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==-=软件X 10(2019)100289原始软件出版物SpharaPy:用于非均匀采样数据的空间谐波分析的Python工具箱UweGraichen,Roland Eichardt,Jens HaueisenIlmenau工业大学,计算机科学与自动化系,生物医学工程与信息学研究所,POB 100565,98684 Ilmenau,德国ar t i cl e i nf o文章历史记录:收到2019年收到修订版2019年7月18日接受2019年7月19日保留字:空间谐波分析离散Laplace-Beltrami算子的本征分析在线过滤EEG数据处理a b st ra ctSpharaPy是一种新的空间谐波分析方法(SPHARA)的Python实现。SPHARA扩展了经典的空间傅立叶分析,在R3中的任意表面上的非均匀定位的样本。SPHARA所使用的基函数(BF)是由以下特征分析确定的:离散Laplace-Beltrami算子,它定义在由空间采样点指定的三角形网格上。SpharaPyPython工具箱提供了要计算的类和函数SPHARA BF用于数据分析和合成以及设计和应用空间滤波器的课程。一个说明性的例子中应用的SpharaPy包在使用脑电图数据的生物信号处理的领域。©2019作者由爱思唯尔公司出版这是CC BY许可下的开放获取文章(http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/)中找到。代码元数据当前代码版本1.0.12用于此代码版本的代码/存储库的永久链接https://github.com/ElsevierSoftwareX/SOFTX_2019_164代码海洋计算胶囊https://codeocean.com/capsule/2590457/treeBSD 3-Clause使用git的代码版本控制系统使用Python的软件代码语言、工具和服务>3.6)编译要求、操作环境&依赖numpy(>1.16.1)、scipy(>1.2.0),matplotlib(>3.0.2)如果可用,链接到开发人员文档/手册https://spharapy.readthedocs.io问题支持电子邮件uwe. tu-ilmenau.de1. 动机和意义离散傅立叶分析在数字信号和图像处理中非常常见在常见的数字图像数据中,像素以笛卡尔或矩形网格布置在平坦表面上。对于这样的数据,用于傅里叶变换的基函数(BF)通常由变换规则隐式地指定(参见图1)。[1])。在许多应用中,用于数据采集的传感器不位于平坦表面上,并且不能用笛卡尔坐标表示 或规则网格。然而,这种空间傅立叶分析*通讯作者。电子邮件地址:uwe. tu-ilmenau.de(美国)Graichen)。https://doi.org/10.1016/j.softx.2019.100289数据是有用的。来自生物医学工程领域的一个示例是脑电图(EEG),其中传感器不规则地布置在弯曲表面上。在EEG中,传感器被放置在头部表面上的已知(预定义和/或跟踪)位置处。这些系统中的传感器的位置可以通过三角形网格来描述。由于非规则的传感器布置,标准的2D傅立叶分析不能用于这些多传感器数据的空间分析。在这篇文章中,我们介绍了SPHARA的Python实现,SPHARA是一种用于多传感器数据空间谐波分析的新方法[2]。SPHARA可以被认为是空间任意传感器布置的空间傅立叶分析的推广。SPHARA BF被计算为Laplace-Beltrami算子的特征向量通过这种方式,BF2352-7110/©2019作者。 由Elsevier B.V.出版。这是一篇开放获取的文章,使用CC BY许可证(http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/)。可在ScienceDirect上获得目录列表SoftwareX期刊主页:www.elsevier.com/locate/softx2联合 格赖兴河 Eichardt和J. Haueisen / SoftwareX 10(2019)100289=⃗Fig. 1. SpharaPy包的简化类图:类TriMesh描述采样点的空间配置,是SpharaBasis类的聚合。SpharaBasis用于确定BF。 