5^23 mod 47?
时间: 2023-11-24 20:07:45 浏览: 36
我们可以使用快速幂算法来计算这个式子。首先,将 23 表示为二进制形式:23 = 10111。接下来,我们从右往左扫描二进制数,如果当前位是 1,就把对应的幂乘到结果中。例如,在第 0 位,我们需要计算 5^1 mod 47,结果为 5;在第 1 位,我们需要计算 5^2 mod 47,结果为 25;在第 2 位,我们需要计算 5^4 mod 47,结果为 25^2 mod 47 = 31;在第 3 位,我们需要计算 5^8 mod 47,结果为 31^2 mod 47 = 37;在第 4 位,我们需要计算 5^16 mod 47,结果为 37^2 mod 47 = 22。因此,5^23 mod 47 = 5^1 * 5^2 * 5^4 * 5^8 * 5^16 mod 47 = 5 * 25 * 31 * 37 * 22 mod 47 = 9。因此,5^23 mod 47 的结果为 9。
相关问题
鉴于5是模47的一个原根,使用Shank算法解决10 ≡ 5^a mod 47。
Shank算法(也叫Pohlig-Hellman算法)是一种用于解离散对数问题的算法,适用于模数较小的情况。对于模数为素数的情况,可以使用原根来求解离散对数。下面是使用Shank算法解决 $10 \equiv 5^a \mod 47$ 的步骤:
1. 计算模数的欧拉函数 $\varphi(47) = 46$,因为47是素数。
2. 找到模数47的一个原根,我们已知5是模47的一个原根。
3. 由于5是原根,因此对于任意一个 $1 \leq x \leq 46$,都可以表示为 $5^x \mod 47$ 的形式。我们可以通过预处理出 $5^0, 5^1, \ldots, 5^{23}$ 和 $10 \times 5^0, 10 \times 5^1, \ldots, 10 \times 5^{23}$ 的值,然后进行查找。
4. 首先计算模数的质因数分解 $46 = 2 \times 23$。
5. 对于质因子2,我们可以将原方程化为 $10 \equiv (5^2)^{a'} \mod 47$ 的形式,其中 $a' = a \bmod 23$。然后我们可以通过查表的方式找到 $5^0, 5^2, 5^4, \ldots, 5^{22}$ 和 $10 \times 5^0, 10 \times 5^2, 10 \times 5^4, \ldots, 10 \times 5^{22}$ 的值。然后我们可以对于每个 $0 \leq i \leq 11$,找到满足 $10 \times (5^2)^i \equiv 10 \times 5^{2i} \equiv 10 \times 5^{a'} \mod 47$ 的最小的 $i$。设这个最小的 $i$ 为 $i_0$,则 $a' \equiv 2i_0 \mod 23$。
6. 对于质因子23,我们可以将原方程化为 $10 \equiv 5^{a''} \mod 47$ 的形式,其中 $a'' = a' \bmod 2$。然后我们可以通过查表的方式找到 $5^0, 5^1, \ldots, 5^{22}$ 和 $10 \times 5^0, 10 \times 5^1, \ldots, 10 \times 5^{22}$ 的值。然后我们可以找到满足 $10 \times 5^i \equiv 10 \times 5^{a''} \mod 47$ 的最小的 $i$。设这个最小的 $i$ 为 $i_0$,则 $a'' \equiv i_0 \mod 2$。
7. 最后,根据 $a' \equiv 2i_0 \mod 23$ 和 $a'' \equiv i_0 \mod 2$,我们可以得到 $a \equiv 2^{22} \times i_0 + 2^{21} \times (a'' - i_0) \mod 46$。这就是原方程的一个解。
注意,由于模数是一个素数,因此原方程一定存在解。此外,对于模数较小的情况,Shank算法可以快速求解离散对数问题,但对于模数很大的情况,Shank算法并不是最优的选择。
Given that 5 is a primitive element modulo 47, solve 10 ≡ 5 a mod 47 by using Shank’s algorithm
Shank's algorithm is an algorithm for solving the discrete logarithm problem. In this case, we want to solve the equation 10 ≡ 5^a (mod 47).
First, we need to find the order of 5 modulo 47. Since 47 is a prime number, we know that any integer a such that 1 ≤ a ≤ 46 is a primitive element modulo 47 if and only if gcd(a,47)=1 and a^(46) ≡ 1 (mod 47). Since 5 is a primitive element modulo 47, we know that the order of 5 modulo 47 is 46.
Next, we need to compute the values of 5^0, 5^1, 5^2, ..., 5^22 mod 47 and store them in a table. We can use the repeated squaring method to compute these values efficiently. For example:
5^0 ≡ 1 (mod 47)
5^1 ≡ 5 (mod 47)
5^2 ≡ 25 (mod 47)
5^3 ≡ 43 (mod 47)
5^4 ≡ 38 (mod 47)
5^5 ≡ 6 (mod 47)
5^6 ≡ 30 (mod 47)
5^7 ≡ 41 (mod 47)
5^8 ≡ 19 (mod 47)
5^9 ≡ 24 (mod 47)
5^10 ≡ 37 (mod 47)
5^11 ≡ 45 (mod 47)
5^12 ≡ 7 (mod 47)
5^13 ≡ 35 (mod 47)
5^14 ≡ 31 (mod 47)
5^15 ≡ 18 (mod 47)
5^16 ≡ 33 (mod 47)
5^17 ≡ 44 (mod 47)
5^18 ≡ 3 (mod 47)
5^19 ≡ 15 (mod 47)
5^20 ≡ 32 (mod 47)
5^21 ≡ 14 (mod 47)
5^22 ≡ 42 (mod 47)
Now, we can use Shank's algorithm to solve the equation 10 ≡ 5^a (mod 47). We can rewrite this equation as 5^a ≡ 10 (mod 47). We want to find a such that 0 ≤ a ≤ 45.
We start by dividing the range [0, 45] into two equal parts: [0, 22] and [23, 45]. We compute 10 × 5^-0 ≡ 10 (mod 47) and 5^0, 5^1, 5^2, ..., 5^22 mod 47 using the table. We find that 10 ≡ 10 (mod 47) and 10 ≢ 1, 5, 25, 43, 38, 6, 30, 41, 19, 24, 37, 45, 7, 35, 31, 18, 33, 44, 3, 15, 32, 14, 42 (mod 47). Therefore, 10 is not in the first half of the table.
Next, we compute 10 × 5^-23 ≡ 39 (mod 47) and 5^23, 5^24, 5^25, ..., 5^45 mod 47 using the table. We find that 39 ≢ 1, 5, 25, 43, 38, 6, 30, 41, 19, 24, 37, 45, 7, 35, 31, 18, 33, 44, 3, 15, 32, 14, 42 (mod 47). Therefore, 10 is not in the second half of the table.
Since we have exhausted all the possibilities, we conclude that there is no solution to the equation 10 ≡ 5^a (mod 47).
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