关于L-拓扑群的度量化研究

埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society（2013）21，324原创文章L-拓扑群的度量化Fatma Bayoumi*，Ismail IbedouDepartment of Mathematics，Faculty of Sciences，Benha University，Benha 13518，Egypt接收日期：2012年11月19日;修订日期：2013年3月9日;接受日期：2013年3月20日2013年5月20日在线提供本文研究Ahsanullah（1988）定义的L-拓扑群的可度量化性。我们证明了对于任何（分离的）L-拓扑群，存在一个L-伪度量（L-度量），在Gaühler意义下，它是用L-实数的概念定义的，与这个（分离的）L-拓扑群的L-拓扑相容.也就是说，任何（分离的）L-拓扑群都是伪度量化的（可度量化的）。2000年数学次级分类：54A40？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍L-实数的概念是S. Gaühler和W. Gaühler在[1]中提出的。RL表示所有L-实数的集合。用所有正L-实数的RL的子集RωL定义集合X上的L-伪度量（L-度量），[1]中作者提出的一个度量，作为一个满足与通常度量条件相似的条件的Carnival乘积X·X到RωL本文利用L-伪度量（L-度量）研究了度量化[1]中引入了L-拓扑群的概念，*通讯作者。电子邮件地址：fatma_bayoumi@hotmail.com（法国）Bayoumi）。1现住址：KSA Jazan大学理学院数学系。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier在[2]和[3]中进行了研究。这个L-拓扑群被定义为一个具有L-拓扑的群，使得其逆的二元运算和一元运算都是关于这个L-拓扑的L本文利用作者在[4]中引入的L-拓扑群的一致化性，证明了任何（分离的）L-拓扑群都是伪度量化的（可度量化的）.在[4]中，使用了[5]中定义的集合X上的L-一致结构，以类似于通常情况的方式，作为L-滤波器， X·X。在本文的第二节中，我们回顾了Gaühler在[1，6-8]中定义的关于L-滤波器和L-实数第三节和第四节分别介绍和给出了L-度量空间和L-一致空间的一些结果，这些结果是证明L-拓扑群的度量性所必需的。我们将使用L-拓扑生成结构的概念[13]。在第五节中，我们证明了在[1]意义下的L-伪度量（L-度量）诱导（分离的）L-拓扑群的L-拓扑，即任何（分离的）L-拓扑群都是伪度量化的（可度量化的）。1110- 256 X？ 2013制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.03.012关键词可数L-滤器;可数L-拓扑空间;L-拓扑群;分离L-拓扑群;L-度量空间;L-伪度量空间L-拓扑群的度量化32522X2个月N M>N MN2 M NM2WN！ð Þ¼ ð Þ◦ ◦2_YVMVF2通过：F_¼x2Fx_。对于X的所有子集F，F_> N∈F_n成立。召回M1k1^· ·^Mnkn6su pk1· ·^kn，对于所有k1，. . . 、IL¼x2RωLjx61~，其中I=[0，1]是实单元间，aa2L0RFilterM onX通过：Mr._a对于所有k2LX.上（1）GT0，如果对所有x，y2X，其中x∈y，我们有x_ΔN∈y，或我是说，2. 关于L-滤波器在这里回忆一下关于本文所需的L-滤器的一些想法。用LX表示非空集的所有L-子集的集合X，其中L是具有不同的最小和最大值L-邻域滤波器。在下文中，将使用[16，17]意义上的拓扑，其将被称为L-拓扑。ints和cls分别表示关于L-拓扑s对每个L-拓扑空间（X，s）和每个x2X，映射N ∈x∈：LX！L元件 0 和 1, 分别 [14]第10段。 设L0X=Ln{0}且定义为：N xkintskx对于所有k2LX是L-滤波器，X，称为空间（X，s）在x处的L-邻域滤波器，L1=Ln{1}。