SpharaTransform和SpharaFilter是SpharaBasis的子类。 属性的@property和setter没有显示在这个类图中。可以产生用于传感器的任意布置的空间谐波的频率。所记录的多传感器数据被分解到这些SPHARA BF的空间中的投影。所提出的Python-Raw特别适用于不规则布置的传感器测量数据的空间谐波分析。Laplace算子和Laplace-Beltrami算子的本征系统2. 软件描述2.1. 软件构架SpharaPy是Python中SPHARA方法的面向对象实现 SpharaPy软件包由五个模块trimesh、spharabasis、spharattransform、spharafil-ter和datasets组成。SpharaPy包中实现的类的简化类图如图所示。1.一、trimesh模块提供TriMesh类,用于指定空间采样点的配置。TriMesh类是SpharaBasis类的聚合。类SpharaBasis在模块Spharaba-sis中实现,并且可以用于确定空间不规则采样函数的SPHARA BF,其拓扑由TriMesh类的实例描述 SpharaBasis是 基 类 , 有 两 个 派 生 子 类 , SpharaTransform 和SpharaFilter(见图2)。①的人。模块spharattransform提供了SpharaTransform类来执行SPHARA变换,便于空间不规则采样数据的SPHARA分析和合成。模块spharafilter提供类SpharaFilter,其可用于使用SPHARA基础的空间滤波。此外,它提供了设计和应用不同类型的过滤器的空间不规则采样数据的方法。datasets模块是SpharaPy包中包含的示例数据集的接口为了避免不必要地使用存储器和计算能力,使用惰性方法来计算类实例的数据属性,例如BF或过滤矩阵。直到第一次需要属性时才计算属性然后,只要基础属性不更改,它们就会被保存和使用2.2. 软件功能SpharaPy软件包提供了四个类来指定三角形网格,计算空间谐波BF,进行数据分析和空间滤波。TriMesh类包含定义三角形网格的例程,描述任意空间多传感器布置。它还提供了用于确定从三角形网格导出的计算SPHARA BF所需的矩阵的方法,例如重量、质量、刚度和拉普拉斯矩阵(参见图1)。[2、3、10、11])。使用类SpharaBasis, 空间 傅立叶基(SPHARA基)是通过特征分析离散Laplace-Beltrami算子,这是定义在三角形网格上计算。对于使用逆欧几里德或单位加权方案的离散化,以下拉普拉斯特征值问题具有要解决L<$xi=λi<$xi,(1)用Laplacian矩阵L(包括Laplace-Beltrami如果使用FEM离散化,则拉普拉斯矩阵L由LB−1S,质量矩阵B和刚度矩阵S.通过求解广义特征值问题,可以避免质量矩阵BSxi=λiBxi。(二)SpharaBasis类提供了各种离散化方法来确定Laplace-Beltrami如果Laplace-Beltrami算子是用三角形网格的边的单位加权离散化的,则不考虑顶点位置的坐标,而是考虑由三角形网格中的边定义的邻接。对于非均匀三角形网格,边缘的加权函数必须根据以下公式进行调整:网格几何形状。一个常见的选择是使用欧几里德距离的倒数[4]。Laplace-Beltrami算子离散化的另一种方法联合 格赖兴河 Eichardt和J. Haueisen / SoftwareX 10(2019)1002893⃗⃗⃗⃗图二. 将EEG数据(a)的所有通道的蝶形图与前60个低频SPHARA BF的功率贡献的可视化进行比较(b).蝶形图中的每个EEG通道以不同的颜色表示,分量P14、N20和N30分别由红色、蓝色和绿色垂直线标记(a)。仅256个BF中的前60个用于可视化,因为低频BF携带大部分信号功率(b)。(For对本图图例中所指颜色的解释,读者可参考本文的网络版空间采样是FEM方法。在这种情况下,拉普拉斯特征值λi可以被认为是离散的空间频率。使用逆欧几里德和单位加权,对应的特征向量xi形成关于向量空间的标量积的调和正交基。由FEM方法计算的特征向量 xi关于B-相对标积是正交的,参见。当量(四)、关于离散Laplace-Beltrami算子的性质和由此产生的SPHARA基的进一步细节(2,14)。