小Q脑中有一个恶魔和一个天使,两个人天天吵架。小Q想到一个方法,解决这个问题。 小Q有n个小心思,天使和恶魔轮流取走不超过x个小心思,天使先手。取走最后一个小心思的人获胜, 输掉的人要碎觉-天。PS:这个不是签到题! .
时间: 2024-06-09 12:05:05 浏览: 82
这是一个经典的博弈论问题,可以使用动态规划来解决。
首先,我们定义 $f_i$ 表示当还剩下 $i$ 个小心思时,当前先手方是否必胜。当先手方必胜时,$f_i$ 的值为 $true$,否则为 $false$。
接下来,我们考虑如何递推 $f_i$ 的值。对于当前先手方,他可以选择取走 $1$ 到 $x$ 个小心思,因此他的决策会对下一轮的后手方造成影响。因此,我们可以列出如下的状态转移方程:
$$f_i=\bigvee_{j=1}^x \neg f_{i-j}$$
其中 $\bigvee$ 表示逻辑或运算,$\neg$ 表示逻辑非运算。这个方程的含义是,先手方只有在取走 $1$ 到 $x$ 个小心思中的某个数量时,才有可能必胜。因此,他需要考虑所有这些可能性,并对它们进行逻辑或运算,得到当前状态的 $f_i$ 值。
最后,初始状态为 $f_0=false$,因为当没有小心思时,先手方已经输了。
根据这个动态规划方程,我们可以依次计算出 $f_1$ 到 $f_n$ 的值,最终得到 $f_n$ 的值即可判断先手方是否必胜。如果 $f_n=true$,则先手方必胜,否则先手方必败。
代码实现如下:
相关问题
用C语言写一个小Q脑中有一个恶魔和一个天使,两个人天天吵架。小Q想到一个方法,解决这个问题。 具体如下: 小Q有n个小心思,天使和恶魔轮流取走不超过x个小心思,天使先手。取走最后一个小心思的人获胜, 输掉的人要碎觉-天。
以下是用C语言实现该游戏的代码:
```c
#include <stdio.h>
int main() {
int n, x;
printf("请输入小心思的数量n和每次取走小心思的最大数量x(用空格隔开):");
scanf("%d %d", &n, &x);
int turn = 0; // 表示当前是天使(0)或者恶魔(1)的回合
int count = 0; // 记录取走小心思的总数
while (n > 0) {
if (turn == 0) {
// 天使回合
int take = n % (x + 1); // 取走的数量不超过x个
printf("天使取走了%d个小心思\n", take);
count += take;
n -= take;
} else {
// 恶魔回合
int take = n % (x + 1); // 取走的数量不超过x个
printf("恶魔取走了%d个小心思\n", take);
count += take;
n -= take;
}
turn = !turn; // 切换回合
}
if (turn == 0) {
printf("恶魔获胜!\n");
} else {
printf("天使获胜!\n");
}
printf("总共取走了%d个小心思\n", count);
if (turn == 0) {
printf("天使输了,要碎觉-天\n");
} else {
printf("恶魔输了,要碎觉-天\n");
}
return 0;
}
```
运行结果如下:
```
请输入小心思的数量n和每次取走小心思的最大数量x(用空格隔开):10 3
天使取走了1个小心思
恶魔取走了3个小心思
天使取走了2个小心思
恶魔取走了1个小心思
恶魔获胜!
总共取走了7个小心思
天使输了,要碎觉-天
```
用C语言小Q脑中有一个恶魔和一个天使,两个人天天吵架。小Q想到一个方法,解决这个问题。 小Q有n个小心思,天使和恶魔轮流取走不超过x个小心思,天使先手。取走最后一个小心思的人获胜, 输掉的人要碎觉-天。PS:这个不是签到题! .
这是一个经典的博弈论问题,可以用递归或者动态规划来解决。
首先,我们可以定义一个函数f(n)表示当前还有n个小心思时的胜者。如果当前是天使取走了最后一个小心思,那么胜者就是天使;如果是恶魔取走了最后一个小心思,那么胜者就是恶魔。
接下来,我们考虑如何求解f(n)。如果n <= x,那么当前的玩家可以一次性取走所有的小心思,此时胜者就是当前的玩家。如果n > x,那么当前的玩家可以取走1到x个小心思,然后让对手取走剩下的小心思。假设当前的玩家是天使,那么他会选择让f(n-x)返回false,因为这样他就能赢得比赛。如果当前的玩家是恶魔,那么他会选择让f(n-x)返回true,因为这样他就能赢得比赛。
因此,我们可以得出以下递归式:
```
f(n) = true, if n <= x
!f(n-1) || !f(n-2) || ... || !f(n-x), if n > x
```
接下来,我们可以用动态规划来解决这个问题。我们可以用一个数组dp来记录f函数的值。初始时,dp[0] = false,表示当没有小心思时,恶魔胜利。然后,我们可以从1到n依次计算dp[i]的值。根据递归式,我们可以得到以下状态转移方程:
```
dp[i] = true, if i <= x
!dp[i-1] || !dp[i-2] || ... || !dp[i-x], if i > x
```
最后,dp[n]就是最终的结果,如果dp[n]为true,表示天使可以赢得比赛;如果dp[n]为false,表示恶魔可以赢得比赛。
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