分数阶三阶色散偏微分方程的解及其在动态系统建模和控制中的应用

主办方：埃及生物多样性和应用科学杂志2（2015）190E199完整文章分数阶三阶色散偏微分方程的解A.S.V. Ravi Kantha，*，K.阿鲁纳ba印度哈里亚纳邦Kurekshetra 136 119国家技术学院数学系b印度泰米尔纳德邦Vellore 632014 VIT大学高级科学学院流体动力学系A R T I C L E I N F O文章历史记录：收到日期：2014年6月11日收到日期：2014年2015年2月8日接受2015年2月26日在线发布保留字：三阶色散方程分数阶微分变换方法改进的分数阶微分变换法A B S T R A C T本文提出了求解一维和高维分数阶色散偏微分方程的分数阶微分变换方法（FDTM）和修正的分数阶微分变换方法（MFDTM）绘制的图说明了不同分数阶数a值的解的行为。通过四个数值实验验证了所提方法的有效性和准确性。版权所有2015年，曼苏拉大学。由Elsevier B. V.制作和托管。这是一个CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1.介绍近年来，分数阶微积分和分数阶微分方程的研究取得了令人瞩目的发展。分数阶导数微分方程可以用来描述各种系统，其重要应用包括粘弹性、电极-电解质极化、热传导、电磁波、扩散方程等[1，2]。分数阶微分方程的精确解和数值解由于其在多个学科中的大量的研究人员已经展示了分数阶微积分在许多动态系统的建模和控制中的有利使用[3E10]。除了这些微分方程的建模方面之外，求解技术及其可靠性是更重要的方面。同样重要的是要处理临界点，这些临界点会导致模型解的突然发散、收敛和分支为了达到求解分数阶微分方程的高精度和高可靠性的目的，人们提出了几种求解分数阶微分方程的方法。最近的一些分析/数值方法是Adomian分解法（ADM）[11e16]，有限差分法[17]，变分迭代法（VIM）[18，19]，运算矩阵*通讯作者。电子邮件地址：asvravikanth@yahoo.com（A.S.V. Ravi Kanth），aruna27k@gmail.com（K.Aruna）。由曼苏拉大学负责进行同行审查。http://dx.doi.org/10.1016/j.ejbas.2015.02.0022314- 808 X/版权所有2015年，曼苏拉大学。由爱思唯尔公司制作和主持 这是一篇CC BY- NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。可在www.sciencedirect.com在线获取ScienceDirect杂志主页：http://ees.elsevier.com/ejbas/default.asp*v>ð;tÞðÞXX|ffl fflffl ffl ffl ffl ffl ffl ffl ffl { z ffl fflffl fflffl fflffl fflfflffl}XXkl1P<甘姆阿托a;1*x0Gk1 Gah1*t00例如，《生物多样性和生物多样性科学杂志》2（2015）190e199191方法[20]、同伦分析方法[21，22]、广义微分变换方法[23，24]、有限元方法[25]、分数阶微分变换方法[26，27]及其参考文献。本工作的主要目的是将FDTM和MFDTM应用于定义3.在Caputo[2]意义下，f（x）的分数阶导数定义为：DafxJm-aDmfx1Zx求解三阶色散偏微分方程[28e32]。DTM以以下形式获得解析解：简体中文M-1AM的\“\<<”多项式它不同于传统的高阶泰勒级数法，它需要对数据函数的必要导数进行泰勒级数法是计算时间长的大订单。用这种方法可以得到高精度的结果或微分方程的精确解在电路分析中使用DTM是由Zhou[33]开创的。从那时起，DTM成功地应用于大型变一些问题，如偏微分方程[34，35]，KdV和mKdV方程的孤波解[36]，m2N;x>0;f2Cn：-1假设未知函数f1/4f（x，t）是分数阶导数的因果函数（即，在Caputo意义上的0）消失如下。