广义顺序统计量和最大相关的关联性

埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society（2011）19，28审查文件关于广义顺序统计量和最大相关作为依赖H.M. 巴拉卡特Zagazig大学理学院数学系，埃及2011年11月10日在线提供本文的第一部分讨论了Gebelein（1941）[7]提出的最大相关系数的一些最新发展及其在统计学各个领域的应用。第二部分致力于寻找提供广义顺序统计量（gos）和对偶广义顺序统计量（dgos）之间最大相关系数的分布，这两个分布分别由Kamps（1995）[8]和Burkschat et al.（2003）[4]引入。最后，在第三部分中，我们给出了一般定理，给出了简单的非参数准则， 政府间组织和发展中国家政府间组织不同组成部分之间的渐进独立性。2011年埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍当我们讨论随机变量之间的相关关系时，区分三种相互关联的关系是很方便的。第一个是线性关系，这是最简单的一个。最广为人知的线性关系的测量是皮尔逊积矩相关系数，它在位置和尺度变化下不变。显然，不变性质意味着这个测度只关心线性关系的存在，而不是它的形状。第二种依赖关系是联想或和谐。非正式地，一对电子邮件地址：hbarakat2@hotmail.com1110- 256 X？ 2011埃及数学学会。制作和主办：ElsevierB.V. 在CC BY-NC-ND许可下开放访问。同行评审由埃及数学学会负责。doi：10.1016/j.joems.2011.09.011制作和主办：Elsevier如果一个的“大"值倾向于与另一个的”大"值相关联，并且一个的“小"值倾向于与另一个的”小"值相关联，则RV是一致的。最广为人知的尺度不变关联度量是Kendall的tau和Spearman的rho的群体版本。第三类依赖关系是一般依赖关系，即两个rvs之间存在Borel可测函数。最大相关系数，除了作为rvs之间一般依赖关系的方便度量外，它在统计学的各个领域中起着关键作用，包括对应分析，回归的最优变换和马尔可夫过程理论，见[14]。Re′nyi[12]给出了一组七个假设，两个rvsX和Y之间的依赖性l（X，Y）的度量应该满足这些假设。(1) l（X，Y）定义为任意一对rvsX和Y，它们都不是概率为1的常数。(2)I（X，Y）=I（Y，X）。(3)06l（X，Y）61.(4) l（X，Y）=0，当且仅当X和Y独立。(5) l（X，Y）=1，如果X和Y之间存在严格依赖，即，Y=f（X）或X=w（Y），其中f和w是Borel可测函数。关键词广义顺序统计量;对偶广义顺序统计量;相关系数;最大相关;线性回归关于广义顺序统计量和最大相关作为依赖度量29ð Þ÷ ð Þ¼ð Þ. Yω ω！. YC C1P--第1页----一种ð Þ÷ ð Þ¼1nJn1n1n一，二，... ，n-1，其中M-1个月mn-12ffin;公司简介(6) 如果Borel可测函数f和w以一对一的方式将实轴映射到其自身上，则l（f（X），w（Y））=l（X，Y）。(7) 如果X和Y的联合df是正态的，则l（X，Y）=corr（X，Y），其中corr（X，Y）是X和Y的普通相关系数，其定义为：订购RVS已知普通顺序统计量、上记录值、序贯顺序统计量和渐进II型截尾顺序统计量都是广义序贯序列的特殊情况定义2. 一致高斯UωrUr;n;k;m~;r1; 2;.. . ;n，由它们的密度函数covX; YcorrX;YpvarXvarY：nfU 1;. ; U nu;. ; uc第1页n-11-u第1页！1-u这些措施，只有最大的相关性满足所有七个假设on the cone fought;. ;u：0 6u 六... . 6U<1g咖啡因，参数c1，. ，cn>0。 参数c1，. . ，c，n是定义1.最大相关系数（或最大相关系数）定义为cn=k>0，n cr=k+n-r+Mr，r=[7]在《易经》中，RX;Ysupcorr/X;wY;F通过分位数变换X*（r）= F-1（U*（r）），r = 1，2，. . ，n.特别 选择 的 的 参数 c，.. . ，c导致其中上确界是在所有Borel可测函数f和w上的，其中var（f（X））>0和var（w（Y））>0。1.1. 关于一般最大相关的一些最新结果最大相关性具有以下显著特性：财产1. 