递归求和1 2 3 ..... n

### 回答1：
递归求和1 2 3 .... n可以用递归函数实现。基本思想是将求和问题转化为求和1到n-1的问题，然后再加上n。具体实现可以使用如下代码:

def recursive_sum(n):
    if n == 1:
        return 1
    else:
        return n + recursive_sum(n-1)

调用`recursive_sum(n)`即可得到1到n的和。

### 回答2：
递归求和1到n的方法比较简单，就是将问题分解为多个小问题，通过递归函数不断地调用自己来解决问题。递归函数必须有一个终止条件来避免无限递归。

在求和1到n的问题中，终止条件是当n=1时，直接返回1，不再递归调用。递归调用的过程中，每一次都会将问题分解为“n-1”这个小问题，通过不断的递归调用来解决问题。

下面是一个递归求和1到n的简单示例：

代码：

def sum_n(n):
    if n == 1:
        return 1
    else:
        return n + sum_n(n-1)

解释：

sum_n函数接受一个正整数n，如果n是1，则直接返回1。如果n大于1，则将n加上sum_n(n-1)的结果，这个结果就是1到n-1的和，通过递归调用不断地计算出来。

这个递归函数的时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)，因为需要在内存中保存每次递归调用的变量。当n比较大时，可能会导致栈溢出的问题，所以需要注意调用栈的深度。

递归求和1到n的问题有很多种不同的实现方式，但都是基于递归的原理，在实际应用中需要结合具体的场景和问题来选择最合适的方法。

### 回答3：
递归求和1 2 3 ..... n 就是要将从1到n的所有整数相加，可以使用递归函数来实现。递归是指一个函数不断地调用自身，直到满足某种终止条件才返回结果。

在这个问题中，我们可以将1到n的所有整数相加的操作拆分成两个部分：将1到n-1的所有整数相加，并将结果加上n。最终的递归公式如下：

sum(n) = sum(n-1) + n

其中，当n等于1时，终止递归，直接返回1，即：

sum(1) = 1

下面是递归求和1 2 3 ..... n的具体实现：

（1）使用C++编程语言实现

代码实现:

#include <iostream>
using namespace std;

int sum(int n) {
    if (n == 1) {   // 终止递归
        return 1;
    } else {
        return sum(n-1) + n; // 递归调用
    }
}

int main() {
    int n;
    cout<<"请输入整数n的值：";
    cin>>n;
    cout<<"从1到"<<n<<"的所有整数的和为："<<sum(n)<<endl;
    return 0;
}

（2）使用Python编程语言实现

代码实现：

def sum(n):
    if n == 1:      # 终止递归
        return 1
    else:
        return sum(n-1) + n     # 递归调用

n = int(input("请输入整数n的值："))
print("从1到", n, "的所有整数的和为：", sum(n))

以上就是递归求和1 2 3 ..... n的说明和实现方法。递归虽然简单，但使用不当可能会导致代码效率低下，因此，在编写递归函数时一定要适当地考虑效率问题。