任意给定的连通图必存在完美匹配且唯一吗

不是的，存在连通图无法构造出完美匹配的情况，比如下图所示的三角形：

  a
 / \
b - c

在这个图中，任何匹配都必须涉及到三个节点，但是它们无法组成完美匹配。

另外，即使存在完美匹配，也不一定唯一。例如下图：

a - b - c
|   |   |
d - e - f

在这个图中，存在两种完美匹配：{a-b, d-e, c-f} 和 {a-c, d-e, b-f}。

相关问题

python给定节点生成连通图

你可以使用Python的networkx库来生成连通图。下面是一个示例代码：

import networkx as nx
import random

# 创建一个空的无向图
G = nx.Graph()

# 添加节点
nodes = [1, 2, 3, 4, 5]
G.add_nodes_from(nodes)

# 添加边连接节点，使得图形成一个连通块
for i in range(len(nodes)-1):
    G.add_edge(nodes[i], nodes[i+1])

# 添加其他边以增加连通性
for i in range(10):
    # 随机选择两个节点
    u = random.choice(nodes)
    v = random.choice(nodes)
    # 如果两个节点不相同且它们之间没有边，则添加一条边
    if u != v and not G.has_edge(u, v):
        G.add_edge(u, v)

# 输出图的信息
print("Graph nodes:", G.nodes())
print("Graph edges:", G.edges())

这个例子中，我们首先创建了一个包含5个节点的无向图。然后，我们添加了一些边来使得图形成一个连通块，并且添加了一些其他的边来增加连通性。最后，我们输出了图的节点和边的信息。

你可以根据需要修改代码来生成不同类型的连通图。

给定邻接矩阵判断是否连通图

判断一个无向图是否连通，可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来实现。具体步骤如下：

1. 选择一个起始节点，从该节点开始进行搜索。
2. 遍历与该节点相邻的所有节点，如果该节点未被访问过，标记为已访问并将其加入搜索队列。
3. 从队列中取出下一个节点，重复步骤2，直到队列为空。
4. 如果所有节点都被访问过，则该图是连通的，否则不连通。

实现过程中，可以使用一个数组记录每个节点的访问状态，初始值都为未访问。每次遍历到一个节点时，将其标记为已访问。如果遍历结束后仍有未访问的节点，则说明该图不连通。

下面是一个基于邻接矩阵的实现示例（假设节点编号从0开始）：

def is_connected(adj_matrix):
    n = len(adj_matrix)
    visited = [False] * n
    queue = [0]  # 从节点0开始搜索
    visited[0] = True
    while queue:
        node = queue.pop(0)
        for i in range(n):
            if adj_matrix[node][i] == 1 and not visited[i]:
                visited[i] = True
                queue.append(i)
    return all(visited)

其中，`adj_matrix`是邻接矩阵，`n`是节点数，`visited`是访问状态数组，`queue`是搜索队列。最后使用`all()`函数判断是否所有节点都被访问过。