基于自旋玻璃的新型局部搜索算法及其在投资组合选择中的应用

制作和主办：ElsevierEgyptian Informatics Journal（2012）13，65开罗大学埃及信息学杂志www.elsevier.com/locate/eijwww.sciencedirect.com原创文章基于进化雪崩的混合局部搜索算法在自旋玻璃投资组合选择中的应用Majid Vafaei Jahana，*， Mohammad-R.Akbarzadeh-Tb，ca伊朗马什哈德伊斯兰阿扎德大学马什哈德分校计算机工程系b伊朗马什哈德费尔多西大学电气工程系c伊朗马什哈德费尔多西大学计算机工程系收稿日期：2011年12月29日;修订日期：2012年3月23日;接受日期：2012年2012年5月15日在线提供摘要当今，各种自然过程的模拟被用来更快、更准确地解决具有挑战性的优化问题。特别是基于自旋玻璃的优化，已经显示出强大的局部搜索能力和并行处理。然而，通常，自旋玻璃具有低的收敛速率，因为它们使用蒙特卡罗模拟技术，例如模拟退火（南非）。在这里，我们研究了一种新的混合局部搜索方法的基础上自旋玻璃（SG）使用自适应分布式系统的能力，极值优化（EO）使用进化局部搜索算法和SA逃离局部最优状态和陷阱的全球。该算法通过选择和改变具有更高概率的低阶自旋来改善自旋状态;在足够的步骤之后，系统达到高相关性，其中几乎所有自旋都已达到高于特定阈值的拟合度并准备雪崩;该活动可能使任何配置都可访问。因此，雪崩允许逃离局部极小值并有效地探索配置空间。结果表明，该策略比传统的SA和EO算法具有更快的收敛速度和更好的性能。然后将所得结果用于解决投资组合选择多目标问题，这是一个非确定性多项式完全（NPC）问题。这一点得到了全球五个主要股票市场的测试结果、可靠性测试和阶段测试的证实。*通讯作者。电 子 邮 件 地 址 ： VafaeiJahan@mshdiau.ac.ir （ M. V. Jahan ） ，Akbarzadeh@ieee.org（Mohammad-R.Akbarzadeh-T）。1110-8665© 2012计算机和信息学院，开罗大学。制作和主办Elsevier B.V.保留所有权利。开罗大学计算机和信息系负责同行审查。http://dx.doi.org/10.1016/j.eij.2012.04.002关键词自旋玻璃（SG）;极值优化;模拟退火;投资组合问题;相变66 M.V. Jahan，M.- R. 阿克巴尔扎德T最后，将该算法与神经网络（NN）、禁忌搜索（TS）、遗传算法（GA）等启发式算法进行了比较。©2012计算机和信息学院，开罗大学。由爱思唯尔公司制作和主持All rights reserved.1. 介绍与人工神经网络、遗传算法和蚁群系统类似，自旋玻璃是一种受自然规律启发的范式。然而，与许多较老的同类产品相比，自旋玻璃的主要区别在于其独特的分布参数优化，强调强参数相互作用。更具体地说，自旋玻璃模型是由于它们之间存在磁性而相互作用的自旋系统。这些自旋经常改变它们的数量以达到较低的能级。当系统处于最低能量（或最低温度）状态时，自旋状态不再有可见的变化与大多数其他优化算法（例如GA（遗传算法），其中每个染色体表示完整的解决方案）相反，每个旋转仅是整个解决方案的一部分。通过玻璃中许多自旋的相互作用可以找到完整的解决方案。因此，自旋玻璃范式是自适应分布系统的一个有前途的范式。此外，自旋玻璃模型具有许多特性，包括每个自旋与相邻自旋的有限相互作用[2]，优化（基态）状态随自旋玻璃键数增加的非指数增长考虑到这些能力，许多优化问题可以使用这种分布式设施解决[2]。然而，与许多其他启发式方法一样，当问题维度增加时，找到基态的收敛速度很低[5]。