Kudryashov方法解3D-Gross-Pitaevskii方程的精确解析解：埃及数学学会的研究成果

Journalof the Egyptian Mathematical Society（2016）24，49埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章用Kudryashov方法求3D-Gross-Pitaevskii方程的精确解析解Ahmad Neirameh伊朗贡巴德，贡巴德卡武斯大学理学院数学系接收日期：2014年5月6日;修订日期：2014年7月27日;接受日期：2014年2015年2月7日在线发布本文给出了在Kudryashov方法条件下出现在数学物理各个领域中的三维Gross-Pitaevskii方程的解及其它解，称之为非线性薛定谔方程。这个方程描述了玻色爱因斯坦凝聚在低温区。这些新的精确解将补充以前的结果，并有助于进一步了解的物理结构。2000年数学潜规则分类：35Q53; 35Q80; 35Q55; 35G25？2015制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 介绍近年来，非线性偏微分方程（NLPDEs）的精确解的求解变得非常重要，因为与NLPDEs相关的非线性复杂物理现象在物理、力学、生物、化学和工程等领域有着广泛的应用。为 了 这 个 目 标 ， 大 量 的 强 大 和 直 接 的 方 法 来 找 到NLPDE的精确有效解，尽管它们很难找到。一些最重要的方法是Biswas[8 ， 9] ， Ma[10] 的 多 重 指 数 函 数 法 ， MalJenyet[11]，Ma[12]的Kudryashov方法，Kudryashov [13，14]的HirotaGross-Pitaevskii方程（GPE）是一个经典的非线性发展方程。它是著名的非线性薛定谔方程（NLSE）的一个变体，后者是控制非线性色散介质中复杂场包络演化的通用模型。本文研究了Manjun在文献[1]中提出的具有时空调制势和非线性的3D-GrossWakil[2]，Fan[3]和Wazwaz@2[4]，Biswas的孤立波分析方法[5i@t<$h<$s;t-rh<$s;tU xh<$s;tgj<$hj <$h;@2@2@2ð1Þ同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevierhttp://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.11.004r=x2y2y2y2;其中s2R3;t> 0;r代表拉普拉斯算子。函数Ux描述了圈闭限制凝析油的潜力，sx;y;z是传播变量，t是1110- 256 X？ 2015制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表关键词Kudryashov 方法;三维Gross-Pitaevskii方程;孤立波解ðÞð Þð ÞXð Þð Þð Þ350分内拉梅横向变量。非线性系数g s;t是时间和空间坐标的实值函数。我们研究在玻色-爱因斯坦凝聚（BEC）理论中，讨论了具有附加周期势Ux的NLS型方程（又称Gross-Pitaevskii方程，GPE）的非线性状态。在理论上，线性定常方程（NL SE）是定常方程的一个非线性变分。这是一个经典的场方程，其主要应用是光在非线性光纤和平面波导中的传播，以及此外，该方程还用于研究深层无粘（零粘度）水表面上的小振幅重力波、热等离子体中的朗缪尔波、平面衍射波束在等离子体聚焦区的传播、电离层，的传播达维多夫的其中ai是稍后确定的未知常数，使得aN1QðnÞ ¼1þen;ð7Þ这些函数满足一阶常微分方程（Riccati方程）Q0n Q2n- Qn;8当量（8）计算函数的导数是必要的Q n。备注1. 这个Riccati方程也有以下精确解：第一章1.1-tanhn-elnn0-1;n>0;α-螺旋孤子，其负责沿分子链的能量传输，以及许多其他。更一般地1公司简介21 .一、1-coth2--20elnn0个;n <0的整数;ð9ÞNLSE是描述22慢变准单色波2 20弱非线性介质中的波2. 法应用本节的目的是介绍改进的Kudryashov方法的算法，以找到非线性发展方程的精确解。我们要遵循《古兰经》第15章的精神，遵循《古兰经》第16章的精神，遵循《古兰经》第17章的精神。让我们考虑非线性偏微分方程，3.2. 导数计算我们应该计算函数Qn的所有导数。人们可以通过计算机代数系统Maple或Mathematica来完成。例如，我们考虑N是任意的一般情况。将表达式（7）关于n进行微分，考虑到（8），我们有XN形式Eu t; u x;.. . ; x; t= 0：120我们使用以下字母Q0Q00i¼1N1/1aiiQ-1Qi;aiii1 Q2-2i1 Qi Qi;ð10Þu<$Uneiaxbt;n<$x-ct;3从等式（2）得到了非线性常微分方程/-cU0neiaxbtibUeiaxbt;U0neiaxbtiaUeiaxbt;. . . ：ð4Þ现在我们展示如何得到方程的精确解。（4）采用改进的Kudryashov 方法。该方法由以下步骤[15] 组成，由MalJenet和Ma[16]完成。1.2.主项为了找到主导项，我们替换Unp;5所有的Eq。（四）、然后我们比较方程中所有项的度（4）并选择两个或两个以上度最小的。P的最小值定义方程的解的极点。（4）我们记为N。