傅里叶变换的旋转不变性证明

傅里叶变换的旋转不变性可以通过以下步骤进行证明：

1. 定义旋转不变性：如果一个函数在空间中进行旋转操作后，它的傅里叶变换不会改变，那么我们称傅里叶变换具有旋转不变性。

2. 定义旋转变换：在二维平面上，我们可以通过旋转矩阵进行旋转变换。对于一个点 (x,y)，它在旋转角度为θ后的新坐标可以通过以下公式计算得出：

(x',y') = (x*cosθ - y*sinθ, x*sinθ + y*cosθ)

3. 推导傅里叶变换的旋转不变性：

假设原始函数为 f(x,y)，它的傅里叶变换为 F(u,v)。

我们可以将 f(x,y) 进行旋转变换，得到 f'(x,y) = f(x',y')，其中 (x',y') 是原始坐标点 (x,y) 绕着原点旋转角度为θ后的新坐标。

对 f'(x,y) 进行傅里叶变换，得到 F'(u,v)。

我们可以将 (u,v) 进行旋转变换，得到 (u',v')，其中 (u',v') 是原始坐标点 (u,v) 绕着原点旋转角度为θ后的新坐标。

根据傅里叶变换的定义，F'(u,v) 可以表示为：

F'(u,v) = ∬f'(x,y)*e^(-2πi(ux+vy))dxdy

= ∬f(x',y')*e^(-2πi(ux*cosθ+vx*cosθ-uy*sinθ-vy*sinθ))dxdy

= e^(-2πi(ucosθ+vsinθ)) * ∬f(x',y')*e^(-2πi(ux'*cosθ+vx'*sinθ-uy'*sinθ-vy'*cosθ))dxdy

= e^(-2πi(ucosθ+vsinθ)) * F(u'*cosθ+v'*sinθ, v'*cosθ-u'*sinθ)

最后一步的推导中，我们使用了旋转变换的公式，将 (u',v') 表示为 (u'*cosθ+v'*sinθ, v'*cosθ-u'*sinθ)。

由此可见，F'(u,v) 与 F(u'*cosθ+v'*sinθ, v'*cosθ-u'*sinθ) 相关联，它们只相差一个旋转因子 e^(-2πi(ucosθ+vsinθ))。

这说明傅里叶变换具有旋转不变性，因为旋转操作只会改变旋转因子，而不会改变傅里叶变换本身。