更具体地说，据报告，这是更传统方法（如前面[5，6]中报告的SA）的一个挑战性方面。为了加快自旋玻璃这将与任意选择自旋的标准方法相反。在本文中，我们通过将SA与局部搜索策略相结合来解决这个问题，特别是EO[8]。另一方面，在EO中，选择具有最低能量的自旋以更高的概率改变其状态。这个方案是可行的，因为改变每个自旋会影响其他相邻的自旋，所以它们也会改变。如果总的变化导致玻璃能量的降低，则玻璃的整体状态改善，并且自旋之间的相关性增加。因此，每个自旋状态的任何变化都会导致玻璃的主要部分重新排列。2001年，Boettcher和Percus将这种特性比作雪崩，可以更快地调查不同自旋玻璃不需要用精确的值来调整控制参数;这是EO[9]的巨大优势;但这个优势等于缺陷：这是局部最优的陷阱因此，EO快速但不准确。相反，SA是缓慢但准确的。本文提出了一种新的混合局部搜索方法，该方法基于自旋玻璃（spinglass），利用自适应分布式系统的能力，采用进化局部搜索算法（EO），采用模拟退火算法（SA），以摆脱局部最优状态并进入全局最优状态。该算法被命名为（EO-SA），需要诸如温度（来自SA）的调谐参数、诸如除排序之外的自旋选择方法（来自EO）和诸如邻域自旋相互作用的局部相互作用（来自自旋玻璃）。第2节回顾了自旋玻璃在解决最优化问题中的各种应用。第3节提供了自旋玻璃的数学描述。投资组合选择问题将在第4节讨论。本节还将解释如何将此问题映射到自旋玻璃上。然后在第5节中给出了算法EO-SA。在第六节中，给出了将上述算法应用于世界上五个著名的股票市场的实验结果，并将其收敛速度和精度与其他启发式方法进行了比较。第7节研究了算法的可靠性测试及其性能有效性。在第8节中，将得到的帕累托边界与基准帕累托边界进行比较;最后在第9节中，对相变进行分析。对EO-SA和SA算法进行了分析2. 文献综述在一般的各个领域，特别是物理学领域，有大量关于自旋玻璃的现有文献为了简洁和更好的重点，我们在这里关注的是与工程相关的研究，特别是优化，其中文献相对较少。最小成本问题和匹配问题是这类问题的两个例子[10]。在最小代价问题中，利用Dijkstra算法求边代价为非负的有向网络中的最短路径，可以得到随机环境中所有能量为非负的在匹配问题中，具有自由边界的最近邻相互作用的正方晶格上的二维自旋玻璃模型的基态可以映射到一般图的匹配问题[2，10，11]。1999年，Gabor和Kondor[12]第一次使用自旋眼镜来解决投资组合选择问题。在他们的论文中，他们使用了与Hopfield神经网络类似的能量函数[13]。2001年，Nishimori[14，15]考虑了自旋玻璃在噪声信道中传输信息的应用2004年，Horiguchi et al.[16]提出了一种基于自旋玻璃的自适应计算机网络路由算法。2009年晚些时候，Vafaei和Akbarzadeh-T[6]引入了迁移和精英主义算子来寻找只有有限数量键的自旋玻璃的基态，即短程自旋玻璃。在那里[6]，作者利用了自旋之间的局部相反，我们在这里考虑的短程效应自旋相互作用的研究。EO启发式首先受到1993年生物进化的Bak-Sneppen模型的启发XX¼ ð Þ2我t1/2WbitEf xig ¼ -2“#“#N基于自旋玻璃的投资组合选择的通过进化雪崩的混合局部搜索算法67合作物种（Spins）分析了该方法在求解最优化问题中的一些应用，包括求解旅行商问题[11]，图受N1/1xi¼1 4划分[17，18]、图着色[19，20，31]、社会建模[21，32]、复杂网络分析[22]和分子动力学更具体地说，EO受到自组织临界性（SOC）的启发，这是一个统计物理概念，用于描述一类具有临界点作为吸引子的系统[24]。在SOC中，不需要用精确的值来调整控制参数。