需要指出的是，当N为整数时，该方法也适用若N为非整数，则可对方程进行变换，不仅可研究变换过程，而且可重复变换过程。2.2.解的结构我们寻找Eq的精确解（4）形式U<$a0a1Qna2Q2n···aN QNn;6函数Qn的高阶导数可以在参考文献中找到。[18][19]4.2. 定义未知参数的值我们将表达式（10）代入等式（11）。（六）、之后我们取Qn从（10）算起。因此，Eq.（6）采取形式P½Qn];其中P½Qn]是函数Qn的多项式。 然后，我们收集所有的条款与相同的权力的功能Q n和等同这些表达式等于零。结果得到了代数方程组。求解此方程组，我们得到了未知参数的值。3. 具有周期势的3D-Gross-Pitaevskii方程的方法寻求方程的精确解析解（1）我们采用Mal Ziet的相似变换[15]h？？x;y;z;t？？w？n？i？k？ax？cy？k？z？b？t？;n？x？y？z？ct？11？我们用Eq代替。（11）在Eq.（1）并得到下面的常微分方程3w00i½kack -c]w0-½k2a2c2k2[001 pdf 1st-31files][001 pdf 1st-31files][001pdf 1st-31files][001 pdf 1st-31files]¼ð Þ1gss---3D-Gross-Pitaevskii方程的Kudryashov方法Eq的极点。（12）等于N1，因此我们寻找 形式的精确解2019年1月1日星期一：13：00将（13）代入等式中。（12），并考虑（10），我们得到函数Qn的多项式。收集具有相同的功能Q n的所有条款，并等于这个expres- sions为零。然后我们得到了代数方程组。通过求解这个系统，我们发现参数的值如下：案例一：一个四分之六的人;sk2a2c2k2kbU]Gc2kack- 2k2ia2c2k2- 2kb i- 2iU- 3i：ð14Þ取解集（14）连同（7）和（13），我们得到（12）的解如下sk2a2c2k2kbU]G图1对应于h<$3<$x;y;z;t<$x的二维复解。对于y^z^1和-10≤x≤10和0≤t≤ 10。6þgð1þexpðxþyþz-ð2kðaþcþkÞ-2k2ia2c2k2- 2kb i- 2iU- 3it-1;因此，我们得到了具有空间和时间调制势的3D-Gross-Pitaevskii方程的孤波解，24sG6þgð1þexpðxþyþz-ð2kðaþcþkÞ-2k2ia2c2k2- 2kb i- 2iU- 3it-1#×expansikaxcykzbt;图2对应于<$h4<$x;y;z;t<$x的二维复解对于y^z^1和-10≤x≤10和0≤t≤ 10。案例二：1 -92ika 2ikc 2ikk-i2kack- 2k2ia2c2-2kb i- 2iU- 3ia1/43qk2a2k2c2k2k 2k 2k 2kbU;þsk2a2c2k2kbU]G-- þð15Þc2kack- 2k2ia2c2k2- 2kb i- 2iU- 3i：0¼;w1¼h1x;y;z;t0¼-;GG-a0¼--a0¼---1GG第五十二章内拉梅利用（13）中的条件（15）和（7），我们得到（1）24sG1 -92ika 2ikc 2ikk-i2kack- 2k2ia2c2-2kb i- 2iU- 3i3q×1×expandx×y×z-× 2k×a×c×k×b×c×k×a×c × k ×b × c× k × b × a × c × k × b × c × b×expansikaxcykzbt;案例三：a¼-s6;sk2a2c2k2kbU]G4. 结论复杂的波的行为显示在图。1和2时，参数给定的特殊值。本文用构造方法构造了3D-GP方程的新的Kudryashov的方法。这个方程是c2kack- 2k2ia2c2k2- 2kb i- 2iU- 3i：ð16Þ现在，考虑解集（16）和（7），方程（16）（13）成为Gross-Pitaevskii方程这些结果表明四波型近似是分析高维非线性发展方程三波解和二波解的有效而简单的方法。42sh3- -一种 -g的值-s61expxyz-2kack致谢特别感谢编辑和审稿人的仔细阅读和他们的意见，大大提高了论文。我真的很感谢你的明确案例四：-2k2i。a2c2k2-2kbi-2iU-3it-1#×expansikaxcykzbt;和准确的指导以及您对我工作的有益评论。1 -92ika 2ikc 2ikk-i2kack- 2k2ia2c2-2kb i- 2iU- 3ia1/43qk2a2k2c2k2k 2k 2k2kbU;þþþ--sk2a2c2k2kbU]Gð17Þc2kack- 2k2ia2c2k2- 2kb i- 2iU- 3i：如上所述，在以下条件下的3D-GPE的解为（17）与（7）和（13）一起，24sG1 -92ika 2ikc 2ikk-i2kack- 2k2ia2c2-2kb i- 2iU- 3i3q×1×expandx×y×z-× 2k×a×c×k×b×c×k×a×c × k ×b × c× k × b × a × c × k × b × c × b×expansikaxcykzbt;h2x;y;z;t;;h<$4x;y;z;t3D-Gross-Pitaevskii方程的Kudryashov方法引用[1] MA.满军，黄哲，一类Gross- Pitaevskii方程的亮孤子解，应用数学通讯。26（2013）718-724。[2] S.A. 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