SpharaTransform类提供了三角形网格顶点上定义的离散数据的分析(正变换)和SPHARA系数的合成(逆变换)的方法。如果逆欧几里德或单位加权用于离散化,则向量空间的内积用于从空间域到空间频域的变换(分析)。从空间域到空间频率域的变换通过下式计算:c=fX,(3)其中矩阵X的列包含SPHARA BF(等式1中的特征向量xi)。(1)和(2))中,pled在空间域中,以及c是SPHARA系数,空间频率域中的表示。对于使用FEM方法计算的特征向量的分析,需要应用包含质量矩阵B的内积,以确保B正交性[2,13]。然后通过下式计算从空间域到空间频域的变换:c=fBX,(4)质量矩阵B。使用SPHARA系数c和对应的BFX的线性组合来合成空间域中的离散数据f(五)SpharaFilter类可用于设计不同类型的滤波器,并将这些滤波器应用于空间不规则采样数据。滤波器矩阵F可以由下式确定:F=R·X·(R·X)(六)矩阵X包含SPHARA BF,并且矩阵R是选择矩阵,如果从X选择对应的SPHARA BF,则该选择矩阵在主对角线上包含1。这个矩阵的所有其他元素都是0。如果FFEM=B·R·X·(R·X)<$。(七)通过将数据矩阵D与滤波器矩阵FD=D·F。(八)在数据矩阵D中,行表示时间样本,列表示空间样本(传感器位置)。矩阵D表示滤波后的数据。对于时间傅立叶域中的滤波器,空间傅立叶域中的不适当的滤波器设计可能导致伪像和干扰,例如吉布斯和振铃现象。这些干扰可以通过选择适当的滤波器系数来减小。SpharaPy软件包的API提供了设计自适应滤波器的参数。4联合 格赖兴河 Eichardt和J. Haueisen / SoftwareX 10(2019)100289sphara_trannsforrm_fem=st. 用于( mesh_eeg)的相位转 换,sphara_transfor m_fem.Analysis(eegdata。transpose())sphara_filter_fem=sf. SpharaFilter( mesh_eeg,mde=#在文件夹中使用BFUD,#为VUALZTIONbasis_functions_fem,natural_frencies_fem=sphara_filter_fem。basis()data_in=sd. load_eeg_256_cannel_study()vertlist=np. arrayy(data_in[' v e r t li s t' ])t ri li s t = n p. array(data_in[' t ri li st ' ])ee g d a t a = n p. array(data_in[离散Laplace-Beltrami算子的特征分析的计算复杂度SPHARA变换和SPHARA滤波通过将包含数据的向量与矩阵相乘来执行,其中列是SPHARA BF。变换和滤波的复杂度为O(n2)。时间复杂度是O(n)的。3. 说明性实例我们的例子演示了SpharaPy软件包在EEG信号处理中的应用。我们展示了SpharaPy软件包的三个功能:Waveguard 256通道EEG系统(ANT Neuro BV,Enschede,The Netherlands)传感器设置的SPHARA基础计算、 EEG数据的SPHARA分析以及使用基于SPHARA的滤波器的空间低通滤波。本实施例中使用的数据来源于先前进行的EEG实验(参见[2]),该实验涉及与体感诱发电位(SEP)相关的皮层激活。用双极电极刺激志愿者右前臂正中神 经 。 以 2048 Hz 对 数 据 进 行 采 样 , 并 进 行 软 件 高 通 ( 24dB/oct,截止频率2 Hz)和陷波(50 Hz和两个谐波)滤波。手动检查所有记录的试验是否存在伪影,并对剩余试验进行平均。数据包括256个通道和50 ms的时间间隔,至刺激后130 ms(369个时间样本)。平均EEG数据的所有通道的蝶形图如图所示。2(a).对于SEP数据的医学评估特别重要的组分P14、N20和N30是为志愿者手动选择的[15,16]。 图 2(a),这些部件用红、蓝、绿垂直线标记。该研究得到了耶拿大学医院伦理委员会的批准,并获得了书面知情同意书。在这篇文章中,只给出了部分源代码。本示例的完整源代码也可用于生成手稿的图像,此外还可用于EEG数据的SPHARA分析,包含在SpharaPy包中(Python和IPython笔记本格式,文件SpharaPy_example. [py|ipynb]).