对于每个L-集k2L，设k0表示复k的元素，定义为k0（x） =k（x）0，对于所有x2X。 对于所有x X和aL0，X的L-子集x a，其值a在x否则称为X中的L-点，X中具有值a的常数L-子集将被表示为a。L型过滤器。对于非空集合X上的L-过滤器，我们指[7]a映射M：LX！L，使得对于所有的a2L，M 11，也有M k^l1Mk^Ml，对所有k，l2LX。M被称为齐次的，如果M对所有的aL. 如果和是X上的L-滤波器，被称为比，表示为，提供KPk对所有k成立LX.通过¤我们的意思是并不比. 由于L是一个完全链，M <$N（）存在f2L使得M <$f<$N<<$f<$：和映射x_：LXL由x_k定义对所有的kLX，kx是X上的齐次L-滤子。L-邻域滤波器满足以下条件：(N1)x_> Nx对所有x2X成立;（N2）对所有的x2X和f2LX，都有<$N <$x <$x <$x <$<$int s f <$^N<$x <$^f <$。设（X，s）和（Y，r）是两个L-拓扑空间. 则映射f：（X，s）f（Y，r）称为L-连续的（或（s，r）-连续的），条件是对所有的L Y [8]都有int rlf6 int s（lf）.L-邻域滤波器F在X的一个普通子集F上，是X上的L- 滤 波 器 ， 由 作 者 在 [10] 中 定 义 ， 通 过 Nx;Wx2F 为 ：NFx2FNx。定义了L-滤波器F_设F LX表示X上所有L-滤器的集合，f：X f Y是一个映射，M; N分别是X，Y上的L -滤器. 则图像这里，L-滤波器k_和L-邻域滤波器N_k也在X的L-子集k处，其被定义为：M的和N关于f的原像是L-滤波器由y定义的FLfMonY和F-LfNonXFLfXk_¼x_0kx和 N ðkÞ¼0kxNx;2：1F-LfN kWlf6kNl，分别为lk2L。对于每个分别k_> Nk_n对所有k2LX成立[18].（1）A：B：C：D当F-LfN存在时，我们有FLfF-LfN>N。最后，对于X上的每个L-填充M，不等于M >F-Lf>F - Lf>M-L f[7]的文件。对于X上的L-滤器的任何集合A，关于L-滤器上的finer关系的下界M2A一般不存在。A的下确界M2AM存在当且仅当对于每个非空铁镍铁矿子集fM1;. ;Mngof一我们有22是实数。一个L-实数意味着[1]一个凸的，所有实数集R的正规、紧支撑和上半连续L-子集。所有L-实数的集合记为RL. R被规范地嵌入到RL中，用清晰的L-数a~来标识每个实数a，如果n = a，则a~（n）= 1，否则为0。所有正的 L- 实 数 的 集 合 被 定 义 和 表 示 为 ： RωL¼ 。f×2RLj×10~6×g，令knLX[6]. 如果A的下确界存在，则对于每个kLXn是一个正整数. 啊！ _M2Ak1^···^kn6k;Val. 注意，我们这里用6表示对RL定义为x6y（）x a16ya1和xa26ya2为 所有X，y2R1/4inffz2 RjxzPag和的1其中xLM 1;. ;Mn 2Ax a2 对于所有的x2 R L和所有的a2 L0，通过X上的过滤器，我们意味着LX的非空子集，¯在[7]中显示，类fRdjIjd2Ig[ fRdjIjd2Ig[ f0-jIg]是L-拓扑酰基的碱不包含0且在有限内集和超集[15]第10段。对于X上的每个L-过滤器M，LX的子集a-prM定义为L L LlogyI onIL，其中Rd和Rd是定义为通过Rd（x）=Δa>dx（a）和Rd（x） =（ΔaPdx（a））0对所有x2RL定义为：a-prM <$fk2LXjMkPag是X上的滤波器。和d2R，注意Rj，Rdj是R的限制XL的一个非空子集的族B称为val-ddILILd如果满足以下条件，则基于X使用L-滤波器(V1)k2Ba表示6个超级k。(V2)对所有a，b2L0和所有L-集k2Ba和l2Bb，如果偶bers定义为（x±y）（n） =Δg ， f2R ， g±f=n（x（g）xy（f））对所有n R. （RL，+）是单位元为0~的交换半群.L-实数x的正部x+定义为x+= 0 ~vx，其中~你好axb>0成立，则存在acPaxb和一个L-集m6kxl使得m2bc.