定义4.对于作为超过a的最小整数的m，a>0阶的Caputo时间分数阶导数算子被定义为：af x;tDafx;t*t线性和非线性薛定谔方程[37]，线性和非线性Klein-Gordon方程[38]，非线性振荡器分数非线性[39]，分数线性和vta8>1Zt0t-tmf x;m-1上午<<：非线性薛定谔方程[41]，非线性分数阶Klein-Gordon方程[42]及其参考文献。最近，在[40]中提出了一种新的技术，通过Adomian多项式获得非线性 与 文 献 中 讨 论 的 方 法 不 同 ， 建 议 的 FDTM 和MFDTM不需要线性化，离散化或扰动。ADM的主要缺点是计算Adomian多项式的非线性算子的程序是非常复杂的。在VIM的困难有一个固有的不准确性，确定拉格朗日乘子，校正功能和平稳条件的分数阶。同伦摄动法的缺点是每次迭代都要求解函数方程，有时很 复 杂 ， 难 以 实 现 。 因 此 ， 所 提 出 的 FDTM 和MFDTM更容易vmf x;t：vtm;a¼m2N3.二维分数阶微分变换法考虑两个变量u（x，t）的函数，并假设它可以表示为两个单变量函数的乘积，即，u（x，t）<$f（x）g（t）. 基于二维分数阶微分变换的性质，函数u（x，t）可以表示为与ADM、VIM和HPM相比这个∞的轮廓∞纸如下。第二节讨论了分数微积分的基本定义。第三节和第四节介绍了二维FDTM和MFDTM的基本定义.给出了分数阶三阶色散偏微分方程的四个明确的检验问题，以阐明第五节所提出的方法。最后我们ux;tUa;1k;hx-x0kt-t0ha（1）k<$0h <$0其中，00，如果p并且（1）意味着Rln n=x;tn =P∞∞h<$n 1 Ua;1k;hxktah是存在实数p>m，使得f（x）1/4 ×f1（x），其中f1（x）2C[0，∞），如果fm2Cm，m2N，则称它在空间中。定义2. 函数f2Cm，m≥-1的dZerxa ≥ 0的左侧Riemann-Liouville分数次积分算子是ð Þ¼0小得可以忽略不计。通常，l和n的值由级数解的收敛性决定。在1/4 1的情况下，广义二维分数阶微分变换方法（1）简化为经典的二维微分变换[34e 38]。二维计算机执行的基本数学运算定义为Iaf x1加瓦什f（x）.t;a>0;x>0和J0f（x）的1/4分数微分变换法是所列表1.¼vtmx0;t 0>不X甘氨酯;1a;1ah甘氨酯Þ1UÞ;∞ÞXX卡阿赫ð Þ ¼192eGYPTI anJOURNALof b asI c and aPlI edSCI en nces 2（2015）190e199表1e二维分数阶微分变换方法的运算原始函数转换函数w（x，t）u（x，t）±v（x，t）Wa，1（k，h）Ua，1（k，h）±Va，1（k，h）w（x，t）<$mu（x，t）Wa，1（k，h）<$mUa，1（k，h）vux;tWa，1（k，h）1/4（k1）Ua，1（k1，h）wx;tvx*Gah11wx;tDaux;t;0a≤1Wa;1k;hUa;1k;h1t0Gadiah1w（x，t）1/4（x-x0）（t-t0）Wa;1k;h1 / 4dk-m;ha-n1 / 4.1;k<$m;h<$nm na0;否则2PkPhw（x，t）每平方米n<$0Ua;1m;h-nUa;1k-m;n3PkPk-rPhPh-sw（x，t）r¼0q¼0s¼0p<$0Ua;1r;h-s-pUa;1q;sUa;1k-r-q;p4.改进的分数阶微分变换法然而，FDTM在处理二维非线性函数时存在困难。让我们考虑微分变换，例1.考虑线性分数阶色散KdV方程ua2ux uxxx< $0;t> 0（8）以初始条件ux;0sinx（9）Ku3x;tXk-rXhXh-sUa;1r;h-s-pUa;1q;sUa;1k-r-q;pFDTM：（8）的转换版本是r¼0q¼0s¼0p¼0（四）Gah11Uk;h12k1Uk1;h(4)包括四个总结。 