首先,我们导入所需的SpharaPy和Python模块进行数值计算和可视化。mesh_eeg=tm. TriMesh(trilist,vertlist)然后,我们创建了一个类SpharaTransform的实例,用于EEG数据的空间SPHARA分析。SPHARA的基础上确定使用有限元离散的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。 60个低频SPHARA BF对EEG数据的功率贡献如图所示。第2段(b)分段。我们确定了一个SpharaFilter的实例,用于设计和应用空间滤波器。在该示例中,SPHARA基借助于FEM离散化的Laplace-Beltrami算子来确定。 我们使用20个最低频率的SPHARA BF实现了一个空间低通滤波器. 用于空间滤波的20个最低频率BF中的9个在图1中示出。3.第三章。我们将此滤波器应用于EEG数据。过滤的结果与未过滤的数据相比,在图1的第一行中示出。 四、在我们的例子的最后一步,空间SPHARA为基础的过滤器的有效性进行了证明。我们通过添加不同信噪比(3dB、0 dB和-3dB)的人工白噪声来增加EEG数据采用20 BF的空间低通SPHARA滤波器应用于这些数据。在下一步中,加载EEG实验的数据集该数据集包含在SpharaPy工具箱中,包含顶点列表、三角形列表和平均EEG数据。随后,我们从顶点和三角形列表中创建类TriMesh的实例。在这种情况下,我们指定传感器位置的空间布置。#Import SpharaPy 莫杜莱斯import 是的。Trimeshastmimport 是的。为您提供最佳使用体验 是的。spharafilterasfimport 是的。datassssd#Import further彭德洪时尚和时尚import我是李伯。我的天啊从我的记忆中,我的记忆是如此的清晰。mplot3dimportAxes3dimportnumpyanp#vectorwithSNRindBdb_val_vec=[3,0,-3]#comutethepowerfhe eEP Pdata功率er_sep=np。sum(np. square(np. absolute(eegdata)/eegdata. 斯兹埃#vectorwithstanddard 对于SNR节点,将节点的相关信息定义为g_o_sd_vec=list( map(lambdadb_val:np. sqrt(power_sep/(10**(db_val/10),db_val_vec))#anddt thenoisettot eeGataegdata_noise=list( map(lambda 没有ise_sd:你看,这是一个很好的例子。random. normal(0,noise_sd,[256,369]),noise_sd_vec))sphara_filt_eegdata=spha_a_filter_fem.filter(eegdata. transpose())。transpose()联合 格赖兴河 Eichardt和J. Haueisen / SoftwareX 10(2019)1002895图三. 256通道EEG系统的9个低频SPHARA BF;空间DC分量子图用BF 0表示。绘制单个BF在三角形网格上,指定EEG传感器设置。egdata_noise_filt=list( map(lambda 请参阅:(sphara_filter_fem.)filter(eeg_noise.transpose())。transpose()),eegdata_noise))SPHARA滤波的结果示于图1A和1B中。 4和5. 图 4绘制了EEG时间序列。左列包含未过滤的时间序列,右列包含已过滤的时间序列。三个时间点(P14、N20和N30)在各个图中用垂直线(红色、蓝色和绿色)标记对于这些时间点,头皮上的电位分布如图所示。 五、与Figs相对应。图4和图5显示了左侧三列中的未过滤数据和右侧三列中的SPHARA过滤数据。4. 影响使用SpharaPy Python包,可以为具有空间任意布置的传感器的多传感器系统确定定制的空间傅立叶基。可以针对测量数据的空间域明确地确定BF。由于这个原因,数据的空间域到域(例如,具有笛卡尔网格或单位球面的矩形平面),可以在变换规则中隐式地定义傅立叶基由于BF适合于数据的空间域,因此也可以省略用于处理域边界的窗口函数,这是SPHARA的另一个优点。