非视线成像测量中的可见性分析

1非视线测量中的特征可见性分析刘晓春xliu669@wisc.edu塞巴斯蒂安·鲍尔sbauer8@wisc.eduAndreas Velten*velten@gmail.com威斯康星大学摘要我们建立了一个描述一般非视线（NLOS）成像测量的方程，并分析了该测量在傅立叶域中的特性，即它所编码的场景的空间频率。我们的结论是，对于一个中继墙与有限的大小，某些场景配置和功能是不可检测的NLOS测量。然后，我们提供了不可见的场景特征及其重建的实验示例，以及一组导致不适定的NLOS成像问题的示例场景。1. 介绍飞行时间非视线（NLOS）成像使用快速照明源和检测器来探测观察者不可直接看到的场景的多反射光传输（图2）。照明源用短脉冲照射中继器表面上的点P1，并捕获从场景返回到中继器壁上的点Pd的通过求解来自这些NLOS测量的逆光传输问题，可以重建不可见的3D空间。我们把这种类型的飞行时间（时间分辨）NLOS测量简称为NLOS测量.已经开发了不同的逆方法来从飞行时间数据重建隐藏场景，例如滤波反投影[18，7，3，10]，类似于计算机断层扫描问题中使用的反投影方法。其他方法将隐藏场景中的光传输表示为线性矩阵算子，并通过优化框架解决矩阵逆问题以重建场景[9]。最近， 显示对于共焦数据集（见图11），另一方面，b示出了非共焦NLOS测量），前向积分可以被简化为卷积算子。因此，逆过程可以表示为反卷积问题并有效地解决[13]。其他方法使用测量数据的子集来执行重构，诸如图1. 三个面片旋转示例。包含由a、b、c表示的三个块的场景的实验重建。图块a和c是平行的，但是后一个图块第一行代表俯视图，第二行代表前视图。解释这一惊人的效果将在正文中发展，见第二节。6.2，图。8、图形解释。首先返回光子[16]，或者将反射参数化为一组平面[14]。其他重建技术在[19，17]中描述。一些现有的方法甚至对隐藏场景内的部分遮挡进行建模，例如，[8]的一项建议。针对NLOS成像开发的重建技术的研究结果也已转移到拐角周围的声学成像[11]。在这项工作中，我们的目标是提供一个通用的描述直接反弹（第三次反弹）NLOS测量，并显示多少信息，他们编码，以及如何影响实际的NLOS成像问题。考虑图1所示的NLOS重建。它包含三个非常相似的补丁，只是略有不同的方向，并有不同的位置，在反射空间。然而，当其中两个补丁被重建时，10140CB a一BC一BC10141清晰准确地说，第三个在重建中完全缺失了对先前发表的结果进行更仔细的检查发现，使用各种不同的重建方法在recruitment c- tions中可以看到类似的伪影。重建过程中缺少具有某些法向量的曲面或选择具有简单曲面的场景来避免这一问题。本文的主要目的就是解释这一现象。正如我们下面所示，任何NLOS测量都可以表示为一个积分算子，在文献中称为椭圆Radon积分。我们在傅立叶域中分析了这种测量函数，并表明测量空间的很大一部分没有被NLOS测量访问，因此代表了NLOS重构的零空间。最后，我们研究了常见场景和场景特征的傅立叶域表示，以识别落入零空间且无法重构的特征。由于我们的分析涉及NLOS测量的一般描述，因此它与所使用的重建算法无关。我们希望我们的研究结果将告知逆解设计和未来的NLOS reprofec-tion方法。2. 相关工作NLOS重建的属性陈述有时包含在重建算法的演示中。例如，分析了可用的分辨率[3，13]。由于基本的正演模型与计算机断层扫描问题（Radon积分）具有相似的根源，因此可以通过相关问题对该问题进行更广泛的研究Radon积分在超声成像和医学计算机断层扫描中的应用已被研究[20，15，12]。有限大小的采样孔径的效果类似于缺失锥体问题，该缺失锥体问题是医学计算机断层扫描（CT）成像中广泛研究的主题[5，1]。