因此，对于大量的（k，h），计算这样的微分变换Ua，1（k，h）需要大量的计算工作. 众所周知，FDTM是基于所有变量的泰勒级数。为了避免这些困难，MFDTM被认为是函数u（x，t）关于特定变量的泰勒级数。假设þðkþ1Þðkþ2Þðkþ3ÞUa;1ðkþ3;hÞ第10章：十万（9）的转换版本是8>0;k 1/40;2;4; 8;那么，我们有函数u（x，t）在t/t0处的泰勒级数展开式，如下所示Ua;1k;0¼><1k！;k1; 5; 9;（十一）X∞ 1.一 、你好！ah>：-1ux;th¼0 Gðahþ1Þvtaht-t0（五）k！ ; k ¼ 3; 7; 11;.将（11）代入（10），得到Ua，1（k，h）值，定义5. 改进的分数阶微分变换u（x，t）关于t0处的变量t的Ua，1（x，h）定义为：.！U形环;h形环Ua;11加的斯1;a;1×1;1×1;0;Ua;11102;101/22吉西他滨1;1a;1个月ahvahux;tvtah（六）U= 3;1/1/ 0;U104; 101- 1 ;.t¼t0定义6. fu（x，t）关于t0处的变量t的修正分数阶微分逆算子mUa，1（x，h）为a;1Ua;1100;200;0;a;1a;124Ga 11; 2- 1 UGC2a1a;12002年;2004年;定义ux;t¼XUa;1x;ht-t0ah（7）Ua;112-甲基-3，2，3，4，6-二甲基-2，2，4-二甲基-1，a;12004;2004;h¼0由于MFDTM是由函数关于特定变量的泰勒级数得到的，因此预期：利用（1）中的Ua，1（k，h）值，我们得到了级数解作为∞∞给定问题的相应代数方程比标准的结果简单得多ux;tUk<$0h <$0a;1高血压FDTM。所执行的基本数学运算.x3x5- 是的x2x4a.用改进的分数阶微分变换方法，在表2中。四分之三！05！- 我知道-1-2！14号！-我知道.x 3x 5mm2 aGagua101-x-3！05！- 我知道GC2a1.x2x4mm3 a5.应用þ一比二！14号！- 我知道G203a100g.（十二）在本节中，四个数值例子进行了测试，以验证所提出的FDTM和MFDTM。当l，n≤5时，FDTM解（3）采用以下形式Ux;h12vUx;h--ÞÞa;1千 克 /升;a;1千克/升aÞtt...甲氨蝶呤;1ah不3þ3¼0.Σ.Σ例如，《生物多样性和生物多样性科学杂志》2（2015）190e199193.X3x 5mm。x2x 4x1Gah11Uk l h1ux;tx-3！05！-1-2！14号！Gagua101Gðahþ1Þa;1;;.x3x5 mm 2 a.x2x4mm3 aþðkþ1Þðkþ2Þðkþ3ÞUa;1ðkþ3;l;hÞ-x-3！05！G20a10000一比二！14号！GC3a1000x3x5þx-3！05！t4a加替尼4a100-x2x4一比二！14号！t5aGC5a1000（十三）þðlþ1Þðlþ2Þðlþ3ÞUa;1ðk;lþ3;hÞ19岁（18）的转换版本是MFDTM：（8）关于“t”的变换版本cos.KPPakistos。lp[咒语]kpn.lp加鲁瓦赫110111ahvUa;1x;hVx3a;10（14）vx32你好！2 2我！我！ -k！2我！我！;k; l¼ 0; 1; 2;.（二十）（9）的转换版本是替换等式（20）在Eq. （19），得到Ua，1（k，l，h）值Ua;1x;0sinx（15）MFDTM递归方程。（14）得到Ua，1（x，h）值Ua;1U0;0;1a;1 1; 0; 1- 2G1型钙钛矿103;0;100;...-cosx-sinxa;1a;13加索尔1加索尔Ua;1μx;1μl;Ua;1x;1¼;þ ÞUa;1G a1cosx3000g/mlGC2a1U0; 1; 1-2U1;1;1000;将Ua，1（x，h）代入等式（1），（7），我们得到了如下形式的解Ua;111，2-二氯-1，3-二氟-1，4-二氯-1，4-二a;103;1;1000;sinx-cosxa-sinx2a.U= 0;2; 1/2/ 0;U11;2;100%;Ga1G2a1a;1U= 2;2; 1/2/ 0;Ua;1加的夫1号第3;2; 1- 1段当a/1时，近似解Eqs. （12）和（16）采用以下形式a;1a;16加索尔1加索尔ux;tsinxcost-cosx sintsinx-t使用等式1中的Ua，1（k，l，h）值，（1），我们得到了级数溶液作为这与[32]中得到的解完全相同。 