0 6x i6 1;i¼ 1;. ; N5其中N是不同资产的数量，li是资产i的平均收益，rij是资产i和j的收益之间的协方差。决策变量xi表示投资于资产i的资本比例。 等式（2）和（3）是两个成本函数，应使用约束条件（4）和（5）求解。li是指重-正是受到这一原则的启发，EO推动系统远离资产i在n个时间间隔内的周转次数，即l/4Pn我是说-我是说，均衡：除了排名，不存在可调参数，新的解决方案被不加区别地接受[24]。3. 自旋玻璃模型自旋玻璃是一种可以用来研究由大量简单元素组成的物理系统的集体性质的模型。这种范式的重要特征是这些基本成分之间的相互作用产生一种集体现象，例如稳定的磁化方向和金属或合金的结晶状态。在伊辛自旋玻璃模型[1，25]中，晶格点上的伊辛自旋具有两个可能值（方向）之一（即，±1或上下）。通过将伊辛自旋玻璃模型推广到 XY自旋玻璃模型（下文称为自旋玻璃模型，其中，Wbi是开始时的第i个资产值，Wei是第i个资产值在每个区间结束时。投资组合选择问题的一个可行解是最优解，如果没有其他可行解改善一个目标而不恶化其他目标。通常，多目标优化问题（如[28]中的问题）具有多个非主导最优解。这组解决方案构成了一个有效的边界。对于Eqs中定义的问题。（2）─（5）有效边界是一条递增的曲线，它给出了平均收益和方差（风险）之间的在本文中，我们将多目标问题转化为具有单个目标函数的多峰问题，如下所示：尽量减少XNXNel）[2，11]，每个自旋可以指向平面中的任何方向，而不仅仅是两个可能的方向。描述自旋玻璃的合适的理论模型包括：k·联系我们xirijxjNþð1 -kÞ: -1/1lixið6Þ在d维晶格的规则位置上的N个具 有 线 性 延 伸 L ， 例 如 ， 二 次 （ N=L2 ） 或 三 次（N=L3）。自旋与相邻自旋发生铁磁或反铁磁相互作用.这种网络的能量来自两种贡献[4，25]，如下所示受xi¼1 7限制1/10 6x i6 1; i1;. ;N 和06k6 1 8这里，k=0.5，风险和回报的影响相等“1XNXm#“XN#xiJ ijxj-hixi5.用旋转玻璃ð1Þ为了解决投资组合选择问题，如[6]中所研究的，每个其中，E（{xi}）是所有自旋的能量;i，j的和覆盖所有自旋，最 近 邻 对 ; m 是 每 个 自 旋 i 的 最 近 邻 的 数 量 （ 在 VonNeumann细胞自动机（CA）中可以是m = 4，或者在MooreCA [26]中可以是m = 8，或者对于完全连接，m = N）; J ij表示连接自旋i和j的键的强度。 J ij> 0描述铁磁相互作用，而J ij<0描述反铁磁相互作用。量hi是作用在自旋i上的外场，描述了由于自旋方向而产生的能量。此外，因子1校正了每两个相邻自旋之间的相互作用的重复计数这里的任务是找到一个自旋配置xi，最小化自旋玻璃的能量，给定{J}和{h}。资产应该是具有0和1之间的值的自旋。这种自旋的玻璃（网络）具有如等式中所示的能量函数。（一）.为了解决Eq中的投资组合选择问题。（6），观察到以下关系：2019年12月29日hi¼1-kli10等式（9）和（10）分别指自旋之间的相互作用和每个自旋的外场能量寻找最佳解决方案首先将每个自旋初始分配给1（或随机分配）。 然后，任何各种搜索4. 投资组合选择问题伊日可以使用的策略，为了把系统在其迷你，妈妈能量在任何时刻（自旋翻转或自旋改变），随机选择一个自旋，并将e添加到自旋那么邻居的价值-让我们考虑MarkowitzXNXN自旋以这样的方式变化，即它们总是满足约束（7）和（8）。Min联系我们XN1/1xirij xj5.1. 一种混合进化局部搜索算法（与在每个队列中随机选择自旋的上述SA方法相比，具有最低局部能量的自旋（来自等式（14）避免联系我们1/1Maxlixi3n2.1-s1sk1e.m.X不Mxj：=0，并将差值加到xi上。