每个有值的L-滤波器都以W=B=2L0为基础 在一个集合X上定义一个L-Ml2Ba;l6kx-x ¼ 0;x = xx=y=6x 时间：12：20GTi-空间。 一个L-拓扑空间（X，s）称为[9，11]：另一方面，每个L-滤波器可以由许多值生成其中，最大的一个，Pizza-prMizza2L0.(2) GT1，如果对于所有x，y2X，其中x≠y，我们有x_N≠y，并且我是说，M联系我们M1分别为L还记得x±y是L-实数，326F.巴尤米岛伊贝杜33×！×！2L..我X我我RLXXęXd(3) 完全正则的，如果对所有xRF和F= cl sF，存在L-连续映射f： <$X;s<$！使得对于所有的y2F，f∈x∈1且f∈y∈0。对于集合X上的L-函数族U，我们表示所有L-实函数f：XfilL。我们也有以下结果。(4) GT12 （或 L-吉洪诺夫 ），如果它 是GT1，常规.提案2.1（9每个GTi-空间都是GTi-1-空间，i=1，2，3，4，5，6。此外，GT3-空间、GT1-空间和GT 4-空间之间的关系也得到了很好的解释.2引理3.1. 设U是X上的L-函数族，且rf：X· X∈ L是一个映射，定义如下：rfx;yf x -fy;f2U：则rf是X上的L-伪度量。3. 关于L-度量空间的一些结果地图。：X XRωL称为X上的L-度量[1]，如果满足以下条件(1) n（x，y）=0当且仅当x=y（2）n（x，y）= n（y，x）（3）<$（x，y）6 <$（x，z）+<$（z，y）.如果. ：X XRωL满足条件（2）和（3）以及以下条件：（1）0（x，y）=0~ifx=y则称它为X上的L-伪度量。集合X具有L-伪度量（L-度量）子X称为L-伪度量（L-度量）空间。对于集合X上的每个L-伪度量（L-度量），正则地表示一个层化L-拓扑s，证据显然，rf（x，y）=rf（y，x）。从公式2.1中，我们得到：rf（x，x）=（f（x）-f（x））+=0~对所有x2X，而且rfx;yf x-fy6fx-f z fz - fyrf因此，rf是X上的L-伪度量。H引理3.2. 设ri：X·X∈ L，iI是集合X上的任意L-伪度量集。然后rx;yi2Ig也定义了X上的L-伪度量。证据只需要证明三角形不等式。对于所有x，y，z2x和所有i2i，我们有rx;y6rx;zr z;y6rx;zr z;y;fe. xje2E;x2Xg作为碱，其中。X：X！RωL是映射-ping定义为x（y）=（x，y），E <$f<$a^RdjRωjd>0;a2Lg [f<$aja2Lg;这里a有RωL作为定义域。L-拓扑空间（X，s）称为伪度量化空间（可度量化）如果存在X上的L-伪度量（L-度量）归纳s，即s=s。一个L-伪度量向量称为左（右）不变，如果. x;y 一个x;一个y。x;y 对于所有a;x;y2X，一个L-集k2L如果它的支持是有限的，然后是r（x，y）6r（x，z）+r（z，y）。因此，r是X上的L-伪度量.H在这里，我们已经证明了这一事实。引理3.3.集合X上的任何L-伪度量空间都是X上的L-度量当且仅当（X，s∈）是GT0-空间。证据令x，y2X和ynx。由于（X，s）是GT0-空间，则存在l2LX使得l<$x<<$b6intsl <$y <$对于某个b2L0.从定义的基础上的s的，因为d_0可数（有限），其中k的支持是集合{x2X0 0，使得n（x，y）（a）>0，因此取m1/2^Rdjωn。2L，我们知道证据 从六月开始。 je2 E;x2Xg是s的基，则对所有我的天啊！x;y x;zn2 N，集合B n^fe n nnn。xjen2 E;x2Xg，其中en<$1^RdjRω，是1-prNx，这意味着，d当d被选择为非常小的数时，该数趋于零。nLnW0在每一点处存在可数L-邻域滤波器N xx2X.因此，（X，s）是第一个可数空间。H但是ints。mx1^GT0-空间。 HgPd. 1.1. a. a. a. b. c. a. b. c. d. c. d.