如果（X，Y）是二元正态随机向量，则R X; Yj corrX; Yj：Lancaster[9] 给出了这一性质的证明，其中使用了涉及Hermite多项式的级数展开。财产2.最近，Dembo等人[6]证明了独立同分布rvs的两个部分和之间的最大相关性也是它们通常的相关性。特别地，如果非简并rvs X1，X2，. ，Xn是独立同分布的，则rm1N不同的模型，例如，(i) m-广义顺序统计量（m-gos）：在这个模型中，我们有m1= m2=... . = m n-1= m和cn= k。因此，cr=k+（n r）（m +1），r = 1，. ，n1。包括许多重要的m-gos的实用模型，如顺序统计量，非整数样本大小的顺序统计量，上记录值，顺序统计量。(ii) 普通顺序统 计量：在这个模型 中，我们有cn=1 ，cr=n-r+1，r= 1，. ，n-1，也就是说，k= 1，mi= 0，i= 1，. ，n-1。这个模型可以被经典地定义，如果我们将rvs X1，X2，.. . ，Xn的顺序为大小，然后写为X1：n6X2：n6. 6Xn：n.我们称Xr：n为r阶统计量。 顺序统计量的主题涉及这些有序rvs和涉及它们的函数的性质和应用。(iii) 记录值：在这模型我们有m i=-1，i=1，. . ，n-1且k=1。经典地，我们可以通过假设Z n=max（X1，X2，.）来定义这个模型。，Xn），对于nP1.然后，我们说Xj是{Xn，nP1}的上记录值，如果Zj>Zj-1，j>1。根据定义，X1是最高记录值。记录值在许多在日常生活中，以及在许多统计应用中，其中m，6，n是整数，并且S ， k，k，X， j，k= 1，2，.. . ，n.除了少数例外，例如上面的R的显式分析通常不可用。财产的一般化1.2最近由Yaming给出[14]。第三章.在性质1.2的假设下，我们有阳离子。我们经常对观察新记录和记录它们感兴趣奥运会纪录或世界纪录。(iv) 序贯顺序统计量：在这个模型中，我们有cn=an，cr=（n r+1）ar，r=1，. . ，n1。 传统上，如果我们让r阶统计量..XmXn！！在一些寿命测试中被观察为第rRSm;Sn-SM“的1/4pm第1页Xj;XJ联系1/4corrSm;Sn-S然后我们可以将序贯顺序统计量定义为在该模型中，系统中剩余部件的寿命分布在部件每次失效后可能发生变化。其中整数2. 广义顺序统计量与最大相关Kamps[8]引入了广义序统计（GOS）的概念，作为几种上升模型的统一。Burkschat等人。[4]引入了双广义顺序统计量（dgo）的概念，以实现降序rvs（如逆序统计量和较低的记录值）的通用方法。定义3. 一致dgosUωdrUdr;n;k;m~，r1; 2;.. . ;n，由它们的密度函数1959年，雷尼考虑了六种依赖性测量方法。的J¼和m~¼mm· · ·两个rvsX和Y之间的相关性（简称为μ m）为：n-1Rj/ rJ12. 基于某些DF的广义顺序统计量R Sm; Sn Sm; Sn/;w30H.M. 巴拉卡特8>Q-ð···Þ>m1><2ð Þ¼ ¼ ð ð Þ ðÞÞÞð Þ ð Þ···DDDm1m1我我我IDID1个ID1S1个1css-r m122个22个33dSRJ1Sωω。Yn！ .Yn-1C-Cu-一！nR<$Xωr<$;Xωs <$$>R<$Xωd<$r<$;Xωd<$s <$$>qn <$r;s;m;~cs<$CJ第1页JJ第1页j1ucn-11/4秒A组A组B组A组B组A组B组A组B组B组C组B组B组A组B组B组B组B组C组B组B组B组B组B组C组B组B组B组B组B组C组B组B组B组B组B组C组A组A组B组B组C组B组B组B组B组C组B组B组B组B组B组C组B组B组B组B组B组在圆锥体上，... 1 Pu1P. Pun>0g咖啡因。的分位数变换XωrF-1Uωr，r1;2;.. . ;n，哪里ArmBsm-Asm基于任意的dfFd产生dgos。Cramer[5]和Burkschat等人[4]已经证明，8>Q1BJm-和dgos，分别，可以定义为产品的独立幂函数分布 房车Almj/11万bj：1;m¼-1;定义4.设Bj，16j，6n是具有各自Beta分布Beta（cj，1）的独立rvs，即Bj遵循幂函数BL>j1bj= 1;mbj2*ωll指数为cj的分布。则X（r）和Xd<$r<$可以是>：1μP1;m¼-1;.Y！Xωr~F-11-BJb/cj ，其中b^c为1<-2，ifm+1<0，且~c^c 1c 2cs. 此外，在GOS中，和dgos的情况下，符合最大的相关性，只有当和8Fx 1-1-x1;0x 1;如果m1> 0;<d d：Fx1-x1 ;1 0;<：F3d1<<0。