图x2x3y y2X2y2XY3x3y31e2我们已经证明了由五项得到的解u（x，t）FDTM、MFDTM和两个不同值的精确解1-2-xy-6-2分42016-06-36双.X32 2x3y2y3x2y3a.分数阶的a.可以看出，MFDTM结果是比FDTM结果好得多的近似-2x62013-六尺GZ1-1000.（二十一）实施例2.其次，考虑二维空间MFDT M：Eq. （17）是W。R. 这ua2uxxxuyyy 0;t> 0（17）Gaduahuh11Ux;y;h1v3Ua;1x;y;hVxv3Ua;1x;y;hvy（二十二）以初始条件þð表2e改进的分数阶微分变换方法的运算原始函数转换函数w（x，t）u（x，t）±v（x，t）Wa，1（x，h）Ua，1（x，h）±Va，1（x，h）w（x，t）<$mu（x，t）Wa，1（x，h）<$mUa，1（x，h）vux;tvUa;1x;hwx;tvxWa;1x;hvxwx;tDaux;t;0a≤1Wa;1x;hGah1Ua;1x;h1*t0Gobah1m namw（x，t）1/4（x-x0）（t-t0）Wa，1（x，h）1/4（x-x0）d（ha-n）2Phw（x，t）m¼0Ua;1x;mUa;1x;h-m3PhPmw（x，t）每平方米l¼0Ua;1x;h-mUa;1x;lUa;1x;m-lux;y;0c o s xy（18）FDTM：（17）的转换版本是（18）的转换版本是Ua;1x;y;0x y（23）MFDTM递归方程。（22）得出Ua，1（x，y，h）值ð Þ¼ð Þ¼ðþÞ不>>Uk0联系我们Gagua101GC2a1coscos194埃及法学家和专业人员学报2（2015）190e199图1e u（x，t）通过使用五项（a）FDTM，（b）MFDTM和（c）当a≤0.95时的精确解Ua;1 x;y;1-2sinxy;UGagua101a;1 x;y;2-4cosxx yy;GC2a1u0;t0;ux0;tp cost;uxx 0;t 0（27）Ua;1x;y;38 sinxy我的天哪FDTM：（25）的转换版本是利用逆MFDTM，我们得到了在形式之后，ux;y;tcosxy-2sinxyta-4cosxyt2a（二十四）Gah11UGðahþ1Þ. kpK2a;1k;h. hpkp。hp当n/1时，近似解（21）和（24）取以下形式ux;tsinxy2t公司简介k！Gðah þ1Þ-ppk！Gðah þ1Þ（二十八）这与[32]中得到的解完全相同。（26）的转换版本是实施例3.考虑非齐次分数阶三阶色散偏微分方程uauxxx¼-sinpxsint-p3cospx cost; 0x 1;t> 0<<（25）服从初始条件8a;1磅;2 磅>0;k¼ 0; 2; 4; 6;.K;k1; 5; 9;.k！ðpÞ（二十九）ux;0sinpx（26）与时间相关的边界条件：-k！ ; k ¼ 3; 7; 11;.MFDTM：（25）的变换版本是W。R. 这3KK罪罪222322！例如，《生物多样性和生物多样性科学杂志》2（2015）190e199195图2e u（x，t）通过使用五项（a）FDTM，（b）MFDTM和（c）当a1/41.5时的精确解获得加鲁瓦赫110111vUa;1x;hsinpxcost（34）Gah1Ua;1x;h1sin.phvx3公司ph这与[32]中得到的解完全相同。u（x，t）的FDTM、MFDTM五项解¼sinpx Gðahþ1Þ -pcospxGðahþ1Þ（三十）在图1和图2中绘出了1/4 0.5、1.95和精确解的值。3E4分别。