因此，（X，s）是aL-拓扑群的度量化327U_一_一l l rr一一一2UU22W22UUðU ◦ UÞðuÞ¼N对于所有的u2LX·X，且u-1（x，u½l]6ky2X一X一RLr乌迪内斯2ðUÞU 2U ¼a-pr U和 U ¼a-prU4：24. 关于L-一致空间4.1号提案[4]设（G，s）是L-拓扑群。则G 上 存在唯一的 左不变L-一致结构Ul和唯一的右不变L-一致结构Ur相容X·X上的L -滤波器称为X上的L-一致结构[5]，如果满足下列条件：用s，使用族n-prN ena2L0 所有文件，（U1）x;x·>Ufor allx2X;tersa-prNe，其中Ne是在（G，s）的单位元e如下：(U2)U <$U-1;（U3）U<$U > U.Uluv2Ul;v6u一和Uruv2Ur;v6ua; 104：1其中（Wx，x）（u） =u（x，x），U-1uUu-1且◦哪里v w6 uy）=u（y，x）和（v<$w）（x，y）=Δz2X（w（x，z）xv（z，y）），所有的x，y2X.集合X具有L-一致结构U称为L-一致空间. 一个映射f：<$X;U<$！在L-一致空 间 <$X;U<$X和 <$Y之间的 空 间<$Y;V<$X称为L-一致连续（或（U;V）-连续），FLf ×f U> V保持。对于X上的每个L-一致结构U，都有一个分层L-拓扑sU。相关的内部算子intU由下式给出：ðintUkÞðxÞ ¼U½x_]ðkÞ对所有的x2X和所有的 k2L，其中U½x_]ku u lx u，u[l]（x）=<$ （l（y）xu（y，x））。为Xa a定义为：Ul<$fu2LG×Gjux;y<$<$$>k^ki<$x-1y，对于某些k2a-prN eg 4：3和Urk^kixy-1，对于某些k2a-prN eg 4：4我们应该注意到，我们将修正符号Ul，Ur;Ul和U沿纸是上面定义注4.1. 对于L-拓扑群（G，s），[001 pdf 1st-31 files] UU是左（右）不变环境。此外，委员会认为，LR所有x2x和所有k2l我们有Ua不变L-一致结构UlUr由式（4.1），（4.2），U½x_] <$N x，U½k_] <$Nk;其中Nx和Nk分别是空间X;s在x和k处的L-邻域滤波器设是集合X上的L-一致结构.则u LX·X对于某个aL0且u = u-1，一个包围的u L X·X称为左（右）不变式，uax;ayux;yuxa;yaux;y对于所有a;x;y2X：（4.3），（4.4）。L-地形生成的命令。LX上的二元关系称为X上的L-拓扑生成序[13]，如果满足以下条件（1）< $0<$0和<$1<$1;(2) kl蕴涵k6l;(3) k16kl6l1隐含k1l1;(4) 从k1l1和k2l2它遵循k1vk2l1vl2，称为左（右）不变L-一致结构，如果有左（右）不变的环绕，k1xk2l1x l2.ings[4].L-拓扑群。在下面的部分中，我们主要研究乘法群G。我们通常用e表示G的单位元，用a-1表示G的元素a的逆。设G是群，S是G上的L-拓扑.则（G，s）将是一个L-拓扑生成序被称为正则序或L-拓扑生成结构，如果对所有k，lLX，其中kl存在mLX，使得km和ml成立，并且被称为复对称序，如果kl对所有k，l2LX和更多的k蕴涵l0k0上称为完全的，如果对于X的L-子集的每个族（ki）i2I，称为L-拓扑群[2]，如果映射p：G × G; s × s！定义为p∈a; b∈ <$^ab，对于所有a; b2 G和对于所有iI，k il跟随 kil。i2 I设（n）是X上的L-拓扑生成结构序列，（pn）是IL上的L-拓扑生成结构序列.然后一个L-实函数f：XfIL被称为与自身相i：G; s！ 对于所有的2 G，是L-连续的。p和i是二进制运算，而非序列（n）如果对于所有k;lLIL，kp对于每个正整数n[11]。nl蕴涵（k<$f）n+1个（l）元运算的逆G，分别。对于所有的k2LG，k关于G上的一元运算i的逆ki是G中的L-集ki，由[4]对于所有x2G，kixkx-1：现在，假设（G，s）有一个可数L-邻域过滤器e在身份E。