s校正X;X6rn-s(2) ls=rxr-ls=r xrs-rm 1、为所有0 0。(3) lr=sx slr=s-x s0，对于所有00、m+1=0和m+1<0这三种完全不同的情况。很明显，M-GO和M-DGO，其中m1=m2=···=mn-1=m是这些的特殊情况>C分别定义为第1页2J第1页;r <$1; 2;.. . ; n;r：nS：n关于广义顺序统计量和最大相关作为依赖度量31AmB-Að Þ ð Þ！m +<10。下面两个结果是定理1的直接结果。推论2.对于任何r，我们有<子类。定理 1. （[1]）。 让 X*（1）6 X*（2）6·· ·6X*（n）和qn≤r;s;m;~cs≤6min.sAsm;sBrm-Arm！：r ssXωd<$n<$6Xωd<$n-1<$6· ··6Xωd<$1分别是基于任意连续df的F和F d的gos和dgos此外，还证明了gosXωr：n之间的渐近独立性和任何16rs6n 我们 有m1=m2=· ··=ms-1=m。当且仅当至少有一个关系Asm！0* *ωωS：nArm此外，设X（r），X（s），Xdr，xds已完成差异。然后Brm-Arm0成立。Bsm-Asm32H.M. 巴拉卡特Er1：n. 第1-r：nr：n我n ！11r：n中文（简体）pS：nr2：nn联合Σ. Σr：nS：nr：nS：nDDAr0R1Bs0-A s0R5R2R4DDr1：r;s：n规则三：我nSq对于这个模型，很容易看出，R推论3. 对于任何rn和任何n，我们有Xωr：n和Xωs：n，独立当且仅当Xω和Xω是独立的。（三）收敛到渐近独立性几 第一章 ;X C= 快 比 夫妻俩都是d; r： nd;s：nr2：nXIr3：nRp.p.r1：n3. 讨论和应用r2：nn n，当且仅当2¼◦ð如N1。在这一节中，我们讨论了最大相关性及其在一些重要的升序rvs模型中的应用。3.1. 普通顺序统计模型对于这个模型，我们有例1（确定给定的顺序统计）。作为定理3的一个有趣的应用，我们考虑了某个统计问题的一个要求，它规定了两个顺序统计量X10：100和X50：100之间的渐近独立性。为了执行拟合优度检验以确定每个统计量X10：100和X50：100的合适极限分布类型，我们首先必须选择它们的类型（极端或中间或中心类型）。的类型srn-s1顺序统计量X50：100可以合理地被视为一个中心类型，即，X50： 100¼XC。然而，一方面，qnr;s;m;~cs：sn- r1r3：n顺序统计量X10：100的绝对值可视为极端型，即，X10：100<$XE;r1<$10;n<$100，但在另一边，它因此，任意两个顺序统计量X和X，与非-可按低中间型X10：100¼XI分类;联系我们相对于n，递减秩r和s是渐近的独立的，当且仅当，min。r;n-s1！0的情况。r2100;n 100。 鉴于我们的要求， 定理3，第二部分，使我们能够决定，极端类型我们可以注意到，随着样本量增加到无穷大，任何顺序统计量Xr：n可以属于一个且只有一个以下类型：● 最低极限，其中r是固定的。r！0分。R中间型3.2. 记录值模型● 其中min（r，n）fi 1和n！0的情况。v.你知道吗？ffiffiffiffi44f1和n！ k 2 ≤ 0; 1≤ 0。u3s-r1-3个r● 上中间，其中r=n-r0+1，r0fi1，你好！1.一、● 上极端，其中r=n-r0+1，r0是固定的，r！1.一、qnr;s;m;~cst4×3s：100n通过使用定理1，我们可以陈述以下定理这是关于渐近相互关系，因此，任何两个上记录Rωr和Rωs，以及任何两个较低的记录Ls和Lr，取决于渐近线差S-R的性质。定理2. 设XE;X E;XI;X I而XC是第r个较低的s-rfi1，我们得到以下有趣的事实：asymp-任意两个顺序统计量Xr：n之间的绝对独立性，r： nr：nr：nr：nr：n极端，上极端，下中间，上中间和中央顺序统计。然后Xs：n意味着上界之间的渐近独立性记录Rωr和Rωs;以及较低的记录Ls和Lr。(1) RVSXE1Er2：n我r3：n我r4：n，XC5是渐近线的3.3. II型右删失样本对于所有16个r1，r2，.，cally相互独立。，r56n，(2) 每一对的分量是：<$XE;XE<$，<$XC;XC<$，设删失方案为R1= R2=. . = R M-1= 0，对于所有16r，

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