newton raphson算法案例

一个常见的例子是求解非线性方程的根。例如，考虑方程 $f(x)=x^3-2x-5=0$，我们想要求解它的根。我们可以使用牛顿-拉普森算法来逼近这个根。

首先，我们需要选择一个初始值 $x_0$。在这个例子中，我们可以选择 $x_0=2$，因为 $f(2)=2^3-2\times2-5=1$ 是一个比较接近 $0$ 的值。

接下来，我们计算 $f(x_0)$ 和 $f'(x_0)$，其中 $f'(x)$ 是 $f(x)$ 的导数。在这个例子中，$f'(x)=3x^2-2$，所以 $f'(2)=8$。

然后，我们可以使用牛顿-拉普森公式来计算下一个近似解 $x_1$：

$$x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 2 - \frac{1}{8} = 1.875$$

我们再次计算 $f(x_1)$ 和 $f'(x_1)$，并使用公式计算下一个近似解。我们可以继续这个过程，直到我们达到所需的精度或者迭代次数的限制。

在这个例子中，我们可以看到，使用牛顿-拉普森算法，我们可以迅速地逼近方程的根。最终，我们可以得到一个近似解 $x\approx2.0946$，它满足 $f(x)\approx0$，也就是说，它是方程的一个根。