考虑到最后两种情况下，第二个约束（方程。（8）也保持。68 M.V. Jahan，M.- R. 阿克巴尔扎德T局部最优解在这里，自旋是根据它们的局部能量排序的在每一步中，（14），具有较高的概率给予较低的能量自旋。在几次迭代之后，因为玻璃朝向较低能量移动并且每个自旋影响其相邻自旋，所以许多自旋具有比它们的初始值（即，等式（1）中的给定值）更低的能量（13）减少。因此，系统在这种状态下，任何小的变化都会导致系统中的重大变化，因此预计大多数可能的状态都是可访问的。因此，人们可以很容易地摆脱局部最优解，并调查系统的最算法（1）描述了如何将EO-SA方法应用于自旋玻璃。温度和冷却计划在SA策略中起着核心作用[29]。系统的温度通常被初始化为一个高值，以允许所有可能的状态是最初可产生的，即更多的全局探索。然后系统逐渐冷却，以允许更好的局部搜索。为此，玻璃的温度被认为是初始设置为T0=1（在高温下，所有状态都可能发生）。每次应用更改时。温度逐渐降低，直到接近零度。温度变化计算如下：TnT0;nP111在该算法中， ki 是方程中每个自旋的局部能量。（十二）、自旋玻璃在上述算法中，Eold和Enew是应用变化之前和之后的玻璃这种基于SA的算法确保收敛到全局解，如果T是减少足够慢。然而，这也意味着缓慢的收敛速度。在下面的两个算法中，我们研究了两种基于给定标准选择下一个自旋的替代算法，从而旨在更快地收敛。在每个步骤中选择每个旋转取决于以下等式[2]：1-其中k是指所选自旋当s=0时，该算法的作用类似于SA，当s= f时，s选择具有最小能量的自旋。因此，可以预期，上述算法具有等于P kak-s的幂律分布，其中16k6 n [8]。5.2. 问题限制在Eqs中的两个约束。（7）和（8）在证券组合选择问题的算法中必须考虑。为了保持第一个约束，每当e被添加到每个自旋的值（xi：= xi + e）时，值e从每个自旋的值中减少。m个 邻居，x：1/4x-。这确保了所有的总和j jm的ki（十三）、1Xm2 j1自旋值保持为1。 如果x iP 1，则x i：= 1，并且其额外va-Lue从E减少。此外，如果对于每个邻居xj-e60，则Ef xig-n1/1ki136. 实验结果及分析所有的ki（14））。然后更改选定的旋转值。如果这种变化导致较低（较好）的玻璃能量，则可接受;否则，可接受的概率为e-DE：为了验证上述算法的有效性，将基准的基准数据的实验最初在[30]中进行。这些数据是从1992年3月至1997年9月期间的五个主要证券交易市场获得的。该五个证券交易市场包括香港恒生（31项资产）、德国德意志银行指数（DAX100）（85项资产）、英国金融时报伦敦证券交易所（FTSE100）（89项资产）、美国标准普尔这五个股票市场在可用时间段内的有效边界由等式2中的平均回报表征。（3）收益率的方差，如等式（1）所示。（二）、图1说明了基准数据的有效边界。如下进行三组测试以分析自旋玻璃行为。首先，比较了两种方法的自旋玻璃即EO-SA，以及更传统的SA方法。其次，将由此产生的有效边界与基准的有效边界进行比较。第三，对本文算法的可靠性和相变分析进行了测试，并与模拟退火算法进行了比较。所有的实验都是使用Borland Delphi 6.0在Pentium算法1：开始12初始化自旋玻璃并将所有自旋设置为N34计算每次旋转的ki，并将其排序为降序选择的自旋具有幂律分布，当量(14)根据计算的ki通过以下方式更改选定自旋i的状态e（非常小的变化）并且改变所有相邻自旋以满足Eqs。（7）和（8）5计算改变的自旋的能量及其6789相邻自旋E¼ E新PM1/1我如果DE 0则接受此更改，否则<如果DE> 0，则接受这个变化的概率为e-DE = E新- E旧DET随着温度的降低继续这个过程，直到DE在几次迭代(i.e.