由于任何L-拓扑群，如果由命题4.1构造的左不变L -一致结构l和右不变L -一致结构r是可一致化的，则由注4.1构造的左不变L -一致结构l和右不变L -一致结构r具有可数的L-滤波器基分别为Ul和Ur，n2N.1 1n n实施例4.1.对于群G，诱导L-拓扑空间（G，xL（T））是L-拓扑群.引理4.1. [18]对于所有k，l2LX，我们有一W328F.巴尤米岛伊贝杜k6l当且仅当k_>l_：L-拓扑群的度量化329U）V你 好！ 乌布UnF× U>VULlu2U;u6vh×haa_u2U;u6vh×hVV2 -Nð Þ3_¼XLXL++LGU（）U½] 2在这里，我们证明了这个有趣的结果。引理4.2.设是集合X上的L-一致结构，并定义LX上的二元关系如下：kUl（）U ½k_] >l_5.2号提案任何（分离的）L-拓扑群（G，s）都是伪度量化的（度量化的）。证据根据命题4.1，我们在G上有唯一的左和唯一的右L-一致结构Ul和Ur，由（4.1）定义，这样这是我的 乌河命题4.3意味着s/sl ¼sr对于所有k，l2LX.然后是互补对称的每-UUUlU在X。证据从U作为L-滤器的性质，（2.1）和引理4.1，我们很容易得到U满足所有要求的条件。H4.2号提案[13]集合X上的完美L-拓扑生成结构与X上的L-拓扑s之间存在一一对应。该对应关系由下式给出：kl（）k6m6l对于某些m2s对于所有k，l2L和s¼ fk2Ljkkg：现在我们有了以下结果。和s/sUr 1/4 s rUr，因此（G，s）是伪度量化的。同样，如果（G，s）是可分离的，那么从命题5.1，我们得到（G，s）是GT0-空间，因此，从引理3.3，我们得到（G，s）是可度量化的。H我们还有以下重要成果。5.3号提案设（G，s）是一个（分离的）L-拓扑群.则以下语句是等价的。(1) s是伪可度量化的（可度量化的）;(2) e有一个可数的L-邻域滤波器N ∈e∈ N;(3) s可以由一个左不变的L-伪度量（L-度量）导出;(4) s可以由一个右不变L-伪度量（L-度量）导出4.3号提案 假设你和。U1n2N是L制服证据（1）（2）：从命题3.1开始结构及其可数L-滤波器基，以及也考虑V是IL上的L-一致结构。设（n）n2N表示（2）（3）：设e有可数L-邻域滤波器N e，设U1 是一个可数的L-滤波器左X上的互补对称完美L-拓扑生成结构序列，对于所有k，l 2LX ，k nl（）U1/2k_] >l_，设U是所有L-一致连续函数族h：<$X;U<$！ 与（n）n2N相关的V。 那么映射rU：X×X！定义为：rUx;yUsupfrfx;yU jf2Ug;其中rf（x，y）=（f（x）-f（y）），对于所有x，y2X，是L-pseu-。不变L-unifonrm结构Ul，由（4.1）定义，与S兼容。根据引理4.2，kll k_l_对于所有k，lL定义了一系列互补对称的完美L-拓扑生成结构在G.以I上的L-一致结构L和U为族，的所有L-一致连续函数h：G;lI L;关联l，我们从命题4.3得到，由r（x，y）=sup{（f（x）-f（y））<$f2U}是G上的一个L-伪度量，X上的度规和sU¼srU。我的天啊！证据rU是X上的L-伪度量的证明来自引理3.1，3.2和4.2。现在，我们定义h a：GfI L，通过h a（x）=h（ax）对于所有a，x2G。从h2U是L-一致连续的，即，L l因为对于任何k2LX，来自命题4.2Lhh和 的1的元素从注4.1和（4.1），我们有剩下knk（）U ½k_] >k_Fh×hUv uvh×h意味着k2sU当且仅当k2srU，其中rU由与n相关联的每个h的所有L-伪度量rh生成。因此，SU¼SRU。HLa a a a1n1n15.L-拓扑群n的度量化1nL这一部分是专门用来表明任何（分离的）L-拓扑，逻辑组是可度量的（metrizable）。一个L-拓扑群（G，s）称为分离的，如果对于单位元元件e、 我们有k aPRekePa，和k2a-prNekx

下载后可阅读完整内容，剩余1页未读，立即下载