Radon积分可分为经典Radon积分（平面）、球面Radon 变 换 （ SRT ） 和 椭 圆 （ 椭 球 ） Radon 变 换（ERT）。平面Radon变换及其高维模型[4]在CT领域是众所周知的。球面Radon变换（SRT）及其逆解设计可以在[20，15]中找到。用于共焦测量设置的类似逆公式适用于超声[15]和NLOS成像[13]中使用的SRT模型。椭圆Radon变换（ERT）已由Moon等人研究。[12 ]第10段。在[6]中提出了ERT的逆方法，与NLOS非共焦滤波反投影方法[18，7，3]相似3. 贡献我们在这项工作中的贡献如下：• 我们制定了一个通用的测量方程的飞行时间NLOS成像有限的可见墙的大小和分析的信息采样的NLOS捕获过程中的空间频率域。这使我们能够对测量空间中的可见和不可见特征进行陈述，这些特征独立于所有线性确定性重建方法。• 基于该模型，我们分析了一些常用的场景特征，得到了一个简单的规则来预测非视线成像的特征可见性。• 我们用实验数据证实了我们的结论• 为了进一步证明缺失数据的性质，我们还提供了一个示例性的挑战场景。这样的场景导致相同的NLOS测量数据集，尽管具有不同的场景几何形状。4. 非视距成像问题在本节中，我们将通过介绍NLOS测量函数及其属性，提供用于以一般方式对NLOS成像问题建模的基本算法工具然后引入有限孔径非视线成像的概念，它导致了测量空间的不完整这种不完整的测量空间对于下一节中处理我们在空间傅立叶域中的测量分析是必不可少的五、4.1. NLOS测量功能NLOS测量场景如图2左侧所示，两种测量设置如子图a和b所示。在NLOS测量中，场景从点pi（照明位置）被照明，并且在特定时间间隔t之后在检测点Pd（检测位置）处记录从场景返回的光。pi和pd都在中继墙的有限区域内，我们称之为NLOS采样孔径。在实践中，由于远程检测，该采样孔径受到有限视场的限制。我们使用f（p）来表示我们想要恢复的未知3D场景。这里，f（p）是存储空间中的反射率值的向量p=（x，y，z）我们假设均匀散射，因此反射率值与角度无关。函数g表示在照射位置pi和检测位置pd处的一个单个时间响应测量。因此，每个时间分辨测量g（pi，pd，t）是照射位置pi、检测位置pd和时间t的函数。NLOS测量由一组检测位置（检测网格）组成，10142a.（p i=p d）b.（p i，p d）f（p）f（p）图2. NLOS测量图示：面板a和b显示了两种流行的NLOS测量设置。 子图a显示共焦测量意味着照明点和检测点位于同一位置，而B示出了非共焦测量。a和b中的绿色曲线描绘了所获得的时间响应，即，沿每个圆（共焦情况）或椭圆（非共焦情况）的反射场景特征的集成墙壁上的单个或多个后续点照明 我们使用G ={g1，g2，g3，...， gn}来表示所有测量。 我们首先集中于说明从f（p）到一个单个测量g（pi，pd，t）的变换。则vatures。因此，我们也考虑两个简化的场景。如果我们只允许pi=pd的测量，我们得到共焦NLOS测量（图2a）∫简单地理解f（p）的变换到整个测量集G。图1的子图a和bg（pi，pi，t）=δ（2·di− t·c）·f（p）dp。（二）R3图2表示共焦和非共焦测量设置。由于非共焦情况是NLOS测量的更一般版本，因此我们从非共焦测量开始我们的正演我们可以使用积分算子A：f（p）→ g（pi，pd，t）来表示从未知函数f（p）到给定检测和照明位置以及时间g（pi，pd，t）的时间测量的线性变换。这导致NLOS测量方程：∫这种没有强度项的积分在文献中也称为球面拉东变换（SRT）[20，15]。近似测量函数的另一个有用的工具是用与椭球相切的平面上的积分局部地这是指在本地卷上集成的放大版本。由于积分是一个线性算子，因此测量可以表示为所有单个输入的叠加（线性）。