、该系统具有达到稳定状态，或T已接近0（系统已冷却）端ki¼xið12ÞJij· xj hi！基于自旋玻璃的投资组合选择的通过进化雪崩的混合局部搜索算法69图2SA、EO和图1来自五个主要股票市场的基准数据的有效边界，如[30]所述。2.0 GHz PC，在Windows XP操作系统下。应该提到的是，每个历元等于50个自旋千点子。6.1. SA、EO和EO-SA的比较如图2所示，所有三个自旋玻璃开始于类似的随机初始状态，并使用两种SA，EO-SA算法达到相同的最终状态然而，它们具有显著不同的收敛速度。 基于所有研究的股票市场的结果，在相比之下，SA方法具有简单的随机行为，并且缓慢地移动到基态。如图2所示，SA和EO-SA算法都接近基态。然而，EO算法陷入局部最优，波动远离响应范围。图 3绘制了最终自旋选择概率与自旋按选择概率水平降序排列。这一结论在S P股票市场进行的实验中得到了说明，对于EO-SA，s=这种状态发生在玻璃已经通过其瞬态时。表1显示了在上述三种方法中计算时间和到达基态的准确度之间的比较。虽然SA和EO-SA方法都6.2. 与其他化学品的现在让我们看看表2中的一些数值结果。该表是对论文[13]中表1的补充，图3在S P股票市场达到最终状态后，比较EO-SA（外部图）和SA（内部图）产生的自旋选择分布n是投资组合的规模70 M.V. Jahan，M.- R. 阿克巴尔扎德T神经网络方法与遗传算法、禁忌搜索算法和模拟退火算法的比较。表2允许我们的自旋玻璃（EO-SA）方法结果与论文[13]的结果之间存在某种一致性在表2中，显示了所述方法的准确度及其运行时间。准确度显示目标函数测量值与其实际值的接近程度，该实际值显示为实际目标函数（实际成本函数）值的“平均绝对误差”（MAE）。就计算时间而言，EO-SA是最有效的算法，其次是TS，GA和最终NN。与其它启发式算法相比这显著地提高了收敛速度，除了使用自旋玻璃的并行设施，这在论文[6]中进行了全面讨论。7. 可靠性试验通过使用相同的数据独立运行算法n次来进行可靠性测试[10]。为了通过测试，测试运行预计将产生具有小方差的类似结果。为此，对这三种算法的五个基准进行了可靠性测试。为了简洁起见，这里显示了标准普尔股票市场的分析。结果以频率图的形式显示在图1A和1B中。4和5.它是这样一种方式，自旋玻璃最终能量状态之间的方差在表1中给出。100次试验的结果表明，该算法的最终值具有较小的方差。换句话说，最终自旋玻璃在每次试验中的能量都在最佳反应范围内。尽管在上述算法中朝向该最终响应的运动是随机的，但它们一致地到达基态。8. 最优化前沿EO-SA算法的最终Pareto前沿 它显示了能量减少和避免局部最优的有效性为上述五个股票市场。还绘制了不同k对于具有帕累托边界，k被认为在0.05-0.95的范围内，具有0.05的差异。 对于任何k，自旋玻璃通过比较所得到的Pareto前沿和标准（基准）Pareto前沿，验证了所提出的算法在不同k 由于覆盖了整个优化前沿面，因此可以得出所提出的方法对任意k都给出响应。9. 相变分析相变温度定义为达到玻璃实际最低状态的可能性突然降低的温度图7示出了相变时的自旋玻璃温度可以看出，表1比较三种算法（SA，EO和EO-SA ）的准确性和收敛速度超过100 个独立运行的五个世界的股票市场。每个该方法根据收敛时间（以毫秒为单位）、运行期间的平均最小能量以及由获得的最小能量与实际最小能量的比率定义的准确度来评估。