这些性质导致SPHARA变换的许多潜在应用,例如空间分析和滤波以及降维和数据压缩。在 许 多 其 他 多 元 数 据 分 解 方 法 中 , 例 如 PCA , ICA 和PARAFAC ,记录的数据集用于生成空间数据分解的组件。在SPHARA中,BF仅由拓扑信息传感器的设置和位置因此,可以在数据记录之前计算SPHARA BF。基于SPHARA的空间滤波器分别应用于各个时间样本的数据。由于这个原因,所记录的时间序列的相位特性不受影响,并且相位分析方法可以应用于噪声减少的数据集。SPHARA BF 可 以 被 有 效 地 计 算 , 并 且 两 个 引 入 的 基 于SAHARA的应用,变换和滤波,也可以被非常快速地应用。这种高处理速度使得基于SPHARA的方法能够在线应用。5. 结论本文介绍了SPHARA的Python实现SpharaPy,它是一种新的多传感器数据空间谐波分析SPHARA可以被认为是离散空间傅立叶变换的推广。本文讨论了SPHARA的一些理论基础。在新软件工具箱的应用示例中,生物信号处理领域的SPHARA基础的计算,空间低通滤波器的设计和多通道数据的滤波。近年来,空间分布的多传感器网络已经变得越来越重要。这为基于SPHARA的方法开辟了进一步的应用领域。气象学和地球科学领域的例子包括用于监测天气、冰川、地震和火山活动的多传感器系统,以及交通控制和振动监测等技术应用竞合利益作者希望确认,本出版物不存在已知的利益冲突,6联合 格赖兴河 Eichardt和J. Haueisen / SoftwareX 10(2019)100289−⃗=⃗≥∈见图4。将基于SPHARA的空间滤波器应用于EEG数据,在时域中表示;左列显示未滤波的数据,而右列显示SPHARA低通滤波的数据。每个EEG通道以不同的颜色表示。在第一行中,数据不包含额外的人工噪声。在第二到第四行,数据被信噪比为3、0和3dB的空间非相关人工高斯噪声干扰。 在所有子图中,组件P14、N20和N30分别由红色、蓝色和绿色垂直线标记。对于这些选定的时间样本,将显示地形图图 五、(关于此图例中颜色的参考解释,请读者参考本文的网络版本这项工作没有可能影响其结果的重大财政支助。致谢该项目获得了德国研究基金会的资助,编号为Gr 5251/1-1,欧盟地 平 线 2020 研 究 和 创 新 计 划 的 资 助 协 议 编 号 为 686865 ( 项 目BREAKBEN),以及德国创新培训网络Marie Skeliodowska-Curie的资助协议编号为813483(项目INFANS)。我们感谢德国研究基金会和伊尔梅瑙工业大学开放获取出版基金对文章处理费的支持。阑尾 理论方面SPHARA基的性质基本上由用于离散Laplace-Beltrami算子的方法确定。特征向量 xi和特征值λi根据方程计算。(1)和(2)。Laplace矩阵的若干性质L,包含离散Laplace-Beltrami算子,具有对称性、正权、半正定性、局部性和收敛性。[2,14]。对称性Lij Lji导致关于向量空间的标量积的实特征值和正交特征向量。正的边权决定了离散局部性属性使得能够从顶点及其相邻顶点(经由三角形网格的边相邻)确定拉普拉斯-贝尔特拉米算子。收敛性表示从离散到连续的Laplace-Beltrami算子的收敛性用逆欧氏法或单位权法离散的拉普拉斯矩阵L是半正定的、对称的、带正权的。由于这些性质,这两个离散化的特征值是非负的λiR,λi0,可以认为是离散的空间频率。特征向量xi是实值的,并且形成关于向量空间的标量积的正交基。如果网格中包含内角为联合 格赖兴河 Eichardt和J. Haueisen / SoftwareX 10(2019)1002897−⃗图五. 将基于SPHARA的空间滤波器应用于空间域中表示的EEG数据;从顶部显示头皮上的电位分布走了头部的正面(F)、枕部(O)和左侧(L)位置均已标示。左三列显示未过滤的数据,而右三列显示SPHARA低通滤波数据。在第一行中,数据不包含额外的人工噪声。在第二至第四行中,数据被空间非相关的人工高斯噪声干扰,信噪比为3,0,3分贝。对应于组件P14、N20和N30的列用红色标记,分别为蓝色和绿色帧,参见也参见图四、(For关于本图图例中颜色的解释,读者可参考这篇文章。)间隔(π/2,π),余切为负。