对于每个单独的输入，g（pi，pd，t）=δ（di，dd）·δ（di+ dd− t·c）·f（p）dp。R3（一）积分形式可以用平面积分来近似这意味着：我们将未知的3D函数f（p）线性化，在文献中，该积分通常被称为El-椭圆Radon变换（ERT）。这个方程中的δ函数核描述了积分的几何形状，c表示光速。为了简化符号，我们使用距离项di=|p−pi|D D=|p−pd|它们分别表示积分变量P和照明/检测位置之间的距离。术语λ（di，dd）代表与光行进的距离相关联的强度下降。 这个强度项通常不包括在ERT中，但是我们在此治疗中添加了它，因为需要正确建模物理局部函数f1，f2，...，fn，其存储表示3D图像的特征。每个局部函数表示立方体体积内不同位置的局部模式，使得每个子空间仅包含椭球的小部分。每个椭球g（pi，pi，t）在该子空间内可以由平面g′（t，θ，φ）近似，其中平面角θ和φ使得平面法向量指向椭球的中心，并且t与椭球中心和平面之间的距离的两倍成在极坐标中，这产生∫∫∫∞测量过程可以执行积分（1）对于具有不同厚度的薄椭圆体表面的整个族，′（θ，φ）（t）=f（x，y，z）·（3）−∞耳源性病灶Pi和Pd。从位置进行的任何一组NLOS测量可以将NLOS孔径区域内的测量函数表示为这些测量函数的集合。方程（1）中的积分很难解析处理，因为非常数曲线。δ（sin θ cos φx + sin θ sin φy + cos θz − t·c）dx dydz。该平面近似之前已在[18，7]中描述，以近似来自非共焦条纹相机测量的NLOS成像结果。它也类似于未知目标物理设置不可见孔径有限孔径G10143.当使用局部变化的点扩展函数的分段定义时所做的近似的性质，如在点扩展函数反卷积问题中所做的那样。最重要的是，我们提供了基本的工具来描述我们将在第5节中使用的NLOS正演模型。在那里，我们提供了我们的主要工具来分析不完全测量空间效应。我们的想法是模仿收益率∫∫Fu{fproj（u，0）}=∫∫=∫∫f（u，y）e−j2πfuududy（4）f（x，y）e−j2πfxxdxdy.−j2π（f x+f y）.通过由调制传递函数在傅立叶域中示出信息内容，=f（x，y）eXydxdy。.fy=0(MTF)取决于给定的有限孔径。5. 傅立叶域中的NLOS测量f（p）的一部分的测量的完整描述可以被描述为所有g（pi，pd，t）的集合，其中pi和pd在NLOS孔径平面中，并且t使得测量椭圆体穿过f（p）。为了深入了解通过该测量采样的场景中的图案，我们希望在傅立叶域中分析它们。傅立叶域NLOS测量函数可以理解为NLOS成像的调制传递对于平面Radon变换（PRT，等式（3）），可以使用投影切片定理解析地计算g′的Fπ变换5.1. 投影切片定理投影切片定理（PST）是众所周知的，并广泛应用于计算机断层摄影领域和其他领域。我们将在这里对2D版本进行简短的解释; 3D版本在补充文档中示出。PST提供了一个使用投影的优雅工具（即，积分）沿着未知2D场景的平行线：它表明，这种投影的1D傅立叶变换实际上表示通过未知场景的2D傅立叶频谱的原点的一条线。对不同的投影角度重复该过程提供了缺失的线;然后通过逆2DFT容易地实现场景重建。未知的2D函数由f（x，y）表示。让我们先假设投影角θ为零。投影取决于相对于原点和垂直于投影方向的位移u，由[2]∫∫这对应于未知函数f（x，y）在fy=0的线处的2D傅立叶变换。以不同角度θ重复投影产生2D傅立叶变换的对应线;注意，空间域中的旋转对应于频域中相同角度的旋转。通过考虑从0到2π的所有角度θ并将所有傅立叶谱线相加，然后可以通过逆2D傅立叶变换来重建全函数f（x，y）建议在逆傅立叶变换之前应用高通滤波器，因为高频由于谱线在原点相遇而未被充分表示，但是对于更高的频率发散，这意味着对于这些频率可用的信息更少。