股市EO收敛时间（ms）SA收敛时间（ms）EO-SA收敛时间（ms）平均最小能量-0.00336-0.00412-0.00335-0.00363-0.00142平均最小能量-0.0031-0.0038-0.0032-0.0029-0.00135准确度（%）平均最小能量-0.00337-0.00412-0.00335-0.00363-0.00142准确度（%）准确度（%）恒生（31资产）DAX（85资产）FSTE（89资产）标准普尔（98资产）日经指数99.2099.1099.2099.3698.91214019111250402282821404592.2692.2395.5279.9495.078336064774125978976112534091616990489810399.4099.1899.2499.398.89EE民GS基于自旋玻璃的投资组合选择的通过进化雪崩的混合局部搜索算法71表2所提出的EO-SA自旋玻璃、GA、TS和NN之间的比较每种原料的玻璃基态计算100次，并列出收敛时间（运行时间）和准确度的平均值。所提到的GA、TS、NN的实验结果数字摘自论文[13]。股市EO-SAGATSNN恒生（31资产）Mae0.261.13211.12371.2316运行时间124716390DAX 100（85资产）Mae0.27842.44572.66681.5776运行时间21162451069FTSE（89资产）Mae0.66190.73100.73571.2513运行时间27160511106S P（98资产）Mae0.5711.32361.31301.7922运行时间31178501211日经指数（225资产）Mae0.94111.14150.55101.4737运行时间3015701202827图6EO-SA算法获得的有效前沿图5S P股票市场s = 0.9时的相变前达到最小状态的概率。Egs接近1（E是玻璃的基态能量，并且随着温度的升高，这种可能性逐渐降低，但这种降低直到达到相变温度附近才发生，此时玻璃行为发生突然变化在这里，相变是去-当似然比Eg 降低了min百分之一如图7所示，大多数基准在1.12· 10- 6温度下达到相变（如图7所示）。垂直线）用于SA算法。如图8所示，与SA相比，使用EO-SA的大多数基准上述相变分析也证实了表1的结论。具体地说，本实验表明，在EO-SA中Emin是成本函数的实际最小值 作为温度-因此更好的收敛速度。图4标准普尔股票市场的SA可靠性检验（其中Egs是基态下的玻璃能量72M.V. Jahan，M.- R. 阿克巴尔扎德T实验结果表明，EO-SA算法优于此外，没有SA的EO具有更快的收敛速度，但精度不可靠;这也得到了可靠性测试的证实。为了证明算法的性能，将该算法得到的有效前沿与五个主要股市基准数据中提到的标准有效前沿进行了引用图7五个基准股市数据基于SA的投资组合选择相变现象，相变温度约为1.12· 10- 6图8五个基准股市数据基于EO-SA的投资组合选择相变现象10. 结论本文提出了一种基于EO-SA的混合方法来寻找自旋玻璃的基态。EO-SA方法以较高的概率选择具有最小能量的自旋。因此，任何自旋的变化都会导致其相邻自旋的变化。如果所有这些变化都降低了自旋玻璃的能量，越来越多的自旋将被更好地限定，自旋之间的相关性也会增加。然后发生自组织临界过程，其中每个自旋的变化导致许多自旋的变化，使玻璃更容易摆脱局部最优。相变实验表明，相变温度升高，收敛速度加快。[1] Bolthausen E ， Bovier A. 旋 转 眼 镜 。 Berlin ， Heidelberg ：Springer-Verlag.[2] 放大图片作者：Hartmann AK.物理学中的最优化算法。威利-VCH出版社2002年。[3] 放大图片作者：J.理性决策，随机矩阵和旋转眼镜。J Phys A1998;259：449[4] 作者：J. J.