对于有限元公式,通过求解广义对称定特征值问题来计算基,参见。当量(二)、因此,避免了质量矩阵B的求逆。因为B−1S不是对称的,所以特征向量xi是实值的,但不是向量空间的标量积的正交。为了使用这些特征向量作为基础,在方程中定义的内积。(4),这保证了B-正交性。更多详情请参见[2,13]。如果表示空间多传感器布置的三角形网格具有边界,则可以应用几个边界条件(BC)来通过使用等式来计算基函数。(1)或(2)。假设在边界元上测量的值但其他BC如Dirichlet也是可行的。基函数的确定自适应的域由三角测量的传感器位置。因此,域的边界的特殊处理,例如,不需要通过窗口引用[1]Rao KR,Kim DN,Hwang JJ.快速傅立叶变换:算法与应用。信号和通信技术,Springer;2010。[2][10]张晓刚,王晓刚. SPHARA--具有非均匀布置传感器的多传感器系统的广义空间傅立叶分析:应用于EEG。PLoS One2015;10:1-22.[3]郑先生谱图理论,第92卷。CBMS区域数学会议系列,美国数学学会,1997年。[4]陶宾湾光顺曲面设计的信号处理方法。在:ACM SIGGRAPH计算机图形会议论文集;1995年。p. 351-8[5]莱维·瓦莱特湾用流形谐波进行谱几何处理。Comput Graph Forum2008;27(2):251-60.[6]莱维湾Laplace-Beltrami本征函数的算法,“理解”几何。在:IEEE形状建模和应用国际会议2006; 2006年,第。1-8号。[7]Shi Y , Lai R , Wang DJJ , Pelletier D , Mohr D , Sicotte N , Toga AW.Laplace-Beltrami 嵌 入 空 间 中 曲 面 分 析 的 度 量 优 化 。 IEEE Trans MedImaging2014;33(7):1447-63。[8]朱锋,李松,王刚. Laplace-Beltrami形状空间中的基于示例的材料。ComputGraph Forum2015;34(1):36-46.[9]Melzi S,Rodolà E,Castellani你,Bronstein毫米局部手,手用于频谱形状分析的折叠谐波。Comput Graph Forum2018;37(6):20-34.[10]放大图片作者:Zhang H,van Kaick O,Dyer R. 网格处理和分析的谱方法。In:Schmalstieg D,Bittner J,editors.欧洲图形学会议录,卷。92(RC-20404)。2007年,p.1-22[11]藤原湾闭黎曼流形及其网上拉普拉斯算子的特征值。Proc Amer Math Soc1995;123(8):2585[12]Meyer M,Desbrun M,Schröder P,Barr A.三角化2-流形上的离散微分几何算 子 。 In : Hege HC , Polthier K , editors.可 视 化 与 数 学 3 。 Springer;2003,p.35比57[13]莱维·瓦莱特湾用流形谐函数处理谱几何。技术报告inria-00186931,南希大学,洛林国家理工学院;2007年。[14]Wardetzky M,Mathur S,Kälberer F,Grinspun E.离散拉普拉斯算子:没有免费的午餐。In:Belyaev A,Garland M,editors. SGP07:欧洲图形学几何处理研讨会。Eurographics Association; 2007,p. 33比7[15]Mauguiere F,Allison T,Babiloni C,Buchner H,Wenden AA,GoodinDS,Jones SJ,Kakigi R,Matsuoka S,Nuwer MR,Rossini PM,ShibasakiH. 体感诱发电位。In:Deuschl G,Reinen A,editors.临床神经生理学实践建议:国际临床神经生理学联合会指南。Elsevier Science B.V. 1999年,p. 79比90。[16][10]李文辉,李文辉. 建议 的 体感诱发电位的临床应用临床神经生理学2008;119(8):1705-19。
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