这被称为滤波反投影[4]。在3D情况下，沿着平行平面的投影和每个平面的所计算的（标量）投影值的后续1D傅立叶变换提供f（p）的3D谱的一条线。围绕原点旋转投影平面提供了沿着通过该投影平面的所有线的光谱。起源详见补充文件。5.2. 局部傅里叶锥图5的左侧部分示出了两种情况下的测量，其中照明和检测点共同位于中继墙的任一侧的a或b处在该图的中间，我们可以看到，针对这两种情况所收集的时间响应是沿着相对于继电器壁成角度Θ1或Θ2的方向的投影。 精确投影是沿椭球体进行的;然而，我们把这些近似为平面。如图5右侧所示，傅立叶切片定理指出，在原始域中以角度Θ沿着平行平面的场景投影的1D傅立叶变换等于场景的2D傅立叶频谱中以角度Θ的切片要创建一个圆锥体，我们只需在中继墙上的所有可访问点绘制相应的线。通过使用有限尺寸的中继墙，光谱的黑色部分不包含在任何测量中。fproj（u，θ=0）=∫=f（x，y）δ（x−u）dxdyf（u，y）dy.空间和锥变化：如图3、给定相同大小的有限孔径，越接近考虑到体积与采样孔径的关系，该锥的可视角度范围越大（与图1中的位置1和位置4（3）第三章。此外，相对于孔径中心的u执行1D傅立叶变换也使该采样10144局部模式傅里叶谱场景…局部场景特征局部傅立叶谱场景特征1 2 3 4 5平面共焦非共焦图3. 局部测量MTF：未知几何结构中五个点的NLOS测量函数的傅立叶域表示。左图表示几何设置。我们构建了一个半米的有限孔径与五个不同的深度和水平偏移量的利益面板显示不同模型所有点的测量函数。平面对应于PRT，共焦对应于SRT，非共焦对应于SRT。对于每个点，第一列显示计算的图案，中间列显示放大的相同图案，右列显示在较高频率下校正较低值以增强可视化之后的放大图案图4. 本地场景特色：此图显示了红色框中的一组常见NLOS场景特征及其傅立叶变换。特征的旋转简单地对应于在傅立叶域中旋转相同的角度图案是（从左上到右下）光滑平面、粗糙平面、平面的边缘、两个表面之间的拐角、平面中的间隙，一个凸曲面和两个凹曲面。平面的光谱是一条直线。粗糙度、曲率和边缘导致光谱也覆盖傅立叶空间的其他区域。局部窗口限制墙图5.傅立叶切片定理与锥生成。在傅立叶域中的圆锥（参见图3中的位置2、3和5）。总的来说，除非孔径尺寸增加，否则在有限孔径的傅立叶域中将永远不会对该锥之外的事物进行采样。这意味着，例如，垂直于中继壁放置的壁具有傅立叶变换，除了频率0处的DC值之外，该傅立叶变换将在丢失的圆锥中完全消失，并且在不考虑丢失的圆锥的任何重建中都不能看到。模型有效性：为了验证该模型的有效性，我们对平面、共焦和非共焦情况进行了计算测量（固定照明作为中心处的一个焦点在离散模型中有一个可接受的误差，我们可以从图中看到。3.局部平面模型对共焦和非共焦情况给出了良好的边界估计。注意，我们在非共焦情况下固定一个焦点pi，从而产生更窄的MTF图案。通过移动非共焦照明光斑，该窄锥略微旋转，这可以在共焦测量中实现类似的角度覆盖。6. 场景特征本地场景特色：为了使用所提出的分析，我们需要将任何复杂的NLOS成像场景分解为简单的特征，如平面等。如图所示。4，其还显示了它们的傅立叶谱，该傅立叶谱定义了它们的可重构性，参见图5和以下段落。大多数简单特征可以表示为具有不同粗糙度水平以及边缘状不连续图案和曲率的薄表面。图案在空间中的旋转简单地对应于傅立叶域中的相同旋转。具有场景特征的MTF：为了评估yXΘ1不FYΘ2Θ1fxy不X频域Θ210145目标，我们必须考虑目标光谱和MTF采样锥之间的重叠。这将在结果中说明，见第6.2节。请注意，最有价值的信息被编码在锥体的高频分量中。圆锥的中心位于原点，因此对低空间频率进行采样。远离原点的高频分量是创建高分辨率重建所必需的。有限孔径不适定示例：任意目标的有限孔径非视线成像应视为一个不适定问题。