5^8 mod 47?

首先，我们可以使用费马小定理来简化计算。因为 47 是质数，所以根据费马小定理，如果 p 是质数且 a 不是 p 的倍数，则 a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。因此，我们可以得到 5^46 ≡ 1 (mod 47)。

接下来，我们可以使用指数的二进制表示方法来快速计算 5^8 mod 47。将指数 8 转换为二进制为 1000，因此：

5^8 = 5^(2^3) = (5^2)^4 = 25^4

现在，我们可以使用平方乘法算法来计算 25^4 mod 47。将 4 转换为二进制为 100，因此：

25^2 = 625 ≡ 18 (mod 47)
25^4 = (25^2)^2 ≡ 18^2 ≡ 324 ≡ 27 (mod 47)

因此，5^8 ≡ 27 (mod 47)。

相关问题

5^18 mod 47?

可以使用快速幂算法来计算。首先将指数18转换为二进制形式，即18=10010。然后，从右到左依次考虑每一位上的数字，如果是1，则将底数5乘以当前的幂次后取模，如果是0，则将底数5的当前幂次取模。具体步骤如下：

1. 5^1 mod 47 = 5
2. 5^2 mod 47 = 25
3. 5^4 mod 47 = (5^2)^2 mod 47 = 25^2 mod 47 = 36
4. 5^8 mod 47 = (5^4)^2 mod 47 = 36^2 mod 47 = 29
5. 5^16 mod 47 = (5^8)^2 mod 47 = 29^2 mod 47 = 20
6. 5^18 mod 47 = 5^(16+2) mod 47 = (5^16)*(5^2) mod 47 = 20*25 mod 47 = 30

因此，5^18 mod 47 = 30。

5^16 mod 47?

我们可以使用快速幂算法来计算这个问题。首先，将指数16转换为二进制数 10000，然后按照从右到左的顺序计算幂次方：

- 计算 $5^1 \equiv 5 \pmod{47}$
- 计算 $5^2 \equiv 25 \pmod{47}$
- 计算 $5^4 \equiv 25^2 \equiv 28 \pmod{47}$
- 计算 $5^8 \equiv 28^2 \equiv 41 \pmod{47}$
- 计算 $5^{16} \equiv 41^2 \equiv 24 \pmod{47}$

因此，$5^{16} \equiv 24 \pmod{47}$。