5^8 mod 47?
时间: 2024-05-28 08:11:14 浏览: 10
首先,我们可以使用费马小定理来简化计算。因为 47 是质数,所以根据费马小定理,如果 p 是质数且 a 不是 p 的倍数,则 a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。因此,我们可以得到 5^46 ≡ 1 (mod 47)。
接下来,我们可以使用指数的二进制表示方法来快速计算 5^8 mod 47。将指数 8 转换为二进制为 1000,因此:
5^8 = 5^(2^3) = (5^2)^4 = 25^4
现在,我们可以使用平方乘法算法来计算 25^4 mod 47。将 4 转换为二进制为 100,因此:
25^2 = 625 ≡ 18 (mod 47)
25^4 = (25^2)^2 ≡ 18^2 ≡ 324 ≡ 27 (mod 47)
因此,5^8 ≡ 27 (mod 47)。
相关问题
5^18 mod 47?
可以使用快速幂算法来计算。首先将指数18转换为二进制形式,即18=10010。然后,从右到左依次考虑每一位上的数字,如果是1,则将底数5乘以当前的幂次后取模,如果是0,则将底数5的当前幂次取模。具体步骤如下:
1. 5^1 mod 47 = 5
2. 5^2 mod 47 = 25
3. 5^4 mod 47 = (5^2)^2 mod 47 = 25^2 mod 47 = 36
4. 5^8 mod 47 = (5^4)^2 mod 47 = 36^2 mod 47 = 29
5. 5^16 mod 47 = (5^8)^2 mod 47 = 29^2 mod 47 = 20
6. 5^18 mod 47 = 5^(16+2) mod 47 = (5^16)*(5^2) mod 47 = 20*25 mod 47 = 30
因此,5^18 mod 47 = 30。
5^23 mod 47?
我们可以使用快速幂算法来计算这个式子。首先,将 23 表示为二进制形式:23 = 10111。接下来,我们从右往左扫描二进制数,如果当前位是 1,就把对应的幂乘到结果中。例如,在第 0 位,我们需要计算 5^1 mod 47,结果为 5;在第 1 位,我们需要计算 5^2 mod 47,结果为 25;在第 2 位,我们需要计算 5^4 mod 47,结果为 25^2 mod 47 = 31;在第 3 位,我们需要计算 5^8 mod 47,结果为 31^2 mod 47 = 37;在第 4 位,我们需要计算 5^16 mod 47,结果为 37^2 mod 47 = 22。因此,5^23 mod 47 = 5^1 * 5^2 * 5^4 * 5^8 * 5^16 mod 47 = 5 * 25 * 31 * 37 * 22 mod 47 = 9。因此,5^23 mod 47 的结果为 9。
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