按照上述平均值的计算方法,进一步计算数列的方差
时间: 2023-05-18 12:05:38 浏览: 71
方差的计算公式为:
$Var(X) = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2}{n}$
其中,$X_i$ 表示数列中的第 $i$ 个数,$\bar{X}$ 表示数列的平均值,$n$ 表示数列中的数的个数。
根据题目中给出的平均值,我们可以先计算出数列中每个数与平均值的差值,然后将差值的平方相加并除以数列中的数的个数即可得到方差。
假设数列为 $a_1, a_2, \cdots, a_n$,平均值为 $\bar{a}$,则数列的方差为:
$Var(a) = \frac{\sum_{i=1}^{n}(a_i - \bar{a})^2}{n}$
代入题目中给出的平均值,得到:
$Var(a) = \frac{\sum_{i=1}^{n}(a_i - 4)^2}{10}$
现在需要计算 $(a_i - 4)^2$ 的和。根据平均值的定义,有:
$\bar{a} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_i$
移项得到:
$\sum_{i=1}^{n}a_i = n\bar{a}$
代入题目中的数据,得到:
$\sum_{i=1}^{10}a_i = 10 \times 4 = 40$
因此,
$\sum_{i=1}^{n}(a_i - 4)^2 = \sum_{i=1}^{n}(a_i^2 - 8a_i + 16)$
$= \sum_{i=1}^{n}a_i^2 - 8\sum_{i=1}^{n}a_i + 16n$
$= \sum_{i=1}^{n}a_i^2 - 8 \times 40 + 16 \times 10$
$= \sum_{i=1}^{n}a_i^2 - 40$
现在需要计算 $\sum_{i=1}^{n}a_i^2$。根据平均值的定义,有:
$\bar{a^2} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_i^2$
移项得到:
$\sum_{i=1}^{n}a_i^2 = n\bar{a^2}$
代入题目中的数据,得到:
$\sum_{i=1}^{10}a_i^2 = 10 \times 17 = 170$
因此,
$Var(a) = \frac{\sum_{i=1}^{n}(a_i - 4)^2}{10}$
$= \frac{\sum_{i=1}^{n}a_i^2 - 40}{10}$
$= \frac{170 - 40}{10}$
$= 13$
因此,数列的方差为 $13$。
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