于CNC的齿轮加工机床的运动结构和动力学行为仍然与工业多轴铣削机床有本质的不同尽管广泛使用的工业多轴机床的自由成形铣削的生产率明显低于使用特殊类型的机床进行螺旋锥齿轮制造的切削，但在单件和小批量生产中，由于不必要的设备投资，具有大范围的尺寸变化是有利的，特别是在制造直径超过1,000 mm的相当大的齿轮时。与制造整体齿轮的方法类似，刀具路径规划是多轴自由成形铣削对数螺旋锥齿轮获得成功结果的关键除了刀具干涉，我们特别关注的曲率场的齿面耦合的刀具路径。齿面几何形状（特别是主曲率场）对其接触力学性能有很大影响不合适的刀具路径会损坏其contact.更确切地说，线接触是空间对数螺旋。然而，为了降低齿轮副对齿面误差和配合构件的相对位置的敏感性，必须对一个或两个配合齿轮的齿施加一组仔细选择的修改由于这些修改，对数螺旋锥齿轮副变得不匹配，并且点接触代替理论上的线接触。无论采用何种方法来制造不匹配的对数螺旋锥齿轮，如精密锻造和普通多轴自由曲面铣削，迫切的实践挑战是如何生成小齿轮和齿轮的最佳齿面，以减少传动误差。致谢本 研究 得 到国 家 自然 科学 基 金项 目 （批 准 号：61003122）和重庆市科技项目研究基金（批准号：2012ggB40003和cstc2012ggB60001）。引用[1]Ai-daccak MJ，Angeles J，González-palacios MA.用精确球面渐开线建立锥齿轮模型。ASME机械设计杂志1994; 116（2）：364- 368.S. Fan等人/Journal of Computational Design and Engineering，Vol.号11（2014）27~3637[2]作者：Park NG，Lee HW.球面渐开线锥齿轮：几何、运动特性及标准化。机械科学与技术学报。2001;25（4）：1023-1034.[3]林毅，任世宁，王志永，张平。基于NURBS的弧齿锥齿轮齿面重构研究。应用力学与材料2012; 130：701-705。[4]张继华，方宗东，王春.基于非均匀有理B样条的弧齿锥齿轮真实齿面数字仿真。航天动力杂志。2009; 24（7）：1672-1676.[5]苏志杰，吴晓霞，毛世美，李建国。非均匀有理B样条多项式表示的准双曲面齿轮齿面Xi交通大学学报。2005; 39（1）：17-20.[6]唐继英，蒲涛平，戴军。螺旋锥齿轮的精确建模方法。机械传动杂志.2008; 32（1）：43-46，83.[7]西蒙五，最佳机床设置准双曲面齿轮改善负荷分配。ASME机械设计杂志2001; 123（12）：577-582.[8]李文福，张毅，韩旭.面铣弧齿锥齿轮的局部综合与刀 具 接 触 分 析 。 Cleveland ， OH ： NASA LewisResearch Center（US）; 1991 Jan. 176 p. 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