统计力学与无序系统。J Commun ACM 1985;28（4）.[5] 克拉马·Y，施恩斯·M。复杂投资组合选择问题的模拟退火算法。欧洲歌剧研究杂志2003;150：546[6] Vafaei Jahan M，Akbarzadeh-T MR.从局部搜索到全局结论：迁移基于自旋玻璃的分布式投资组合选择。J IEEE Trans EvolComput 2010;14（4）：591[7] 张文，王文.学习自动机.北京：机械工业出版社. PrenticeHall; 1989.[8] Boettcher S，Percus AG.极值优化：一种进化局部搜索算法。神经，并行科学计算2002;10（2）：249-58。[9] Bak P，Sneppen K.简单演化模型中的间断平衡与临界性。物理学评论快报1993;71：4083[10] 放大图片作者：Hartmann AK.物理学中的新优化算法。威利-VCH出版社2004年。[11] Hartmann AK，Weigt M.组合优化问题中的相变，基础，算法和统计力学。威利-VCH出版社2005年[12] 加博尔，孔多尔岛带有非线性约束和旋转眼镜的投资组合。物理学A 1999;274：222[13] Fernandez A，Gomez S.使用神经网络进行投资组合选择。Comput Oper Res 2007;34：1177[14] 西森湾自旋玻璃和信息处理的统计物理学：导论。牛津：克拉伦登出版社，2001年.[15] 西森湾旋转眼镜和信息。Physica A 2007;384：94-9.[16] 张文忠，张文忠，张文忠.分组路由控制的伊辛模型物理快报A 2004;330：192[17] Boettcher S，Percus AG.图划分的极值优化。Phys Rev E：StatNonlinear Soft Matter Phys 2001;64 （ 2 Pt 2 ） ： 026114[Epub]。[18] 伯奇渗流阈值下图划分的极值优化。J Phys A：Math Gen1999;32：5201[19] 伯奇3-着色问题相变点的极值优化。物理学修订版E：统计非线性软物质物理学2004;69（6 Pt 2）：066703 [电子版]。[20] Boettcher S，Percus AG. 极值动态优化。物理学评论快报2001;86（23）：5211[21] 放大图片作者：A.基于极值优化的复杂网络社区检测。PhysRev E 2005;72（2）：1[22] 作者：John D，John D.自组织网络演化与极值动力学耦合。Nat Phys 2007;3：813[23] 周涛，白伟杰，程立杰. Lennard-Jones簇的连续极值优化。Phys Rev E 2005;72（1）：1-5。[24] 曾国勤，陆永中。相变与极值优化计算复杂性研究综述。在：联合48届IEEE会议上的决策和控制和第28届中国控制会议，上海，中国; 2009年12月16日基于自旋玻璃的投资组合选择的通过进化雪崩的混合局部搜索算法73[25] 巴-亚姆·亚内尔复杂系统的动力学艾迪生韦斯利朗曼公司;一九九七年。[26] Sarkar P.细胞自动机简史。ACM Comput Surv 2000;32（1）.[27] 马科维茨投资组合选择。J Finance 1952;7：77[28] Coello Coello CA.基于遗传算法的多目标优化技术的最新调查。ACM Comput Surv 2000;32（2）.[29] 因伯湖模拟退火：实践与理论。数学计算模型1993;18（11）.[30] 投 资 组 合 选 择 基 准 数 据 ; 2000 年 。

下载后可阅读完整内容，剩余1页未读，立即下载