最小二乘法拟合圆心

在上一个问题中，我们已经使用Hough Circle Transform函数检测到了圆，现在我们需要使用最小二乘法来拟合圆心。

最小二乘法是一种常用的拟合方法，可以用来拟合数据点到一个函数或者曲线。在这里，我们可以用最小二乘法来拟合圆心。

假设我们已经检测到了n个圆，在检测到的圆中，第i个圆的圆心坐标为(xi, yi)，我们需要求出这些圆心坐标的最优拟合圆（也就是最小二乘法拟合的圆）。

最小二乘法拟合圆心的思路如下：

1. 对于每个圆心(xi, yi)，我们可以将它表示为(x - xi)^2 + (y - yi)^2 = r^2的形式。

2. 将上式展开，得到x^2 + y^2 - 2xi*x - 2yi*y + (xi^2 + yi^2 - r^2) = 0。

3. 对于每个圆心(xi, yi)，我们可以将上式表示为Aix + Biy + Ci = Di^2的形式，其中Ai = -2xi, Bi = -2yi, Ci = xi^2 + yi^2 - r^2, Di = xi^2 + yi^2。

4. 将上述方程组表示成矩阵形式：AX = B，其中X = [a, b, c]T，A为n x 3的矩阵，B为n x 1的矩阵，X为3 x 1的矩阵，T表示矩阵的转置。

5. 使用最小二乘法求解X，即X = (ATA)^-1ATB。

6. 求出a,b,c之后，可以得到最小二乘法拟合的圆心为(x0, y0) = (-a/2, -b/2)，半径为r = sqrt(a^2 + b^2 - 4c)/2。

下面是一个示例代码，演示如何使用最小二乘法拟合图像中检测到的圆心：

#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;
using namespace cv;

int main()
{
    Mat image = imread("circles.png", IMREAD_GRAYSCALE);
    if (image.empty())
    {
        cout << "Could not open or find the image" << endl;
        return -1;
    }

    Mat blurred;
    GaussianBlur(image, blurred, Size(5, 5), 2);

    vector<Vec3f> circles;
    HoughCircles(blurred, circles, HOUGH_GRADIENT, 1, 10, 100, 30, 5, 50);

    Mat A(circles.size(), 3, CV_32F);
    Mat B(circles.size(), 1, CV_32F);
    for (size_t i = 0; i < circles.size(); i++)
    {
        float xi = circles[i][0];
        float yi = circles[i][1];
        float ri = circles[i][2];

        A.at<float>(i, 0) = -2 * xi;
        A.at<float>(i, 1) = -2 * yi;
        A.at<float>(i, 2) = xi * xi + yi * yi - ri * ri;
        B.at<float>(i, 0) = xi * xi + yi * yi;
    }

    Mat ATA, ATB, X;
    transpose(A, ATA);
    ATB = ATA * B;
    X = (ATA * A).inv() * ATB;

    float a = X.at<float>(0, 0);
    float b = X.at<float>(1, 0);
    float c = X.at<float>(2, 0);

    Point2f center(-a / 2, -b / 2);
    float radius = sqrt(a * a + b * b - 4 * c) / 2;

    // 用红色圆画出最小二乘法拟合的圆心
    circle(image, center, 3, Scalar(0, 0, 255), -1, 8, 0);
    // 用蓝色圆画出最小二乘法拟合的圆
    circle(image, center, radius, Scalar(255, 0, 0), 3, 8, 0);

    // 输出最小二乘法拟合的圆心和半径
    cout << "Fitted Circle:" << endl;
    cout << "Center: (" << center.x << ", " << center.y << ")" << endl;
    cout << "Radius: " << radius << endl;

    namedWindow("Fitted Circle", WINDOW_NORMAL);
    imshow("Fitted Circle", image);
    waitKey(0);

    return 0;
}

在此示例中，我们使用前面的代码检测到了圆，并将每个圆心(xi, yi)表示为Aix + Biy + Ci = Di^2的形式。然后，我们将这些方程表示为矩阵形式，使用最小二乘法求解出拟合圆的参数a, b, c。最后，我们计算出最小二乘法拟合的圆心和半径，并在图像上画出。