（26）的转换版本是Ua;1x;0sinpx（31）按照与实施例1和2相同的步骤，我们获得了FDTM和MFDTM系列溶液35实施例4. 最后，考虑三维空间中非齐乌阿鲁2011年1月2011年1月1/4- 3 cosx2y3zsintxxx yyyzzxx.t2 at4 at8 27ux;tpx-三个！þ五个！- 我知道1-甘氨酰2a丙1甘氨酰 4a丙1甘氨酰-（三十二）sin以初始条件.t2 at4aux;tsinpx1-甘氨酰2a丙1甘氨酰 4a丙1甘氨酰-（三十三）ux;y;z;0.050（36）分别地，当a/1时，近似解（32）和(33)采用以下形式3.FDTM：（35）的转换版本是！！196eGYPTI anJOURNALof b asI c and aPlI edSCI e nces 2（2015）190e199Gah11Uk;l;m;hkGðahþ1Þ1a;1a;118 0cos. kpmp2[咒语] kp3msi n. mp2012年2月1日使... hp221/4B@-3K！m23km！CA2 2我！我！ Gðah þ 1Þ0si n. kp3mcos. mp2cos. kp3msin. mp12lsi n. 我来帮你。hp223公里处的B！m23km！CA2 2我！我！Gðah þ 1Þ（三十七）0si n.kpmp2公司kp3msi n. mp 2011年2月22日，我来帮你。hp22快！m2-km！CA2 2我！我！Gðah þ 1Þ0co s.kpmp2[咒语] kp3msi n. mp12lsi n. 我来帮你。hp22-B@k！m2-km！CA2 2我！我！ Gðah þ 1Þ图3e u（x，t）通过使用五项（a）FDTM，（b）MFDTM和（c）a/40.5时的精确解！！！！！！2甲氨蝶呤;1ah22x2y 3z-6-3y-2z-x y-9z y-2zx8vy327vz32例如，《生物多样性公约》和《生物多样性公约》科学杂志2（2015）190e199197图4e u（x，t）通过使用五项（a）FDTM，（b）MFDTM和（c）当a1/41.95时的精确解获得.X3（36）的转换版本是439 32232U k l m0 0k l m0 1 2（三十八）-2y x- 6zy2.不是Gðaa;1;;;;MFDTM：（35）的简化版是w。R. 这.不是t3aux;y;z;tnx2y3zGadia1-Gadia3a1（四十二）Gah11Ux;y;z;hv3Ua;1x;y;z;hvx3尊敬的。当na/1时，近似解（32）和(33)采用以下形式3 31vUa;1sin.phcos.phux;y;z;tsi nx2y3zsint（43），它与[32]中得到的解完全相同。¼-3cosx2y3zGah1sinx2y3zGah1（三十九）（36）的转换版本是Ua;1x;y;z;0x;0（40）按照与实施例1和2相同的步骤，我们获得了FDTM和MFDTM系列溶液Σux;t6.结论本文实现了求解分数阶三阶色散偏微分方程的二维FDTM和MFDTMDTM是求解线性和非线性偏微分方程的一个有吸引力的工具，198eGYPTI anJOURNALof b asI c and aPlI edSCI e nces 2（2015）190e199不需要线性化、离散化或扰动。但在构造三元或多元函数的递推方程时也面临着一些困难，并且求解代数递推方程需要昂贵的计算量。本文提出的特殊变量MFDTM可以得到简单的递推方程。因此，可以得出结 论 ， MFDTM 提 高 了 计 算 工 作 的 有 效 性 相 比 ，FDTM。该方法原理简单，对分数阶线性和非线性微分方程的求解是有效的，对求解数学物理中更广泛的非线性分数阶模型具有很好的应用前景。致谢作者要感谢审稿人的意见和建议，这些意见和建议改进了论文。引用[1] 希尔弗河分数阶微积分在物理学中的应用。新加坡：Word Scientific公司; 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