考虑一个相对于有限孔径具有不同旋转角的简单贴片。一旦它面向采样孔径并位于其中心，其局部傅立叶频谱就被MTF傅立叶锥最佳地覆盖。然而，当贴片图案旋转时，其傅立叶图案也旋转相同的角度。一旦它旋转到每个局部圆锥所覆盖的角度之外，记录的信息仅包括傅立叶平面中的原点，对应于恒定或零空间频率。参见SEC中的实验6.2对于一个IL-y（x0，0）壁XXX这一效果的净化。总的来说，这意味着我们仍然可以看到一个结构（毕竟，有光回来），但我们实际上不能唯一地重建它。另一方面，包含高空间频率内容（如边缘或表面粗糙度）的局部图案具有宽得多的频谱，并且其至少一部分总是与测量锥重叠，使得其至少部分地可重建。经验法则标准：由此，我们还可以推导出场景补丁可见性的简单规则。由于平面场景片段由通过傅立叶域中的原点的线表示，因此如果线位于采样锥内，则片段将完全可见，并且如果其处于锥外的角度，则片段不可见。在原始域中，这意味着一个线段只有在其法向量指向中继墙时才可见。图6.三墙的例子第一列表示几何形状，第二列表示从t（i）进行强度校正后的测量g（i）。前两行中的场景导致相同的捕获数据。如图6所示，未知目标是一面光滑的墙，与中继墙成一定角度，用δ（cos（θ）x−sin（θ）y）表示，y≥0。对于共焦NLOS测量，我们的照明和检测共同位于x轴上，这意味着pi=pd=（x0，0），x0≥0。由于距离校正只是在每个给定的时间索引i处放大信号，因此我们使用符号C（i）来表示该校正项。我们使用项g（i）来表示在每个时间索引i处的反射率积分。通过将这个特殊函数插入Radon积分，我们得到以下方程：∫∞ ∫∞总的来说，对于NLOS成像场景，更高的spa-未知目标的瞬时频率分量随后导致瞬时测量中的更多波动g（i）=C（i）·δ（cos（θ）x−sin（θ）y）·0 −∞δ（（x-x）2+y2-（c·i）2）dxdy。（五）由于这个原因，它们导致实际看到02的机会更高目标通过使用所有确定性线性逆解从一个有限的光圈。6.1. 完全不可见的特征示例为了进一步证明存在一个单一的、重建独立的零空间，我们提供了一组示例场景，这些场景足够简单，可以对共焦测量集进行分析处理。为此我们通过执行距离校正C（i）以考虑来自强度下降的失真，测量g（i）简单地表示未知空间中的一组反射率积分。利用对于cos（θ）x=sin（θ）y，δ（cos（θ）x−sin（θ）y）仅为1的事实，我们可以用ytan（θ）代替x，并通过去掉积分变量x进一步简化方程如下：用特定函数代替f（p）以表示积分测量方程（1）内的场景特征，以及（二）、为了简化计算，我们只考虑共焦NLOS测量的二维场景。g（i）=C（i）·∫∞（2）（1）（2）（3）（2）（3）（0c·i22）dy（六）光滑墙壁示例（挑战场景）：从这个等式中，可以清楚地看到，最终的含义是：y（x0，0）角度y（x0，0）g（i）12x0/cg（i）12x0/cg（i）21Xmin XMax10146图7. 简单的字母S和矩形贴片旋转实验第一行表示设置的示意图，包括整个可见壁、有限孔径、目标（字母S和贴片）以及重建体积。接下来的两行显示了沿深度维度的最大投影，因此提供了2D鸟瞰图和2D前视图。为了清楚地说明，我们使用两种颜色（明亮和黑暗的视图）呈现结果。字母S和矩形贴片的厚度约等于5cm和0. 5厘米随着角度的增加，不适定效应变得更加明显，并且在测量空间中丢失了某些特征，因此无法通过重建当整数（tan（θ）y-1）中的核为零时，保证可以被看作是在任何给定时间indexi的x）2+y2−（c·i）2=0。这个抛物型方程可能有一个整个目标都在傅立叶锥之外我们只能在最终的重建中重新解决边缘处的高空间频率模式020，1或2个固定θ，x0的解。这意味着最终测量g在任何给定时间可以是0、1或2。德克斯一个简单的观察是，一旦壁达到角度θ=π/2，则对于孔径线上的所有pi=（x0，0），x0≥0， 具有不同壁旋转角度的信号g在图6中示出。因此，具有角度大于θ=π/2的墙壁的所有场景产生相同的NLOS数据，并且因此在没有任何先前约束的情况下不可将此处理扩展到3D空间会导致更复杂的方程，因此指导性较低。这是进一步研究的主题。6.2. 实验我们进行了两个实验的不适定的情况下，首先预测我们提出的局部锥模型。对于重建过程，我们选择滤波反投影[18，7，3]而不进行阈值处理。对于可视化，我们在前视图中选择沿深度维度此外，我们提供了一个最大的投影鸟瞰图.在图7中，我们展示了一个旋转字母S和平面贴片的例子。如结果所示，当直接面对有限孔径时，简单的贴片图案是完全可分辨的在这种情况下，所有面片法线都指向中继墙孔径。当目标旋转时，法线开始指向光圈，平面开始消失。由于上面讨论的傅立叶锥中的局部变化，不是所有的目标块同时消失。最终，所有面片法线都指向光圈之外，另一个包含三个补丁的示例已在图1.现在手头有了理论工具，我们在图中看到。图8示出了两个片a和c具有相同的幅度谱，但是由于空间相关的测量锥，仅捕获片c因此，在重建中，该补丁几乎完全不可见。7. 讨论和结论使用有限孔径NLOS采样测量和一个简单的补丁目标，下面的陈述可以基于我们提出的模型不可分辨的场景特征。• 考虑直接面向采样孔径窗口并位于采样孔径窗口内部的贴片。它越接近采样壁，它就变得越可分辨，重建质量也就越高。• 在未知体积中偏移或旋转的目标曲面仅在其法向量指向中继墙孔径时可见。• 虽然不可能重建丢失的补丁，但我们可以检测是否存在丢失的补丁，因为它们仍然反射光线。• 在比较不同逆方法之间的重建质量时，了解测量中有多少信息是很重要的可视墙有限孔径字母S贴片重建体积二维图像投影10147局部空间模式局部场景傅立叶谱获得锥重叠测量图8. 解释图中缺失的功能。1测量锥显示为灰色区域，说明了NLOS测量实际获取的傅立叶频谱部分。它随着要重建的3D空间中的位置而变化。场景的片a和片c都以相同的方式定向;空间偏移仅对应于傅立叶域中的相移，而不是幅度谱的变化。这意味着两个片具有相同的幅度谱，但是由于测量锥在它们各自的位置处不同的事实，片c的测量仅捕获偏移而不是谱的其余部分。因此，无法重建此修补程序。空间这意味着未来的数据集和研究应该指定采样孔径/目标位置以及采样孔径大小。我们的陈述适用于任何NLOS测量，只涉及来自隐藏场景的直接（第三次反弹）光。缺失的特征可以通过利用高阶反弹的算法来重建，或者缺失的信息可以使用先验来填充。这种孔填充解决方案不同于成像中常见的去模糊和去噪声任务。我们推导出的调制传递函数在傅立叶锥外为零（与高斯函数非常小这意味着基于去卷积的去模糊方法将失败，即使是无噪声数据。有限孔径非视线场景是未来反演方法设计中必须了解的所有的确定性线性反演方法都只能恢复包含在有限测量空间中总的来说，基于我们的局部MTF采样锥模型，很容易看到这种有限孔径问题。通过允许拐角处的任何目标，某些场景特征可能不被在不完整的测量空间中被很好地表示或完全缺失。未来的反演方法设计应该超越确定性反演方法，通过在反演模型中添加先验约束来专门考虑这种不适定的有限孔径问题。在这项工作中，我们只提供了一个近似的解析模型，我们备份与精确函数的数值计算。傅立叶锥的精确解析表达式是进一步研究的主题。致谢这项工作是由DARPA通过DARPA REVEAL项目（HR 0011 -16-C- 0025），NASA NIAC计划，AFOSR通过青年研究者计划（FA 9550 -15-1-0208）和DURIP计划（FA 9550 -18-1-0409）资助的。引用[1] M.本宁角布鲁内M. 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